Phương trình động Boltzmann và một số hiệu ứng động trong vật liệu bán dẫn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2






LÊ VĂN THANH






PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG BOLTZMANN VÀ
MỘT SỐ HIỆU ỨNG ĐỘNG TRONG VẬT LIỆU
BÁN DẪN

Chuyên ngành: Vật lý chất rắn
Mã số: 604407





LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

Người hướng dẫn khoa học: TS. TRẦN THÁI HOA








HÀ NỘI, 2010

Lời cảm ơn

Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Trần Thái Hoa, người
đã tận tình chỉ dạy, cung cấp cho tôi những kiến thức nền tảng, trực tiếp để
tôi hoàn thành bài luận văn này. Thầy cũng là người đã giúp tôi ngày càng
tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc
cùng thầy.
Tôi xin cảm ơn các thầy, các cô ở phòng Sau Đại Học, Khoa Vật Lý
Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, đã trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho tôi
những kiến thức quí báu về chuyên môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu
khoa học.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy các cô ở Tổ Vật Lý, Ban
Giám Hiệu Trường THPT Phương Sơn, các thầy các cô ở Tổ Vật Lý, Ban
Giám Hiệu Trường THPT Hiệp Hòa Số 3 đã luôn tạo mọi điều kiện tốt nhất
cho tôi hoàn thành khóa học tại Trường ĐHSP Hà Nội 2.
Cuối cùng, tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến những người thân
trong gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện cho
tôi trong suốt quá trình học tập và công tác của mình.

Hà Nội, tháng 10 năm 2010



Lê Văn Thanh
Lời cam đoan
Tên tôi là : Lê Văn Thanh, học viên cao học khóa 2008 – 2010.
Tôi xin cam đoan đề tài: “ Phương trình động Boltzmann và một số hiệu
ứng trong vật liệu bán dẫn”, là kết quả nghiên cứu, thu thập của riêng tôi.
Các luận cứ, kết quả thu được trong đề tài là trung thực, không trùng với các
tác giả khác.
Hà Nội, tháng 10 năm 2010
Tác giả



Lê Văn Thanh



Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
 Trong hàngngũđôngđảocác ngành vật lýchất rắn, ngànhvậtlý
bándẫnchiếmmộtvịtrírấtquantrọng,đãđượcquantâm,nghiêncứutrong
suốtnửathếkỷqua.Đếnnay,ngànhvậtlýbándẫnđãđạtđượcnhiềuthành
tựutolớn.Vớinhữngthànhtựuđó,chấtbándẫnđượcứngdụngrộngrãi
tronghầuhếtcácngànhcôngnghiệpmũinhọnnhưcôngnghiệpđiệntử,du
hànhvũtrụ,cácngànhkhoahọckỹthuậtvàcácngànhcôngnghiệpkhác.
 Thànhcôngcủacáchmạngkhoahọckỹthuậtcùngvớiviệcsửdụng
rộngrãicácvậtliệubándẫndãchorađờinhiềuloạithiếtbịmới,hiệnđại

phục vụ cho nhu cầu sinh hoạt, nghiên cứu khoa học, sản xuất, kinh
doanh nhưmáytínhxáchtay,điệnthoạidiđộng,máythuhình 
 Theoyêucầukhoahọccôngnghệ,ngànhvậtlýbándẫnđangđứng
trướctháchthứccầntạoracácnhữnglinhkiệnbándẫnnhỏgọnvớinhững
tính năng ưuviệtnhất.Trước tình hìnhđó, vấn đềtìm hiểu, giải thíchcác
hiệuứngcủavậtliệubándẫntrởlênquantrọngvàcấpthiết hơn.Quađó,
chúngtacóthểxâydựngcácmôhìnhthựcthiứngdụngcáchiệuứngtrong
vậtliệubándẫnvàotrongcácmạch,vimạchđiệntửtheoyêucầusửdụng.
 Nếutinhthểbándẫnkhôngđặttrongtrườngngoài(điệntrường,từ
trường,gradiennhiệtđộ )thìhệcácelectrondẫntrongtinhthểchỉchịutác
dụngcủatrườnglựctinhthểgâybởicáciôndươngnútmạng.Khiđó,hệcác
electron dẫn ở trạng thái cân bằng và tuân theo qui luật phân bố Fecmi –
Dirac,hayphânbốBoltzmann.Nếutinhthểbándẫnđượcđặttrongtrường
ngoài,hệcácelectrondẫnsẽởtrạngtháikhôngcânbằng(trạngtháiđộng).Ở
trạngtháinày,hệcácelectrondẫntuântheohàmphânbốkhôngcânbằng.
Khiđó, trongchấtbándẫnsẽxảy racác hiệntượng liên quanđếnchuyển
độngcủa các electron dẫn, gọi chung là hiên tượng truyền hay hiện tượng
động[1],[2],[6],[11],[12].



 Cáchiệntượngđộngtuântheophươngtrìnhđộng.Khigiảiphương
trìnhđộngtatìmđượchàmphânbốkhôngcânbằng,giảithíchđượccáchiệu
ứngtrongchấtbándẫnvàtìmrabiểuthứcđịnhlượngchocácđạilượngđặc
trưngchocáchiệuứng[1],[2],[6],[11],[13],[22],[26].

