TÀI LIỆU LUYỆN THI môn TOÁN LỚP 12

TRUNG TAM GIA SU DUC TRI
KHẢO SÁT HÀM SỐ
Yêu cầu đối với học sinh
• Phải bảo đảm tất cả mọi học sinh đều thành thạo trong việc khảo sát và vẽ được đồ thị ba hàm số
3 2 4 2
ax b
y ax bx cx d; y ax bx c; y
cx d
+
= + + + = + + =
+
theo đúng mẫu của SGD gởi đến.
• Phải bảo đảm mọi học sinh thực hiện tốt các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số .
• Phải thường xuyên ôn tập cho học sinh (Bằng cách ra đề tương tự bắt học sinh làm tại nhà ).
I. Bài toán luyện tập
a. Hàm số bậc ba
( )
0a ≠


Bài 1. Cho hàm số
3
3 2y x x= − +
(C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Dựa vào đồ thị (C) , biện luận theo m số nghiệm của phương
3
3 2 0x x m− + − =
.
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm
( )

2;4M
.
4. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ
1
2
x =
.
5. Viết phương trình của (C) tại các điểm có tung độ là 0 .
Đáp án:
CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM
CÂU 1
(x điểm)
1. (điểm)
1) Tập xác định:
D = ¡
2) Sự biến thiên
a) Giới hạn
x
lim y
→−∞
= −∞
và
x
lim y
→+∞
= +∞
b) Bảng biến thiên
2
y' 3x 3= −
y' 0 x 1= ⇔ = ±

Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng
( )
; 1−∞ −
và
( )
1;+∞
, nghịch biến
trên khoảng
( )
1;1−
.
Hàm số đạt cực đại tại
x 1= −
,
CÑ
y 4=
, đạt cực tiểu tại
x 1=
,
CT
y 0=
.
3) Đồ thị
• Điểm uốn: (chương trình chuẩn không học)
y'' 6x=
y'' 0 x 0= ⇔ =
GV:Nguyen Ngoc Tai 0917404261-0983404261
x
y’

y
-∞
-1
1
+∞
0
0
+
-
+
4
+∞
-∞
0
1
3 2
y = ax + bx + cx + d
TRUNG TAM GIA SU DUC TRI
CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM
Do y'' đổi dấu khi x đi qua
0
x 0=
Tọa độ điểm uốn
( )
U 0;2
• Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ
+ Giao điểm với Oy:
x 0 y 2= ⇒ =
:
( )

0;2
+ Giao điểm với Ox:
( ) ( )
x 1
y 0 : 1;0 , 2;0
x 2
=

= ⇔ −
= −



-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
Nhận xét: Đồ thị nhận điểm uốn
( )
U 0;2
làm tâm đối xứng.
2. (điểm)
Số nghiệm thực của phương trình

3
3 2 0x x m− + − =
bằng số giao điểm của đồ
thị (C) của hàm số
3
y x 3x 2= − +
và đừờng thẳng (d):
y m=
.
Dựa vào đồ thị ta có:
Với
m 0
<
hoặc
m 4>
, (d) và (C) có một điểm chung, do đó phương trình có
một nghiệm.
Với
m 0=
hoặc
m 4=
, (d) và (C) có hai điểm chung, do đó phương trình có
hai nghiệm.
Với
0 m 4
< <
, (d) và (C) có ba điểm chung, do đó phương trình có ba nghiệm.
3. (điểm)
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm
( )

M 2;4
là
( )
y' 2 9=
.
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M là
y 9x 14= −
.
4. (điểm)
Điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ
0
1
x
2
=
, có tung độ
0
1
y
2
=
.
Hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm
1 1
;
2 2
 
 ÷
 
là

1 9
y'
2 4
 
= −
 ÷
 
Phương tình tiếp tuyến của (C) tại điểm
1 1
;
2 2
 
 ÷
 
là
9 13
y x
4 8
= − +
.
5. (điểm)
Điểm thuộc (C) có tung độ
0
y 0=
, có hoành độ
01
x 2= −
hoặc
02
x 1=

.
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm
( )
2;0−
là
( )
y' 2 9− =
.
Phương trình của hai tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 0 là
y 9x 18= +
và
y 0=
.
GV:Nguyen Ngoc Tai 0917404261-0983404261
2
TRUNG TAM GIA SU DUC TRI
b. Hàm số trùng phương
( )
0a ≠
Bài 1. Cho hàm số
4 2
2y x x= −
(C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình
4 2
2x x m− =
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ
2=x
.

4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ
8=y
.
5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 24 .
Đáp án:
CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM
CÂU 1
(x điểm)
1. (điểm)
1) Tập xác định:
D = ¡
2) Sự biến thiên
a) Giới hạn
x
lim y
→±∞
= +∞
b) Bảng biến thiên
( )
3 2
y' 4x 4x 4x x 1= − = −
y' 0 x 0= ⇔ =
và
x 1= ±
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng
( )
1;0−
và
( )

1;+∞
, nghịch biến trên
các khoảng
( )
; 1−∞ −
và
( )
0;1
.
Hàm số đạt cực đại tại
x 0=
,
CÑ
y 0=
, đạt cực tiểu tại
x 1= ±
,
CT
y 0=
.
3) Đồ thị
• Điểm uốn: (chương trình chuẩn không học)
2
y'' 12x 4= −
1
y'' 0 x
3
= ⇔ = ±
Do y'' đổi dấu khi x đi qua
0

1
x
3
= ±
Tọa độ điểm uốn
1,2
1 5
U ;
3 9
 
± −
 ÷
 ÷
 
GV:Nguyen Ngoc Tai 0917404261-0983404261
x
y’
y
-∞
-1
1
+∞
0 0
+
–
+
-1
+∞
+∞
0

0
–
-1
3
4 2
y = ax + bx +c
TRUNG TAM GIA SU DUC TRI
CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM
• Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ
+ Giao điểm với Oy:
x 0 y 0= ⇒ =
:
( )
0;0
+ Giao điểm với Ox:
( )
( )
x 0
y 0 : 0;0 , 2;0
x 2
=

= ⇔ ±

= ±


-2 -1 1 2
-2
-1

1
2
x
y
2
2−
Nhận xét: Hàm số đã cho là hàm số chẵn nên đồ thị của nó nhận trục
tung làm trục đối xứng.
2. (điểm)
Số nghiệm thực của phương trình
4 2
x 2x m− =
bằng số giao điểm của đồ
thị (C) của hàm số
4 2
y x 2x= −
và đường thẳng (d):
y m=
.
Dựa vào đồ thị ta có:
Với
m 1< −
, (d) và (C) không có điểm chung, do đó phương trình vô nghiệm.
Với
m 1= −
hoặc
m 0>
, (d) và (C) có hai điểm chung, do đó phương trình có hai
nghiệm.
Với

− < <
1 m 0
, (d) và (C) có bốn điểm chung, do đó phương trình có bốn
nghiệm.
3. (điểm)
Tung độ của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ
0
2=x
là
0
y 8=
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm
( )
2;8
là
( )
=y' 2 24
.
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm
( )
2;8
là
= −y 24x 56
.
4. (điểm)
Điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ
=
0
y 8
, có hoành độ

0
x 2= ±
.
Hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm và
( )
−2;8
lần lượt là
( )
=y' 2 24
,
( )
− = −y' 2 24
.
Phương tình tiếp tuyến của (C) tại điểm
( )
2;8
là
= −y 24x 56
và tại điểm
( )
−2;8
là
= − −y 24x 40
.
5. (điểm)
Điểm
( )
0 0
M x ; y
thuộc (C) có hệ số góc tiếp tuyến tại M là

( )
0
y' x 24=
.
Khi đó, ta có:
( )
( )
3 2
0 0 0 0 0 0
4x 4x 24 0 x 2 4x 8x 12 0 x 2− − = ⇔ − + + = ⇔ =
Lúc này tung độ của M là
0
y 8=
.
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M là
= −y 24x 56
.
GV:Nguyen Ngoc Tai 0917404261-0983404261
4
TRUNG TAM GIA SU DUC TRI
c. Hàm số hữu tỉ
Bài 1. Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
+

(C)
1. Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ
1
2
x =
.
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ
1
2
y = −
.
4. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến
4=k
.
5. Tìm m để đường thẳng
( )
5
: 2
3
d y mx m= + −
cắt (C) tại 2 điểm phân biệt .
Đáp án:
CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM
CÂU 1
(x điểm)
1. (điểm)
1) Tập xác định:
{ }
= −¡D \ 1

