Trạng thái kết hợp của các dao động tử Para-Boson biến dạng

1
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2




MẪN VĂN NGỮ




tr¹ng th¸i kÕt hîp cña c¸c dao ®éng tö
Para-boson biÕn d¹ng


Chuyên ngành : Vật lí lí thuyết và Vật lí toán
Mã số : 60 44 01





LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ





Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS LƯU THỊ KIM THANH

HÀ NỘI, NĂM 2011

2

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Lưu Thị Kim
Thanh, PGS.TS đã hướng dẫn, cung cấp tài liệu và truyền đạt cho tôi những
kiến thức, kinh nghiệm và phương pháp nghiên cứu khoa học để tôi hoàn
thành tốt luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Vật lí lí thuyết - Khoa
Vật lí Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã nhiệt tình giảng dạy tạo điều kiện
giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Cuối cùng tôi xin cảm ơn Ban Giám Hiệu Trường Đại học sư phạm Hà
Nội 2, Phòng Sau Đại Học Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, Trường Cao
đẳng Công nghiệp Hưng Yên đã điều kiện giúp tôi hoàn thành khoá học này.

LỜI CAM ĐOAN
3

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh. Luận văn không hề trùng lặp với
những đề tài khác.

Hà Nội, ngày tháng năm 2011
Tác giả


Mẫn Văn Ngữ
4

5
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU
1
CHƯƠNG I: BIỂU DIỄN MA TRẬN CỦA CÁC TOÁN TỬ SINH -
HỦY BOSON
3
1.1. Biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa tuyết tính 3
1.2. Biểu diễn ma trận của các toán tử sinh - hủy Boson 11
CHƯƠNG II: TRẠNG THÁI KẾT HỢP CỦA CÁC DAO ĐỘNG TỬ
PARA – BOSON
16
2.1. Trạng thái kết hợp 16
2.1.1. Hiện tượng ngư tụ Bose-Einstein 16
2.1.2. Trạng thái kết hợp 22
2.2. Trạng thái kết hợp của các dao động tử Para Boson 24
2.2.1. Dao động tử Boson 24
2.2.2. Dao động tử Para Boson 25
2.2.3. Thống kê Para Boson 27
2.2.4. Trạng thái kết hợp của các dao động tử Para Boson 28
CHƯƠNG 3: TRẠNG THÁI KẾT HỢP CỦA CÁC DAO ĐỘNG TỬ
PARA BOSON BIẾN DẠNG
32
3.1. Trạng thái kết hợp của các dao động tử Boson biến dạng q 32
3.1.1. Lý thuyết q số 32
3.1.2. Dao động tử điều hòa biến dạng q 34
3.1.3. Trạng thái kết hợp của các dao động tử Boson biến dạng q 36
3.1.4. Dao động tử Boson biến dạng q tổng quát 39

3.2. Dao động tử có thống kê vô hạn 40
3.2.1. Phân bố thống kê của dao động tử có thống kê vô hạn 41
3.2.2. Trạng thái kết hợp của dao động tử có thống kê vô hạn 42
3.3. Trạng thái kết hợp của các dao động tử Para Boson biến dạng q
tổng quát
44
3.3.1. Dao động tử Para – Boson biến dạng q tổng quát 44
6
3.3.2. Phân bố thống kê Para – Boson biến dạng q tổng quát 45
3.3.3. Trạng thái kết hợp của các dao động tử Para – Boson
biến dạng q tổng quát
46