2. Mục đích nghiên cứu
 Thiếtlậpphươngtrìnhđộngchocáchiệntượngđộng
 Tìmraphươngphápgiải
 Giảiphươngtrìnhđộngtrongmộtvàitrườnghợpcụthể

 Nghiêncứuhệhaichiềutrongtừtrường

3. Những vấn đề chính được nghiên cứu
 ThiếtlậpphươngtrìnhđộngBoltzmann
 Phươngphápgiảigầnđúngthờigianhồiphục
 GiảiphươngtrìnhđộngBoltzmanntrongtrườnghợptinhthểđặttrong
điệntrườngvàtừtrường,trườngâmđiệntừ
 NghiêncứuhiệuứngHall,hiệuứngâmđiệntừ
 Nghiên cứu quang dẫn của Polaron trong điện trường mạnh có sự kích
thíchcủaángsangđơnsắc.
4. Đối tượng nghiên cứu
 Vậtliệubándẫncócấutrúcđơntinhthểlýtưởng
5. Phương pháp nghiên cứu
 Phântíchhiệntượng,đềxuấtbàitoán
 Phươngphápsố




Nội dung của luận văn
Chương 1. Phương trình động Boltzmann
1.1.PhươngtrìnhđộngBoltzmann
1.2.Trạngtháicânbằng
1.3.Phươngphápgầnđúngthờigianhồiphụcgiảiphươngtrình
độngBoltzmann
Chương 2. Hiệu ứng Hall
2.1.HiệuứngHall
2.2.NghiêncứuthựcnghiệmhiệuứngHall
2.3.GiảiphươngtrìnhđộngBoltzmannkhicótácđộngđồngthờicủa
điệntrườngvàtừtrườnglêntinhthểbándẫn

2.4.CáchệsốnhiệtđộngK
11
,K
12

2.5.CácđạilượngđặctrưngcủahiệuứngHall
2.6.HiệuứngHalltrongbándẫnsuybiến
2.7.HiệuứngHalltrongbándẫnkhôngsuybiến
2.8.HiệuúngHalltrongbándẫncótínhhỗnđộnđiệntửvàlỗtrống
Chương 3. Hiệu ứng âm điện từ trong bán dẫn
3.1.Hiệuứngâmđiệntừ
3.2.Cácphươngtrìnhcơbảncủahiệuứngâmđiệntừ
3.3.Biểuthứccủatrườngâmđiệntừ
Chương 4. Quang dẫn của Polaron trong điện trường mạnh
4.1.Phươngtrìnhđộnghọccủapolarontrongđiệntrườngmạnh
4.2.Polaronliênkếtyếu
4.3.Polaronliênkếtmạnh


Nội dung
Chương 1. Phương trình động Boltzmann
1.1. Phương trình động Boltzmann
Trongtinhthểlýtưởng[1],[12],Ởtrạngtháicânbằngnhiệtđộng,hàmsóng
củaelectron
( )
k
r




khôngthayđổitheothờigian.Tínhchấtcủađiệntửxác
địnhbởiphânbốlượngtửFecmi-Dirăc:
0
1
( , )
exp{ }-1
B
f r k
E F
k T


 
       (1.1)
HayhàmphânbốcổđiểnMaxoen-Boltzmann:
F
( , ) exp{ }.exp{ }
B B
E
f r k
k T k T
 
 
      (1.2)
Khi có trường ngoài tác dụng[1], [2], [6], [12], [15], khí điện tử sẽ ở
trạngtháikhôngcânbằng.Khiđótrongtinhthểsẽxảyracáchiệntượngliên
quanđếnchuyểnđộngcủacáchạtdẫnnhư:hiệntượngdẫnđiện,dẫnnhiệt,các
hiệntượngnhiệtđiện,hiệntượngtừGanvanic…gọichunglàhiệntượngtruyền
hayhiệntượngđộng.Cáchiệntượngđộnglàcácquátrìnhkhôngthuậnnghịch,
nótuântheophươngtrìnhđộng.Ởgầnđúngbậcthấp,tươngứngvớitácđộng

bênngoàilànhỏvàchỉxétđếnnhữnghiệuứngtuyếntính,phươngtrìnhđộng
gọilàphươngtrìnhđộngBoltzmann.
Biểuthịhàmmậtđộhạttảiđiệntrongtrạngtháiđặctrưngbởivectơsóng
k

tạiđiểm
r

là
( , )
f r k
 
còngọilàhàmphânbố.Hàmphânbốcóthểthayđổi
theothờigian,nêntrongtrườnghợptổngquátcóthểkýhiệulà
( , , )
f r k t

.Hàm
phânbốtuântheophươngtrìnhđộngBoltzmann.
Trongphầntửthểtíchphacủamộtđơnvịthểtíchtinhthểtacó:
3
r p r k
d G d d d d
   
  
     (1.3)