2) Sự biến thiên
a) Giới hạn
•
( )
−
→ −
= +∞
x 1
lim y
và
( )
+
→ −
= −∞
x 1
lim y

⇒ = −
x 1
là tiệm cận đứng
•
→−∞
=
x
lim y 2
và
→+∞
=
x
lim y 2

⇒ = y 2
là tiệm cận ngang
b) Bảng biến thiên
( )
= > ∀ ≠ −
+
2
1
y' 0, x 1
x 1
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng
( )
; 1−∞ −
và
( )
− +∞1;
.
Hàm số không có cực trị.
3) Đồ thị
• Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ
+ Giao điểm với Oy:
= ⇒ =x 0 y 1
:
( )
0;1
+ Giao điểm với Ox:
 
= ⇔ = − −

 ÷
 
1 1
y 0 x : ;0
2 2

GV:Nguyen Ngoc Tai 0917404261-0983404261
x
y’
y
-∞
-1
+∞
2
+
+
+∞
-∞
2
5
ax + b
y =
cx + d
TRUNG TAM GIA SU DUC TRI
CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2

3
4
5
6
7
x
y
1
2
−
Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm
( )
−I 1;2
của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
2. (điểm)
Điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ
0
1
x
2
=
, có tung độ
=
0
4
y
3
.
Hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm
 

 ÷
 
1 4
;
2 3
là
 
=
 ÷
 
1 4
y'
2 9
Phương tình tiếp tuyến của (C) tại điểm
 
 ÷
 
1 4
;
2 3
là
= +
4 14
y x
9 9
.
3. (điểm)
Điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ
= −
0

1
y
2
, có hoành độ
= −
0
3
x
5
,
Hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm
 
− −
 ÷
 
3 1
;
5 2
là
 
− =
 ÷
 
3 5
y'
5 2
.
Phương tình tiếp tuyến của (C) tại điểm
 
− −

 ÷
 
3 1
;
5 2
là
= +
5
y x 1
2
.
4. (điểm)
Điểm
( )
0 0
M x ; y
thuộc đồ thị (C), có hệ số góc của tiếp tuyến tại M là
( )
0
y' x 4=
.
Khi đó, ta có:
( )
0 01
2
0
1 1 1
4 x 1 x
2 2
x 1

= ⇔ + = ± ⇔ = −
+
hoặc
02
3
x
2
= −
.
Tung độ của điểm M là
01
1
y 0
2
 
− =
 ÷
 
hoặc
01
3
y 4
2
 
− =
 ÷
 
.
Vậy có hai tiếp tuyến có phương trình là
y 4x 2= +

và
y 4x 10= +
.
5. (điểm) Tìm m để đường thẳng
( )
5
: 2
3
d y mx m= + −
cắt (C) tại 2 điểm phân
biệt .
Đường thẳng (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt khi phương trình:
2x 1 5
mx 2m
x 1 3
+
= + −
+
(1) có hai nghiệm phân biệt và khác –1.
x 1∀ ≠ −
,
(1)
⇔
2
1 2
mx m x 2m 0
3 3
 
− + + − =
 ÷

 
(2)
Ta thấy (2) không có nghiệm
x 1= −
.
Khi đó (2) có 2 nghiệm phân biệt khi:
2
2
1 1
9m 2m 3m 0
9 3
 
∆ = − + = − >
 ÷
 

1
m
9
⇔ ≠
.
GV:Nguyen Ngoc Tai 0917404261-0983404261
6
TRUNG TAM GIA SU DUC TRI
CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM
Vậy
1
m
9
∀ ≠

thì (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt.
Khối đa diện
1. Hệ thức lượng trong tam giác
a) Cho ∆ABC vuông tại A, có đường cao AH.
•
2 2 2
AB AC BC+ =
•
2 2
AB BC BH AC BC CH. , .= =
•
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
= +

•
AB BC C BC B AC C AC B.sin .cos .tan .cot
= = = =

b) Cho ∆ABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c; độ dài các trung tuyến là m
a
, m
b
, m
c
; bán kính đường tròn ngoại
tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r; nửa chu vi p.
• Định lí hàm số cosin:
2 2 2 2 2 2

2 2
2 2 2
a =b c 2bc cosA; b c a ca B c a b ab C– . .cos ; .cos+ = + − = + −
• Định lí hàm số sin:
R
C
c
B
b
A
a
2
sinsinsin
===

• Công thức độ dài trung tuyến:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 4 2 4 2 4
a b c
b c a c a b a b c
m m m; ;
+ + +
= − = − = −
2. Các công thức tính diện tích
a) Tam giác:
•
cba
hchbhaS .
2

1
.
2
1
.
2
1
===
•
CabBcaAbcS sin
2
1
sin.
2
1
sin
2
1
===
•
R
abc
S
4
=
•
prS =
•
( ) ( ) ( )
S p p a p b p c= − − −

• ∆ABC vuông tại A:
2S AB AC BC AH. .
= =
• ∆ABC đều, cạnh a:
2
3
4
a
S =
b) Hình vuông: S = a
2
(a: cạnh hình vuông)
c) Hình chữ nhật: S = a.b (a, b: hai kích thước)
d) Hình bình hành: S = đáy
×
cao =
·
AB AD sinBAD. .
e) Hình thoi:
·
1
2
S AB AD sinBAD AC BD. . .= =
f) Hình thang:
( )
hbaS .
2
1
+=
(a, b: hai đáy, h: chiều cao)

g) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc:
1
2
S AC BD.=
CHƯƠNG I KHÔI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG
1. Thể tích của khối hộp chữ nhật:
V abc
=
với a, b, c là ba kích thước của khối hộp chữ nhật.
2. Thể tích của khối chóp:
GV:Nguyen Ngoc Tai 0917404261-0983404261
7
TRUNG TAM GIA SU DUC TRI
1
3
ñaùy
V S h.
=
với S
đáy
là diện tích đáy, h là chiều cao của khối chóp
3. Thể tích của khối lăng trụ:
ñaùy
V S h.
=
với S
đáy
là diện tích đáy, h là chiều cao của khối lăng trụ
4. Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện
a) Tính thể tích bằng công thức

•
Tính các yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao, …
•
Sử dụng công thức để tính thể tích.
b) Tính thể tích bằng cách chia nhỏ
Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà có thể dễ dàng tính được thể tích của chúng. Sau
đó, cộng các kết quả ta được thể tích của khối đa diện cần tính.
c) Tính thể tích bằng cách bổ sung
Ta có thể ghép thêm vào khối đa diện một khối đa diện khác sao cho khối đa diện thêm vào và khối đa
diện mới tạo thành có thể dễ tính được thể tích.
d) Tính thể tích bằng công thức tỉ số thể tích
Ta có thể vận dụng tính chất sau:
Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng. Với bất kì các điểm A, A’ trên Ox; B, B' trên Oy; C, C' trên
Oz, ta đều có:
OABC
OA B C
V
OA OB OC
V OA OB OC
' ' '
. .
' ' '
=
* Bổ sung
• Diện tích xung quanh của hình lăng trụ (hình chóp) bằng tổng diện tích các mặt bên
• Diện tích toàn phần của hình lăng trụ (hình chóp) bằng tổng diện tích xung quanh với diện tích các đáy.
Baøi 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Góc giữa mặt bên và mặt đáy
bằng α (45
0
< α < 90

0
). Tính thể tích hình chóp.
HD: Tính h =
1
2
a tan
α
⇒

V a
3
1
tan
6
= α

Baøi 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA = a
5
. Một
mặt phẳng (P) đi qua AB và vuông góc với mp(SCD) lần lượt cắt SC và SD tại C′ và D′. Tính thể tích của
khối đa diện ADD′.BCC′.
HD: Ghép thêm khối S.ABC'D' vào khối ADD'.BCC' thì được khối SABCD
⇒

a
V
3
5 3
6
=

Baøi 3. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = x, BC = y, các cạnh còn lại đều bằng 1. Tính thể tích hình
chóp theo x và y.
HD: Chia khối SABC thành hai khối SIBC và AIBC (I là trung điểm SA)
⇒

xy
V x y
2 2
4
12
= − −
Baøi 4. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AD = BC = a, AC = BD = b, AB = CD = c. Tính thể tích tứ diện theo
a, b, c.
GV:Nguyen Ngoc Tai 0917404261-0983404261
8
TRUNG TAM GIA SU DUC TRI
HD: Trong mp(BCD) lấy các điểm P, Q, R sao cho B, C, D lần lượt là trung điểm của PQ, QR, RP. Chú ý:
V
APQR
= 4V
ABCD
=
1
6
AP AQ AR. .
⇒

V a b c b c a c a b
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2

( )( )( )
12
= + − + − + −
Baøi 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA ⊥ (ABC).Gọi M và N lần
lượt là hình chiếu của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM.
HD:
2
2
2
16
25
SAMN
SABC
V
SA SM SN SA
V SA SB SC
SB
. .
 
