Tính chính quy nghiệm của hệ navier - stokes

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS. Cung Thế Anh đã
tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn tốt nghiệp Thạc sỹ này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong
khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo tận tình trong suốt quá
trình học tập tại trường.
Qua đây tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã ở bên,
cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn tốt
nghiệp Thạc sỹ.
Hà Nội, tháng 11 năm 2013
Tác giả
Như Thúy Vân
1
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Cung Thế Anh luận văn
được hoàn thành không trùng với bất kì công trình khoa học nào khác.
Trong khi thực hiện luận văn tác giả đã sử dụng và tham khảo các thành tựu của
các nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng.
Hà Nội, tháng 11 năm 2013
Tác giả
Như Thuý Vân
2
Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Chương 1.Kiến thức chuẩn bị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.Các không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.Các bất đẳng thức thường dùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1. Bất đẳng thức Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2. Bất đẳng thức H¨older . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3. Bất đẳng thức Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.4. Bất đẳng thức Morrey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.Sự tồn tại nghiệm yếu của hệ Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.Độ đo Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5.Một số ký hiệu và khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Chương 2.Tính chính quy nghiệm của hệ Navier - Stokes . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.Phát biểu các kết quả chính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.Các bổ đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.Chứng minh các định lí chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Tài liệu tham khảo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Hệ phương trình Navier-Stokes xuất hiện khi mô tả chuyển động của các chất lỏng
và khí như nước, không khí, dầu mỏ,. . . dưới những điều kiện tương đối tổng quát,
và chúng xuất hiện khi nghiên cứu nhiều hiện tượng quan trọng trong khoa học hàng
không, khí tượng học, công nghiệp dầu mỏ, vật lí plasma,. . . Trong luận văn này, chúng
tôi trình bày tính chính quy riêng phần của các nghiệm của phương trình Navier-Stokes
ba chiều
u
t
ν∆u u ∇ u ∇p f, x Ω, t 0;
∇ u 0, x Ω, t 0;
u x, t 0 x Ω, t 0;
u x, 0 u
0
x x Ω.
(1)
Ở đó, u
u
1

, u
2
, u
3
T
là hàm vận tốc, p : Ω R là hàm áp suất, ν const 0
là hệ số nhớt, u
0
là điều kiện ban đầu và điều kiện biên Dirichlet trên biên Ω với
Ω là miền bị chặn trong R
3
. Sự tồn tại nghiệm yếu u của hệ phương trình Navier -
Stokes đã được Leray và Hopf chứng minh trong [7, 4] mà nghiệm này thỏa mãn một
dạng của bất đẳng thức năng lượng. Còn Scheffer đã nghiên cứu tính chính quy riêng
phần của các nghiệm của hệ phương trình Navier - Stokes thỏa mãn một phiên bản
địa phương của bất đẳng thức năng lượng trong một chuỗi các bài báo [9, 10, 11]. Xem
thêm [3, 5, 12, 13, 14] về các bài toán liên quan.
Trong luận văn này chúng tôi trình bày kết quả gần đây của Kukavica [6] về tính
chính qui riêng phần của nghiệm yếu phù hợp của hệ Navier - Stokes. Kết quả chính
của luận văn là chỉ ra rằng độ đo Hausdorff parabolic một chiều của tập các điểm kỳ
4
dị bằng 0 nếu f L
2
. Kết quả này cải tiến kết quả nổi tiếng của Caffarelli - Kohn -
Nirenberg trong [2].
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn này là chúng tôi trình bày kết quả trong [6] về tính chính
quy riêng phần của các nghiệm của hệ phương trình Navier - Stokes trên miền Ω, ở
đó giả thiết của số hạng ngoại lực f được giảm nhẹ hơn so với kết quả trước đó của
Caffarelli - Kohn - Nirenberg [2].

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu: Hệ phương trình Navier-Stokes ba chiều.
• Phạm vi nghiên cứu: Tính chính quy riêng phần của nghiệm.
4. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các kỹ thuật nghiên cứu tính trơn của nghiệm của hệ Navier-Stokes: cách
chọn hàm thử, đánh giá năng lượng.
5
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Các không gian hàm
Để nghiên cứu bài toán (1) ta giới thiệu các không gian hàm sau:
Ký hiệu :
V u C
0
Ω
3
: ∇ u 0 ;
V
¯
V
H
1
0
Ω
3
bao đóng của V trong H
1
0
Ω
3

u H
1
0
Ω
3
: ∇ u 0 ;
H
¯
V
L
2
Ω
3
bao đóng của V trong L
2
Ω
3
.
Khi đó H và V là những không gian Hilbert với tích vô hướng lần lượt là:
u, v
H
u, v
Ω
u.vdx
Ω
3
i 1
u
i
.v

i
dx,
u, v
V
u, v
Ω
∇u.∇vdx
Ω
3
i 1
∇u
i
.∇v
i
dx
Ω
3
i,j 1
u
i
x
j
.
v
i
x
j
dx,
trong đó u u
1

