Sự ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính
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R
R
n
n
R
+
˙x(t) x t
R
n
Y
n Y
x =
n
i=1
x
i
2
x ∈ R
n
S
ε
ε
x, y =
n
i=1
x
i
y
i
x y
R
n
dy
1
dt
= f
1
(t, y
1
, y
2
, , y
n
)
dy
2
dt
= f
2
(t, y
1
, y
2
, , y
n
)
dy
n
dt
= f
n
(t, y
1
, y
2
, , y
n
)
t
y
1
= y
1
(t), y
2
= y
2
(t), , y
n
= y
n
(t)
f
i
, (i = 1, 2, . . . , n) G R
n+1
dy
1
dt
,
dy
2
dt
, ,
dy
n
dt
dx
dt
= −y
dy
dt
= x
dx
dt
= x − y −z
dy
dt
= x + y −3z
dy
dt
= x − 5y −3z
(t
0
, y
0
1
, y
0
2
, , y
0
n
) ∈ G, G ⊂ R
n+1
y
1
(t), y
2
(t), . . . , y
n
(t) (1.1)
y
1
(t
0
) = y
0
1
, y
2
(t
0
) = y
0
2
, , y
n
(t
0
) = y
0
n
y
1
= ϕ
1
(t), y
2
= ϕ
2
(t), , y
n
= ϕ
n
(t)
(a, b)
(1.1) (1.1)
(1.1) t (a, b)
Γ =
(t, ϕ
1
(t), ϕ
2
(t), , ϕ
n
(t)), t ∈ (a, b)
ϕ
1
(t) ϕ
2
(t) ϕ
n
(t)
Γ ⊂ R
n+1
.
(y
1
, y
2
, , y
n
) R
n
γ =
(ϕ
1
(t), ϕ
2
(t), , ϕ
n
(t)), t ∈ (a, b)
R
n+1
G = {a < t < b; −∞ < y
i
< +∞; i =
1, n}
(1, 1)
t
C
1
, C
2
, , C
n
y
1
= ϕ
1
(t, C
1
, C
2
, , C
n
)
y
2
= ϕ
2
(t, C
1
, C
2
, , C
n
)
y
n
= ϕ
n
(t, C
1
, C
2
, , C
n
)
(1.1) G ⊂ R
n+1
(t
0
, y
0
1
, y
0
2
, , y
0
n
) ∈ G (1.2) t, y
1
, y
2
, , y
n
t
0
, y
0
1
, y
0
2
, , y
0
n
)
C
1
= Ψ
1
(t
0
, y
0
1
, y
0
2
, , y
0
n
)
C
2
= Ψ
2
(t
0
, y
0
1
, y
0
2
, , y
0
n
)
C
n
= Ψ
n
(t
0
, y
0
1
, y
0
2
, , y
0
n
).
(1.2) (1.1) C
1
, C
2
, , C
n
(1.3).
dx
dt
= −y
dy
dt
= x.
d
2
y
dt
2
=
dx
dt
= −y
d
2
y
dt
2
+ y = 0 (∗)
dy
dt
= z
d
2
y
dt
2
=
dz
dt
=
dz
dy
dy
dt
=
dz
dy
z,
d
2
y
dt
2
=
dz
dy
z
dz
dy
z + y = 0,
zdz = −ydy
z
2
+ y
2
= C
2
, C ∈ R.
y = |C|sin t
z = |C|cos t
y = |C|cos t
z = |C|sin t
y = C
1
sin t + C
2
cos t, C
1
, C
2
∈ R
x = C
1
cost − C
2
sin t.
x = C
1
cos t − C
2
sin t
y = C
1
sin t + C
2
cos t.