= = =
 ÷
 ÷
 

⇒

a
V
3
3 3

50
=
Baøi 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 7cm, SA ⊥ (ABCD), SB = 7
3
cm. Tính
thể tích của khối chóp S.ABCD.
Baøi 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB = 3 cm, AC = 4cm. Hai mặt phẳng
(SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 5cm. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Baøi 8. Cho hình tứ diện ABCD có AD ⊥ (ABC). Cho AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm.
a) Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD).
b) Tính thể tích tứ diện ABCD.
Baøi 9. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có mp(ABC′) tạo với đáy một góc 45
0
và diện tích ∆ABC′ bằng
49
6
cm
2
. Tính thể tích lăng trụ.
Baøi 10. Cho hình vuông ABCD cạnh a, các nửa đường thẳng Bx, Dy vuông góc với mp(ABCD) và ở về cùng
một phía đối với mặt phẳng ấy. Trên Bx và Dy lần lượt lấy các điểm M, N và gọi BM = x, DN = y. Tính thể
tích tứ diện ACMN theo a, x, y.
Baøi 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB =a, AD = a
2
, SA ⊥ (ABCD). Gọi
M,N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC.
a) Chứng minh mp(SAC) ⊥ BM.
b) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.
Baøi 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA ⊥ (ABC). Gọi M và N lần
lượt là hình chiếu của A trên các đường thẳng SB, SC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM.

Baøi 13. (A–08) Cho lăng trụ ABC. A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB
= a, AC = a
3
và hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của
khối chóp A’.ABC và cosin của góc giữa 2 đường thẳng AA’ và B’C’.
HD:
3
1
2 4
a
V ; cos
ϕ
= =
Baøi 14. (B–08): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a
3
và (SAB)
vuông góc mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN
và cosin của góc giữa hai đường thẳng SM và DN.
HD:
3
3 5
3 5
a
V ; cos
ϕ
= =
Baøi 15. (D–08): Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA’
= a
2
. Gọi M là trung điềm của BC. Tính theo a thể tích của lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa 2

đường thẳng AM, B′C.
GV:Nguyen Ngoc Tai 0917404261-0983404261
9
TRUNG TAM GIA SU DUC TRI
HD:
3
2 7
2 7
a a
V d;= =
Baøi 16. (A–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SB, BC, CD. Chứng minh AM
⊥ BP và tính thể tích khối CMNP.
HD:
3
3
96
a
V =
Baøi 17. (B–07): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối
xứng của D qua trung điểm của SA; M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN ⊥
BD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
HD:
2
4
a
d =
Baøi 18. (D–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với
·
·

0
90ABC BAD= =
, BC = BA = a,
AD = 2a. SA⊥(ABCD),
2aSA =
. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác
SCD vuông và tính khoảng cách từ H đến (SCD).
HD:
3
a
d =
Baøi 19. (A–06): Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O′, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a.
Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O′ lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể
tích của khối tứ diện OO′AB.
HD:
3
3
12
a
V =
Baøi 20. (B–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a,
2aAD =
, SA = a và
SA ⊥ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, SC; I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh
rằng (SAC) ⊥ (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.
HD:
3
2
36
a

V =
Baøi 21. (D–06): Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA ⊥ (ABC).
Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Tính thể tích của hình chóp A.BCMN.
HD:
3
3 3
50
a
V =
Baøi 22. (Dự bị 1 A–07): Cho lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
có AB = a, AC = 2a, AA
1
=
52a
và
·
0
120BAC =
.
Gọi M là trung điểm CC
1
. Chứng minh MB ⊥ MA
1
và tính khoảng cách d từ A đến (A
1

BM).
HD:
5
3
a
d =
Baøi 23. (Dự bị 2 A–07): Cho hình chóp SABC có góc
·
( )
0
60SBC ABC( ),( ) =
, ABC và SBC là các tam giác
đều cạnh a. Tính theo a khoảng cách từ B đến (SAC).
HD:
3
13
a
d =
GV:Nguyen Ngoc Tai 0917404261-0983404261
10
TRUNG TAM GIA SU DUC TRI
Baøi 24. (Dự bị 1 B–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA ⊥ (ABCD). AB = a,
2aSA =
. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD. Chứng minh SC⊥(AHK) và tính
thể tích của tứ diện OAHK.
HD:
3
2
27
a

V =
Baøi 25. (Dự bị 2 B–07): Trong mặt phẳng (P), cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộc nửa
đường tròn đó sao cho AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho
·
( )
0
60(SAB) SBC,( ) =
. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Chứng minh tam giác AHK
vuông và tính thể tích tứ diện SABC.
HD:
3
6
12
R
V =
Baøi 26. (Dự bị 1 D–07): Cho lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
có đáy ABC là tam giác vuông, AB = AC = a, AA
1
=
2a
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm đoạn AA
1
và BC
1
. Chứng minh MN là đường vuông góc chung của

AA
1
và BC
1
. Tính thể tích của tứ diện MA
1
BC
1
.
HD:
3
2
12
a
V =
Baøi 27. (Dự bị 2 D–07): Cho lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
có tất cả các cạnh đều bằng a. M là trung điểm của
đoạn AA
1
. Chứng minh BM ⊥ B
1
C và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và B
1
C.
HD:

30
10
a
d =
Baøi 28. (Dự bị 1 A–06): Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có các cạnh AB = AD = a, AA' =
3
2
a
và
·
0
60BAD =
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh A'D' và A'B'. Chứng minh AC' ⊥ (BDMN). Tính
thể tích khối chóp A.BDMN.
HD:
3
3
16
a
V =
Baøi 29. (Dự bị 2 A–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh
SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 60
0
. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM
=
3
3
a
. Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.BCNM.
HD:

3
10 3
27
V a=
Baøi 30. (Dự bị 1 B–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,
·
0
60BAD =
, SA ⊥
(ABCD), SA = a. Gọi C' là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi qua AC' và song song với BD, cắt các
cạnh SB, SD lần lượt tại B', D'. Tính thể tích khối chóp S.AB'C'D'.
HD:
3
3
18
a
V =
Baøi 31. (Dự bị 2 B–06): Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có A'ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = a,
cạnh bên AA' = b. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A'BC). Tính tanα và thể tích khối chóp
A'.BB'C'C.
GV:Nguyen Ngoc Tai 0917404261-0983404261
11
TRUNG TAM GIA SU DUC TRI
HD: tanα =
2 2
2 3b a
a
−
;
2 2 2

3
6
a b a
V
−
=
Baøi 32. (Dự bị 1 D–06): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi SH là đường cao của
hình chóp. Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt phẳng (SBC) bằng b. Tính thể tích khối chóp
S.ABCD.
HD:
3
2 2
2
3
16
a b
V
a b
.=
−
Baøi 33. (Dự bị 2 D–06): Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng a và điểm K thuộc cạnh CC′ sao
cho CK =
2
3
a
. Mặt phẳng (α) đi qua A, K và song song với BD, chia khối lập phương thành hai khối đa
diện. Tính thể tích của hai khối đa diện đó.
HD:
3 3
1 2

2
3 3
a a
V V;= =
Baøi 34. (Dự bị 04): Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a và SB ⊥ (ABC). Tam giác ABC có BA = BC = a, góc
ABC bằng 120
0
. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
Baøi 35. (Dự bị 03): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a, cạnh SA
vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC. Chứng minh rằng tam giác AMB cân tại M và
tính diện tích tam giác AMB theo a.
HD:
2
2
2
AMB
S a
∆
=
ÔM TẬP KHỐI ĐA DIỆN
Baøi 1. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD, có cạnh đáy bằng a và
·
ASB
α
=
.
a) Tính diện tích xung quanh hình chóp.
b) Chứng minh chiều cao của hình chóp bằng
2
1