, u
2
, u
3
T
và v v
1
, v
2
, v
3
T
.
V u H
1
2
Ω H
1
2
Ω ; ∇ u 0
6
.
V
là chuẩn trong V (V là đối ngẫu của V )
Ta có nhúng compact V H V
Phần bù trực giao H của H trong L
2
Ω
3
là

H = u L
2
Ω
3
; u ∇ρ, ρ H
1
Ω
∇ρ
u
t
υ∆u u.∇ u f
1.2. Các bất đẳng thức thường dùng
1.2.1. Bất đẳng thức Cauchy
Cho a 0, b 0
ab
a
2
2
b
2
2
.
1.2.2. Bất đẳng thức H¨older
Giả sử
1 p, q ;
1
p
1
q
1; u L

p
Ω , v L
q
Ω .
ta có
Ω
uv dx u
L
p
Ω
. v
L
q
Ω
1.2.3. Bất đẳng thức Poincaré
Ω
∇u
2
dx C Ω
Ω
u
2
dx, u H
1
0
Ω .
1.2.4. Bất đẳng thức Morrey
Giả thiết n p . Khi đó tồn tại một hằng số phổ dụng C chỉ phụ thuộc vào p
và n, sao cho
u

C
0,γ
R
n
C u
W
1
p
R
n
với mọi u C
1
R
n
, γ : 1
n
p
.
7
1.3. Sự tồn tại nghiệm yếu của hệ Navier-Stokes
Định lí 1.3.1. [15] Cho trước u
0
H và f L
2
0, T ; V . Khi đó tồn tại một nghiệm
yếu u của hệ Navier-Stokes thỏa mãn :
u L
2
0, T ; V L 0, T ; H .
Hơn nữa, u là liên tục yếu từ 0, T vào H: u C

w
0, T ; H ,
(tức là v H : t u t , v liên tục ) và
du
dt
L
4 3
0, T ; V ,
1.4. Độ đo Hausdorff
Ta nhắc lại một khái niệm cơ bản liên quan tới số chiều Hausdorff . Cho X là không
gian metric và D 0. Độ đo Hausdorff D chiều của một tập con Y của X là
µ
D
Y lim
 0
µ
D,
Y sup
 0
µ
D,
Y ,
trong đó
µ
D,
Y inf
i
diam B
i
D

.
Ở đây, cận dưới đúng được chọn trên tất cả các phủ của Y bởi các hình cầu B
i
sao
cho diam B
i
. Hiển nhiên µ
D,
Y µ
D,
Y với   và µ
D,
Y 0, .
Vì µ
D,
Y 
D D
0
µ
D
0
,
Y với D D
0
, nếu µ
D
0
,
Y và D
0

0, thì
µ
D
Y 0 D D
0
. Trong trường hợp này số
inf D, µ
D
Y 0 inf D, µ
D
Y
được gọi là số chiều Hausdorff của Y. Nếu số chiều Hausdorff của tập Y là hữu hạn,
thì Y đồng phôi với một tập con của một không gian Euclidean hữu hạn chiều.
1.5. Một số ký hiệu và khái niệm
Ký hiệu B
r
x
0
với chuẩn Euclide là hình cầu tâm tại x
0
bán kính r và
Q
r
x
0
, t
0
B
r
x

0
t
0
r
2
, t
0
8
là hình trụ parabolic gắn với tâm x
0
, t
0
D. Để đơn giản ta viết
Q
r
Q
r
0, 0 và B
r
B
r
0 . Ta nói x
0
, t
0
D là điểm chính quy nếu u L
5
D trong
một lân cận mở D
0

D của x
0
, t
0
. Điểm x
0
, t
0
D là điểm kỳ dị nếu nó không
chính quy. Theo [12, 13, 14] thì ta có u L
t
H
1
x
D
1
L
2
t
H
2
x
D
1
, D
1
: D
1
D
0

,
nó là không gian thông thường dùng để định nghĩa nghiệm mạnh [2].
Với x
0
, t
0
D, và r 0 : Q
r
x
0
, t
0
D đặt
α
x
0
,t
0
r
1
r
ess sup
t
0
r
2
,t
0
B
r

x
0
u
2
dt
1 2
β
x
0
,t
0
r
1
r
Q
r
x
0
,t
0
 u
2
dxdt
1 2
γ
x
0
,t
0
r

1
r
2
Q
r
x
0
,t
0
u
3
dxdt
1 3
δ
x
0
,t
0
r
1
r
2
Q
r
x
0
,t
0
p
3 2

dxdt
1 3
λ
x
0
,t
0
r
1
r
Q
r
x
0
,t
0
f
2
dxdt
1 2
.
Nếu Q
r
x
0
, t
0
D
c
∅, thì ta có thể thay Q

r
x
0
, t
0
bởi Q
r
x
0
, t
0
D
c
. Nếu nhãn
x
0
, t
0
không có thì ta vẫn hiểu là lân cận của 0, 0 , tức là α r α
0,0
r . Năm đại
lượng không có thứ nguyên (hay không có chiều), khi đó theo quy ước thông thường
về số chiều thì số mũ của x, t, u, p và f tương ứng là 1, 2, 1, 2 và 3. Tương tự như
vậy chọn các số mũ sao cho biểu diễn của nó là bậc 1 phụ thuộc vào u. Do đó dễ dàng
tìm ra dạng biểu diễn tuyến tính, và dạng phi tuyến của các số hạng.
Chú ý rằng giả thiết cho f L
2
D từ đó suy ra
λ
x