MỞ ĐẦU
7
1. Lý do chn ti
Ngày nay lý thuyết trờng lợng tử đã tạo nên cơ sở của thế giới quan vật
lý để lý giải bản chất của các hạt vi mô về mặt cấu trúc và các tính chất của
nó. Từ đó lý thuyết trờng lợng tử đã mở ra con đờng để nhận biết các
quá trình vật lý xảy ra trong thế giới vi mô, thế giới của các phân tử, nguyên tử
hạt nhân và các hạt cơ bản.
Trạng thái kết hợp diễn tả trạng thái ngng tụ Bose - Einstein là một
trạng thái đặc biệt của vật chất và của các hạt vi mô. Trong trạng thái kết hợp
hệ thức bất định Heisenbeg đạt giá trị cực tiểu (dấu bằng). Việc nghiên cứu
trạng thái kết hợp của các dao động tử đã góp phần giải quyết các bài toán phi
tuyến của quang học lợng tử, lý thuyết chuyển pha lợng tử làm chính xác
và phong phú thêm những hiểu biết về thế giới hạt vi mô.
Với mong muốn tìm hiểu rõ hơn về trạng thái kết hợp của các dao động
tử, tôi đã chọn đề tài '' Trạng thái kết hợp của các dao động tử Para-Boson biến
dạng'' .
2. Mc ớch nghiờn cu
- Nghiên cứu các dao động tử Para-Boson trong lý thuyết trờng lợng tử
và các trạng thái kết hợp của các dao động tử Para-Boson biến dạng q -tổng
quát.
3. Những vấn đề chính đợc nghiên cứu
- Tính phân bố thống kê của các hệ dao động tử biến dạng.
- Xây dựng trạng thái kết hợp của các dao động tử Para-Boson biến dạng q
tổng quát.

- Các hệ thức về phơng sai của toạ độ và xung lợng.
- Số hạt trung bình trong trạng thái kết hợp và xác suất để trạng thái kết
hợp có n hạt.
4. i tng nghiờn cu v phm vi nghiờn cu
8
- Hệ các dao động tử Para-Boson.
5. Phng phỏp nghiờn cu
- Phơng pháp lý thuyết trờng lợng tử.
- Phơng pháp lý thuyết nhóm lợng tử.
- Phơng pháp giải tích toán học.
- Sử dụng hình thức luận các dao động tử điều hòa và hình thức luận các
trạng thái kết hợp cho các hệ hạt vi mô.
6. Nhng úng gúp mi v khoa hc, thc tin ca ti
- Đề tài có ý nghĩa góp phần vào việc nâng cao chất lợng dạy và học
trong nhà trờng s phạm, nâng cao năng lực nghiên cứu khoa học của giảng
viên, học viên cao học.
- Xây dựng các trạng thái kết hợp của các dao động tử Para-Boson biến
dạng q tổng quát, thu đợc các hệ thức về phơng sai của tọa độ và xung
lợng, tính đợc số hạt trung bình của hệ trong trạng thái kết hợp và xác suất
để trạng thái kết hợp có n hạt.
7. Kt cu ca lun vn
Ngoi phn m u v kt lun, lun vn c chia lm ba chng:
Chng 1: Biu din ma trn ca cỏc toỏn t sinh - hy Boson
Chng 2: Trng thỏi kt hp ca cỏc dao ng t Para - Boson
Chng 3: Trng thỏi kt hp ca cỏc dao ng t Para Boson bin
dng


NI DUNG

9
CHƯƠNG I: BIỂU DIỄN MA TRẬN CỦA CÁC TOÁN TỬ
SINH - HỦY BOSON

1.1. Biểu diễn số hạt của dao động từ điều hòa tuyến tính
Dao động từ điều hòa một chiều là một chất điểm có khối lượng m,
chuyển động dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi f = -kx dọc theo một đường
thẳng nào đó.
Ta có biểu thức toán tử Hamiltonian của dao động từ điều hòa một
chiều:




2
2
x
m
P
H x
2m 2

 
(1.1)
Ký hiệu:
ˆ
ˆ
x q
là toán tử tọa độ

x
d
ˆ ˆ
p p i
dx
  

là toán tử xung lượng.
Hệ thức giao hoán giữa
ˆ
p
và
ˆ
q


 
 
d d d d
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
p,q pq qp i x x i i x i x
dx dx dx dx
          


 
 
d d
ˆ ˆ
p,q i x i x i

dx dx
          


 
ˆ ˆ
p,q i   
(1.2)
Do đó ta có thể biểu diễn toán tử Hamiltonian theo
ˆ
p
và
ˆ
q
như sau:


2
2
2
ˆ
p
m
ˆ
H q
2m 2

 
(1.3)
Ta đặt:

 
m
ˆ ˆ ˆ
p i a a
2


 



 
h
ˆ ˆ ˆ
q a a
2m

 



10
Khi đó ta biểu diễn
ˆ
H
theo
ˆ
a
và
ˆ

a

như sau:

   
2
2 2
2 2
2 2
ˆ
p
m m m
1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
H q .i . . a a . a a
2m 2 2m 2 2 2m
  
  
     





   
     
 
2 2
1
ˆ ˆ ˆ ˆ

. a a a a
2 2
1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
. a a a a a a a a
2 2
1
ˆˆ ˆ ˆ
. 2aa 2a a
2 2
 
   
 

 
   
 

     
 
 

 





 
ˆˆ ˆ ˆ

aa a a
2
 

 

(1.4)
Ta biểu diễn các toán tử
ˆ
a
và
ˆ
a

ngược lại qua
ˆ
p
và
ˆ
q
:

 
ˆ
p
m
2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
p i a a a a ip
2 m

m
i
2
 

      







 
ˆ
q
2m
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
q a a a a q
2m
2m
 

     






Từ đó ta thu được:

ˆ
p
m
ˆ ˆ
a q i
2 m
 
  
 

 

(1.5)

ˆ
p
m
ˆ ˆ
a q i
2 m

 
  
 

 

(1.6)

Dễ dàng chứng minh được các toán tử
ˆ
a
và
ˆ
a

thỏa mãn hệ thức giao
hoán:

 
ˆ ˆ
a,a 1


(1.7)
11
Thật vậy:

 
ˆ ˆ
p p
m m
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
a,a aa a a q i q-i
2 m 2 m
  
   
     
   

 
   
 


ˆ ˆ
p p
m m
ˆ ˆ
q i q i
2 m 2 m
   
    
   
 
   
 


   
1 i
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
2i pq 2i qp pq qp 1
2
     

 

Vậy ta thu được toán tử Hamiltonian có dạng:


1
ˆ ˆ
H a a
2

 
  
 
 

(1.8)
Ta đưa vào toán tử mới
ˆ
ˆ ˆ
N a a


. [2] (1.9)
Hệ thức giao hoán giữa toán tử

N
với các toán tử
ˆ
a
và
ˆ
a

là:

+
 
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ
N,a Na aN a aa aa a a a aa a 1.a a
   
 
         
 

Hay:
 
ˆ ˆ
ˆ ˆ
Na a N 1 
(1.10)
+
 
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
N,a Na a N a aa a a a a aa a a a .1 a
           
 
       
 

Hay
 
ˆ ˆ
ˆ ˆ

Na a N 1
 
 
(1.11)
Ta ký hiệu
n
là véc tơ riêng của toán tử
ˆ
N
ứng với trị riêng n.
Khi đó ta có phương trình hàm riêng, trị riêng của toán tử
ˆ
N
như sau:

ˆ
N n n n

(1.12)
ˆ
n N n n n n n n n
  

ˆ
ˆ ˆ
n N n n a a n
n
n n n n

  

(1.13)
Vì:
 
2
n
n n r dr 0  

 


 
2
n
ˆ ˆ ˆ
n a a n a r dr 0

  

 

12
Kết luận 1:
Các trị riêng của toán tử
ˆ
N
là các số không âm.
Xét véc tơ trạng thái thu được
ˆ
a n
bằng cách tác dụng toán tử

ˆ
a
lên
véc tơ trạng thái
n
. Tác dụng lên véc tơ trạng thái này toán tử
ˆ
N
và sử dụng
công thức (1.10) ta có:

 
   
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
Na n a N 1 n aN n a n
ˆ ˆ
a n 1 n n 1 a n
   
   
(1.14)
Hệ thức trên có ý nghĩa là:
Véc tơ trạng thái
ˆ
a n
cũng là véc tơ trạng thái riêng của toán tử
ˆ
N
ứng
với trị riêng (n - 1).