2 2
a
cot
α
−
c) Tính thể tích khối chóp.
HD: a) S
xq
=
2
2
a cot
α
c) V =
3 2
1
1
6 2
a cot
α
−
Baøi 2. Cho hình chóp SABC có 2 mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với đáy. Đáy ABC là tam giác cân
đỉnh A. Trung tuyến AD = a. Cạnh bên SB tạo với đáy góc α và tạo với mp(SAD) góc β.
a) Xác định các góc α, β.
b) Chứng minh: SB
2
= SA
2
+ AD
2

+ BD
2
.
c) Tính diện tích toàn phần và thể tích khối chóp.
HD: a)
·
·
SBA BSD;
α β
= =
c) S
tp
=
2 2
2 2
2 2
1
2 2
2
a a sin
(sin sin )
cos sin
cos sin
β
α β
α β
α β
+ +
−
−

GV:Nguyen Ngoc Tai 0917404261-0983404261
12
TRUNG TAM GIA SU DUC TRI
V =
3
2 2
3
a sin .sin
(cos sin )
α β
α β
−
Baøi 3. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều và vuông
góc với đáy. Gọi H là trung điểm của AB và M là một điểm di động trên đường thẳng BC.
a) Chứng minh rằng SH ⊥ (ABCD). Tính thể tích khối chóp SABCD.
b) Tìm tập hợp các hình chiếu của S lên DM.
c) Tìm khoảng cách từ S đến DM theo a và x = CM.
HD: b) K thuộc đường tròn đường kính HD c) SK =
2 2
2 2
7 4 4
2
a a ax x
a x
− +
+
Baøi 4. Trên đường thẳng vuông góc tại A với mặt phẳng của hình vuông ABCD cạnh a ta lấy điểm S với SA
= 2a. Gọi B′, D′ là hình chiếu của A lên SB và SD. Mặt phẳng (AB′D′) cắt SC tại C′. Tính thể tích khối
chóp SAB′C′D′.
HD:

8
15
SAB C
SABC
V
V
′ ′
=

⇒
V
SAB
′
C
′
D
′

=
3
16
45
a
Baøi 5. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng (P) cắt SA, SB, SC, SD lần
lượt tại A′, B′, C′, D′. Chứng minh:
SA SC SB SD
SA SC SB SD
+ = +
′ ′ ′ ′
HD: Sử dụng tính chất tỉ số thể tích hình chóp

Baøi 6. Cho tứ diện đều SABC có cạnh là a. Dựng đường cao SH.
a) Chứng minh SA ⊥ BC.
b) Tính thể tích và diện tích toàn phần của hình chóp SABC.
c) Gọi O là trung điểm của SH. Chứng minh rằng OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau.
HD: b) V =
3
2
12
a
;S
tp
=
2
3a
.
Baøi 7. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên tạo với đáy một góc 60
0
và cạnh đáy bằng a.

a) Tính thể tích khối chóp.
b) Qua A dựng mặt phẳng (P) vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện tạo bởi (P) và hình chóp.
HD: a) V =
3
6
6
a
b) S =
2
3
3

a
Baøi 8. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao SH = h và góc ở đáy của mặt bên là α.
a) Tính diện tích xung quanh và thể tích khối chóp theo α và h.
b) Cho điểm M di động trên cạnh SC. Tìm tập hợp hình chiếu của S xuống mp(MAB).
HD: a) S
xq
=
2
2
4
1
h tan
tan
α
α
−
; V =
3
2
4
3 1
h
(tan )
α
−
Baøi 9. Trên cạnh AD của hình vuông ABCD cạnh a, người ta lấy điểm M với AM = x (0 ≤ x ≤ a) và trên nửa
đường thẳng Ax vuông góc tại A với mặt phẳng của hình vuông, người ta lấy điểm S với SA = y (y > 0).
a) Chứng minh hai mặt phẳng (SBA) và (SBC) vuông góc.
b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(SAC).
c) Tính thể tích khối chóp SABCM.

d) Với giả thiết x
2
+ y
2
= a
2
. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích với SABCM.
GV:Nguyen Ngoc Tai 0917404261-0983404261
13
TRUNG TAM GIA SU DUC TRI
e) I là trung điểm của SC. Tìm quĩ tích hình chiếu của I xuống MC khi M di động trên đoạn AD.
HD: b) d =
2
2
x
c) V =
1
6
ay x a( )+
d) V
max
=
3
1
3
24
a
Baøi 10. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh AB = a, cạnh bên SA vuông góc với
đáy, cạnh bên SC hợp với đáy góc α và hợp với mặt bên SAB một góc β.
a) Chứng minh: SC

2
=
2
2 2
a
cos sin
α β
−
.
b) Tính thể tích khối chóp.
HD: b) V =
3
2 2
3
a sin .sin
(cos sin )
α β
α β
−
Baøi 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a .Cạnh bên SA =2a và vuông góc với mặt
phẳng đáy.
a) Tính diện tích toàn phần của hình chóp.
b) Hạ AE ⊥ SB, AF ⊥ SD. Chứng minh SC ⊥ (AEF).
Baøi 12. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA = SB = SC = SD
= a. Tính diện tích toàn phần và thể tích khối chóp S.ABCD.
Baøi 13. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là ABCD hình thang vuông tại A và D, AB = AD = a, CD =
2a. Cạnh bên SD ⊥ (ABCD) và SD = a .
a) Chứng minh ∆SBC vuông. Tính diện tích ∆SBC.
b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Baøi 14. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = a, CD =

2a. Cạnh bên SD ⊥ (ABCD), SD
3a=
. Từ trung điểm E của DC dựng EK ⊥ SC (K ∈ SC). Tính thể tích
khối chóp S.ABCD theo a và chứng minh SC ⊥ (EBK).
Baøi 15. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D. Biết rằng AB = 2a, AD
= CD = a (a > 0). Cạnh bên SA = 3a và vuông góc với đáy.
a) Tính diện tích tam giác SBD.
b) Tính thể tích của tứ diện SBCD theo a.
Baøi 16. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông ở B. Cạnh SA vuông góc với đáy. Từ A
kẻ các đoạn thẳng AD
⊥
SB và AE
⊥
SC. Biết AB = a, BC = b, SA = c.
a) Tính thể tích của khối chóp S.ADE.
b) Tính khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng (SAB).
Baøi 17. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′, cạnh đáy bằng a, đường chéo của mặt bên BCC′B′ hợp với
mặt bên ABB′A′ một góc α.
a) Xác định góc α.
b) Chứng minh thể tích lăng trụ là:
3
3
3 3
8
a sin
sin
α
α
.
HD: a)

·
C BI
′ ′
với I
′
là trung điểm của A
′
B
′
Baøi 18. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A′B′C′D′, chiều cao h. Mặt phẳng (A′BD) hợp với mặt bên ABB′A′
một góc α. Tính thể tích và diện tích xung quanh của lăng trụ.
HD: V =
3 2
1h tan
α
−
, S
xq
=
2 2
4 1h tan
α
−
.
GV:Nguyen Ngoc Tai 0917404261-0983404261
14
TRUNG TAM GIA SU DUC TRI
Baøi 19. Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′, đáy ABC vuông tại A. Khoảng cách từ AA′ đến mặt bên BCC′B′ bằng
a, mp(ABC′) cách C một khoảng bằng b và hợp với đáy góc α.
a) Dựng AH ⊥ BC, CK ⊥ AC′. Chứng minh: AH = a,

·
CAC
′
= α, CK = b.
b) Tính thể tích lăng trụ.
c) Cho a = b không đổi, còn α thay đổi. Định α để thể tích lăng trụ nhỏ nhất.
HD: b) V =
3
2 2 2
2
ab
b asin sin
α α
−
c)
α
= arctan
2
2
Baøi 20. Cho lăng trụ đều ABCD.A′B′C′D′ cạnh đáy bằng a. Góc giữa đường chéo AC′ và đáy là 60
0
. Tính thể
tích và diện tích xung quanh hình lăng trụ.
HD: V = a
3
6
; S
xq
= 4a
2