0
,t
0
r M r
1 2
(1.1)
x
0
, t
0
D và r 0 : Q
r
x
0
, t
0
D, ở đó M f
L
2
D
.
9
Chương 2
Tính chính quy nghiệm của hệ
Navier - Stokes
2.1. Phát biểu các kết quả chính
Định nghĩa (Nghiệm yếu phù hợp)
Cố định một tập mở liên thông D R
3
0, . Giả sử u, p là một nghiệm yếu phù

hợp trong D và nó được định nghĩa như sau:
(i) u L
t
L
2
x
D L
2
t
H
1
x
D và p L
3 2
D ;
(ii) f L
2
D là hàm phân kỳ tự do;
(iii) Hệ phương trình Navier - Stokes (1) được thỏa mãn trong D theo nghĩa yếu;
(iv) Bất đẳng thức năng lượng địa phương đúng trong D, tức là:
u
2
φ
T
2
R
3
,T
 u
2

φ
R
3
,T
u
2
φ
t
 u
2
2p u φ 2 u f φ (2.1)
với mọi φ C
0
D sao cho φ 0 trong D và với mọi T R.
Định lí sau đây là kết quả chính của chương này.
Định lí 2.1.1. Tồn tại một hằng số phổ dụng đủ nhỏ  0 thỏa mãn tính chất sau
đây. Nếu x
0
, t
0
D và
lim sup
r 0
β
x
0
,t
0
r  (2.2)
10

thì x
0
, t
0
là một điểm chính quy. Nói riêng độ đo Hausdorff parabolic một chiều của
tập các điểm kỳ dị bằng 0.
Điều kiện (ii) có thể được mở rộng tới hàm phân kỳ f L
q
D , với q 5 3. Cụ
thể ta có định lí sau:
Định lí 2.1.2. Cho q 5 3. Thay thế điều kiện (ii) trong định nghĩa của nghiệm yếu
phù hợp với f L
q
D và lim
r 0
sup β
x
0
,t
0
r  . Khi đó x
0
, t
0
là điểm chính
quy.
Từ định lí trên ta có
Định lí 2.1.3. Với mỗi q 5 3, tồn tại một hằng số   q 0 thỏa mãn tính
chất sau đây. Nếu Q
1

D và
Q
1
u
3
h p
3 2
f
q

thì tất cả điểm trong Q
1 2
là điểm chính quy.
Để chứng minh cho các định lí trên ta dựa vào các bổ đề sau.
2.2. Các bổ đề
Bổ đề 2.2.1. Giả sử 0, 0 D. Khi đó ta có
θ r Cκ
2 3
θ ρ Cκ
5
β ρ θ ρ Cκ
1 2
θ ρ
1 2
λ ρ
1 2
(2.3)
và
θ r Cκ
2 3

θ ρ Cκ
5
θ ρ
2
Cκ
1 2
θ ρ
1 2
λ ρ
1 2
(2.4)
với 0 r ρ 2 : Q
ρ
D.
Chứng minh. Vì β ρ θ ρ , (2.4) được suy ra từ (2.3), nên ta chỉ cần chứng minh
(2.3). Cho G x, t 4πt
3 2
exp x
2
4t là hạt nhân Gaussian.
Với r 0, ký hiệu
ψ x, t r
2
G x, r
2
t , x, t R
3
, 0 ,
11
trong đó sự phụ thuộc của ψ vào r là để đơn giản nên ta có thể bỏ qua. Rõ ràng

t
ψ ψ 0 trên R
3
, 0 . Trước hết, ta suy ra một vài tập bị chặn trên ψ để
ước lượng ψ trên Q
r
theo bên dưới, tồn tại một điểm cố định t r
2
, 0 , ta có
ψ x, t ψ x, t
x r
4π r
2
t
3 2
exp r
2
4 r
2
t .
Giá trị nhỏ nhất của hàm này với t r
2
, 0 là tại t r
2
, ta có
ψ x, t
1
Cr
, x, t Q
r

. (2.5)
Tương tự, trên Q
ρ
, ta có ψ ψ
x 0,t 0
r
2
G 0, r
2
nghĩa là
ψ x, t
C
r
, x, t Q
r
. (2.6)
Tương tự, trên Q
ρ
ta có
 ψ x, t
Cr
2
x
r
2
t
5 2
exp
x
2

4 r
2
t
và nó nhỏ hơn hoặc bằng Cr
2
r
2
t
2
vì y
1 2
e
y
C, y 0. Ta có
 ψ x, t
C
r
2
, x, t Q
ρ
. (2.7)
Ta có
ψ x, t
Cr
2
ρ
3
, x, t Q
ρ
Q