Tương tự như vậy
2 3
ˆ ˆ
a n ;a n
cũng là véc tơ trạng thái riêng của toán
tử
ˆ
N
ứng với trị riêng (n - 2), (n - 3)…
Ta tiếp tục xét véc tơ trạng thái
ˆ
a n

, tác dụng lên véc tơ trạng thái
này toán tử
ˆ
N
, sử dụng công thức (1.11) ta có:

 
   
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
Na n a N 1 n a N n a n
ˆ ˆ
a n 1 n n 1 a n
   
 
   
   

(1.15)
Hệ thức trên có ý nghĩa là: Véc tơ trạng thái
ˆ
a n

cũng là véc tơ trạng
thái riêng của toán tử
ˆ
N
ứng với trị riêng (n + 1).
Tương tự như vậy
2 3
ˆ ˆ
a n ;a n
 
cũng là véc tơ trạng thái riêng của toán
tử
ˆ
N
ứng với trị riêng (n + 2), (n + 3)…
Kết luận 2:
Nếu
n
là một véc tơ trạng thái riêng của toán tử
ˆ
N
ứng với trị riêng n
thì
p
ˆ

a n
cũng là một véc tơ riêng của toán tử
ˆ
N
ứng với trị riêng (n – p),
13
(p = 1,2,3…) và
 
p
ˆ
a n

cũng là véc tơ trạng thái riêng của toán tử
ˆ
N
ứng
với trị riêng (n+p).
Kết hợp kết luận 1 và kết luận 2 ta thấy n là một trị riêng của toán tử
ˆ
N

thì chuỗi các số không âm n – 1, n – 2, n – 3… cũng là trị riêng của toán tử
ˆ
N
. Vì chuỗi này giảm dần nên phải tồn tại một số không âm nhỏ nhất, thỏa
mãn:

min
ˆ
a n 0

(1.16)
Vì nếu
min
ˆ
a n 0
thì đó là véc tơ trạng thái ứng với trị riêng
min
(n 1)

trái với giả thiết n
min
là trị riêng nhỏ nhất.
Từ (1.16) ta có:
min min
ˆ
ˆ ˆ
a a n N n 0

 
(1.17)
Mặt khác theo định nghĩa
min min min
ˆ
N n n n

(1.18)
So sánh hai phương trình (1.17) và (1.18) ta đi đến kết luận như sau:
Kết luận 3:
Trị riêng nhỏ nhất của toán tử
ˆ

N
là n
min
có giá trị bằng 0. Véc tơ trạng
thái ứng với trị riêng nhỏ nhất của
ˆ
N
được ký hiệu
0
. Véc tơ trạng thái này
thỏa mãn điều kiện
ˆ
a 0 0
.
Ta có:
+
ˆ
a 0

tỉ lệ với véc tơ riêng
l
của
ˆ
N
ứng với trị riêng n = 1.
Thật vậy ta có:
 
ˆ
N 1 11 *


Mà
ˆ
a 0

là một véc tơ riêng của toán tử
ˆ
N
ứng với trị riêng 0 + 1 = 1,
tức là
 
ˆ
ˆ ˆ
Na 0 1a 0 . **
 


Từ (*) và (**) ta thấy:

1
là véc tơ riêng của toán tử
ˆ
N
ứng với trị riêng là 1.
14

ˆ
a 0

là véc tơ riêng của toán tử

ˆ
N
ứng với trị riêng là 1.
Vì vậy
ˆ
a 0

phải tỉ lệ với véc tơ riêng
l
của toán tử
ˆ
N
ứng với trị
riêng n = 1.
+ Tương tự
2
ˆ
a 0

tỉ lệ với véc tơ riêng
2
của toán tử
ˆ
N
ứng với trị
riêng n = 2, …,
n
ˆ
a 0


tỉ lệ với véc tơ riêng
n
của toán tử
ˆ
N
ứng với trị
riêng n.
Từ biểu thức:
1 1
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
H a a N N
2 2 2

   

       
   
   

  


ˆ ˆ
H 0 N 0 0
2

   