Với


r
d dxdydz


làphầntửthểtíchtrongkhônggianthường
3
p k
d d
 
 
làphầntửthểtíchtrongkhônggianxunglượng
SốôcơsởphatrongdGlà:
3
(2 )
dG


,màtrongđó,mỗiôcơsởphacóthểtồn
tạihaielectronvớispinngượcdấu.Dođó,trongphầntửdGchứa
3
2
(2 )
dG



trạngtháilượngtử.Với
( , , )
f r k t


làxácsuấttìmđiệntửởtrạngtháinày,thì
sốđiệntửtrongthểtíchphadGbằng:
3 3
( , , ).2 ( , , )
(2 ) 4
k
r
d
dG
d n f r k t f r k t d


 
 
   

   (1.4)
Xét hệ điện tử ở trong không gian thông thường (không gian hình
học).Đểđơngiản,chúngtađặttrườnglựcbênngoàitácdụngvàohệđiệntử
chuyểnđộngdọctheohướngdươngtrụcOxvớivậntốc
x
v
.Trongphầntử
thểtích
r
d

,sốđiệntửđiquamặtbêntráitrongthờigiandtvớivậntốcv
x


bằng:
3
( , , , , ). .d yd
4
k
x
d
f k x y z t v zd t



     (1.5)
sốđiệntửđiquamặtbênphảilà:
3
( , , , , ). .d yd
4
k
x
d
f k x d x y z t v zdt




     (1.6)
Nhưvậy,trongthờigiandtsốđiệntửtrong
r
d

thayđổimộtlượng:

3
3
[ ( , , , , ) ( , , , , )]. . .dyd
4
.dxdyd
4
k
x
k
x
d
f k x y z t f k x dx y z t v zdt
df
v zdt
x




 

 

 
  (1.7)
Trongtrườnghợptổngquát,chuyểnđộngcủađiệntửvớivậntốcv(v
x
, v
y
,

v
z
) thì sự thay đổi điện tử với vectơ sóng
k

 đã cho trong phần tử
r
d

trong
khoảngthờigiandtbằng:


3 3
[ ]. . . ( ). . .
4 4
k k
x y z r r r
d df f f
v v v d dt v f d dt
x y z
 
 
 
  
     
  
 (1.8)
Sựthayđổisố lượng hạtdẫnnày gâyra bởisựkhuếchtándọctheogradien
nhiệtđộ,hoặcdosựkhôngđồngđềucủanồngđộhạtdẫn.

Tươngtựnhưởtrênchúngtanhậnđượcsựthayđổisốlượngđiệntửtrongyếu
tốthểtích
k
d

,trongkhoảngthờigiandt bằng:
3 3
3
[ ]. . . ( ). . .
4 4
1
( . ). . .
4
y
x k kz
r k r
k
k r
k
k d d
kf f f dk
d dt f d dt
t x t y t z dt
d
F f d dt
 
 
 






  
     
     
  


(1.9)
Ởđây:
1 1
( , )
dk d p
F r t
dt dt
 
 

 
      (1.10)
Sựthayđổisốlượngđiệntửởđâylàdotácdụngcủatrườngngoài.Tácdụng
củatrườngngoàiđặctrưngbởilực
( , )
F r t


Hàmphânbốcònthayđổitheothờigiandotánxạcủađiệntửtrêncáchạtkhác
làmbiếnđổitrạngtháicủađiệntử từtrạngthái(
,

r k
 
)sangtrạngthái(
', '
r k
 
).
Với:
3
( , , ).
4
k
d
f r k t


 
làsốđiệntửởtrạngthái
k


3
'
{1 ( , ', )}.
4
k
d
f r k t




 
làsốchỗtrốngởtrạngthái
'
k


Trong quátrình vachạm(Tán xạ)vịtrícủađiệntử hầu nhưkhôngthayđổi
đángkể,nênxácsuấtchuyểnmứctrongmộtđơnvịthờigiankhôngphụthuộc
vào
r

và
'
r

.GọiW(k,k’)làxácsuấtchuyểnđiệntửtừtrạngtháik sangtrạng
tháik’trống hoàntoàn.Nhưvậy,trongthời giandt,điệntửchuyểntừtrạng
tháiksangtrạngtháik’dotánxạlàmsốlượngđiệntửtrongdGgiảmđimột
lượng:


3 3
'
( , , ) ( , ')[1 ( , ', )]. . . .
4 4
k k
r
d d
f r k t W k k f r k t d dt

 

 
 
 (1.11)
Quátrìnhchuyểntừtrạngtháiksangtrạngtháik’trongthờigiandt xảyrado
tánxạvớixácsuấtW(k’,k)làmsốlượngđiệntửtrongdGtănglênmộtlượng:

3 3
'
( , ', ) ( ', )[1 ( , , )]. . . .
4 4
k k
r
d d
f r k t W k k f r k t d dt
 

 

   
(1.12)
Nhưvậy,quátrìnhtánxạtrêncácnútkhuyết,nguyêntửiontạpchất,daođộng
nhiệtcủamạngtinhthểđãlàmchosốhạttảitrongyếutốthểtíchdGthayđổi
mộtlượng:
'
3 3
{ '( ') ( , ')[1 ( )] ( ) ( ', )[1 ( ')]}
4 4
k k

r
d d
f k W k k f k f k W k k f k d dt
 

 
  
 (1.13)
SốđiệntửtrongthểtíchdGthayđổimộtlượng:
3 3
'
{ ( ') ( ', )[1 ( )] ( ) ( , ')[1 ( ')]}
4 4
B
k k
r
V
d d
d dt f k W k k f k f k W k k f k
 