6
Baøi 21. Cho lăng trụ tứ giác đều, có cạnh bên là h. Từ một đỉnh vẽ 2 đường chéo của 2 mặt bên kề nhau. Góc
giữa 2 đường chéo ấy là α. Tính diện tích xung quanh hình lăng trụ.
HD: S
xq
= 4h
2
1 cos
cos
α
α
−
.
Baøi 22. Cho lăng trụ tam giác đều ABc.A′B′C′, cạnh đáy bằng a. Mặt phẳng (ABC′) hợp với mp(BCC′B′) một
góc α. Gọi I, J là hình chiếu của A lên BC và BC′.
a) Chứng minh
·
AJI
= α.
b) Tính thể tích và diện tích xung quanh hình lăng trụ.
HD: b) V =
3
2
3
4 3
a
tan
α
−
; S

xq
= 3a
2
2
3
3tan
α
−
.
Baøi 23. Cho lăng trụ xiên ABC.A′B′C′, đáy là tam giác đều cạnh a, AA′ = A′B = A′C = b.
a) Xác định đường cao của lăng trụ vẽ từ A′. Chứng minh mặt bên BCC′B′ là hình chữ nhật.
b) Định b theo a để mặt bên ABB′A′ hợp với đáy góc 60
0
.
c) Tính thể tích và diện tích toàn phần theo a với giá trị b tìm được.
HD: b) b = a
7
12
c) S
tp
=
2
7 3 21
6
a
( )+
Baøi 24. Cho hình lăng trụ xiên ABC.A′B′C′, đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A. Mặt bên ABB′A′ là hình
thoi cạnh a, nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt bên ACC′A′ hợp với đáy góc nhị diện có số đo α
(0 < α < 90
0

).
a) Chứng minh:
·
A AB
′
= α.
b) Tính thể tích lăng trụ.
c) Xác định thiết diện thẳng qua A. Tính diện tích xung quanh lăng trụ.
d) Gọi β là góc nhọn mà mp(BCC′B′) hợp với mặt phẳng đáy.
Chứng minh: tanβ =
2
tanα.
HD: b) V =
1
2
a
3
sin
α
c) S
xq
= a
2
(1 + sin
α
+
2
1 sin
α
+

)
Baøi 25. Cho lăng trụ xiên ABC.A′B′C′ đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A′ lên mp(ABC) trùng với
tâm đường tròn (ABC). Cho
·
BAA
′
= 45
0
.
a) Tính thể tích lăng trụ. b) Tính diện tích xung quanh lăng trụ.
GV:Nguyen Ngoc Tai 0917404261-0983404261
15
TRUNG TAM GIA SU DUC TRI
HD: a) V =
2
2
8
a
b) S
xq
= a
2
(1 +
2
2
).
Baøi 26. Cho lăng trụ xiên ABC.A′B′C′, đáy ABC là tam giác đều nội tiếp trong đường tròn tâm O. Hình chiếu
của C′ lên mp(ABC) là O. Khoảng cách giữa AB và CC′ là d và số đo nhị diện cạnh CC′ là 2ϕ.
a) Tính thể tích lăng trụ.
b) Gọi α là góc giữa 2 mp(ABB′A′) và (ABC) (0 < α < 90

0
).
Tính ϕ biết α + ϕ = 90
0
.
HD: a) V =
3 3
2
2
3 1
d tan
tan
ϕ
ϕ
−
b) tan
α
=
2
1
3 1tan
ϕ
−
;
ϕ
= arctan
2
2
Baøi 27. Cho lăng trụ xiên ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Mặt bên ABBA′ là
hình thoi, mặt bên BCC′B′ nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, hai mặt này hợp với nhau một góc α.

a) Tính khoảng cách từ A đến mp(BCC′B′). Xác định góc α.
b) Tính thể tích lăng trụ.
HD: a)
3
2
a
. Gọi AK là đường cao của
∆
ABC; vẽ KH
⊥
BB
′
.
·
AHK
=
α
.
b) V =
3
3
2
a
cot
α
.
Baøi 28. Cho hình hộp đứng ABCD.A′B′C′D′, đáy là hình thoi. Biết diện tích 2 mặt chéo ACC′A′, BDD′B′ là
S
1
, S

2
.
a) Tính diện tích xung quanh hình hộp.
b) Biết
·
BA D
′
= 1v. Tính thể tích hình hộp.
HD: a) S
xq
= 2
2 2
1 2
S S+
b) V =
1 2
2 2
4
2 1
2
2
S S
S S
.
−
Baøi 29. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′, đường chéo AC′ = d hợp với đáy ABCD một góc α và hợp
với mặt bên BCC′B′ một góc β.
a) Chứng minh:
·
·

CAC vaø AC B
α β
′ ′
= =
.
b) Chứng minh thể tích hình hộp là: V = d
3
sinα.sinβ
cos( ).cos( )
α β α β
+ −
c) Tìm hệ thức giữa α, β để A′D′CB là hình vuông. Cho d không đổi, α và β thay đổi mà A′D′CB luôn là
hình vuông, định α, β để V lớn nhất.
HD: c) 2(cos
2
α
– sin
2
β
) = 1 ; V
max
=
3
2
32
d
khi
α
=
β

= 30
0
(dùng Côsi).
Baøi 30. Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D’ có đáy là hình thoi ABCD cạnh a,
µ
A
= 60
0
. Chân đường vuông góc hà
từ B′ xuống đáy ABCD trùng với giao điểm 2 đường chéo của đáy. Cho BB′ = a.
a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy.
b) Tính thể tích và diện tích xung quanh hình hộp.
HD: a) 60
0
b) V =
3
3
4
a
; S
xq
= a
2
15
.
Baøi 31. Cho hình hộp xiên ABCD.A′B′C′D′, đáy ABCD là hình thoi cạnh a và
·
BAD
= 60
0

; A′A = A′B = A′D
và cạnh bên hợp với đáy góc α.
a) Xác định chân đường cao của hình hộp vẽ từ A′ và góc α. Tính thể tích hình hộp.
GV:Nguyen Ngoc Tai 0917404261-0983404261
16
TRUNG TAM GIA SU DUC TRI
b) Tính diện tích các tứ giác ACC′A′, BDD′B′.
c) Đặt β =
·
( )
ABB A ABCD,
′ ′
. Tính α biết α + β =
4
π
.
HD: a) Chân đường cao là tâm của tam giác đều ABD.
b) S
BDD
′
B
′
=
2
3
3
a
sin
α
; S

ACC
′
A
′
= a
2
tan
α
c)
α
= arctan
17 3
4
−
MỘT SỐ ĐỀ THI THỬ
ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH THPT QUỐC GIA NĂM 2015 – Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu 1: (2 điểm) Cho hàm số có đồ thị (C)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Dựa vào đồ thị (C). Tìm điều kiện của tham số m để phương trình sau đây có 3 nghiệm thực phân biệt: .
Câu 2: (1 điểm)
Giải phương trình: .
Giải phương trình: trên tập số phức. Tính: biết là hai nghiệm của phương trình trên.
Câu 3: (0.5 điểm) Giải phương trình: .
Câu 4: (1 điểm) Tìm điều kiện của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:
Câu 5: (1 điểm) Tính tích phân: .
Câu 6: (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân đỉnh B, . Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của AB và SA. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và tính khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng (SCM).
Câu 7: (1 điểm) Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(2;0;–1), B(1;–2;3), C(0;1;2) không thẳng
hàng. Viết phương trình mặt phẳng (ABC), phương trình đường thẳng AB và phương trình mặt cầu tâm A tiếp

xúc với mặt phẳng (Oxy).
Câu 8: (1 điểm) Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có diện tích bằng 18, đáy lớn CD
nằm trên đường thẳng có phương trình: . Biết hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau và cắt nhau tại
điểm I(3;1). Hãy tìm tọa độ điểm C và viết phương trình đường thẳng BC biết điểm C có hoành độ âm.
Câu 9: (0.5 điểm) Một hộp chứa 20 quả cầu đánh số từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên 1 quả. Tính xác suất của biến
cố A: “Nhận được quả cầu ghi số chia hết cho 3”.
Câu 10: (1 điểm) Cho 3 số dương x, y, z thỏa điều kiện: . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
.
ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH THPT QUỐC GIA NĂM 2015 – Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu 1: (2 điểm) Cho hàm số (1)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1).
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến có hệ số góc là 9.
Câu 2: (1 điểm)
Giải phương trình: .
Cho số phức z thỏa mãn: . Tính: .
GV:Nguyen Ngoc Tai 0917404261-0983404261
17
TRUNG TAM GIA SU DUC TRI
Câu 3: (0.5 điểm) Giải phương trình: .
Câu 4: (1 điểm) Giải hệ phương trình sau: .
Câu 5: (1 điểm) Tính tích phân: .
Câu 6: (1 điểm) Cho hình lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt phẳng
(ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC sao cho HC = 3HA. Góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng (ABCD) bằng 60
0
.
Tính thể tích của khố lăng trụ theo a và tính sin của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .
Câu 7: (1 điểm) Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2;–1), B(2;–5). Gọi (C) là đường tròn đường
kính AB. Đường kính MN của đường tròn (C) thay đổi (luôn khác AB) sao cho các đường thẳng AM, AN cắt
tiếp tuyến tại B của đường tròn (C) lần lượt tại điểm P và Q. Tìm tọa độ trực tâm của H của tam giác MPQ, biết