. Vì
ˆ
N 0 0 0 0 


0
ˆ
H 0 0 E 0
2

 


Nên:
0
là véc tơ riêng của
ˆ
H
ứng với trị riêng
0
1
E
2
 


1
là véc tơ riêng của
ˆ
H

ứng với trị riêng
1
1
E 1
2
 
  
 
 


…………………………………………………………

n
là véc tơ riêng của
ˆ
H
ứng với trị riêng
n
1
E n
2
 
  
 
 


Vậy các trạng thái dừng của dao động tử điều hòa có năng lượng gián
đoạn với các giá trị cách đều nhau, hiệu số năng lượng giữa hai trạng thaí kề

nhau luôn luôn bằng một lượng tử năng lượng

.

2
1
5
1
E 2
2 2
3
1
E 1
2 2
 
    
 
 
 
    
 
 
 
 


12 2 1
E E E
     

15
Trạng thái
0
có năng lượng thấp nhất là E
0
, trạng thái tiếp theo
1
với
năng lượng
0
E
 
có thể được xem như là kết quả việc thêm một lượng tử
năng lượng

vào trạng thái
0
. Trạng thái tiếp theo
2
ứng với năng
lượng
1 0
E E 2     
có thể được xem như là kết quả của việc thêm một
lượng tử năng lượng

vào trạng thái
1
, cũng có nghĩa là thêm hai lượng
tử năng lượng


vào trạng thái
0
. Nếu ta lấy gốc tính năng lượng là E
0
, thì
có thể coi trạng thái
0
là trạng thái không chứa lượng tử nào. Vì vậy
0

được gọi là trạng thái chân không,
1
là trạng thái chứa một lượng tử,
2
là
trạng thái chứa hai lượng tử …
n
là trạng thái chứa n lượng tử. Toán tử
ˆ
N

có các giá trị nguyên không âm, cách nhau một đơn vị được đoán nhận là toán
tử số năng lượng. Toán tử
ˆ
a
khi tác dụng lên
n
cho một trạng thái tỉ lệ với
n 1

do đó được đoán nhận là toán tử hủy lượng tử năng lượng. Toán tử
ˆ
a


khi tác dụng lên
n
cho một trạng thái tỉ lệ với
n 1
do đó được đoán nhận
là toán tử sinh lượng tử năng lượng. Nếu ta tưởng tượng rằng lượng tử năng
lượng là một hạt thì toán tử
ˆ
N
sẽ là toán tử số hạt,
ˆ
a
sẽ là toán tử hủy hạt,
ˆ
a


sẽ là toán tử sinh hạt, khi đó trạng thái
n
với năng lượng
n
E
 
sẽ là trạng
thái chứa n hạt, đó là biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa.

Trong cơ học lượng tử trạng thái dừng của một dao động tử điều hóa có
thể coi là tập hợp của nhiều hạt, mỗi hạt có năng lượng bằng

.
Như ta đã lập luận ở trên khi toán tử
ˆ
a
tác dụng lên
n
cho một trạng
thái tỉ lệ với
n 1
và toán tử
ˆ
a

khi tác dụng lên
n
cho một trạng thái tỉ lệ
với
n 1
. Do đó chúng ta sẽ tính các hệ số tỉ lệ
n n n
, ,  
trong các hệ thức:
16

n
n
n

n
ˆ
a n n 1
ˆ
a n n 1
ˆ
n a 0


  
  
 

Để cho các véc tơ là trực giao và chuẩn hóa thì:

m,n
1 khi m n
m,n
0 khi m n


  




+ Tìm 
n
:
Chúng ta có

n ,n
ˆ ˆ
n N n n N n
n
n n
 



ˆ
ˆ ˆ
n n N n n a a n

  

Mặt khác
*
n
ˆ
n a n 1

  

Do đó:
* 2 2
n n n n
n n 1 n 1 n 1 n 1
          

Coi 

n
là thực nên
n
n
 

+ Tìm 
n
:
Ta có
ˆ
ˆ ˆ ˆˆ
n n N n n a a n n aa 1 n
 
   