 
  

  (1.14)


Sựthayđổitoànphầncủasốđiệntửdochuyểnđộngkhuếchtán,dotácdụng
củatrườngngoài,vàdotánxạlàmthayđổisốđiệntửtrongyếutốthểtíchdG
củakhônggianpha.Trongkhoảngthờigiantừtđếnt+dt sựthayđổisốlượng

điệntửtrongyếutốthểtíchdGlà:
3 3 3
( , , ) ( , , )
4 4 4
k k k
r r r
d d d
f
f r k t dt d f r k t d d dt
t
  
  
  

  

  (1.15)
Dođó

3
3 3
1
( . ) ( . )
4
'
( { ( ') ( ', )[1 ( )] ( ) ( , ')[1 ( ')]}
4 4
B
k
r r k

k k
r
V
d
f
d dt v f F f
t
d d
f k W k k f k f k W k k f k d dt



 

 

     

   


  (1.16)
=>
3
1
( ) ( . )
'
( { ( ') ( ', )[1 ( )] ( ) ( , ')[1 ( ')]}
4
B

r k
k
V
f
v f F f
t
d
f k W k k f k f k W k k f k



     

   


  (1.17)


'
3
1
( ) ( . ) ( , ')[ ( ') ( )]
4
B
k
r k
V
d
f

v f F f W k k f k f k
t



      



   (1.18)
Vìxácsuấtchuyểntrạngtháigiữahaitrạngtháikvàk’làW(k,k’)vàW(k’,k)là
nhưnhau:W(k,k’) = W(k’,k)       (1.19)
Phươngtrình(1.18)gọilàphươngtrìnhđộngBoltzmann.Đâylàphương
trìnhvitíchphân.Giảiphươngtrìnhnàytatìmđượcnghiệmlàhàmphânbố
f(r,k,t).Hàmf(r,k,t)biếnđổitheothờigiantheobathànhphần:
Dokhuếchtánhạttải(diffusion):
( )
r
diff
f
v f
t

 
  
 

 
        (1.20)
Dotácdụngcủatrườngngoài:

1
( . )
k
field
f
F f
t

 
  
 

 

       (1.21)
Dotánxạtrêncácnútkhuyết,iontạp,nguyêntửtạp,daođộngmạng:
'
3
( , ')[ ( ') ( )]
4
B
k
scatt
V
d
f
W k k f k f k
t




 
  
 

 

     (1.22)
 Taxétquátrìnhdừng(khôngnhấtthiết làcânbằng)tạiđiểmrbấtkỳ
trongtinhthể,vớigiátrịk bấtkỳ.Hàmf(r,k,t)khôngphụthuộctườngminhvào
thờigian:
0
f
t



.Tasuyra:
0
diff field scatt
f f f
t t t
  
     
  
     
  
     
      (1.23),
Hay:

'
3
1
( . ) ( . ) ( , ')[ ( ') ( )]
4
B
k
r k
V
d
v f F f W k k f k f k


    


   (1.24)
Biểuthứcnàychothấy,ởtrạngtháidừng,sựbiếnđổihàmphânbốdochuyển
độngkhuếchtáncủahạttảivàsựbiếnđổihàmphânbốdotácdụngcủatrường
lựcbênngoàicânbằngvớisựbiếnđổihàmphânbốdotánxạcủahạttảitrên
cácsailệchmạng(iontạp,nguyêntửtạp,daodộngmạng)



1.2. Trạng thái cân bằng:
Khicócânbằngnhiệtđộng,hàmphânbốhạttảicódạnghàmphânbố
cânbằng (phânbốFecmi-Dirăcvới hệsuy biến,phânbố Boltzmannvới hệ
không suy biến). Chuyển động của điện tử trong tinh thể gây nên bởi năng
lượng nhiệt. Đối với trường hợp cân bằng thì chuyển động của điện tử do
khuếchtáncânbằngvớichuyểnđộngcủađiệntửdotrườngngoaiftácdụng.

Vìvậy:
'
0 0
3
( , ')[ ( ') ( )] 0
4
B
k
V
d
W k k f k f k


 

      (1.25)

0 0
( ') ( )
f k f k
 
        (1.26)
Taviếtbiêuthứctườngminh:

1 2
1 1
'
exp{ }+1 exp{ }+1
B B
E F E F

k T k T

 

Suyra:E – F
1
= E’ – F
2
       (1.27)
Trongđiềukiệncânbằngnhiệtđộng,nănglượngtoànphầncủađiệntử
khôngthayđổi:E = E’tasuyra:F
1
= F
2
     (1.28)
Nhưvậy,ởtrạngtháicânbằngnhiệtđộngtrongtấtcảcácphầncủahệ,giữa
chúngcóthểxảyramứcchuyểnđiệntử,vịtrímứcFecmilànhưnhau.

