Các hàm Wigner của electron đi qua hàng rào thế bán dẫn (LV00520)

Nguyễn Ánh Sáng Các hàm Wigner của electron trong hàng rào thế bán dẫn
2
LỜI CẢM ƠN
Dưới sự hướng dẫn của TS Trần Thái Hoa, khoa Vật Lý - Trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2, với lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc nhất, tôi xin
chân thành cám ơn những định hướng, quan tâm, hướng dẫn đúng đắn của
thầy đã và đang giúp tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cám ơn các thầy giáo, cô giáo trong khoa Vật lý,
phòng Sau đại học trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã nhiệt tình giảng dạy,
tạo điều kiện thuận lợi nhất cho tôi học tập cũng như làm luận văn này.
Đồng thời tôi muốn cảm ơn các anh chị, các bạn học viên cao học vật
lý K13, các bạn trong nhóm vật lý chất rắn trường ĐH Sư phạm Hà Nội 2 đã
động viên giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình học tập và hoàn thành luận
văn.
Hà Nội, tháng 11 năm 2011
Người viết



Nguyễn Ánh Sáng

Nguyễn Ánh Sáng Các hàm Wigner của electron trong hàng rào thế bán dẫn
3
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này hoàn toàn do sự cố gắng tìm hiểu,
nghiên cứu của bản thân cùng với sự hướng dẫn tận tình, hiệu quả và đầy
trách nhiệm của TS Trần Thái Hoa. Đây là đề tài không trùng với đề tài khác
và kết quả đạt được không trùng với kết quả của các tác giả khác.

Hà Nội, tháng 11 năm 2011

Học viên


Nguyễn Ánh Sáng

Nguyễn Ánh Sáng Các hàm Wigner của electron trong hàng rào thế bán dẫn
4

MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa

1
Lời cảm ơn

2
Lời cam đoan

3
Mục lục

4
Mở đầu

5
Nội dung

8
Chương 1. Các biểu diễn trong cơ học lượng tử

8
1.1. Các biểu diễn truyền thống

8
1.2. Biểu diễn trong không gian pha. Hàm Wigner

13
Chương 2: Hàng rào thế bán dẫn

18
2.1. Phương trình sóng của hạt trong hàng rào thế

18
2.2. Sự hình thành hàng rào bán dẫn

20
2.3. Hàm sóng của electron trong hàng rào thế bán dẫn

21
Chương 3. Tương tác giữa hệ hai mức với sóng điện từ cộng
hưởng

24
Chương 4. Các hàm Wigner của hạt trong hàng rào thế bán dẫn

36
4.1. Hàm Wigner của hạt trong hàng rào thế

36
4.2. Hàm Wigner của hạt trong trong giếng lượng tử bán dẫn hai

mức tương tác với sóng điện từ cộng hưởng


42
Kết luận

43
Tài liệu tham khảo

44


Nguyễn Ánh Sáng Các hàm Wigner của electron trong hàng rào thế bán dẫn
5
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Cơ học lượng tử là một trong những lý thuyết cơ bản của vật lý học
nhưng là một học thuyết khó. Có nhiều phương pháp toán học mô tả cơ học
lượng tử: cơ học ma trận Heisenberg, cơ học sóng (Schodinger), lý thuyết
biến đổi Pauli Đirac (nhằm thống nhất và khái quát hoá hai phương pháp
trên)…. Theo các phương pháp trên: Trạng thái lượng tử của một hệ lượng tử
sẽ cho thông tin về xác suất của các tính chất hay còn gọi là các đại lượng
quan sát như năng lượng, vị trí, động lượng (xung lượng), momen động
lượng,… các quan sát trên có thể là liên tục (vị trí các hạt) hay rời rạc (năng
lượng của điện tử nguyên tử hiđro). Các phương pháp trên không cho ra các
quan sát có giá trị xác định mà nó tiên đoán một phân bố xác suất. Vì vậy khi
chúng ta quan tâm đến các trạng thái của hệ như thế nào, biến đổi từ trạng thái
này sang trạng thái khác ra sao thì chúng ta thường sử dụng không gian pha
(ví dụ hạt trong hàng rào thế hình chữ nhật thông thường khi chưa có sóng
điện từ tác dụng và khi chịu tác dụng của sóng điện tử tác dụng,…)

Không gian thường là không gian mà hệ di chuyển trong đó. Không
gian pha (không gian các trạng thái) là không gian mà trong đó mỗi điểm quy
định một trạng thái của hệ. Mô tả cơ học lượng tử trong không gian pha dựa
trên khái niệm hàm Wigner (được Wigner đưa ra năm 1932) để tính chất của
các trạng thái lượng tử được bộc lộ một cách trực tiếp và rõ ràng hơn so với
cơ học lượng tử truyền thống (mô tả hệ vi mô bằng vectơ trạng thái hoặc toán
tử mật độ) vào năm 2003. Trong một công trình công bố ở tạp chí
Phys.Rev.Let, W.shluch và các đồng tác giả đã đưa ra một cách biểu diễn mới
của hàm Wigner - biểu diễn Fresnel. Nhờ đó có thể mô tả tường mình các tính
chất của hàm Wigner từ những số liệu thực nghiệm khi đo các đại lượng đặc
trưng của hệ hai mức với sóng điện tử cộng hưởng.