ρ 2
(2.8)
 ψ x, t
Cr
2
ρ
4
, x, t Q
ρ
Q
ρ 2
. (2.9)
Chứng minh (2.8) như sau: Biên của (2.8) cũng nằm trên B
ρ
ρ
2
, ρ
2
4 vì giá trị
lớn nhất trên vùng đó là đạt được tại x, t 0, ρ
2
4 và giá trị của ψ tại điểm đó
là nhỏ hơn hoặc bằng Cr
2
ρ
3
. Với x B
ρ
B
ρ 2

và t ρ
2
4, 0 ta có
ψ x, t ψ x, t
x ρ 2
C r
2
r
2
t
3 2
exp ρ
2
16 r
2
t .
Khi đó xem nghiệm là một hàm của t, sau đó biểu diễn số lớn nhất tại
t min r
2
ρ
2
24, 0 . Tách riêng các trường hợp r
2
ρ
2
24 và r
2
l ρ
2
24, ta được

ψ tại các điểm cực đại nhỏ hơn hoặc bằng
C
2
ρ
3
.
Chứng minh (2.9) cũng tương tự: Trên Q
ρ
Q
ρ 2
, ta có
 ψ x, t
Cr
2
ρ
r
2
t
5 2
exp
x
2
4 r
2
t
.
12
Biên của vế phải đạt được bằng cách tìm cực đại của biểu thức trên
B
ρ

ρ
2
, ρ
2
4
(đó là tại x 0 và t ρ
2
4 ) và trên B
ρ
B
ρ 2
ρ
2
4, 0
(đó là tại x ρ 2 và tại t max ρ
2
40 r
2
, 0 ).
Cho η : R
3
R 0, 1 là hàm nhát cắt trơn sao cho η 1 trên Q
ρ 2
và η 0 trên Q
c
ρ
với
b
t
α

0
x
η
C α
0
, b
ρ
α
0
2b
, x, t R
3
R, b N
0
, α
0
N
3
0
. (2.10)
Thay φ x, t ψ x, t η x, t trong bất đẳng thức năng lượng (2.1), với bất kỳ
t
0
r
2
, 0
B
r
u
2

ψ
t
0
2
Q
r

2
ψ
Q
ρ
u
2
φ
t
φ
Q
ρ
u
2
u φ
2
Q
ρ
pu  2
Q
ρ
u f φ. (2.11)
Ký hiệu I
1

, I
2
, I
3
và I
4
là các hạng tử bên vế phải của (2.11). Trên Q
ρ
,
φ
t
φ η
t
η ψ 2  η ψ,
ta sử dụng
t
ψ ψ 0 trên Q
r
. Chú ý η
t
, η và η bị triệt tiêu trên Q
ρ 2
.
Do vậy, φ
t
φ triệt tiêu trên Q
ρ 2
, ta có
sup
Q

ρ
φ
t
φ sup
Q
ρ
Q
ρ 2
φ
t
φ
sup
Q
ρ
Q
ρ 2
η
t
η ψ 2 sup
Q
ρ
Q
ρ 2
 η  ψ
Cr
2
ρ
5
,
ở đó ta đã sử dụng (2.8), (2.9) và (2.10). Do đó,

I
1
Cr
2
ρ
5
Q
ρ
u
2
Cr
2
ρ
3
ess sup
ρ
2
,0
B
ρ
u
2
Cκ
2
α ρ
2
. (2.12)
Để xử lý hạng tử thứ hai, đặt A
ρ
g A

ρ
g , t B
ρ
1
B
ρ
g , t .
13
Ký hiệu v
L
r
t
L
q
x
v x, t
L
q
x
Q
ρ
L
r
t
ρ
2
,0
ta có
I
2

C
r
2
Q
ρ
u
2
A
ρ
u
2
u
C
r
2
u
L
3
Q
ρ
u
2
A
ρ
u
2
L
3 2
Q
ρ

C
r
2
u
L
3
Q
ρ
 u
2
L
3 2
t
L
1
x
Q
ρ
C
r
2
u
L
3
Q
ρ
u
L
6
t

L
2
x
 u
L
2
t
L
2
x
Q
ρ
Cρ
1 3
r
2
u
L
3
Q
ρ
u
L
t
L
2
x
 u
L
2

t
L
2
x
Q
ρ
,
trong đó ta đã sử dụng  φ η  ψ  η ψ C r
2
trên Q
ρ
, nó cũng đúng với
(2.6) và (2.7). Ta có
I
2
Cρ
2
r
2
α ρ β ρ γ ρ Cκ
2
α ρ β ρ γ ρ . (2.13)
Đối với I
3
sử dụng bất đẳng thức H¨older và φ C r
2
trên Q
ρ
ta được
I

3
Cρ
2
r
2
δ ρ
2
γ ρ Cκ
2
δ ρ
2
γ ρ . (2.14)
Tương tự với I
4
từ (2.6) ta có
I
4
C
r
Q
ρ
u f
C
r
u
L
2
t
L
2

x
Q
ρ
f
L
2
t
L
2
x
Q
ρ
Cρ
r
α ρ λ ρ Cκ
1
α ρ λ ρ . (2.15)
Chú ý ess sup
t
0
r
2
,0
B
r
u
2
ψ
t
0