1.3. Phương pháp gần đúng thời gian hồi phục :
Xéttrườnghợphệđiệntửnằmởtrạngtháikíchthíchtạithờiđiểmt = 0
tangắttrườngkíchthích,hệsẽdầntrởvềvịtrícânbằng,quátrìnhtrởvềtrạng
tháicânbằnggọilàquátrìnhhồiphục.Phươngtrìnhmôtảquátrìnhhồiphục.

scatt
f f
t t
 
 

 

 
 
        (1.29)


Ởthờiđiểmngắttrườngngoàihệnằmởtrạngtháikhôngcânbằng,sau
khingắttrườngngoàinhữngquátrìnhvachạmvàtánxạlàmhạttrởvềtrạng
tháicânbằngmới.
Đểđơngiảntagiảthiếtđốivớidiễnbiếnquátrìnhhồiphụclàtốcđộthiếtlập
sựcânbằngtỷlệvớiđộlệch[f(k)-f
0
(k) ]từsựcânbằng
0
( )
scatt
f f
f f
t t k


 
 
  
 
 
 
       (1.30)
Với f
0
làhàmphânbốởtrạngtháicânbằng

flàhàmphânbốởtrạngtháikhôngcânbằng
1
( )
k

làhệsốtỷlệphụthuộcvàovectơsóngk;cóýnghĩanghịchđảothời
gianhồiphụcxunglượng.
Giảiphươngtrình1.30tađược
( )
0 0
( ) .
t
k
t o
f f f f e


  
      (1.31)
Từbiểuthức(1.31)tangậnthấy,saukhingắttrườngngoài,hiệusố(f-f
0
)giảm
đitheoquiluậthàmsốmũđốivớihằngsốthờigian
( )
k

,
( )
k


đượcgọilàthời
gianhồiphụcxunglượng(thờigianhồiphục).
Taviếthàmphânbốkhôngcânbằngdướidạng:
0 1
( ) ( ) ( )
f k f k f k
 
        (1.32)
Ởđây,
1
( )
f k
làbổchínhcủahàmphânbốcânbằngxuấthiệnnhờtácdụngcủa
trườngbênngoàitớihệ.Chúngtabiểudiễn
1
( )
f k
dướidạng
0
1
( ) ( )
f
f k k E
E




        (1.33)
Với

( )
E

làhàmvectơchưabiết.Đểtìmf
1
(k) tacầnphảitìm
( )
E

.
Giảthiếtrằngthờigianđểhệchuyểntừtrạngtháikhôngcânbằngvềtrạngthái
cânbằngkhôngphụthuộcvàotrườngbênngoài.PhươngtrìnhđộngBoltzmann
códạngsau:


0
( . ) ( . )
( )
r k
f f
v f F f
k


    
      (1.34)
Vìhàmf
0
(k)làhàmphânbốởtrạngtháicânbằngnên:
'

0 0
3
( , ')[ ( ') ( )] 0
4
B
k
V
d
W k k f k f k


 

      (1.35)
Dovậytừ1.30tacó:
'
1
1 1
3
( )
1
( , ')[ ( ') ( )].
4 ( )
B
k
scatt
V
f k
f
W k k f k f k d

t k

 

 
   
 

 

   (1.36)
Từđâytatínhđược
1 1
3
1
0
3
0
( ') ( )1 1
( , ') '
( ) 4 ( )
' ( ')
1
'
( , ')[1 ].
4
( )
B
B
k

V
k
V
f k f k
W k k d
k f k
f
k E
E
W k k d
f
k E
E

 





 


 




     (1.37)
Xétquátrìnhtánxạcủađiệntửtrêncácsailệchmạnglàcáctánxạđàn

hồi(tánxạmàđộngnăngcủahệđượcbảotoàn).Điềunàycónghĩalàtrongquá
trìnhvachạmvậntốccủađiệntửkhôngthayđổivềđộlớnmàchithayđổivề
phương,chiều.Tứclà:
'
k k

;
'
v v

.Suyra:E’ = E (1.38)
nếuvùngnănglượngcódạnghìnhcầu.
Khitínhđến(1.38)tacó:

'
3
1 1 ' ( ')
( , ')[1 ].
( ) 4 ( )
B
k
V
k E
W k k d
k k E


  
 


     (1.39)
Cácvectơk, k’cóthểmôtảbởihìnhvẽsau:



Hình1.1sựbiếnđổivectơsóngđiệntửkhitánxạ
Hìnhchiếucủa
k

,
k


lên



k k



' '
os os
k k c kc

 
 

với


làgóclệchcủađiệntửkhỏiphươngbanđầudotánxạ
Thànhthử:
 
'
'
3
1 1
W(k,k')[1- ]
( ) 4
B
k
V
k
d
k k



 



'
3
1
W(k,k')[1-cos ]
4
B
k
V

d
 


      (1.40)
Xéttrườnghợpđặcbiệtkhihạttảitánxạvớigóc

= 180
0
.Khiđók’
cùnggiátrịvớik nhưngtráidấu.Dođó:
0
1
( ') ' ( ')
'
f
f k k E
E




làhàmlẻ
W(k,k’) = W(k’,k) làhàmchẵn

' '
0
1
W( , ') ( ') W( , ') ' ( ) 0
B B

k k
V V
f
k k f k d k k k E d
E
  

  

 
  (1.41)
Tíchphântánxạ
'
1
1
3
( )
1
W( , ') ( ')
4 ( )
B
k
scatt
V
f k
f
k k f k d
t k

 


 
  
 

 

    (1.42)

k


'
k






Tarútrathờigianhồiphụcđốivớiquátrìnhtánxạdẫnđếnsựphânbốvậntốc
cábiệt:
'
3
1 1
W(k,k').d
( ) 4
B
k
V

scatt
k

 
 

 
 

     (1.43)
 Nhưvậy,khigiảibàitoánkhảosátcácquátrìnhtruyền(tứclàtìmcác
đạilượngđặctrưngchohiệuứngđộng)tacầnphảitìmhàmphânbốkhôngcân
bằngf(k).Bàitoánsẽđượcgiảiquyếtkhitínhđượcthờigianhồiphục
( )
k

.Đại
lượngnàytìmđượcnếutabiếtđượccơchếtánxạcủahạtdẫnlêncácsailệch
mạng(biếtgóc

).
 Trườnghợptánxạtrêncáciôntạpchất[2],[6],[11],[13]:

2 2 *2 3
0
* 2
2 4
0
1/3 2
( )

2 ln[1+( )]
2
i
i
i
m v
k
m v
N Z e
N Ze
 




    (1.44)
Trongđó:
 
2
1
2 2
1
*
E
m
k






        (1.45)
m*gọilàkhốilượnghiệudụngcủađiệntử
N
i
lànồngđộiôntạpchất

1 / 2
2
*
E
v
m
 

 
 
        (1.46)
làvậntốccủađiệntử
Thànhthử:

2 2 * 1/ 2
3/ 2
0
2 4
0
1/ 3 2
2 ( )
( )
ln [1+( )]

i
i
i
m
k E
E
N Z e
N Ze
 




   (1.47)
3/ 2
0
( ) .
i
k E
 

        (1.48)


Với:
2 2 * 1/ 2
0
0
2 4
0

1/3 2
2 ( )
ln [1+( )]
i
i
m
E
N Z e
N Ze
 




    (1.49)
0

hầunhưkhôngphụthuộcvàonănglượng.
 Tánxạtrênnguyêntửtạptrunghoà[6],[11]:
2
3
( *) 1
( ) .
20
a
a
e m
k
e N




       (1.50)
VớiN
a
lànồngđộnguyêntửtạpchất.
Theocôngthứcnày,thờigianhồiphụckhihạttảitánxạtrênnguyêntửtạp
trunghoàkhôngphụthuộcvàonhiệtđộ,cũngkhôngphụthuộcvàonănglượng
củahạttải.Songgiátrịcủanóchỉđángkểởnhiệtđộrấtthấpkhimậtđộcác
nguyêntửtạpbịiônhoánhỏhơnmậtđộcácnguyêntửtạptrunghoà.Khiđó
vaitròtánxạtrênnguyêntửtạptrunghoàmớiđángkểsovớitánxạtrêniôn
tạpchất.Điềuđóchỉxảyraởnhiệtđộrấtthấp.
 Tánxạtrêndaođộngmạng[6]:
Hạttảicóthểtánxạtrêncácphonon,traođổivớiphononnănglượngcũngnhư
xunglượngcủachúng.Tươngtácđiệntửphononthểhiệnquaviệcsinh(phát)
hoặchủy(hấpthụ)phononlàmđiệntửbiếnđổitừtrạngtháik sangtrạngthái
k’.Khimộtđiệntửtươngtácchonănglượnglàmsinhramộtphononcónăng
lượng
q


.Ngượclại,khimộtđiệntửtươngtácnhậnnănglượngvàlàmmất
mộtphononcónănglượng
q


.
Trongquátrìnhvachạmhệluônthoảmãnđịnhluậtbảotoànnănglượng
vàxunglượng:
Hấpthụphonon

'( ') ( )
q
E k E k

 




k’ = k + q         (1.50)
phátxạphonon
'( ') ( )
q
E k E k

 


k’ = k - q         (1.51)
Nếu điệntử tánxạtrênphononâmdọcthìthờigianhồi phục xácđịnh theo
côngthức:
'
'
3
1 1
W ( , ')[1 - ]
4
B
k
V

k
k k d
k



 




'
3
1
W ( , ')[ ]
4
B
k
V
q
k k d
k




 




' '
3 3
1 1
W ( , ') W ( , ')
4 4
B B
k k
V V
q q
k k d k k d
k k
 
 
 
 
 
 
 
 (1.52)
số hạng thứ nhất được coi là huỷ phonon, số hạng thứ hai được coi là sinh
phonon.
Xácsuấtchuyểncủađiệntửtrongtrườnghợphuỷphononvàchuyểntừ
trạngtháiksangtrạngtháik’.

2 2
4
W ( , ') ( ' )
9
q q
q

C q
k k N E E
N

 


   
   (1.53)
Trongtrườnghợpsinhphonon:

2 2
4
W ( , ') ( 1) ( ' )
9
q q
q
C q
k k N E E
N

 


    
   (1.54)
Nhữngtínhtoángầnđúngđưađếnkếtquảlàthờigianhồiphục
( )
L
k


dotán
xạtrênphononâmcódạng:
3/2
0
( )
L
k E
 


        (1.55)
Trongđó
0

hầunhưkhôngphụthuộcvàonănglượng.


Trongchấtbándẫncóthểcónhiềuloạitâmtánxạ.Tuynhiêncácchất
bándẫnthườngdùngđểchếtạocáclinhkiệnbándẫnhiệnnaythườnglàđơn
tinhthể.Dotínhhoànhảocủatinhthể,chủyếuchỉcóhailoạitâmtánxạ:đó
làtánxạtrêncáciôntạpchấtvàcácphonondaođộngmạngtinhthể.Đâylàhai
dạngtánxạquantrọngnhấtcủachấtbándẫn.
Tánxạtrêniôntạpchấtđưađếnbiểuthứccủathờigian hồiphụcphụ
thuộcvàonănglượng:
3/2
0
( ) .
i
k E

 

        (1.47)
Nghĩa là
( )
i
k

 phụ thuộc vào T
3/2
, hay
( )
i
k

 tăngtheo nhiệt độ. Ngược lại,
trongtrườnghợptánxạtrêncácphonondaođộngmạngdẫnđếnbiểuthứccủa
thờigianhồiphụcgiảmtheonhiệtđộvìnóphụthuộcvàonănglượngtheobiểu
thức:
3/2
0
( )
L
k E
 


        (1.55)
Nghĩalà
( )

L
k

phụthuộcvàoT
-3/2
,hay
( )
L
k

giảmtheonhiệtđộ


Chương 2. Hiệu ứng Hall
HiệuứngGanvanic-từlàhiệuứngliênquanđếnchuyểnđộngcủahạt
dẫndướitácdụng đồngthời củađiệntrường vàtừtrường.Xácđịnhbởilực
Lorentz
[ ]
F e e v B

  
   
       (2.1)
Trongđó: elàđiệntíchhạtdẫn
 


làcườngđộđiệntrườngcủađiệntrườngđặtvàomẫu
 
B


làcảmứngtừcủatừtrườngđạtvàomẫu
Chúngtagiảthiết(chocáctrườnghợpnghiêncứuởđây)mặtđẳngnănglàmặt
cầuđểchokhốilượnghiệudụnglàvôhướng,cựctrịnănglượngnằmởtâm
vùngBrilouin(k = 0),nghĩalàtrongvùngdẫnchỉcómộtcựctiểutuyệtđối,
trongvùnghoátrịcómộtcựcđại.Đồngthờitachỉnghiêncứutừtrườngyếuđể
cóthểbỏquacáchiệuứngphituyếntính.
HiệuứngHalllàmộthiệuứngnổibậtvàquantrọngnhấtcủacáchiệu
ứngGanvanic-từ.Nhưchúngtađãbiếtmộtđiệntíchchuyểnđộngtrongđiện-
từtrườngsẽchịutácdụngcủalựcLorentz.
[ ]
F e e r B mr

   
  
 
      (2.2)
Nếuđiệntíchchuyểnđộngtrongchânkhôngchúngtacóthểgiảiphương
trình (2.2) để tìm quĩ đạo của điện tử. Trong tinh thể tình hình sẽ khác đi,
chuyểnđộngcủađiệntửsẽphứctạphơnnhiều,vìngoàichuyểnđộngdướitác
dụng của trường ngoài, hạt dẫn còn tham ra chuyển động nhiệt và va chạm
thườngxuyênvớicáctâmtánxạtrongmạngtinhthể.Chuyểnđộngnhiệtcủa
hạtdẫnđượcđặctrưngbởithờigianchuyểnđộngtựdotrungbình

,đốivới
chuyểnđộngdướitácdụngcủatừtrườngthìđólàmộtchuyểnđộngquay,chu


kỳcủamộtvòngquaytrongtừtrườnglà
2 /

C C
T
 

,trongđó
C

làtầnsố
Cycloton:
*
/
C
eB m



Trongtinhthể,điệntửthamgiađồngthờihaichuyểnđộngnóitrên,nếu
*
2
2 /
C C
m
T
eB

  
  

(
C

T


)
thìtrongkhoảngthờigianchuyểnđộng
tựdođiệntửkịpthựchiệnmộtsốvòngquay,trongtrường hợpđótanóitừ
trườngmạnh.Nếungượclại
C
T


thìquĩđạocủađiệntửtrongtinhthểsẽlà
từngkhúcquĩđạotrònghéplại,trongtrườnghợpnàytanóitừtrườngyếu.Tiêu
chuẩnchotừtrườngyếucóthểviếtlà
. 1
B


,trongđó

.làđộlinhđộngcủa
hạtdẫn.

2.1. Nghiên cứu thực nghiệm hiệu ứng Hall:
TanghiêncứuhiệuứngHalltrênmộtmẫubándẫnđơntinhthểhìnhhộp
cókíchthướctheocáccạnh:
Theotrụcox:a
Theotrụcoy:b
Theotrụcoz:c


Khichodòngđiệnchạyquamẫubándẫnnóitrêntheochiềutrụcox,từ
trườngđặtvaomẫutheochiềutrục0z tasẽthuđượcmộtđiệntrườngtheotrục
oy(nếumạchhở)hoặcdòngđiện(nếuphươngnàyđượcnốithànhmạchkín).
SơđồbiểudiễnnguyênlýhiệuứngHallđượcbiểudiễnnhưhìnhvẽ2.1
Thựcnghiệmchothấy:
H
y
V
R B J
b

  
 
        (2.4)

1
.( )
.
y
H
V
R
I
BJ b
B
c b

  

       (2.5)
Hay
.
.
H
V c
R
I B

        (2.6)
RgọilàhằngsốHallđobằngm
3
/C;V
H
làhiệuđiệnthếHallđobằngvôn,Bđo
bằngTesla.
ChúngtacóthểgiảithíchhiệuứngHallnhưsau:
Khikhôngcótừtrường,hạtdẫnvềtrungbìnhchuyểnđộngtheođiệntrường
(theochiềutrụcx)nêntheo trụcycóđiện trườngbằngkhông. Khi tađặt từ
A

K
x

z

y

U
H

B

B


Hình2.1.SơđồthựcnghiệmhiệuứngHall
V



trườngtheochiềutrụcz.Từtrườngtácdụnglêncáchạtdẫnchuyểnđộnglàm
cáchạtdẫnchuyểnđộnglệchtheotrụcy,dẫnđếnmộtmặtgiớihạntheotrụcy
thừađiệntíchcủahạtdẫn,mặtkiathiếuloạiđiệntíchđó,làmphátsinhmột
điệntrườngtheotrụcylà
y

.Khixuấthiện
y

,dotácdụngcủa
y

cânbằng
vớitácdụngcủatừtrườngmàhạtdẫnlạichuyểnđộngsongsongvớitrụcx.
Điệntrườngtrongmẫulàđiệntrườngtổnghợpcủa
x

và
y


khôngcònsong
songvớitrụcxmànghiêngvớitrụcxmộtgóc

.Góc

gọilàgócHall.
Điềukiệnđểhạtdẫnchuyểnđộngsongsongvớitrụcx(khixuấthiện
y

ổn
định)
0
y d
e e v B

 
  
 
  
        (2.7)

y d
v B

 
   
 
  
        (2.8)
d

v

làvậntốccủahạtdẫn(vậntốccuốn),elàđiệntíchcủahạtdẫn.

d d x
v
 

 
         (2.9)

y d x
B
  
 
   
 
  
        (2.10)
Mặtkhác:
H
y
V
R B J
b

  
 
        (2.4)


y x
R B J R B
  
   
    
   
    
      (2.11)

d
R
 

         (2.12)
Hay
1
d d
d
R
ne ne
 
 
  
        (2.13)
Với:n:nồngđộhạtdẫn
d

độlinhđộnghạtdẫn

d

ne
 

điệndẫnxuất


Dovậy,xácđịnhđượcR từthínghiệmtacóthểxácđịnhđượcnồngđộ
hạtdẫn,loạihạtdẫn,theocôngthức(2.13).NgoàiratacòntínhđượcgócHall.

tan
y
d
x
R B B

  

    
      (2.14)
2.2. Giải phương trình động Boltzmann khi có tác động đồng thời của điện
trường và từ trường vào tinh thể bán dẫn.
PhươngtrìnhđộngBoltzmanntrongtrạngtháidừngviếttronggầnđúng
thờigianhồiphục:
1
( )
( )
r k
f k
v f k f
k


    


      (2.15)
Xéttinhthểđồngnhấtđểcó:
0
r
f
 

Dovậy,phươngtrìnhđộngBoltzmannkhicótácdụngđồngthờicủa


và
B


viếtchođiệntửtrongtinhthểđồngnhấtviếttronggầnđúngthờigianhồiphục
:


1
( )
( )
k k
f k
e
k f v B f
k



 
      
 
  


    (2.16)
Tađitìmhàmphânbốf = f
0
+ f
1
nhưsau:



 
1
0 1
( )
( )
k k
f k
e
v B f f
k


 

      
 
  

    (2.17)
hiểnnhiênrằng:

0 0
0k
f fE
f v
E k E
 

  
  


      (2.18)

0
v B v
 
 
 
  
        (2.19)
từ(2.18)và(2.19)tacó

0

0
k
e
v B f
 
  
 
 

       (2.20)


giảthiếtrằnghàmf
1
đủnhỏđể:

 
0 1 0
k k k
e e
f f f
 
   
 

 
    (2.21)
thayvào(2.17)tađược:

1

0 1
( )
( )
k k
f k
e e
f v B f
k


 
     
 

 
 
    (2.22)
Tatìmf
1
dướidạng(1.33):

0
1
( ) ( )
f
f k k E
E








khiđótanhậnđược:

0
1
0 0
( )
( )
k k
f
f k E
E
f f
E k v
E E E

 

 
  
 

 
 
 
  
 

  
 
 
   

     (2.23)
Chúýđếncáccôngthức:
0
v B B v
v B v
 
   
  
   
 
 
 
     
  
      (2.24)
Thay(2.23)vào(2.22)tađược:
0
1
1
o
f f
f e B v k
E E
   
 

 
 
     
 
 
 
 
     

     (2.25)
Từphươngtrìnhnàytatìmđược



*
1e
B
m

  
 
 
  
 
 
 
   


      (2.26)

Vớim
*
làkhốilượnghiệudụngcủahạtdẫn:
*
k
m
v





Đặt 
*
e
A
m



 

;
*
e
B
m






     (2.27)