Nguyễn Ánh Sáng Các hàm Wigner của electron trong hàng rào thế bán dẫn
6
Ngày nay chuyển động của hạt qua hàng rào thế (hiệu ứng đường
ngầm) được ứng dụng rất nhiều. Ví dụ như điôt tunnel (điôt hầm), trong đó
dòng các electron nhờ hiệu ứng đường ngầm đi qua một dụng cụ có thể bị tắt
hoặc mở rất nhanh bằng cách điều chỉnh độ cao của bờ thế. Điều này được
làm cực nhanh (trong vòng 5ps). Vì vậy dụng cụ rất thích hợp cho những ứng
dụng đòi hỏi phải có sự đáp ứng cực kỳ nhanh. Hoặc ta phải sử dụng hiệu ứng
đường ngầm để giải thích một số loại phân rã phóng xạ, sự phân hạch và tổng
hợp hạt nhân. Rất nhiều nhà bác học đã nghiên cứu về hiệu ứng đường ngầm
và giành giải thưởng cao. Giải thưởng Nobel năm 1973 đã được chìa sẻ bởi ba
nhà “đào đường ngầm”, đó là Leo Esaki (xuyên đường ngầm qua chất bán
dẫn), Ivar Giaever (xuyên đường ngầm qua chất siêu dẫn). Brian Josephon
(tiếp xúc Josephson, một dụng cụ chuyển mạch lượng tử dựa trên hiệu ứng
đường ngầm). Năm 1986 giải thưởng Nobel lại được trao cho Gerd Binnig và
Heinrich đó là kính hiểu vi quét xuyên đường ngầm.
Bằng cách thay đổi các thông số vật liệu và kích thước có thể tạo ra hệ
hai mức trong hàng rào thể bán dẫn để cho các đặc trưng của hàm Wiger của

electron tương tác với sóng điện từ cộng hưởng bộc lộ một cách dễ quan sát
nhất.
Để chuẩn bị cho các thí nghiệm đó trong luận văn này chúng tôi đã tính
các biểu thức của hàm Wigner trong hàng rào thể bán dẫn.
2. Mục đích nghiên cứu
Xây dựng biểu thức hàm Wigner cho chuyển động của electron trong
hàng rào thế bán dẫn hai mức cả trong trường hợp tương tác và không tương
tác với sóng điện từ cộng hưởng.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Dựa vào luận văn [17] để xây dựng các hàm Wigner của electron
trong hàng rào thế bán dẫn.

Nguyễn Ánh Sáng Các hàm Wigner của electron trong hàng rào thế bán dẫn
7
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Các biểu diễn trong cơ học lượng tử: biểu diễn Schrodinger, biểu diễn
Heisenberg, biểu diễn tương tác.
- Bài toán hàm riêng của hạt trong hàng rào thế.
- Bài toán tương tác của hệ hai mức không suy biến với sóng điện từ
cộng hưởng.
- Hàm Wigner.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Tìm hiểu lí luận về các phương pháp biểu diễn trong cơ học lượng tử.
- Phương pháp gần đúng khối lượng hiệu dụng trong vật lí bán dẫn.
- Phương pháp hàm Wigner trong cơ học lượng tử.
6. Giả thuyết khoa học
- Luận văn sử dụng đơn vị
h
= 1.
- Độ lệch cộng hưởng phải nhỏ hơn rất nhiều khoảng cách giữa hai mức

năng lượng.
- Sử dụng gần đúng cộng hưởng, tức bỏ qua những số hạng tần số cao
chỉ giữ lại những số hạng tần số thấp.







Nguyễn Ánh Sáng Các hàm Wigner của electron trong hàng rào thế bán dẫn
8
NỘI DUNG
CHƯƠNG 1
CÁC BIỂU DIỄN TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
1.1. Các biểu diễn truyền thống
Trạng thái của một hệ lượng tử được mô tả bởi vectơ két
y
. Nếu
1
y
và
2
y
là các trạng thái có thể thì trạng thái chồng chập

1 1 2 2
a a
y = y + y
(1.1.1)

cũng là trạng thái có thể của hệ, ở đây biên độ
1
a
và
2
a
là các số phức.
Nguyên lý chồng chập trạng thái là cơ bản nhất trong lượng tử. Bra
y
là
biểu diễn tương đương của trạng thái trên được viết:

1 1 2 2
a a
* *
y = y + y
(1.1.2)
ở đây
1
a
*
,
2
a
*
là kí hiệu liên hợp phức của
1
a
và
2

a
. Sự phủ nhau (hay tích
trong) của hai trạng thái
1
y
và
2
y
là số phức
1 2
y y
hoặc liên hợp phức
của nó
2 1
y y
tương đương một đại lượng vô hướng hay tích vô hướng của
hai vectơ. Nếu sự phủ này bằng không thì những trạng thái đó gọi là trực giao
với nhau. Tích trong của một trạng thái
y
với chính nó là thực và luôn
dương do đó

0
y y >
(1.1.3)
Nếu tích trong đó là đơn vị, tức là
y y
= 1 thì trạng thái này được gọi
là chuẩn hoá. Nếu trạng thái
1

y
và
2
y
của (1.1.1) là trực chuẩn (gồm cả
trực giao và chuẩn hoá) thì biên độ
1
a
và
2
a
được cho bởi:

1 1 1
a
*
y y = = y y
(1.1.4)

2 2 2
a
*
y y = = y y
(1.1.5)

Nguyễn Ánh Sáng Các hàm Wigner của electron trong hàng rào thế bán dẫn
9
Nếu chính
y
đã chuẩn hoá thì