C
1
α r
2
và 2
Q
r
 u
2
ψ C
1
β r
2
theo (2.5) sử
dụng (2.11), (2.12), (2.13), (2.14) và (2.15) ta có
α r
2
β r
2
Cκ
2
α ρ
2
Cκ 2α ρ β ρ γ ρ
Cκ 2δ ρ
2
γ ρ Cκ 1α ρ λ ρ ,
từ đó
α r β r Cκα ρ Cκ 1α ρ
1

2
β ρ
1
2
γ ρ
1
2
Cκ 1δ ρ γ ρ
1
2
Cκ
1
2
α ρ
1
2
λ ρ
1
2
.
14
Sử dụng Cκ 1δ ρ γ ρ
1
2
Cκ 3δ ρ
2
Cκγ ρ và một hệ quả trực tiếp của bất đẳng
thức Gagliardo - Nirenberg γ ρ Cα ρ
1
2

β ρ
1
2
Cα ρ , ta có
α r β r Cκα ρ Cκ 1α ρ
3
4
β ρ
3
4
Cκ
1
α ρ β ρ
1
2
Cκ
3
δ ρ
2
Cκα ρ
1
2
β ρ
1
2
Cκ
1
2
α ρ
1

2
λ ρ
1
2
. (2.16)
Cho η C
0
R
3
sao cho η 1 trong một lân cận của B
3ρ 5
và η 0 trong lân cận của
B
c
4ρ 5
với
α
0
η x
C α
0
ρ
α
0
, x R
3
, α
0
N
3

0.
Sử dụng ∆p
ij
U
ij
, trong đó U
ij
u
i
u
j
A
ρ
u
j
, ta có
∆ ηp
ij
ηU
ij ij
η U
ij j
U
ij i
η
i
U
i
j
j

η p∆η 2
j j
η p (2.17)
dễ dàng kiểm tra phần mở rộng ở vế phải. Ký hiệu N là hạt nhân của ∆ 1, chú ý
N x C x 1 x R
3
. Từ (2.17), ta có
ηp R
i
R
j
ηU
ij
N
ij
η U
ij j
N U
ij i
η
i
N U
ij j
η N p∆η 2
j
N
i
η p
p
1

p
2
p
3
p
4
p
5
p
6
trong đó R
i
là biến đổi Riesz thứ i. Theo Định lý Calderón - Zygmund, với mỗi
t r
2
, 0
p
1
L
3 2
B
r
p
1
L
3 2
R
3
C
i,j

ηU
ij
L
3 2
R
3
C u
L
2
B
ρ
u A
ρ
u
L
6
B
ρ
C u
L
2
B
ρ
u
L
2
B
ρ
ta có
p

1
L
3 2
Q
r
C u
L
2
B
ρ
u
L
2
B
ρ
L
2
r
2
,0
Cr
1 3
u
L
2
B
ρ
u
L
2

B
ρ
L
2
r
2
,0
.
Do đó,
1
r
4 3
p
1
L
3 2
Q
r
1 2
C
ρ
r
1 2
α ρ
1 2
β ρ
1 2
. (2.18)
15
Tiếp theo, p

2
N
ij
η U
ij
. Chú ý
ij
η 0 trên B
3ρ 5
và trên B
c
4ρ 5
. Sử dụng
x y 4ρ 5 r 3ρ 10 nếu x B
r
và y B
c
4ρ 5
, ta có t r
2
, 0
p
2
L B
r
C
ρ
U
ij ij
η

L
1
B
ρ
C
ρ
3
U
L
1
B
ρ
C
ρ
2
i,j
u
i
L
2
B
ρ
u
j
A
ρ
u
j
L
6

B
ρ
C
ρ
2
u
L
2
B
ρ
 u
L
2
B
ρ
do đó p
2
L
3 2
B
r
C r
2
ρ
2
u
L
2
B
ρ

 u
L
2
B
ρ
, lấy một biên tốt hơn (2.18) để p
2
thay thế cho p
1
. Tương tự lấy đạo hàm ta chỉ ra rằng biên trên của p
3
và p
4
là như
nhau. Khi đó, p
5
N p  η . Vì η 0 trên B
3ρ 5
và trên B
c
4ρ 5
, tương tự như
trên ta có
p
5
L B
r
C
ρ
3

p
L
1
B
ρ
C
ρ
2
p
L
3 2
B
ρ
do đó
p
5
L
3 2
B
r
Cr
2
ρ
2
p
L
3 2
B
ρ
suy ra

p
5
L
3 2
Q
r
Cr
2
ρ
2
p
L
3 2
Q
ρ
và do đó ta được
1
r
4 3
p
5
L
3 2
Q
ρ
1 2
Cr
1 3
ρ
1 3

δ ρ
. Ước lượng tương tự cho p
6
. Tập hợp các biên phía trước dẫn tới
δ r Cκ
1 2
α ρ
1 2
β ρ
1 2
Cκ
1 3
δ ρ .
Từ bất đẳng thức này và (2.16) suy ra
θ r Cκα ρ Cκ
1
α ρ
3 4
β ρ
3 4
Cκ
1
α ρ β ρ
1 2
Cκ
3
δ ρ
2
Cκα ρ
1 2