điểm H nằm trên đường thẳng .
Câu 8: (1 điểm) Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;1;0) và . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua
gốc tọa độ O và vuông góc với đường thẳng d. Tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng d sao cho độ dài đoạn AM
bằng 3.
Câu 9: (0.5 điểm) Trong kì thi thử THPT Quốc gia vào tháng 5 năm 2015 một trường THPT tại tỉnh Quảng
Ninh đã dùng 7 cuốn sách Toán, 6 cuốn sách Vật lý, 5 cuốn sách Hóa học (các cuốn sách cùng thể loại đều
giống nhau) để làm giải thưởng cho 9 học sinh có kết quả thi cao nhất, mỗi học sinh nhận thưởng sẽ được hai
cuốn sách khác thể loại. Trong số 9 học sinh trên có 2 học sinh tên Duyên và Đức. Tìm xác suất để hai học sinh
Duyên và Đức có giải thưởng giống nhau.
Câu 10: (1 điểm) Cho 3 số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng:
.
ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH THPT QUỐC GIA NĂM 2015 – Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu 1: (2 điểm) Cho hàm số có đồ thị (C)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình: .
Câu 2: (1 điểm) Giải các phương trình sau:
b) .
Câu 3: (1 điểm) Tính tích phân: .
Câu 4: (1 điểm) Giải hệ phương trình:
Câu 5: (1 điểm)
Cho số phức z thỏa mãn hệ thức: . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z.
Cuối năm học, số học sinh giỏi của lớp 11A, 11B, 11C của trường THPT X lần lượt là 7, 4, 5. Chọn ngẫu
nhiên 4 học sinh trong số đó tham gia giao lưu với học sinh trường bạn. Tính xác suất để 4 học sinh
được chọn phải có đủ 3 lớp.
Câu 6: (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O. Cạnh SA vuông góc với mặt
phẳng (ABCD) và . Biết bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD bằng và . Tính theo a thể tích
của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB.
Câu 7: (1 điểm) Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, là tâm hình
chữ nhật và M(3;0) là trung điểm của cạnh AD. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật, biết tung độ của điểm D

là một số thực âm.
Câu 8: (1 điểm) Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;1;–5), B(2;4;3), C(1;5;2)
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với BC.
Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng . Với I là điểm đối xứng của điểm A qua đường
thẳng BC.
Câu 9: (1 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH THPT QUỐC GIA NĂM 2015 – Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu 1: (2 điểm) Cho hàm số (1), với m là tham số thực.
GV:Nguyen Ngoc Tai 0917404261-0983404261
18
TRUNG TAM GIA SU DUC TRI
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.
Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị này tạo thành
một tam giác đều.
Câu 2: (1 điểm)
Giải phương trình: .
Gọi A, B là hai điểm biểu diễn các nghiệm phức của phương trình: . Tìm độ dài đoạn thẳng AB.
Câu 3: (0.5 điểm) Giải bất phương trình: .
Câu 4: (1 điểm) Giải hệ phương trình:
Câu 5: (1 điểm) Tính tích phân: .
Câu 6: (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I, , tam giác SAC vuông tại S.
Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm H của đoạn AI. Tính thể tích khối
chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SAB).
Câu 7: (1 điểm) Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc
với AC tại H. Biết và G(1;5) lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng CH, BH và AD. Viết phương trình đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABE.
Câu 8: (1 điểm) Trong không gian hệ toạ độ Oxyz cho 4 điểm A(0;0;–1), B(1;2;1), C(2;1;–1), D(3;3;–3). Tìm
tọa độ điểm M thuộc đường thẳng AB và điểm N thuộc trục hoảnh sao cho đường thẳng MN vuông góc với
đường thẳng CD và độ dài MN = 3.

Câu 9: (0.5 điểm) Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức Newton của biểu thức: , biết rằng: ( n
là số nguyên dương).
Câu 10: (1 điểm) Cho x, y là các số thực sao cho: . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
.
ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH THPT QUỐC GIA NĂM 2015 – Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu 1: (2 điểm) Cho hàm số (1)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1).
Giải và biện luận số nghiệm của phương trình: theo m.
Câu 2: (1 điểm)
Cho với . Tính giá trị: .
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: . Tính môđun của số phức: .
Câu 3: (0.5 điểm) Giải phương trình: trên tập số thực.
Câu 4: (1 điểm) Giải hệ phương trình: .
Câu 5: (1 điểm) Tính tích phân: .
Câu 6: (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và . Tam giác SCB là tam giác
đều và mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng đáy (ABC) một góc 90
0
. Tính theo a diện tích toàn phần hình chóp
S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC).
Câu 7: (1 điểm) Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết B(3;3) và điểm H(3;1) là trực tâm tam
giác và điểm G(1;–1) là trọng tâm tam giác. Tìm các đỉnh còn lại với A có hoành độ dương.
Câu 8: (1 điểm) Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;3;1), và đường thẳng . Viết phương trình
đường thẳng (∆) đi qua điểm A song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng (d). Tìm khoảng
cách giữa hai đường thẳng d và (∆).
Câu 9: (0.5 điểm) Cho đa thức: . Tìm số hạng không chứa trong khai triển theo nhị thức Newton của đa thức
trên.
Câu 10: (1 điểm) Cho 4 số dương a, b, c, d thỏa mãn: . Chứng minh rằng:
.
ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH THPT QUỐC GIA NĂM 2015 – Môn: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu 1: (2 điểm) Cho hàm số
GV:Nguyen Ngoc Tai 0917404261-0983404261
19
TRUNG TAM GIA SU DUC TRI
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm thuộc đồ thị có tung độ là nghiệm của phương trình: .
Câu 2: (1 điểm)
Giải phương trình: .
Cho số phức z thỏa mãn hệ thức: . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z.
Câu 3: (0.5 điểm) Giải phương trình: .
Câu 4: (1 điểm) Giải bất phương trình: .
Câu 5: (1.0 điểm) Tính tích phân: .
Câu 6: (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác vuông tại B, , bán kính đường tròn nội tiếp tam
giác ABC bằng và . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SB và AC
theo a.
Câu 7: (1 điểm) Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1;5), đường phân giác trong của góc
A có phương trình: , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là và điểm M(10;2) thuộc đường thẳng BC. Tìm
tọa độ đỉnh B và C.
Câu 8: (1 điểm) Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và mặt phẳng . Gọi M là giao điểm của
đường thẳng d với mặt phẳng (P), điểm A thuộc đường thẳng d có cao độ âm sao cho . Viết phương trình mặt
cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P).
Câu 9: (0.5 điểm) Một lớp học có 8 học sinh nam và 12 học sinh nữ. Thầy giáo chủ nhiệm chọn ngẫu nhiên 10
học sinh để tham gia lớp tập huấn kĩ năng sống. Tính xác suất để 10 học sinh được chọn có ít nhất 2 học sinh
nam.
Câu 10: (1 điểm) Cho a, b, c là 3 số thực dương thỏa mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH THPT QUỐC GIA NĂM 2015 – Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu 1: (2 điểm) Cho hàm số có đồ thị (C)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng: cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.
Câu 2: (1 điểm)
Giải phương trình: .
Cho số phức z thỏa: . Tìm phần thực, phần ảo của số phức z.
Câu 3: (1 điểm) Tính tích phân sau: .
Câu 4: (1 điểm)
Chứng minh rằng: . Áp dụng: Tính giá trị biểu thức: .
Đội tuyển học sinh giỏi tỉnh gồm có 5 học sinh lớp 12 và 3 học sinh lớp 11. Chọn ngẫu nhiên từ đội tuyển
một học sinh, rồi chọn thêm một học sinh nữa. Tính xác suất để lần thứ hai chọn được học sinh lớp 12.
Câu 5: (1 điểm) Cho hình hộp có hình chóp là hình chóp đều. và. Tính thể tích hình hộp và tính góc hợp bởi
hai mặt phẳng và .
Câu 6: (1 điểm) Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho A(3;0;0), B(0;2;0), C(0;0;–3). Viết phương trình mặt
phẳng (ABC). Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.
Câu 7: (1 điểm) Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(5;2), đường trung trực d của
đoạn thẳng BC có phương trình: và đường trung tuyến ∆ kẻ từ C có phương trình: . Tìm tọa độ các điểm B và
C.
Câu 8: (1 điểm) Giải hệ phương trình sau: .
Câu 9: (1 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh rằng: .
ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH THPT QUỐC GIA NĂM 2015 – Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu 1: (2 điểm) Cho hàm số
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
Tìm các giá trị của m để đường thẳng cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.
GV:Nguyen Ngoc Tai 0917404261-0983404261
20
TRUNG TAM GIA SU DUC TRI
Câu 2: (1 điểm)
Cho góc α thỏa mãn: . Tính: .
Cho số phức z thỏa mãn hệ thức: . Tìm môđun của số phức: .
Câu 3: (0,5 điểm) Giải bất phương trình: .