2 2
1 2
a a 1
+ =
và ta đoán nhận
2
1
a
và
2
2
a
tương ứng là các xác xuất mà hệ sẽ ở trạng thái
1
y
và
2
y
. Khái quát
hoá của (1.1.1) cho trạng thái chồng chập của nhiều trạng thái có thể
n
y
là:

n n
a
y = y
å
(1.1.6)
Nếu

y
đã chuẩn hoá và các trạng thái
n
y
là trực chuẩn thì

2
n
a 1
=
å
(1.1.7)
Xác suất chuyển mức từ trạng thái
1
y
đến trạng thái
2
y
là

2
1 2
y y (1.1.8)
Việc mô tả một hệ đủ được thực hiện bởi các toán tử. Khi toán tử
Â
tác
dụng lên trạng thái bất kỳ nào của hệ thì biến nó thành một trạng thái khác.
Trạng thái này thông thường sẽ không được chuẩn hoá liên hợp Hermite
A
ˆ

+

của toán tử
A
ˆ
được định nghĩa bởi các yêu cầu sau:

(
)
A A
ˆ ˆ
+
+
=
(1.1.9)

A B A B
ˆ ˆ
ˆ ˆ
( )
+ + +
+ = +
(1.1.10)

AB B A
ˆ ˆ
ˆ ˆ
( )
+ + +
= (1.1.11)

A A
*
ˆ ˆ
( )
+ +
l = l (1.1.12)
B
ˆ
là một toán tử bất kỳ và l là một số phức, khi toán tử Â thoả mãn
A A
ˆ ˆ
+
= thì nó được gọi là toán tử Hermite
A
ˆ
. Các giá trị riêng
n
l
của
A
ˆ

thoả mãn phương trình trị riêng:

n n n
A
ˆ
l =l l
(1.1.13)

Phương trình liên hợp của (1.1.12) khi
n
l
được thay bởi
m
l
là:

Nguyễn Ánh Sáng Các hàm Wigner của electron trong hàng rào thế bán dẫn
10

m m m m
A A
*
ˆ ˆ
+
l = l =l l
(1.1.14)
Thực hiện sử phủ của (1.1.13) với
n
l
được

m n m m n
A
*
ˆ
l l =l l l
(1.1.15)

Tương tự thực hiện sự phủ của (1.1.12) với
m
l
được

m n n m n
A
ˆ
l l =l l l
(1.1.16)
Trừ (1.1.15) cho (1.1.16) ta được

(
)
m n m n
0
*
l -l l l =
(1.1.17)
Khi
m n
=
thì theo (1.1.14) suy ra giá trị riêng
n
l
phải là thực.
Khi l
m

¹

l
n
thì theo các t.thái
m
l
và
n
l
trực giao và có thể biến đổi
thành trực chuẩn với

m n mn
l l = d
(1.1.18)
Như vậy các toán tử Hermite có các giá trị riêng thực, ứng với các trạng
thái riêng trực chuẩn. Phép đo đại lượng A cho một trong các giá trị thực của
Â
. Nếu trạng thái

n n
n
a
y = l
å
(1.1.19)
chuẩn hoá thì xác suất để phép đo đại lượng A cho kết quả
n
l
là
2

n
a
. Nếu
tất cả các trạng thái có thể biểu diễn dưới dạng (1.1.18) thì tập hợp
{
}
n
l

được gọi là đủ. Nếu hai trạng thái trực chuẩn
m
l
và
n
l
có cùng giá trị
riêng l thì các trạng thái đó gọi là suy biến và xác suất thu được kết quả l là
2 2
m n
a a
+
. Giá trị trung bình
A
của đại lượng A thu được từ phép đo trên
một tập hợp của các hệ đồng nhất là giá trị kỳ vọng của
Â
được cho bởi

2
n n

n
A A a A
ˆ ˆ
= = l = y y
å
(1.1.20)

Nguyễn Ánh Sáng Các hàm Wigner của electron trong hàng rào thế bán dẫn
11
Phương sai được định nghĩa

(
)
(
)
2 2 2 2
A A A A A
ˆ ˆ ˆ ˆ
D = y - y = y - y y (1.1.21)
Độ bất định là
2
A A
D = D
. Độ bất định này bằng không khi và chỉ khi
y
là trạng thái riêng của
Â
.
Giao hoán tử của hai toán tử
Â

và
B
ˆ
được định nghĩa là:


A B AB BA
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
,
é ù
= -
ë û
(1.1.22)
Nếu
A
ˆ
và
B
ˆ
là Hermite và giao hoán tử trên bằng không, thì các toán
tử
A
ˆ
và
B
ˆ
có chung một tập hợp đầy đủ các trạng thái riêng. Giao hoán tử
(1.1.21) của hai toán tử Hermite cũng là một toán tử Hermite, trong đó
A B A B

ˆ ˆ
ˆ ˆ
, ,
+
é ù é ù
=-
ë û ë û
. Giao hoán tử của toán tử
A
ˆ
với tích hai toán tử
BC
ˆ
ˆ
là

A BC B A C A B C
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
, , ,
é ù é ù é ù
= +
ë û ë û ë û

hoặc

BC A B C A B A C
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
, , ,

é ù é ù é ù
= +
ë û ë û ë û
(1.1.23)
Phản giao hoán tử được định nghĩa là

{
}
A B AB BA
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
, = + (1.1.24)
{
}
A B
ˆ
ˆ
,
là Hermite nếu
A
ˆ
và
B
ˆ
là Hermite. Độ bất định của các đại lượng
quan sát được
A
và B cho tại trạng thái bất kỳ liên hệ với nhau bởi nguyên lý
bất định:

1
A B A B
2
ˆ
ˆ
. ,
é ù
D D ³
ë û
(1.1.25)

Nguyễn Ánh Sáng Các hàm Wigner của electron trong hàng rào thế bán dẫn
12
Như vậy ta không thể đo được một cách chính xác đồng thời cả hai đại
lượng A và B. Sai số mà ta mắc phải khi đo tuân theo hệ thức bất định
(1.1.25). Đo một đại lượng càng chính xác thì đo đại lượng kia càng kém
chính xác.
Các trạng thái
(
)
t
y có thể biểu diễn theo phương trình Schrodinger

( ) ( )
i t H t
t
ˆ
¶
y = y
¶

h (1.1.26)
với
H
ˆ
là toán tử Hamintơn. Toán tử Hamintơn này phụ thuộc vào hệ và mẫu
được sử dụng để nghiên cứu nó, phụ thuộc vào thời gian. Giá trị trung bình
của một toán tử không phụ thuộc thời gian,
A
ˆ
thay đổi theo thời gian do sự
biến đổi của
(
)
t
y

( ) ( )
d i
A t A H t
dt
ˆ ˆ
ˆ
,
é ù
ë û
= - y y
h
(1.1.27)
Thay cho việc sử dụng phương trình Schrodinger bằng việc sử dụng
bức tranh tương tác Heisenberg, trong đó

(
)
t
y =
(
)
0
y giữ nguyên không
đổi trong khi toán tử thay đổi do đó
(
)
A t
ˆ
thoả mãn phương trình Heisenberg

( ) ( ) ( )
d i
A t H A t A t
dt t
ˆ ˆ ˆ
ˆ
,
¶
é ù
= +
ë û
¶
h
(1.1.28)
Ở biểu thức này số hạng đạo hàm riêng giải thích cho sự phụ thuộc

tường mình vào thời gian. Nếu
A
ˆ
không phụ thuộc tường minh vào thời gian
và luôn giao hoán với
H
ˆ
thì
A
ˆ
và đại lượng quan sát tương ứng
A
là tích
phân chuyển động.

Nguyễn Ánh Sáng Các hàm Wigner của electron trong hàng rào thế bán dẫn
13
Quy tắc lượng tử hoá là: trong x- biểu diễn thì toạ độ là c-số, còn toán
tử xung lượng là
d
i
dx
- . Các toán tử khác thu được từ biểu thức cổ điển bằng
cách áp dụng quy tắc lượng tử hoá trên.
1.2. Biểu diễn trong không gian pha. Hàm Wigner
Ngoài các biểu diễn khác nhau trong cơ học lượng tử như biểu diễn
Schrodinger, biểu diễn Heisenberg và biểu diễn tương tác, cơ học lượng tử
còn có thể biểu diễn trong không gian pha, trong đó cả biến số toạ độ và biến
số xung lượng đều là c-số. Điểm xuất phát là hàm chuẩn phân bố do Wigner
đưa ra năm 1932 và từ đó được gọi là hàm Wigner hàm của cả hai biến toạ độ

và xung lượng
1.2.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản của hàm chuẩn phân bố Wigner
Nếu hàm sóng phụ thuộc vào
n
1 2
x
x x
, , ,
và
t
, khi đó ma trận mật độ
là:
(
)
(
)
(
)
1 n 1 n k k 1 n k 1 n
k
x x x x t x x t x x t
' ' * ' '
, , ; , , ; , , ; , , ;
r = w y y
å
(1.2.1)
với
k
k
w

å
= 1
Khi đó hàm chuẩn Wigner được định nghĩa (Wigner 1932 và 1987) như
sau:
( )
{ }
n n
1 1
n n n n n
1 1 1 1 1 2
n
n n
1 1
W x x p p t
x y x y x y x y t dy dy dy
1
exp 2i p y p y( , , ; , , ; )
( , , ; , , , )

æ ö
´
ç ÷
è ø
´
=
r - - + +
+ +
p
ò
(1.2.2)

ở đây
i
x
và
i
p
là c-số và hàm Wigner được xác định trên không gian pha 2n
chiều. Nếu hệ ở trạng thái sạch với hàm sóng
n
1
x x t
y
( , , ; )
thì

Nguyễn Ánh Sáng Các hàm Wigner của electron trong hàng rào thế bán dẫn
14
( )
{ }
n
n n n n
1 1 1 1
n n n n n
1 1 1 1 1 2
1
W x x p p t exp 2i p y p y
x y x y t x y x y t dy dy dy
*
( , , ; , , ; )
( , , ; ) ( , , ; )

æ ö
´
ç ÷
è ø
= + +
p
´y + + y - -
ò
(1.2.3)
Hàm Wigner của trạng thái sạch này là đơn giản nhất khi hệ chỉ phụ
thuộc vào một cặp các biến
x
và
p
. Như vậy con đường dễ nhất để nghiên
cứu các tính chất của hàm Wigner là xuất phát từ hàm Wigner đơn giản nhất.
Đối với trường hợp đơn giản này hàm Wigner có dạng.