β ρ
1 2
Cκ
1 2
α ρ
1 2
λ ρ
1 2
Cκ
5
α ρ β ρ Cκ
10 3
δ ρ
2
Cκθ ρ Cκ
1
β ρ
1 2
θ ρ Cκ
1
β ρ
1 2
θ ρ Cκθ ρ Cκθ ρ Cκ
1 2
λ ρ
1 2
θ ρ
1 2
Cκ
5

β ρ θ ρ Cκ
2 3
θ ρ
và (2.3).
16
Trong chứng minh của Định lí 2.1.1 ta sử dụng tính chất liên tục của α r .
Bổ đề 2.2.2. Cho 0 r R và t
1
t
2
sao cho B
R
t
1
, t
2
D. Khi đó ta có
lim
δ 0
ess sup
t t
1
,t
2
δ
B
r
u x, t
2
dx ess sup

t t
1
,t
2
B
r
u x, t
2
dx.
Chứng minh. Để chứng minh
lim
δ 0
ess sup
t t
1
,t
2
δ
B
r
u x, t
2
dx ess sup
t t
1
,t
2
B
r
u x, t

2
dx. (2.19)
Giả sử £ là tập các điểm Lebesgue của hàm t
B
R
u x, t
2
dx trong t
1
, t
2
.
Cho  0, và cho t
2
T t
2
δ sao cho B
R
t
1
, T D. Giả sử
T
0
£ t
2
δ, t
2
. Giả sử ψ C
0
R

3
là một hàm có miền ảnh thuộc 0, 1 sao cho
ψ
1
1 trên B
r
và ψ
2
0 trên B
c
R
. Cho h 0, t
2
t
1
, giả sử ψ
h
2
t là hàm liên tục, mà
ψ
h
2
t 0, t T
0
là các hàm tuyến tính giữa T
0
và T
0
h, và bằng 1 với t T
0

h.
Một dãy các xấp xỉ khẳng định được sử dụng φ x, t ψ
1
x ψ
h
2
t trong bất đẳng thức
(2.1). Ta có
B
R
u x, T
2
ψ
1
x dx
1
h
T
0
h
T
0
B
R
u x, t
2
ψ
1
x ψ
h

2
t dxdt
B
R
T
0
,T
u
2
 φ u
2
2p u.  φ 2 u.f φ
do đó
B
r
u x, T
2
dx
1
h
T
0
h
T
0
B
R
u x, t
2
ψ

h
2
t dxdt
B
R
T
0
,T
u
2
φ
h
2
t  ψ
1
x u
2
2p ψ
h
2
t u.  ψ
1
x 2 u.f ψ
h
2
t ψ
1
x .
Cho h 0 , ta có
B

r
u x, T
2
dx
B
R
u x, T
0
2
dx
B
R
T
0
,T
u
2
 ψ
1
u
2
2p u.  ψ
1
2 u.f ψ
1
t
2
δ
t
2

δ
u
2
 ψ
1
u
2
2p u.  ψ
1
2 u.f ψ
1
.
17
Chọn δ 0 đủ nhỏ để các số hạng bên phải nhỏ hơn hoặc bằng .
Điều này cho ta
sup
t t
2
,t
2
δ
B
r
u x, t
2
dx sup
t £ t
2
δ,t
2

u x, t
2
dx 
vì  0 bất kỳ và do £ là một tập con có độ đo đầy trong t
1
, t
2
nên ta suy ra được
(2.19).
Bổ đề 2.2.3. Tồn tại một hằng số phổ dụng đủ nhỏ  0 thỏa mãn tính chất sau. Nếu
lim sup
r 0
β
x
0
,t
0
r 
Khi đó  0, 1 2 tồn tại r
2
, r
3
0 và M 0 sao cho
max α
x,t
r , β
x,t
r , δ
x,t
r

2
Mr

với x, t B
x
0
,t
0
r
2
và r 0, r
3
.
Ở đây ta ký hiệu
B
x
0
,t
0
r x, t : x x
0
2
t t
0
2
r
2
.
Chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta giả sử rằng x
0

, t
0
0, 0 . Ký hiệu
˜
θ
x,t
r θ
x,t
r r

và
˜
θ x, t
˜
θ
0,0
x, t . Giả sử  0, 1 2 . Theo Bổ đề 2.2.1 và
(1.1), ta có
˜
θ r Cκ
2 3 
˜
θ ρ Cκ
5 
β ρ
˜
θ ρ CM
1 2
κ
 1 2

ρ
1 4  2
˜
θ ρ
1 2
do đó
˜
θ r C
0
κ
2 3 
˜
θ ρ C
0
κ
5 
β ρ
˜
θ ρ
1
6
˜
θ ρ C
0
Mκ
1 2
ρ
1 2 
.
Tương tự, từ bất đẳng thức (2.4) suy ra