(C
1
, C
2
∈ R)
Φ
1
(t, y
1
, y
2
, , y
n
) = C
1
Φ
2
(t, y
1
, y
2
, , y
n
) = C
2
Φ
n
(t, y
1
, y
2
, , y
n
) = C
n
(1.1) G ⊂ R
n+1
(1.1) G
dx
x
=
dy
y
=
dz
z
.
dx
x
=
dy
y
dx
x
=
dz
z
ln |x| = ln |y| + ln C
1
ln |x| = ln |z| + ln C
2
; C
1
, C
2
> 0
x
y
= C
1
x
z
= C
2
; C
1
, C
2
> 0
(1.1)
C
1
, C
2
, , C
n
(1.3)
dx
x
=
dy
y
=
dz
z
.
(1.3)
x
y
= C
1
x
z
= C
2
; C
1
, C
2
=
C
1
= C
2
= 1
x = y = z.
(1.1)
dx
dt
= t +
2
t
x −
√
y
dy
dt
= 2
√
y.
(t = 0)
y = (t + C)
2
, t > −C, C ∈ R.
x = Ct + C
1
t
2
,
x = Ct + C
1
t
2
y = (t + C)
2
(t > −C)
T = {t = 0, − ∞ < x < ∞, 0 < y < ∞ }.
y = 0.
x = t
2
(C
2
+ ln |t|),
x = t
2
(C
2
+ ln |t|)
y = 0.
t y
1
, y
2
, , y
n
R
n
dy
1
dt
= F
1
(t, y
1
, y
2
, , y
n
)
dy
2
dt
= F
2
(t, y
1
, y
2
, , y
n
)
dy
n
dt
= F
n
(t, y
1
, y
2
, , y
n
)
R
n
(
dy
1
dt
,
dy
2
dt
, ,
dy
n
dt
) M
(1.5)
Y (y
1
, y
2
, , y
n
) F
(F
1
, F
2
, , F
n
)
dY
dt
= F (t, Y )
(1.5) t
dy
1
dt
= F
1
(y
1
, y
2
, , y
n
)
dy
2
dt
= F
2
(y
1
, y
2
, , y
n
)
dy
n
dt
= F
n
(y
1
, y
2
, , y
n
).
(1.6) M
t (1.6)
dx
dt
= 1
dy
dt
= 2
dy
dt
= 3
n
y
(n)
= f(t, y, y
,
, , y
(n−1)
)
F (t, y, y
,
, , y
(n)
) = 0
F G R
n+2
y = y
1
, y
,
= y
2
, , y
(n−1)
= y
n
(1.7)
dy
1
dt
= y
2
dy
2
dt
= y
3
dy
n
dt
= f(t, y
1
, y
2
, , y
n
).
y = y(t) (1.7)
y = y
1
, y
,
= y
2
, y
,,
= y
3
, , y
(n−1)
= y
n
(1.8)
y
1
(t), y
2
(t), , y
n
(t) (1.8) y(t) = y
1
(t)
(1.7).
y = y(t) (1.7)
y(t
0
) = y
0
, y
,
(t
0
) = y
,
0
, , y
(n−1)
(t
0
) = y
(n−1)
0
y
1
(t), y
2
(t), , y
n
(t) (1.8)
y
1
(t
0
) = y
0
, y
2
(t
0
) = y
,
0
, , y
n
(t
0
) = y
(n−1).
0
(1.1)
y
(n)
1
= g(t, y
1
, y
,
1
, , y
(n−1).
1
)
y
1
(t) (1.9) (1.7)
y
2
= y
2
(t), y
3
= y
3
(t), , y
n
= y
n
(t)
y
1
= y
1
(t), y
2
= y
2
(t), , y
n
= y
n
(t) (1.8)
dy
1
dt
= f
1
(t, y
1
, y
2
, , y
n
)
dy
2
dt
= f
2
(t, y
1
, y
2
, , y
n
)
dy
n
dt
= f
n
(t, y
1
, y
2
, , y
n
).