1
W x p t exp 2ipy x y t x y t dy
*
( , , ) ( ) ( , ) ( , )
= y + y -
p
ò
(1.2.4)
Từ đây về sau kí hiệu tích phân
f x dx f x dx
( ) ( )
+¥

-¥
=
ò ò

Đối với hàm sóng không phụ thuộc thời gian
x
( )
y
thì hàm Wigner
không phụ thuộc vào thời gian

1
W x p exp 2ipy x y x y dy
*
( , ) ( ) ( ) ( )
= y + y -
p
ò
(1.2.5)
Tại các trạng thái với năng lượng xác định hàm Wigner không phụ
thuộc thời gian
Trước hết ta nghiên cứu dạng đơn giản nhất này và sau đó mở rộng các
tính chất của nó cho dạng phức tạp hơn.
Tính chất 1:
Nếu tích phân theo
p W x p
, ( , )
cho xác suất lượng tử ở
x
:

2
x w x p dp
( ) ( , )
y =
ò
(1.2.6)
Chứng minh:
1
w x p dp x y x y dy exp 2iyp dp
*
( , ) ( ) ( ) ( )
= y + y -
p
ò ò ò


Nguyễn Ánh Sáng Các hàm Wigner của electron trong hàng rào thế bán dẫn
15
Từ định nghĩa hàm delta
1
y exp iky dk
2
( ) ( )
d =
p
ò
ta có
1
I x p dp x y x y dy 2 2y

W
*
( , ) ( ) ( ) . . ( )
= = y + y - p d
p
ò ò

Đặt
z 2y dz 2dy
;
= =
:
z z 1
I 2 x x z dz
2 2 2
*
.
æ ö æ ö
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
= y + y - d
ò


z z
x x zdz
2 2
*
æ ö æ ö
ç ÷ ç ÷

è ø è ø
= y + y - d
ò


2
x
( )
= y
Tương tự nếu
x p
W
( , )
được lấy tích phân theo
x
, nó cho xác suất
xung lượng có các giá trị
p
:

2
p t x p dx
W
( , ) ( , )
c =
ò
(1.2.7)
Với
p
( )

c
là hàm sóng biểu diễn xung lượng

1 2
1
p exp ipx x dx
/
( ) ( ) ( )
æ ö
ç ÷
è ø
c = - y
p
ò
(1.2.8)
Trong các định nghĩa của hàm Wigner từ (1.2.1) đến (1.2.5),
p
được
đưa vào như tham số biến đổi Furiê, từ các tính chất (1.2.6) đến (1.2.7) ta có
thể coi nó như biến số xung lượng. Trong không gian pha cả
x
và
p
là c-số
khác với trong biểu diễn Schrodinger, Heisenberg và tương tác của cơ học
lượng tử khi mà một trong hai biến số đó là q-số.
Tính chất 2: Định nghĩa hàm Wigner từ hàm sóng trong biểu diễn xung
lượng:
Do
1 2

1
x exp ipx p dp
/
( ) ( ) ( )
æ ö
ç ÷
è ø
y = c
p
ò
nên cũng có thể viết hàm
Wigner như sau:

Nguyễn Ánh Sáng Các hàm Wigner của electron trong hàng rào thế bán dẫn
16

1
W x p exp 2ixz p z p z dx
*
( , ) ( ) ( ) ( )
= - c + c -
p
ò
(1.2.9)
Ta có thể tìm lại các phân bố xác suất của (1.2.6) và (1.2.7) từ các biểu
thức trên
Tính chất 3:
Nếu hệ ở trạng thái
x
( )

y
và sau khi quan sát trạng thái của hệ trở
thành
x
( )
f
thì xác suất để quan sát có kết quả ấy là
2
,
y f
- là bình phương
giá trị tuyệt đối của tích vô hướng của hai vectơ trạng thái.
Trong ngôn ngữ của các hàm Winger, xác suất chuyển mức có thể viết

2
2 W x p W x p dxdp
( , ) ( , ) ( , )
y
f
y f = p
ò
(1.2.10)
Biểu thức cho thấy hàm Wigner không thể là dương mọi nơi trong
không gian pha. Nếu
y
và
f
là trực giao, biểu thức trên phải bằng không.
Điều này không thể xảy ra nếu cả hai hàm Wigner ở vế phải là dương mọi nơi
trong không gian pha.

Tính chất 4:
Nếu
A x
ˆ
( )
và
B p
ˆ
( )
là các toán tử động lực chỉ phụ thuộc vào
x
và
p

một cách tương ứng, các giá trị kỳ vọng của chúng là:

x A x x A x W x p dxdp
ˆ ˆ
( ), ( ), ( ) ( ) ( , )y y =
ò
(1.2.11)

p B x p B p W x p dxdp
ˆ ˆ
( ), ( ), ( ) ( ) ( , )y c =
ò
(1.2.12)
Trong bức tranh Schrodinger
A x
ˆ

( )
và
B p
ˆ
( )
luôn không giao hoán
với nhau. Vì vậy các giá trị trung bình của tích
A x
ˆ
( )
.
B p
ˆ
( )
không có dạng
đơn giản.
Tính chất 5:

Nguyn nh Sỏng Cỏc hm Wigner ca electron trong hng ro th bỏn dn
17
Do c
x
v
p
l c-s trong bc tranh khụng gian pha, cú th thc hin
cỏc bin i chớnh tc trong khụng gian pha. Tuy nhiờn khụng ging nh hm
phõn b Liouville trong c hc c in, hm Wigner khụng phi phõn b xỏc
sut. Nh ó nhn xột tớnh cht 3 hm Wigner cú th tr thnh õm trong
khụng gian pha.
Cỏc tớnh cht 1 v 5 ó nờu trờn cho mt cp n bin chớnh tc cú

th c m rng ti hm Wigner cú nhiu cp bin s.
1.2.2. Hm Wigner ph thuc thi gian
Hm Wigner ph thuc thi gian c nh ngha qua hm súng nh
trong (1.2.5)

1
W x p t exp 2ipy x y t x y t dy
*
( , , ) ( ) ( , ) ( , )
= y + y -
p
ũ
(1.2.13)
Tng quỏt:
( )
2n 1
2 2n 1
n 0
W x p t
p
W x p t x p t
t m t
i 1
V x
2 2n 1 x p
W
( , , )
( , , ) , ,
. ( )
( )!