˜
θ
x,t
r C
1
κ
2 3 
˜
θ
x,t
ρ C
1
κ
5 
ρ

˜
θ
x,t
ρ
2
1
6
˜
θ
x,t
ρ C
1
Mκ
1 2

ρ
1 2 
với 0 r ρ 2. Không mất tính tổng quát ta giả sử C
1
C
0
.
Cố định κ min 1 2, 1 6C
0
1 2 3 
sao cho C
0
κ
2 3 
1 6 và r ρ 2. Khi đó chọn
 κ
5 
6C
0
18
sao cho
C
0

κ
5 
1
6
.
Theo giả thiết, tồn tại r

4
0 sao cho Q
r
4
D,
β r  , 0 r r
4
và
max
C
0
Mr
1 2 
4
κ
1 2
,
C
0
r

4
κ
5 
1
8
.
Với n 0, 1, 2, , ký hiệu R
n
κ

n
r
4
và
˜
θ
n
˜
θ R
n
. Thì
˜
θ
n 1
1
2
n
˜
θ
n
1
8
, n 0, 1, 2,
Bằng quy nạp, ta có
˜
θ
n
1
2
n

˜
θ
0
1
8
1
1
2

1
2
n 1
, n 1, 2,
Vậy tồn tại n
0
N sao cho
˜
θ
n
0
1 3, hay
˜
θ
0,0
κ
n
0
r
4
1

3
.
Theo tính liên tục của tích phân và Bổ đề 2.2.2, tồn tại r
2
0 và r
5
0, r
4
sao cho
˜
θ
0,0
κ
n
0
r
4
1
2
, x, t B
x
0
,t
0
r
2
.
Chú ý
˜
θ

x,t
κ
n 1
r
5
1
2
θ
x,t
κ
n
r
5
1
8
˜
θ κ
n
r
5
2
1
8
, n n
0
, n
1
,
với
x, t B

x
0
,t
0
r
2
.
Bằng quy nạp, ta có
θ
x,t
κ
n
r
5
1
2
n n
0
, n
0
1, (2.20)
với
x, t B
x
0
,t
0
r
2
.

19
Sử dụng tính đơn điệu của tích phân ta được α ρ
1
ρ
2
ρ
1
1 2
α ρ
2
;
β ρ
1
ρ
2
ρ
1
1 2
β ρ
2
và δ ρ
1
ρ
2
ρ
1
4 3
δ ρ
2
với 0 ρ

1
ρ
2
. Do đó,
˜
θ
x,t
ρ
1
C
ρ
2
ρ
1
1 2 
ρ
2
ρ
1
4 3 
˜
θ
x,t
ρ
2
, 0 ρ
1
ρ
2
(2.21)

vậy Q
ρ
2
x, t D.
Từ (2.20) và (2.21), kết luận
˜
θ
x,t
r C, r 0, r
5
x, t B
x
0
,t
0
r
2
do đó bổ đề được chứng minh.
Trong chứng minh Định lí 2.1.1 cần bổ đề sau.
Bổ đề 2.2.4. [8] Cho V R
3
R là miền bị chặn. Giả sử
(i) sup
x,t V
sup
ρ 0
ρ
λ
V B
ρ

x,t
g y, s
q
dyds và
(ii) g L
m
V với m q 1 và 0 λ 5. Với α 0, xác định
h x, t
V
g y, s
x y t s
5 α
dyds.
Khi đó với mọi ˜m m, sao cho
1
˜m
1
m
1
qα
5 λ
ta có h L
˜m
V .
2.3. Chứng minh các định lí chính
Chứng minh Định lí 2.1.1
Chứng minh. Không mất tính tổng quát, x
0
, t
0

0. Sử dụng Bổ đề 2.2.3 với
 1 4, r
2
, r
3
0 và M 0 sao cho
max α
x,t
r , β
x,t
r , δ
x,t
r
2
Mr
1 4
với x, t B
x
0
,t
0
r
2
và r 0, r
3
. Không mất tính tổng quát, r
2
r
3
. Chú ý

γ
x,t
r Cα
x,t
r
1 2
β
x,t
r
1 2
Cα
x,t
r CMr
1 4
(2.22)
20
với x, t B
x
0
,t
0
r
2
. Cho η C
0
R
n
là một hàm mà đồng nhất bằng 1 trên một
lân cận của B
0,0

3r
2
4 và bằng 0 trên lân cận của B
0,0
9r
2
10
c
.
Đặt
v
k
x, t
t
j
G x y, t s η y, s u
j
y, s u
k
y, s dyds
t
k
G x y, t s η y, s p y, s dyds
t
G x y, t s η y, s f
k
y, s dyds
v
k
1 x, t v

k
2 x, t v
k
3 x, t .
Cho V B
x
0
,t
0
r
2
. Hiển nhiên,
u v C B
0,0
3r
2
4
Chú ý G x, t C x t
3
và  G x, t C x t
4
, với x, t R
3
0, .
Xét u L
10 3
D . Từ (2.22), ta có
sup
1
r