Câu 4: (1 điểm) Giải bất phương trình: .
Câu 5: (1 điểm) Tính tích phân: .
Câu 6: (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, , . Góc giữa mặt phẳng (SCD)
và mặt phẳng (ABCD) bằng . Gọi M là trung điểm AD. Tính theo a thể tích khối chóp S.MCD và khoảng cách
giữa hai đường thẳng SM và BD.
Câu 7: (1 điểm) Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác trong
góc A là . Hình chiếu vuông góc của tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC lên đường thẳng AC là điểm E(1;4).
Đường thẳng BC có hệ số góc âm và tạo với đường thẳng AC góc 45
0
. Đường thẳng AB tiếp xúc với đường
tròn . Tìm phương trình các cạnh của tam giác ABC.
Câu 8: (1 điểm) Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; –1;0) và . Lập phương trình mặt phẳng (P)
chứa A và d. Tìm tọa độ điểm B thuộc trục Ox sao cho khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (P) bằng .
Câu 9: (0,5 điểm) Trong đợt xét tuyển vào lớp 6A của một trường THCS năm 2015 có 300 học sinh đăng ký.
Biết rằng trong 300 học sinh đó có 50 học sinh đạt yêu cầu vào lớp 6A. Tuy nhiên, để đảm bảo quyền lợi mọi
học sinh là như nhau, nhà trường quyết định bốc thăm ngẫu nhiên 30 học sinh từ 300 học sinh nói trên. Tìm xác
suất để trong số 30 học sinh chọn ở trên có đúng 90% số học sinh đạt yêu cầu vào lớp 6A.
Câu 10: (1 điểm) Cho các số thực a, b dương và thỏa mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
.
ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH THPT QUỐC GIA NĂM 2015 – Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu 1: (2 điểm) Cho hàm số (1)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
Tìm m để phương trình: có 3 nghiệm phân biệt.
Câu 2: (1 điểm)
Giải phương trình: .
Giải bất phương trình: .
Câu 3: (1 điểm) Tính tích phân: .
Câu 4 (1 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn .

Khai triển và rút gọn biểu thức: thu được đa thức: . Tìm hệ số biết rằng n là số nguyên dương thoả mãn: .
Câu 5: (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = 8a, tam giác ABC đều
cạnh bằng 4a. M, N lần lượt là trung điểm của cạnh SB và BC. Tính theo a thể tích hình chóp S.ABC và khoảng
cách từ điểm B đến mặt phẳng (AMN).
Câu 6: (1 điểm) Trong mặt phẳng hệ toạ độ oxy, cho tam giác ABC có A(4; 6), phương trình đường cao và
trung tuyến kẻ từ đỉnh C lần lượt là: và . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Câu 7: (1 điểm) Trong không gian toạ độ Oxyz cho ba điểm A(1;–2; 3), B(2; 0; 1), C(3;–1; 5). Chứng minh: Ba
điểm A, B, C không thẳng hàng và tính diện tích tam giác ABC.
Câu 8: (1 điểm) Giải hệ phương trình: .
Câu 9 : (1 điểm) Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức: .
ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH THPT QUỐC GIA NĂM 2015 – Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu 1: (2 điểm) Cho các hàm số (C
m
)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C
m
) khi m = 1.
GV:Nguyen Ngoc Tai 0917404261-0983404261
21
TRUNG TAM GIA SU DUC TRI
Tìm các giá trị của m để (C
m
) có hai điểm cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (C
m
) đến đường thẳng
bằng .
Câu 2: (1 điểm)
Giải phương trình: .

Giải phương trình: .
Câu 3: (1 điểm) Tính tích phân: .
Câu 4: (1 điểm)
Gọi là hai nghiệm phức của phương trình: . M, N lần lượt là các điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức. Tính
độ dài đoạn thẳng MN.
Một tổ có 7 học sinh (trong đó có 3 học sinh nữ và 4 học sinh nam). Xếp ngẫu nhiên 7 học sinh đó thành
một hàng ngang. Tìm xác suất để 3 học sinh nữ đứng cạnh nhau.
Câu 5: (1 điểm) Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(3;6;7) và . Lập phương trình mặt cầu (S) tâm I
và tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm của (P) và (S).
Câu 6: (1 điểm) Cho hình lăng trụ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, . M là trung điểm cạnh AC, góc giữa
cạnh bên và mặt đáy của lăng trụ bằng . Hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H
của BM. Tính theo thể tích khối lăng trụ và khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
Câu 7: (1 điểm) Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại A và D, diện tích hình thang
bằng 6, CD = 2AB, đỉnh B(0;4). Biết điểm I(3;– 1), K(2;2) lần lượt nằm trên đường thẳng AD và DC. Viết
phương trình đường thẳng AD biết AD không song song với các trục tọa độ.
Câu 8: (1 điểm) Giải hệ phương trình: .
Câu 9: (1 điểm) Cho các số thực x, y dương và thỏa mãn: . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
.
ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH THPT QUỐC GIA NĂM 2015 – Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu 1: (2 điểm) Cho hàm số (1)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 2.
Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu.
Câu 2: (1 điểm)
Cho . Tính giá trị của biểu thức: .
Cho số phức z thỏa mãn: . Tìm môđun của số phức z.
Câu 3: (1 điểm) Tính tích phân: .
Câu 4: (1 điểm)
Giải phương trình: .
Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm 3 chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Chọn

ngẫu nhiên một số từ S. Tính xác suất để số được chọn có chữ số hàng đơn vị gấp đôi chữ số hàng trăm.
Câu 5: (1 điểm) Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;–2;1), và mặt cầu
. Xác định vị trí tương đối của điểm A và mặt cầu (S). Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A cắt
đường thẳng d tại M và cắt mặt cầu (S) tại N sao cho A là trung điểm của MN.
Câu 6: (1 điểm) Cho lăng trụ có . Hình chiếu vuông góc của
lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm M của AB và . Tính theo a thể tích khối lăng trụ và góc tạo bởi
đường thẳng và mặt phẳng .
Câu 7: (1 điểm) Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC. Trên hai đoạn thẳng AB, AC lần lượt
lấy hai điểm E, D sao cho . Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADB cắt tia CE tại M(1;0) và
N(2;1). Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEC cắt tia BD tại I(1;2) và K. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp
tam giác MNK.
Câu 8: (1 điểm) Giải phương trình: .
Câu 9: (1 điểm) Cho ba số thực dương x, y, z thoả mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
.
GV:Nguyen Ngoc Tai 0917404261-0983404261
22
TRUNG TAM GIA SU DUC TRI
ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH THPT QUỐC GIA NĂM 2015 – Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu 1: (2 điểm) Cho hàm số (1)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: .
Câu 2: (1 điểm)
Giải phương trình: .
Giải phương trình: .
Câu 3: (1 điểm) Tính tích phân: .
Câu 4: (1 điểm)
Tìm phần thực và phần ảo của số phức z, biết: .
Cho số nguyên dương n thoả mãn: . Tìm số hạng chứa trong khai triển: .
Câu 5: (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, . Cạnh bên SA vuông góc với đáy.

Góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABC) bằng 60
0
. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách
giữa hai đường thẳng SM và AC theo a, biết M là điểm trên đoạn BC sao cho MC = 2MB.
Câu 6: (1 điểm) Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy. Viết phương trình các cạnh của hình vuông ABCD, biết
rằng các đường thẳng AB, CD, BC, AD lần lượt đi qua các điểm M(2;4), N(2;– 4), P(2;2), Q(3;–7).
Câu 7: (1 điểm) Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu và mặt phẳng . Chứng minh rằng mặt phẳng
(P) cắt mặt cầu (S). Tìm toạ độ tâm H của đường tròn giao tuyến của (P) và (S).
Câu 8 : (1 điểm) Giải hệ phương trình:
Câu 9: (1 điểm) Cho các số thực không âm a, b, c thoả mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: .
ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH THPT QUỐC GIA NĂM 2015 – Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu 1: (2 điểm) Cho hàm số (1)
Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
Chứng minh rằng đường thẳng luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm m để đoạn AB có độ
dài nhỏ nhất.
Câu 2: (1 điểm)
Giải phương trình: .
Giải phương trình: .
Câu 3: (1 điểm) Giải bất phương trình: .
Câu 4: (1 điểm) Cho lăng trụ đứng có AC = a, BC = 2a, . Đường thẳng tạo với mặt phẳng góc 30
0
. Gọi M là
trung điểm của . Tính thể tích khối lăng trụ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và theo a.
Câu 5: (1 điểm) Tìm hệ số của trong khai triển nhị thức Newton của , biết rằng n là số nguyên dương thỏa
mãn: .
Câu 6: (1 điểm) Tính nguyên hàm: .
Câu 7: (1 điểm) Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết A(1;0), B(0;2) và giao điểm I của hai
đường chéo AC và BD nằm trên đường thẳng . Tìm tọa độ đỉnh C và D.
Câu 8: (1 điểm) Giải hệ phương trình: .

Câu 9: (1 điểm) Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
GV:Nguyen Ngoc Tai 0917404261-0983404261
23
TRUNG TAM GIA SU DUC TRI
ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH THPT QUỐC GIA NĂM 2015 – Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu 1: (2 điểm) Cho hàm số có đồ thị (C)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số của (C) với m = 0.
Tìm m để (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt A, B, C (với A là điểm cố định) sao cho , trong đó lần
lượt là hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại B, C và là hoành độ các điểm cực trị của (C).
Câu 2: (1 điểm ) Giải phương trình: .
Câu 3: (1 điểm)
Tìm số phức z thỏa mãn: .
Giải bất phương trình:
Câu 4: (1 điểm ) Tính tích phân: .
Câu 5: (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, . Hình chiếu vuông góc của điểm S
trên (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác BCD. Đường thẳng SA tạo với (ABCD) một góc 45
0
. Tính thể tích
khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD theo a.
Câu 6: (1 điểm) Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho 2 mặt phẳng và điểm A(1;–1;–1). Tìm tọa độ điểm M
trên (P) và điểm N trên (Q) sao cho đoạn thẳng MN vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) đồng thời nhận A
làm trung điểm.
Câu 7: (1 điểm) Trong mặt phẳng hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp
là I(2;–1). Hai đường thẳng , trung điểm M của BC nằm trên đường thẳng và điểm A nằm trên đường thẳng .
Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
Câu 8: (1 điểm) Giải hệ phương trình:
Câu 9: (1 điểm ) Cho x, y, z là các số thực lớn hơn 1 và thỏa mãn: . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: .
ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH THPT QUỐC GIA NĂM 2015 – Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian phát đề)

Câu 1 : (2 điểm) Cho hàm số có đồ thị (C)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Dựa vào đồ thị (C), tìm tham số m để phương trình: có 4 nghiệm phân biệt.
Câu 2: (1 điểm) Giải phương trình: .
Câu 3: (1 điểm) Tính tích phân: .
Câu 4: (1 điểm) Cho hình lăng trụ đứng có đáy ABC là tam giác vuông với , mặt phẳng tạo với mặt đáy góc
45
0
. Tính theo a thể tích khối lăng trụ và khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
Câu 5: (1 điểm) Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0;–1;1), B(1;0;1) và mặt phẳng (P) có
phương trình: . Tìm trên (P) điểm S sao cho S.OAB là hình chóp đều và tính thể tích khối chóp đó.
Câu 6: (1 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: trên nửa khoảng .
Giải phương trình: .
Câu 7: (1 điểm) Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD với A(–1;2). Gọi M là trung điểm
cạnh AB. Tìm tọa độ các đỉnh B, D khi biết phương trình đường thẳng MD là: .
Câu 8: (1 điểm) Giải hệ phương trình:
Câu 9: (1 điểm) Cho ba số thực dương x, y, z. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
.
ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH THPT QUỐC GIA NĂM 2015 – Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu 1 : (2 điểm) Cho hàm số (1)
GV:Nguyen Ngoc Tai 0917404261-0983404261
24
TRUNG TAM GIA SU DUC TRI
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
Tìm trên (C) các điểm mà tiếp tuyến với (C) tại các điểm này tạo với đường thẳng chứa trục hoành một góc
bằng 45
0
.

Câu 2: (1 điểm) Giải phương trình: .
Câu 3: (1 điểm) Tính tích phân: .
Câu 4: (1 điểm) Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1;–2;0) và đường thẳng .Viết phương trình
đường thẳng đi qua I vuông góc với (d) tại điểm H và viết phương trình mặt cầu tâm I cắt đường thẳng (d) tại
hai điểm A, B sao cho IAB là tam giác vuông.
Câu 5: (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, . SBC là tam giác đều cạnh a và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Gọi H là trung điểm đoạn BC. Chứng minh SH vuông góc với mặt
đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABC và tính góc giữa SA với mặt phẳng đáy.
Câu 6: (1 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn .
Giải phương trình: .
Câu 7: (1 điểm) Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại B. Gọi M là điểm thuộc
đoạn AC sao cho AM = 2MC và N(2;–1) là trung điểm cạnh BC. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC khi
biết đường thẳng BM có phương trình: .
Câu 8: (1 điểm) Giải hệ phương trình:
Câu 9: (1 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH THPT QUỐC GIA NĂM 2015 – Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu 1 : (2 điểm) Cho hàm số (1)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
Tìm trên đồ thị (C) các điểm M sao cho tiếp tuyến với (C) tại các điểm này song song với đường thẳng có
phương trình: .
Câu 2 : (1 điểm) Giải bất phương trình: .
Câu 3 : (1 điểm) Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong: và trục hoành. Tính thể tích khối tròn xoay tạo
thành khi quay (H) quanh trục Ox.
Câu 4 : (1 điểm) Cho hình lăng trụ đứng , đáy ABC là tam giác vuông cân tại B. Đường thẳng tạo với mặt đáy
góc 45
0
, AB = BC = a. Tính theo a thể tích khối lăng trụ và khoảng cách giữa hai đường thẳng và AB.
Câu 5 : (1 điểm) Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho 4 điểm A(2;4;–1), B(1;4;–1), C(2;4;3), D(2;2;–1).

Chứng minh các đường thẳng AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau và tính thể tích của khối tứ diện
ABCD.
Câu 6 : (1 điểm)
Giải phương trình: .
Trong không gian cho 20 điểm thỏa mãn không có bộ 4 điểm nào đồng phẳng. Vậy ta xác định được bao
nhiêu mặt phẳng từ 20 điểm đó.
Câu 7 : (1 điểm) Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có hai cạnh bên AD và BC lần lượt
nằm trên các đường thẳng có phương trình: và . Viết phương trình đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh đáy
hình thang ABCD, biết rằng điểm M(1;0) thuộc cạnh đáy AB.
Câu 8 : (1 điểm) Giải hệ phương trình: .
Câu 9 : (1 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH THPT QUỐC GIA NĂM 2015 – Môn: TOÁN
GV:Nguyen Ngoc Tai 0917404261-0983404261
25