+
+
Ơ
=
ộ ự
ổ ử
ổ ử ổ ử
ờ ỳ
ỗ ữ
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
ờ ỳ
ố ứ
ở ỷ
ả ả
= - +
ả ả
ả ả
+ -
+ ả ả
ồ
(1.2.14)
Trong ú
(
)
V x
l trng th. Phng trỡnh trờn thay th phng trỡnh
Schrodinger cho hm súng.
Hm Wigner ca ht t do trong trng thỏi vi nng lng khụng xỏc
nh l (Kijowski 1974, Lee 1982, Littlejohn 1986, Royer 1987, Kim v

Wigner 1990)

pt
W x p t W x p 0
m
( , , ) , ,
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
= - (1.2.15)
Cũn trong trng thỏi vi nng lng xỏc nh:

W x p t W x p 1
( , , ) ( , )
= =
(1.2.16)

Nguyễn Ánh Sáng Các hàm Wigner của electron trong hàng rào thế bán dẫn
18
CHƯƠNG 2
HÀNG RÀO THẾ BÁN DẪN
2.1. Phương trình sóng của hạt trọng hàng rào thế
Hàng rào thế là miền của không gian tại đó thế năng lớn hơn các miền
lân cận. Đơn giản nhất là trường hợp, hạt chuyển động trên một đường thẳng,
dưới tác dụng của một lực có thể năng
(
)
V x
như sau:

( )
V x a
V x
0 x a
khi
khi
<
ì
ï
=
í
³
ï
î


(Hình 2.1.1)
Theo cơ học cổ điển thì một hạt có cơ năng toàn phần
E V
>
mới có
thể đi qua hàng rào (sự truyền qua là hoàn toàn, không có phản xạ) nếu
E V
<
thì hạt bị phản xạ hoàn toàn ở giới hạn trước của hàng rào.
Xét một hạt chuyển động từ trái sang phải đi tới gặp hàng rào thế, theo
cơ học lương tử phương trình mô tả của hạt có dạng sau đây:

[ ]
2

2
d x
2m E V x x 0
dx
( )
( ) ( )
y
+ - y =
(2.1.1)
(Chọn hệ đơn vị với
h
= 1)
* Xét trường hợp
E V
<

Đặt
2
0
k 2mE
=


2
k 2m V E
( )
= -

Trong miền (1)
2

2
d x
x a 2mE x 0
dx
( )
: ( )
y
£ - + y =

Nghiệm của phương trình có dạng:
(3)
(2)
(1)
V
V(x)
-a
0
a
x

Nguyễn Ánh Sáng Các hàm Wigner của electron trong hàng rào thế bán dẫn
19

0 0
ik x ik x
1
x e A e
( ) .
-
y = +

(2.1.2)
Ta chọn hệ số chuẩn hoá bên cạnh số hạng
ikx
e
là 1, số hạng này biểu
diễn sóng tới, số hạng thứ hai ở vế phải biểu diễn sóng phản xạ
Trong miền (2)
2
2
d x
0 x a 2m E V x 0
dx
( )
: ( ) ( )
y
< < + - y =

Nghiệm của phương trình có dạng:

kx kx
2
x B e C e
( ) . .
-
y = +
(2.1.3)
Trong miền (3)
2
2
d x

x a 2mE x 0
dx
( )
: ( )
y
³ + y =

Nghiệm của phương trình có dạng:


0
ik x
3
x D e
( ) .
y =
(2.1.4)
Ở đây không có số hạng dạng
ikx
e
-
vì không có sóng phản xạ
Áp dụng các điều kiện biên ta sẽ nhận được các giá trị của hệ số A, B,
C, D.
0 0
ik a ik a
ka ka
1 2
a a e A e Be C e
( ) ( ) . . .

-
-
y - = y - Û + = +

0
ik a
ka ka
2 3
a a B e C e D e
( ) ( ) . . .
-
y = y Û + =

0 0
1 2
0 0
ik a ik a
ka ka
a a i k e A i k A e B k e C k e
' '
( ) ( ) . . . . . . . . . .
-
-
y - = y - Û - = +

0
2 3
0
ik a
ka ka

a a Bk e C k e Di k e
' '
( ) ( ) . . . . . . .
-
y = y Û + =

Hằng số
D
cho phép ta xác định hệ số truyền qua hàng rào thế:

2
2
2 2
16n
T D .exp 4a 2m(V E)
(1 n )
é ù
ë û
= = - -
+
(2.1.5)
với
0
k V E
n
k E
-
= =

Nguyễn Ánh Sáng Các hàm Wigner của electron trong hàng rào thế bán dẫn

20
Như vậy theo cơ học lượng tử hạt có khả năng di chuyển qua hàng rào
thế có bề cao
V
lớn hơn năng lượng của hạt. Hiện tượng này gọi là hiệu ứng
đường ngầm.
Nếu hàng rào thế không phải là vuông góc mà có dạng phức tạp (hình
2.1.2) thì công thức cho hệ số truyền qua
T
có dạng:
2
1
0
x
x
T T exp 2 2m V E dx
. ( )
é ù
ê ú
ë û
= - -
ò

(2.1.6)


(Hình 2.1.2)
1 2
x x
,

là toạ độ của những điểm mà thế năng
V
bằng năng lượng toàn
phần của hạt.
2.2. Sự hình thành hàng rào bán dẫn:
Cho hai chất bán dẫn khác nhau trong sơ đồ năng lượng của hai chất
bán dẫn này ta định nghĩa những đại lượng sau:
DE
c
: Độ lệch giữa các đáy của các vùng dẫn (sự khác nhau giữa các
mức năng lượng tại đáy vùng dẫn ở hai chất bán dẫn)
DE
v
: Độ lệch giữa các đỉnh vùng hoá trị ( sự khác nhau giữa các mức
năng lượng tại các đỉnh vùng hoá trị của hai chất bán dẫn )
Ví dụ khi cho hai bán dẫn GaAs và AlAs (tiếp xúc nhau ta có sơ đồ
mức năng lượng như sau):




x
1

0
x
2
x
y
D

Ec
GaAs
AlAs
D
Ev

Nguyễn Ánh Sáng Các hàm Wigner của electron trong hàng rào thế bán dẫn
21
Nếu có một lớp AlAs nằm giữa hai lớp GaAs thì hình thành một hàng
rào thế bán dẫn đối với electron nằm ở gần đáy vùng dẫn của chất AlAs.






2.3. Hàm sóng của electron trong hàng rào thế bán dẫn:
Ta xét trường hợp electron trong hàng rào thế được tạo thành bởi lớp
mỏng AlAs có độ dày
2a
ở giữa 2 lớp GaAs dày hơn dọc theo trục
z
khi đó
eletron sẽ chịu tác dụng của một thế
U z
( )
nào đó chỉ phụ thuộc vào
z
.
Trong gần đúng khối lượng hiệu dụng phương trình Schrodinger của electron

trong hàng rào thế là:

2
R
1
U z f R E f R
2m
*
( ) ( ) . ( )
é ù
ê ú
ë û
- D + =
r
uur uur uur
(2.3.1)
Trong đó
R
r
là vectơ xác định vị trí của electron trong hàng rào thế,
R r z
( , )
=
uur
r
với
r
r
là vectơ xác định vị trí của electron trong mặt phẳng
x y

( , )

Hàm sóng của electron trong hàng rào thế được tìm dưới dạng tích của
hai hàm, một hàm mô tả chuyển động của eletron trong mặt phẳng
x y
( , )
,
một hàm mô tả chuyển động của electron dọc theo trục
z
.

a
K
f R r z
( ) ( ). ( )
= j f
uur
uuur r
(2.3.2)
Trong đó:
K
uur
là vectơ sóng của electron trong mặt phẳng;
x y
K K K
( , )
=
uur

K

r
( )
j
uur
r
là hàm sóng mô tả chuyển động tự do của electron trong mặt
phẳng
x y
( , )

D
Ec
GaAs
GaAs
DEv
AlAs

Nguyễn Ánh Sáng Các hàm Wigner của electron trong hàng rào thế bán dẫn
22

iKr
K
1
r e
s
( )j =
uur
r
r
r

(2.3.3)
Với
S
là diện tích chuẩn hoá trong mặt phẳng
x y
( , )


a
z
( )
f
là hàm sóng mô tả chuyển động của electron theo phương
z
.
Năng lượng của electron là:

2
y a
K
2
a x
1
E E E K K E
2m
*
( )
= + = + +
r
ur

(2.3.4)
Thay các phương trình (2.3.2), (2.3.3) và (2.3.4) phương trình
Schrodinger (2.3.1) ta suy ra phương trình Schrodinger cho
a
z
( )
f
:

2
x y a
K
2
a
1
E E E K K E
2m
*
( )
= + = + +
r
ur
(2.3.5)
Xét bài toán trong trường hợp đơn giản, electron chuyển động trong
hàng rào hình chữ nhật
(
)
U z
tức electron chuyển động tự do trong mặt
phẳng

(
)
x y
,
hay nói cách khác electron chỉ chuyển động trong hàng rào thế.
Thế năng
(
)
U z
có dạng:

U khi z a
U z
0 khi z a


( )
<
ì
ï
=
í
³
ï
î
(2.3.6)
Theo điều kiện của hàm sóng ở hai biên
z a
= -
và

z 1
=
ta tìm được hàm
sóng của electron theo phương
z
khi
E U
<


0 0
0
kx kx
ik x
ik x ik x
khi x a
khi x
khi x a
Be C e
D e
e A e
a

. .
.
.
-
-
ì
< -

ï
£
í
ï
>
î
+
+
(2.3.7)
víi
n n
k 2m E
*
=


n
k 2m U E
*
( )
= -

Trong đó các hệ số
A B C D
, , ,
nhận giá trị từ điều kiện biên

Nguyễn Ánh Sáng Các hàm Wigner của electron trong hàng rào thế bán dẫn
23
Năng lượng của electron trong hàng rào thế bị lượng tử hoá theo trục

là:


2
n
n
k
E
2m
*
= (2.3.8)
Vậy hàm sóng toàn phần và năng lượng tổng cộng của electron trong
hàng rào thế là:

n
iKr
1
f R e z
s
( ) . . ( )
®
= f
r
r
(2.3.9)


n
n x y
2

2 2
k
1
E K K
2m 2m
( )
* *
= + + (2.3.10)


Nguyễn Ánh Sáng Các hàm Wigner của electron trong hàng rào thế bán dẫn
24
CHƯƠNG 3
TƯƠNG TÁC GIỮA HỆ HAI MỨC VỚI SÓNG ĐIỆN TỪ CỘNG HƯỞNG

Xét hệ hai mức không suy biến, kí hiệu là
1
và
2
; với năng lượng
tương ứng
1
E
và
2
E

2 1
E E
( )