2 3
B
r
ν
u
3
.
Từ Bổ đề 2.2.4, ta có v
1
L
˜m
V , trong đó
1
˜m
2
m
1
3 2
5 2 3 4
2
3m
với m 10 3. Tương tự, v
2
L
˜m
V với điều kiện như trên ˜m. Từ một ước lượng
mẫu cho phương trình truyền nhiệt không thuần nhất, ta có v
3
L
10

V .
Lặp lại quá trình trên với giá trị của ˜m 4 3, ta được v L
4 3 10 3
V ,
do đó
u L
4 3 10 3
B
0,0
3r
2
4 .
Ta lặp lại lí luận với giá trị mới của m là 4 3 . 10 3 , ta có
u L
4 3
2
10 3
B
0,0
5r
2
8 .
Sau một số hữu hạn bước lặp đi lặp lại và với một cách chọn phù hợp của dãy giảm hữu
hạn các bán kính, ta có u L
10
B
0,0
r
2
2 . Do đó tất cả các điểm của B

0,0
r
2
2 là
điểm chính quy.
21
Chứng minh Định lí 2.1.2
Chứng minh. Ta chứng minh tương tự như Định lí 2.1.1, nhưng (2.15) được thay bởi:
I
4
C
r
u
L
q q 1
Q
ρ
f
L
q
Q
ρ
Cρ
10 3 5 q
r
u
L
3
Q
ρ

f
L
q
Q
ρ
C
κ
ρ
3 5 q
γ ρ f
L
q
Q
ρ
.
Giả sử q 5 3 đảm bảo 3 5 q 0 và phần còn lại của định lí được chứng minh
tương tự như định lí trên.
Chứng minh Định lí 2.1.3
Chứng minh. Từ các ước lượng của các hạng tử I
1
, I
2
, I
3
, và I
4
khác nhau, ta nhận
được bất đẳng thức sau
α r β r Cκγ ρ Cκ
1

γ ρ
3 2
Cκ
1 2
δ ρ γ ρ Cκ
1 2
γ ρ
1 2
λ ρ
1 2
và
δ r Cκ
2 3
γ ρ Cκ
1 3
δ ρ
đúng với 0 r ρ 2 Từ đó ta có thể làm cho θ r nhỏ để γ ρ , δ ρ và λ ρ đủ
nhỏ.
22
Kết luận
Luận văn trình bày các kết quả gần đây và tính chính qui riêng phần của nghiệm yếu
phù hợp của hệ Navier-Stokes ba chiều, nói riêng là các đánh giá về số chiều Hausdorff
parabolic của tập các điểm kì dị của nghiệm.
Tài liệu tham khảo
[1] Cung Thế Anh, Cơ sở lí thuyết hệ động lực vô hạn chiều, NXB ĐHSP, 2012.
[2] L. Caffarelli, R. Kohn and L. Nirenberg, Partial regulation os suitable weak solu-
tions of the Navier-Stokes equations, Comm. Pure Appl. Math. 35 (1982), 771-831.
[3] P. Constantin and C. Foias, Navier - Stokes equations, Chicago Lectures in Math-
ematics, University of Chicago Press, Chicago, 1988.
[4] E. Hopf, Uber die Anfangswertaufgabe fur die hydrodynamischen grundgleichun-

gen, Math. Nachr. 4 (1951), 213-231.
[5] O. A. Ladyzhenskaya and G. A. Seregin, On partial regularity of suitable weak
solutions to the three-dimensional Navier- Stokes equations, Math. Fluid Mech. 1
(1999), 356-387.
[6] I. Kukavica, On partial regularity for the Navier-Stokes equations, Discrete Contin.
Dyn. Syst. 21 (2008), No. 3, 717-728
[7] J. Leray, Sur le mouvement d’un liquide visqueux emplissant l’espace, Acta Math.
63 (1934), 193-248
[8] M. O’Leray, Conditions for the local boundedness of solutions of the Navier-Stokes
system in three dimensional, Comm. Partial Differential Equations 28 (2003), 617-
636.
[9] V. Scheffer, Partial regularity of solutions to the Navier - Stokes equations, Pacific
J. Math. 66 (1976), 535-552.
[10] V. Scheffer,Turbulence and Hausdroff dimension, in ”Proc. Conf. Univ. Paris-Sud,
Orsay, 1975,” Springer, Berlin, 1976, 174-183. Lectures Notes in Math. Vol. 565.
24
[11] V. Scheffer, Hausdroff measure and the Navier- Stokes equations, Comm. Math.
Phys. 55 (1977), 97-112.
[12] J. Serrin, On the interior regularity of weak solutions of the Navier-Stokes equa-
tions Arch. Rational Mech. Anal. 9 (1962), 187-195.
[13] H. Sohr, Zur Regularitatstheorie der instationaren Gleichungen von Navier-Stokes,
Math. Z. 184 (1983), 359-375.
[14] M. Struwe, On partial regularity results for the Navier-Stokes equations, Comm.
Pure Appl. Math. 41 (1988), 437-458.
[15] R. Temam,Navier-Stokes Equations: Theory and Numerical Analysis, ASM
Chelsea Publishing, 2001
25