Mặt khác:
*
n
ˆ
n a n 1  

Do đó:
ˆ
ˆˆ
n n N n n aa 1 n

  

* 2
n n n
n 1 n 1 1 1        

Coi 
n
là số thực nên
2
n n
n 1 n 1      

+ Tìm 
n
:
Ta có
 
n 1
n
n n
ˆ ˆ ˆ
n a 0 a a 0

  
   


     
n 1 n 2 n 2
n 0 n 0 n 0 1
ˆ ˆ ˆ ˆ

n a 1 a a 1 a 2
  
   
          

17

 
n 2
n 0 1
n 0 1 3 n 1
n n
n
ˆ
n a 2
n n
n 1.2.3 n n n! n
1
n!



    
      
    
  

Vậy ta thiết lập được các công thức sau:

ˆ

N n n n



ˆ
a n n n 1 
(1.19)

ˆ
a n n 1 n 1

  
(1.20)

n
1
ˆ
n a 0
n!


(1.21)

1.2. Biểu diễn ma trận của các toán tử sinh, hủy Boson
Ta đã tìm được các hệ thức giao hoán của toán tử sinh hạt và toán tử
hủy hạt [2]:

 
   
ˆ ˆ

a,a 1
ˆ ˆ ˆ ˆ
a,a a ,a 0

 

 
(1.22)
Mở rộng các hệ thức này cho hệ nhiều hạt ở nhiều trạng thái khác nhau
như sau:

v
ˆ ˆ
a ,a

  
 
 
 
(1.23)

v
ˆ ˆ ˆ ˆ
a ,a a ,a 0
 
  
 
   
   
(1.24)

Hệ thức giao hoán trên được thực hiện trong không gian Fock với véc
tơ cơ sở riêng đã chuẩn hóa của toán tử số dao động tử
ˆ
N
.

n
1
ˆ
n a 0
n!



Tác dụng toán tử
ˆ
a
,
ˆ
a

lên các véc tơ trạng thái
n
ta được:
18

ˆ
a n n n 1
ˆ
a n n 1 n 1


 
  

Với toán tử số hạt
ˆ
N
được biểu diễn theo các toán tử sinh hạt và hủy hạt:

ˆ
ˆ ˆ
N a a



Ta sẽ xem xét là đối với các hạt Boson là các hạt có Spin nguyên thì nó
có tuân theo các hệ thức giao hoán hay không?
Để trả lời câu hỏi này ta xây dựng véc tơ trạng thái của hệ hai hạt ở hai
trạng thái khác nhau  và :

v
ˆ ˆ
a a 0
 

 
(1.25)

v
ˆ ˆ

a a 0
 

 
(1.26)
Trong đó
0
là trạng thái chân không không chứa hạt nào.
Từ biểu thức (1.22) ta có:
v v
ˆ ˆ ˆ ˆ
a a a a
   
 

do đó ta suy ra
  
.
Như vậy véc tơ trạng thái của hệ hai hạt đồng nhất có tính chất đối
xứng với phép hoán vị hai hạt.
Và ta biết rằng những hạt được mô tả bởi hàm sóng đối xứng là những
hạt có Spin nguyên, tức là các hạt Boson.
Kết luận 4:
Các toán tử sinh hạt, hủy hạt Boson phải tuân theo hệ thức giao hoán:

 
v
ˆ ˆ
a,a 1
ˆ ˆ

a ,a
ˆ ˆ ˆ ˆ
a ,a a ,a 0


 
 
   

  
 
 
   
   

Ta đi tìm biểu diễn ma trận của các toán tử sinh Boson
ˆ
a

, hủy Boson
ˆ
a
và toán tử số hạt
ˆ
N
:
Giả sử biểu diễn ma trận của các toán tử sinh Boson
ˆ
a


, hủy
Boson
ˆ
a
là:
19

00 01 02
10 11 12
20 21 22
02
10 11 12
00 01
20 21 22
a a a
a a a
ˆ
a
a a a

a a a
a a a
ˆ
a
a a a

  
  

  

 
 
 

 
 
 
 
 
 