>

Tại thời điểm
t
= 0 khi hệ đang ở mức có năng lượng
1
E
ta đưa vào
thế nhiều loạn tuần hoàn
0
E E c t
os
. .
®
= e w
, chẳng hạn như sóng ánh sáng, có
tần số bằng
2 1
E E
-
, tương ứng với hiệu năng lượng hai mức đang xét.
Xuất phát từ phương trình Schrodinger ta xác định hệ ở mức này hay
mức khác tại thời điểm
t
sau khi đưa thế nhiều loạn vào.
Ta tìm nghiệm của phương trình Schodinger của hệ đặt trong trường
hợp
0
E E c t
os

. .
®
= e w
:

(
)
0
t H e r t t
t
0 1
i
( ) . .cos ( )
( )
® ®
ì
ï
í
ï
î
¶
Y = + e w Y
¶
Y =
(3.1)
Tìm nghiệm dưới dạng

1 2
iE t iE t
1 2

t c t e 1 c t e 2
( ) ( ) ( )
- -
Y = +
(3.2)

Trong đó
1
;
2
là các hàm riêng của Hamilton H
o
khi hệ chưa có
trường sóng.

0 1 0 2
H 1 E 1 H 2 E 2
;
= =
(3.3)
chúng trực giao với nhau:
1 2 0
=
và được chuẩn hoá
11 1
=
;
2 2 1
=

e
là điện tích của electron
e
r
là vectơ phân cực của trường nhiều loạn

Nguyễn Ánh Sáng Các hàm Wigner của electron trong hàng rào thế bán dẫn
25
Thế (3.2) vào (3.1) sau đó nhân với
1
,
2
ta nhận được hai phương
trình vi phân xác định các hệ số
(
)
1

c t
và
(
)
2

c t
như sau:

1 1 0 1
2
2 2 0 1

1
2
1
ic (t)e xp( iE t) eE cos t (t)exp( iE t)
(t)exp( iE t)
ic (t)exp( iE t) eE cos t (t)exp( iE t)
1 r 1 c
1 r 2 c
2 r 1 c
{

}
{

- = w - +
+ -
- = w - +
e
e
e
&
&
rr
rr
rr
22
(t)exp( iE t)
2 r 2 c
}
+ -

ì
ï
ï
í
ï
ï
e
î
rr
(3.4)
Đặt
2 1 0
E E
- = w


ω ω Δω
0
- =

thì
Dw
gọi là độ lệch cộng hưởng
Để thỏa mãn điều kiện cộng hưởng ta coi rằng:

0
Dw w
=
(3.5)
Vì

1
cos t {exp(i t) exp( i t)}
2
w = w + - w
nên (3.4) được viết lại:
1 0 1
0 2
2 0 0 1
1
ic (t) eE 1 r 1 [exp(i t) exp( i t)].c (t)
2
1 r 2 [exp(i t) exp( i( )t].c (t)
1
ic (t) eE 2 r 1 [exp(i( t) exp( i t)].c (t)
2
)
}


{
{
= e w + - w +
+ e Dw + - w + w
= e w+ w + - Dw +
+
&
&
rr
rr
rr

2
2 r 2 [exp(i t) exp( i t)].c (t)}e w + - w
ì
ï
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
ï
î
rr
(3.6)
Với cách viết này thì rõ ràng có hai số hạng là số hạng dao động nhanh
(tần số cao) với tần số bậc
w
và
2
w
,
0

w + w
và số hạng dao động chậm
(tần số thấp) với tần số
Dw
. Sử dụng gần đúng cộng hưởng, tức là bỏ qua
những số hạng tần số cao chỉ giữ lại những số hạng tần số thấp. Khi đó hệ

phương trình để xác định các hệ số
1
(t)
c
và
2
(t)
c
là:

Nguyễn Ánh Sáng Các hàm Wigner của electron trong hàng rào thế bán dẫn
26

1 0 2
2 0 1
1
ic (t) eE 1 r 2 exp(i t)c (t)
2
1
ic (t) eE 2 r 1 exp( i t)c (t)
2
ì
= e Dw
ï
ï
í
ï
= e - Dw
ï
î

rr
&
rr
&
(3.7)
Hệ phương trình vi phân (3.7) có thể giải được một cách chính xác. Ta
tìm nghiệm của hệ dưới dạng:

1
2
c (t) P.exp(i t)
c (t) Q.exp(i t)
= a
ì
í
= b
î
(3.8)
Trong đó:
P Q
, , ,
a b
là các hệ số không phụ thuộc thời gian. Lấy đạo
hàm của (3.8) ta được:

1
2
ic (t) P .exp(i t)
ic (t) Q .exp(i t)
= - a a

ì
í
= - b b
î
&
&
(3.9)
Biến đổi tương đương hệ (3.9), kết hợp với (3.7), (3.8) ta thu được:

0
0
1
P .exp(i t) eQE 1 r 2 exp[i( )t]
2
1
Q .exp(i t) ePE 2 r 1 exp[ i( )t]
2
ì
- a a = e Dw+ b
ï
ï
í
ï
- b b = e - Dw- a
ï
î
rr
rr
(3.10)
Từ (3.10) ta có:

0
0
1
P eQE 1 r 2
2
1
Q ePE 2 r 1
2
ì
- a = e
ï
ï
í
ï
- b = e
ï
î
rr
rr
(3.11)
Và

[
]
[ ]
exp(i t) exp i( )t
exp(i t) exp i( )t
a = Dw+b
ì

ï
í
b = - Dw - a
ï
î
(3.12)
Hệ phương trình (3.13) cho ta:
a = Dw+bÞb = a - Da