a, b
f
1
, f
2
, , f
n
D =
|t − t
0
| ≤ a;
y
1
− y
0
1
≤ b;
y
2
− y
0
2
≤ b; ;
y
n
− y
0
n
≤ b
|f
i
(t, y
1
, y
2
, , y
n
)| ≤ M; i = 1, 2, . . . , n
f
1
, f
2
, , f
n
y
1
, y
2
, , y
n
y(t) = (y
1
(t); y
2
(t); ; y
n
(t)) (1.1)
y
1
(t
0
) = y
0
1
, y
2
(t
0
) = y
0
2
, , y
n
(t
0
) = y
0
n
[t
0
− h; t
0
+ h] h = min
a,
b
M
f
1
, f
2
, , f
n
D =
|t − t
0
| ≤ a;
y
1
− y
0
1
≤ b;
y
2
− y
0
2
≤ b; ;
y
n
− y
0
n
≤ b
y
1
, y
2
, . . . , y
n
D
(1.1)
t
0
, y
0
1
, y
0
2
, , y
0
n
∈ D
f
i
; i = 1, n
D =
|t − t
0
| ≤ a;
y
1
− y
0
1
≤ b;
y
2
− y
0
2
≤ b; ;
y
n
− y
0
n
≤ b
f
i
; i = 1, n D
f
i
; i = 1, n y
1
, y
2
, , y
n
D
(1.1)
y(t) =
y
1
(t); y
2
(t); ; y
n
(t)
y
1
(t
0
) = y
0
1
, y
2
(t
0
) = y
0
2
, , y
n
(t
0
) = y
0
n
.
(1.1)
t
0
, y
0
1
, y
0
2
, , y
0
n
∈ D
f(t, y, y
, , y
(n−1)
) D ⊂ R
n+1
y, y
, , y
(n−1)
D
t
0
, y
0
1
, y
0
2
, , y
0
n
∈ G
y(t)
y
(n)
= f(t, y, y
,
, , y
(n−1)
)
y(t
0
) = y
0
, y
(t
0
) = y
0
, , y
(n−1)
(t
0
) = y
(n−1)
0
.
(1.1) (1.10)
(1.8).
y(t) (1.8)
y(t
0
) = y
0
, y
(t
0
) = y
0
, , y
(n−1)
(t
0
) = y
(n−1)
0
y
1
(t), y
2
(t), , y
n
(t) (1.10)
y
1
(t
0
) = y
0
, y
2
(t
0
) = y
,
0
, , y
n
(t
0
) = y
(n−1)
0
.
f(t, y, y
, , y
(n−1)
)
D =
|t − t
0
| ≤ a;
y
1
− y
0
1
≤ b;
y
2
− y
0
2
≤ b; ;
y
n
− y
0
n
≤ b
y, y
, , y
(n−1)
D
y
1
, y
2
, , y
n
(1.8)
y
1
(t); y
2
(t); ; y
n
(t)
y(t
0
) = y
0
, y
(t
0
) = y
0
, , y
(n−1)
(t
0
) = y
(n−1)
0
t
0
, y
0
1
, y
0
2
, , y
0
n
∈ D
(1.8)
y(t
0
) = y
0
, y
(t
0
) = y
0
, , y
(n−1)
(t
0
) = y
(n−1)
0
.
dy
1
dt
= a
11
(t)y
1
+ a
12
(t)y
2
+ + a
1n
(t)y
n
dy
2
dt
= a
21
(t)y
1
+ a
22
(t)y
2
+ + a
2n
(t)y
n
dy
n
dt
= a
n1
(t)y
1
+ a
n2
(t)y
2
+ + a
nn
(t)y
n
a
ij
(t); (i, j = 1, 2, . . . , n) (a, b)
a
ij
(t); (i, j = 1, 2, . . . , n) (a, b)
t
0
∈ (a, b) ;
t
0
, y
0
1
, y
0
2
, , y
0
n
∈ R
n
y(t) = (y
1
(t) , y
2
(t) , , y
n
(t))
(1.11) (a, b)
y
1
(t
0
) = y
0
1
, y
2
(t
0
) = y
0
2
, , y
n
(t
0
) = y
0
n
.
[a
1
, b
1
] ⊂ (a, b) x
0
∈ [a
1
, b
1
]
f
1
, f
2
, . . . , f
n
(1.11)
∂f
i
∂y
j
= a
ij
(t); i, j = 1, 2, . . . , n
a
ij
(t); (i, j = 1, 2, . . . , n) [a
1
, b
1
]
∂f
i
∂y
j
= |a
ij
(t)| ≤ M; i, j = 1, 2, . . . , n.
(1.11) y
1
, y
2
, , y
n
A (t) =
a
11
(t) a
12
(t) ··· a
1n
(t)
a
21
(t) a
22
(t) ··· a
2n
(t)
a
n1
(t) a
n2
(t) ··· a
nn
(t)
Y =
y
1
y
2
y
n
;
dY
dt
=
dy
1
dt
dy
2
dt
dy
n
dt
(1.11)
dY
dt
= A(t).Y.
L [Y ] =
dY
dt
− A (t) Y
(1.12)
L [Y ] = 0.
L [CY ] = CL [Y ] C
L [Y
1
+ Y
2
] = L [Y
1
] + L [Y
1
]
L
k
i=1
C
i
Y
i
=
k
i=1
C
i
L [Y
i
] C
i
(1.12)
(1.12)
(1.12).
(1.12)
(1.12).
(1.12)
(1.12).
(1.12) A(t)
Y (t) = U(t) + iV (t) U(t) V (t)
Y
1
(t) =
y
11
(t)
y
21
(t)
y
n1
(t)
; Y
2
(t) =
y
12
(t)
y
22
(t)
y
n2
(t)
; ; Y
n
(t) =
y
1n
(t)
y
2n
(t)
y
nn
(t)
(a, b)
Y
1
(t), , Y
n
(t) (a, b)
α
1
, α
2
, , α
n
α
1
Y
1
(t) + α
2
Y
2
(t) + + α
n
Y
n
(t) ≡ 0.
W (t) = W [Y
1
, Y
2
, , Y
n
] =
y
11
(t) y
12
(t) y
1n
(t)
y
21(t)
y
22
(t) y
2n
(t)
y
n1
(t) y
n2
(t) y
nn
(t)
Y
1
(t) , Y
2
(t) , . . . , Y
n
(t)
(a, b)
(a, b) W (t)
Y
1
(t) , Y
2
(t) , . . . , Y
n
(t) n
(1.12)
(a, b)
n
(1.12) (a, b)
(1.12)
(1.11)
t
0
∈ (a, b) A n detA = 0
A =
a
11
a
12
··· a
1n
a
21
a
22
··· a
2n
a
n1
a
n2
··· a
nn
Y
j
(t) =
y
1j
(t)
y
2j
(t)
y
nj
(t)
(1.11)
Y
j
(t
0
) =
a
1j
a
2j
a
nj
Y
j
(t) ; j = 1, 2, . . . , n (a, b)
Y
j
(t) ; j = 1, 2, . . . , n t
0
detA
(a, b)
(1.12)
A n
Y
1
(t), Y
2
(t), , Y
n
(t) t
0
Y
1
(t), Y
2
(t), , Y
n
(t)
(1.11)
Y (t) = C
1
Y
1
(t) + C
2
Y
2
(t) + + C
n
Y
n
(t)
(1.11) C
1
, C
2
, , C
n
Y
1
(t), Y
2
(t), , Y
n
(t)
n (1.11)
W (t) = W [Y
1
, Y
2
, , Y
n
] =
y
11
(t) y
12
(t) y
1n
(t)
y
21
(t) y
22
(t) y
2n
(t)
y
n1
(t) y
n2
(t) y
nn
(t)
.
dW
dt
=
dy
11
(t)
dt
dy
12
(t)
dt
dy
1n
(t)
dt
y
21
(t) y
22
(t) y
2n
(t)
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(1.11)