 
 
 
(1.27)
Ta có:

ˆ
n' a n n' n 1 n 1 n 1 n' n 1

     

=
n ,n 1
'
1 khi n' n 1
n 1.
0 khi n ' n 1

 


  

 


Tương tự ta cũng có:

ˆ
n' a n n' n n 1 n n' n 1   


n ,n 1
'
1 khi n' n 1
n.
0 khi n' n 1

 

  

 


Vậy biểu diễn ma trận của các toán tử sinh Boson
ˆ
a

, hủy Boson

ˆ
a
và
toán tử số hạt
ˆ
N
có dạng:

0 1 0
0 0 2
ˆ
a
0 0 0 3

0 0 0
1 0 0
ˆ
a
0 2 0


 
 
 

 
 
 
 
 

 
 

 
 
 
 
(1.28)
20

0 0 0
0 1 0
ˆ
ˆ ˆ
N a a
0 0 2


 
 
 
 
 
 
 




21

KẾT LUẬN CHƯƠNG I

Trong chương I tôi đã trình bày một cách lôgic, đầy dủ về hình thức
luận dao động tử điều hòa: Khảo sát dao động tử điều hòa tuyến tính trong
biểu diễn số hạt, nêu ra các hệ thức giao hoán của các toán tử sinh hạt, hủy hạt
và toán tử số hạt của dao động tử điều hòa tuyến tính. Tìm được biểu diễn ma
trận của các toán tử đó. Đây là cơ sở để chúng tôi tiếp tục nghiên cứu các vấn
đề ở chương tiếp theo.
22
CHƯƠNG II: TRẠNG THÁI KẾT HỢP CỦA CÁC
DAO ĐỘNG TỬ PARA BOSON

2.1. Trạng thái kết hợp
2.1.1. Hiện tượng ngưng tụ Bose – Einstein
Xét hệ khí Boson, là hệ các hạt lượng tử đồng nhất có spin nguyên hay
bằng không. Những hạt như vậy có thể là các photon, các meson hay các
nguyên tử trong đó có số electron và số nucleon là chẵn.
Khi xây dựng xong thống kê Bose - Einstein cho hệ các hạt đồng nhất
Boson, dựa vào tính chất lượng tử của hệ các hạt đồng nhất Boson là không bị
chi phối bởi nguyên lý cấm Pauli, tức là số các hạt ở trong cùng một mức
năng lượng có thể là tùy ý, Einstein đã tiên đoán về một trạng thái đặc biệt
của vật chất đó là trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein.
Sau đây bằng các tính toán cụ thể chúng ta sẽ chứng tỏ được điều tiên
đoán của Einstein là hoàn toàn đúng đắn.
Năm 2001 giải Nobel Vật lý được trao cho ba nhà khoa học Esic A.
Cornell, Wolfgang Ketterle và Carl E.Wieman.
Khí Boson tuân theo quy luật phân bố thống kê Bose – Einstein, vì vậy
số hạt trong khoảng năng lượng từ  đến  + d là:

 

dn N.f d  
(2.1)
Trong đó: f() là số các mức năng lượng trong khoảng  đến +d.
 
N

là số hạt trung bình ở trên cùng một mức năng lượng  tức hàm
phân bố Bose – Einstein:
 
 
 
g
N
exp 1
kT

 
  

(2.2)
Với k là hằng số Boltzmann,  là thế hóa học, g () là bội suy biến của
các trạng thái lượng tử.
23
Theo quan điểm lượng tử các hạt Boson chứa trong thể tích V có thể
xem như các sóng đứng De Broglie.
Ta có số sóng đứng có chiều dài (modun) của véc tơ sóng
k

từ k đến
k dk

:

 
2
2
k dk
f k dk V
2


(2.3)
Theo giả thiết De Broglie ta có hệ thức giữa xung lượng
p

và véc tơ
sóng
k

là:
p k



, do đó (2.3) được viết lại như sau:
 
2
2 3
p
f p dp V.dp
2


 
(2.4)
Mặt khác với các hạt phi tương đối tính (tức là các hạt có vận tốc v << c)
thì ta lại có:

2
2
2 3
p
2m
2m
p 2m dp d
2
2m
p dp 2m d 2m d
2
 
     

      


Nên (2.4) được viết lại như sau:
 
3
2 3
2m V
f d d
2

    
 
(2.5)
Bởi vì các hạt có thể có các định hướng Spin khác nhau nên số trạng
thái khả dĩ ứng với cùng một giá trị của Spin s của hạt là g = 2s + 1. Bội suy
biến g () phụ thuộc vào Spin của hạt, nếu Spin của hạt bằng 0 chẳng hạn như
phân tử
4
2
He
thì bội suy biến g () = 1.
Thay (2.2) và (2.3) vào (2.1) ta thu được số hạt trung bình có năng
lượng trong khoảng  đến  + d bằng:

 
 
3
1
2
2
2 3
kT
g 2m V
dn . d
4
1


  


 

(2.6)
24
Lấy tích phân trong khoảng năng lượng từ 0 đến , ta được tổng số hạt
của chất khí:
     
 
3
1
2
2
2 3
kT
0 0
g 2m V
N N .f .d d
4
e 1
 


     


 

(2.7)
Số hạt dn () trong khoảng năng lượng từ  đến  + d phải là số dương,
vì thế hóa học  phải thỏa mãn điều kiện   0.

Nếu số hạt N là số cho trước thì biểu thức (2.7) sẽ xác định được  và 
là hàm nghịch biến của nhiệt độ, tức là:
0
T



. (2.8)
Thật vậy:
1
2
kT
0
1
2
e
0
k.T
N
d
T
T e 1
N
T
d
e 1





 




 
   


 







Trên tử số ta có:

 
1
kT 2
1 1
2 2
2
kT kT
kT
0 0 0
e .e
T kT

d d d
T T
e 1 e 1
e 1

  
 

  
 

 
 

 
   
     
 
 
 
 

  


 
 
1
kT 2
2

2
kT
0
.e .
1
d
kT
e 1



   
 



Dưới mẫu số ta có:
 
1
kT 2
1 1
2 2
2
kT kT
kT
0 0 0
e .
T kT
d d d
e 1 e 1

e 1

  
 

  
 


 
 

 
   
     
 
 
 
 

  


 
1
kT 2
2
kT
0
e .

1
d
kT
e 1




 



25
Vậy:
 
 
 
1
kT 2
2
kT
0
1
kT 2
2
kT
0
.e .
d
e 1

1
.
T T
e .
d
e 1






   



 






, vì   0 và   0 cho nên ta thu
được
0   
, từ đó ta thấy
0
T




.
Khi nhiệt độ giảm thì  tăng, và đến nhiệt độ T
c
nào đó  sẽ đạt giá trị
cực đại bằng 0, vì   0  
max
= 0 thay  = 0 vào (2.7) và lấy tích phân ta
được:

 
3
1
2
2
2 3
kT
0
c
g 2m V
N d
4
e 1



 





(2.9)
Ta đặt
c
x
kT


và biến đổi tích phân (2.9) về dạng:

 
3
1
2
2
c
2 3 x
0
g 2mk.T V
x
N dx
4 e 1


 


(2.10)
Tính tích phân

1
2
x
0
x
J dx
e 1




ta được J = 2,31.
Từ đó có thể suy ra giá trị T
c
:
2
2
3
2
c
3
3,31.
N
T .
V
g .mk
 

 
 


(2.11)
Đối với He
4
có mật độ
3
g
N
.m 0,12
V cm
 

 
 
nhiệt độ T
c
cỡ 2,8K.
Nói chung đối với mọi chất khí Boson nhiệt độ T
c
rất nhỏ, tuy nhiên sự
tồn tại T
c
 0 có ý nghĩa rất quan trọng. Để hiểu được ý nghĩa của nó ta xét
khoảng nhiệt độ 0  T  T
c
, thế hóa học  = 0 với nhiệt độ T  T
c
, số hạt có
năng lượng  > 0 được tính như sau: