Nghiệm nhớt của phương trình Đạo hàm riêng phi tuyến Elliptic F (D2u(x),x) = 0 (LV00496)

LỜI CẢM ƠN
Trước tiên tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới: T.S Trần Văn Bằng -
người thầy đã hướng dẫn, chỉ bảo tận tình cho tôi trong suốt quá trình
hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy, cô công
tác và tham gia giảng dạy ở phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2. Các thầy, cô đã nhiệt tình giảng dạy cũng như tạo mọi điều
kiện thuận lợi nhất cho tôi hoàn thành khóa học tại trường.
Đồng thời tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn tới tất cả bạn bè, đồng
nghiệp và người thân đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học
tập và viết luận văn.
Mặc dù đã dành nhiều thời gian nghiên cứu và tìm hiểu song bản luận
văn không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót. Vì vậy tôi rất mong nhận
được ý kiến đóng góp của các quý vị độc giả để luận văn này được hoàn
thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
Hà nội, ngày 10 tháng 12 năm 2011
Học viên
Thân Văn Tài
- 1 -
LỜI CAM ĐOAN
Qua quá trình nghiên cứu luận văn với đề tài "Nghiệm nhớt của
phương trình đạo hàm riêng phi tuyến Elliptic F

D
2
u(x), x

= 0" tôi
đã hiểu sâu hơn về bộ môn Giải tích hiện đại, đặc biệt về bộ môn phương
trình đạo hàm riêng phi tuyến.

Tôi xin cam đoan luận văn được hoàn thành là do sự cố gắng, nỗ lực
tìm hiểu và nghiên cứu của bản thân dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo nhiệt
tình của thầy giáo: T.S Trần Văn Bằng cũng như các thầy, cô trong
tổ Toán giải tích của trường ĐHSP Hà Nội 2.
Tôi cũng xin cam đoan kết qủa của luận văn không trùng lặp với các
đề tài khác và mọi thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ
nguồn gốc.
Hà nội, ngày 10 tháng 12 năm 2011
Học viên
Thân Văn Tài
- 2 -
Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1 Các kiến thức cơ sở 9
1.1 Thuật ngữ và kí hiệu cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Paraboloid tiếp xúc và tính khả vi cấp hai . . . . . . . . 10
2 Nghiệm nhớt của phương trình Elliptic, đánh giá Alexan-
droff và nguyên lý cực đại 16
2.1 Nghiệm nhớt của phương trình elliptic . . . . . . . . . . 17
2.2 Đánh giá Alexandroff và nguyên lý cực đại . . . . . . . . 27
3 Bất đẳng thức Harnack và tính duy nhất nghiệm 38
3.1 Bất đẳng thức Harnack . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2 Tính duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
- 3 -
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Như chúng ta đã biết, phương trình đạo hàm riêng nói chung và

phương trình đạo hàm riêng phi tuyến Elliptic F

D
2
u(x), x

= 0 nói
riêng có ứng dụng rất rộng rãi trong thực tế. Có rất nhiều lĩnh vực
nghiên cứu hiện đại mà trong đó phương trình đạo hàm riêng đóng vai
trò hết sức quan trọng như: lý thuyết biểu diễn nhóm nhiều chiều, lý
thuyết trường lượng tử, lý thuyết các không gian thuần nhất và vật lý
toán.
Mặc dù được đề cập từ rất lâu vào khoảng cuối thế kỉ 18 và đầu thế
kỉ 19, nhưng lý thuyết các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cho
tới nay cơ bản vẫn chưa được hoàn thiện. Từ đầu thế kỉ 20 cho tới nay,
do nhu cầu nghiên cứu một cách chặt chẽ những phương trình đạo hàm
riêng đã kích thích sự phát triển các phương pháp nghiên cứu cơ bản
của: Giải tích thực, Giải tích hàm và Tôpô.
Một bài toán phương trình đạo hàm riêng nếu có ý nghĩa thực tiễn
thì chắc chắn phải có nghiệm. Vấn đề là nghiệm đó hiểu theo nghĩa nào
mà thôi. Có rất nhiều phương trình đạo hàm riêng, đặc biệt là phương
trình đạo hàm riêng phi tuyến thường không có nghiệm cổ điển. Vì vậy
ta phải cố gắng xây dựng lý thuyết các nghiệm suy rộng để bài toán có
nghiệmn hơn nữa nghiệm đó cần phải duy nhất.
Năm 1979, Krylov và Safonov đã chứng minh bất đẳng thức Harnack
cho nghiệm của các phương trình đạo hàm riêng elliptic cấp hai có dạng
không divergence với các hệ số đo được. Điều đó đã mở ra một cách
- 4 -
để phát triển lý thuyết chính quy cho phương trình đạo hàm riêng phi
tuyến hoàn toàn.

Cùng thời gian đó thì Crandall-Lions [5] và Evans [6, 7] đã giới thiệu
một khái niệm nghiệm yếu (nghiệm nhớt) cho phương trình đạo hàm
riêng phi tuyến hoặc tuyến tính có dạng không divergence, nó thống
nhất với nguyên lý Dirichlet và nghiệm biến phân trong lý thuyết về
phương trình dạng divergence.
Vì vậy tôi đã lựa chọn đề tài "Nghiệm nhớt của phương trình
đạo hàm riêng phi tuyến Elliptic F

D
2
u(x), x

= 0".
Trong luận văn này, tôi sẽ trình bày một số kết quả về lý thuyết chính
quy của nghiệm của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến hoàn toàn:
F

D
2
u, x

= f(x), (0.0.1)
trong đó D
2
u là Hessian của u. Trong [3, 4] các tác giả đã nghiên cứu
cho phương trình có dạng:
F

D
2

u, x

= 0 (0.0.2)
(tương ứng với "phương trình thuần nhất với hệ số hằng số" trong trường
hợp tuyến tính). Từ các kết quả đó ta thu được các C
α
, C
1,α
, C
2,α
v`a
W
2,p
- đánh giá tiên nghiệm trong miền cho nghiệm của (0.0.1). Khi F
là elliptic đều (xem Định nghĩa 2.1.1).
Một trường hợp đơn giản nhất là trường hợp các phương trình tuyến
tính, khi đó ta có thể giả thiết rằng (0.0.2) chính là ∆u = 0. Lúc đó ta
có thể đánh giá các đạo hàm của hàm điều hòa (nghiệm của ∆u = 0)
trong miền bởi dao độ của chính hàm đó. Ý tưởng cơ bản là tính chất đó
vẫn đúng đối với các nhiễu tuyến tính nhỏ của Laplace. Cụ thể hơn, giả
sử u là nghiệm của phương trình elliptic đều có dạng không divergence
sau:
n

i,j=1
a
i,j
(x)∂
ij
u = f(x). (0.0.3)

Khi đó ta có, với một nghiệm bị chặn u của (0.0.3) trong hình cầu đơn
vị B
1
của R
n
:
(a) (Đánh giá kiểu Cordes - Nirenberg)
- 5 -
Giả sử 0 < α < 1 và a
ij
− δ
ij

L
∞
(B
1
)
≤ δ = δ(α), với một δ nhỏ. Khi
đó u ∈ C
1,α
(B
1/2
) và u
C
1,α
(B
1/2
)
≤ C(u

L
∞
(B
1
)
+ f
L
∞
(B
1
)
).
(b) (Schauder)
Nếu a
ij
và f thuộc C
α
(B
1
) thì u ∈ C
2,α
(
¯
B
1/2
) và u
C
2,α
(
¯

B
1/2
)
≤
C(u
L
∞
(B
1
)
+ f
C
∞
(
¯
B
1
)
).
(c) (Calderón-Zygmund)
Nếu a
ij
liên tục trong B
1
và f ∈ L
1
(B
1
) với 1 < p < ∞ thì u ∈
W

2,p
(B
1/2
) v`a u
W
2,p
(B
1/2
)
≤ C(u
L
∞
(B
1
)
+ f
L
p
(B
1
)
).
Luận văn này đề cập tới một mở rộng của các kết quả trên cho họ
nghiệm của (0.0.1). Thậm chí là trong trường hợp tuyến tính, kỹ thuật
ở đây vẫn cho ta những kết quả mới vì mức độ gần của a
ij
đối với δ
ij
được xác định bởi L
n

- chuẩn chứ không phải là L
∞
- chuẩn (n là số chiều
của R
n
).
Công cụ cơ bản trong cách tiếp cận mới này là đánh giá Alexandroff
- Bakelman - Pucci và nguyên lý cực đại. Chúng được dùng để:
(1) Điều khiển hàm phân bố của một nghiệm; điều khiển này dẫn tới
bất đẳng thức Harnack và do đó dẫn tới C
α
- chính quy.
(2) Xấp xỉ trong L
∞
của nghiệm bởi các hàm affine (hay các paraboloid);
điều này dẫn tới các đánh giá C
1,α
(tương ứng C
2,α
).
Vấn đề cốt lõi ở đây là hiểu các đạo hàm riêng của một hàm thông
qua các xấp xỉ đa thức của nó.
Nói một cách nôm na, phương pháp nêu trên về cơ bản là "phi tuyến"
theo nghĩa nó không dựa quá nhiều vào cấu trúc của phương trình (0.0.1).
Do vậy, nó có thể áp dụng đối với các phương trình hoàn toàn tổng
quát (không nhất thiết trơn) như các phương trình Pucci, Bakelman và
Isaasc. Trong đó tính chính quy nhận được bằng cách lấy vi phân của
phương trình (0.0.1)
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu khái niệm nghiệm nhớt cho phương trình đạo hàm riêng

phi tuyến elliptic F

D
2
u(x), x

= 0 và một số tính chất định tính của
nghiệm nhớt.
- 6 -
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Tìm hiểu cách xây dựng khái niệm nghiệm nhớt cho phương trình.
• Đưa ra các ví dụ cụ thể minh họa cho các khái niệm.
• Chứng minh các tính chất định tính của nghiệm nhớt.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu:
Nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến.
• Phạm vi nghiên cứu:
Lớp phương trình phi tuyến dạng F

D
2
u(x), x

= 0.
5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyến bằng cách thu thập thông tin, đọc, phân tích và
tổng hợp tài liệu để có được một nghiên cứu tổng quan về nghiệm nhớt
của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến elliptic F

D

2
u(x), x

= 0.
6. Bố cục của luận văn
Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, luận văn gồm ba chương:
• Chương 1. Các kiến thức cơ sở
Nhằm giới thiệu một số thuật ngữ và mô tả mối quan hệ giữa các
tính chất khả vi của hàm u và các paraboloid tiếp xúc với đồ thị
của hàm u.
• Chương 2. Nghiệm nhớt của phương trình elliptic, đánh giá Alexan-
droff và nguyên lý cực đại
Trong chương này đề cập:
+ Nghiệm nhớt của phương trình (0.0.1), định nghĩa và các tính
chất cơ bản của nghiệm nhớt. Khái niệm nghiệm "rất yếu" này cho
- 7 -
chúng ta xác định lớp các hàm chứa tất cả các nghiệm cổ điển của
phương trình elliptic tuyến tính và phi tuyến với các hằng số elliptic
cố định và các hệ số đo được (xem mục 2.1.2). Trong mục 2.1.3 tôi
đưa ra một số ví dụ quan trọng về các phương trình đạo hàm riêng
phi tuyến hoàn toàn.
+ Đánh giá Alexandroff-Bakelman-Pucci và nguyên lý cực đại cho
nghiệm nhớt. Vì kết quả này có vai trò chìa khóa trong nguyên lý
chính quy sau này.
• Chương 3. Bất đẳng thức Harnack và tính duy nhất nghiệm
Trong chương này trình bày:
+ Chứng minh bất đẳng thức Harnack nhờ vào đánh giá Alexan-
droff và kỹ thuật của Crandall-Zygmund. Về cơ bản chứng minh
giống với chứng minh lần đầu phát hiện bởi Krylov và Safonov. Một
hệ quả của bất đẳng thức Harnack là ta có kết quả về C

α
- chính
quy trong miền đối với các nghiệm của phương trình (0.0.1). Trong
mục 3.1.3 trình bày một kết quả về tính C
α
- chính quy toàn cục.
+ Nghiệm xấp xỉ Jensen của phương trình (0.0.2) được giới thiệu
lần đầu tiên trong [8] và sử dụng chúng để chứng minh tính duy nhất
cho bài toán Dirichlet đối với (0.0.2). Các mục 3.2.3 và 3.2.4 dành
cho các ứng dụng khác của nghiệm xấp xỉ Jensen. Đó là các tính
chất cơ bản của các đạo hàm riêng cấp 1 và cấp 2 của nghiệm của
phương trình (0.0.2). Chẳng hạn ta chứng minh tính C
1,α
- chính
quy trong miền cho các nghiệm của phương trình (0.0.2).
- 8 -
Chương 1
Các kiến thức cơ sở
1.1 Thuật ngữ và kí hiệu cơ bản
Kí hiệu R
n
là không gian Euclidear n - chiều với chuẩn
|x| =

|x
1
|
2
+ |x
2

|
2
+ ··· + |x
n
|
2
,
|x|
∞
= max {|x
1
|, |x
2
|, , |x
n
|}.
Nếu B
r
= B
r
(x
0
) = {x ∈ R
n
: |x − x
0
| < r} là một hình cầu (mở) thì
B
σr
(x

0
) cũng được kí hiệu là B
σr
.
Xét hình lập phương mở
Q
r
(x
0
) =

x ∈ R
n
: |x − x
0
|
∞
<
r
2

với tâm x
0
và độ dài cạnh r.
Ω là miền bị chặn (tập mở, liên thông, bị chặn) của R
n
.
λ v`a Λ là hai hằng số cố định sao cho 0 < λ ≤ Λ, được gọi là hằng
số elliptic. Một hằng số được gọi là phổ dụng nếu nó chỉ phụ thuộc vào
n, λ v`a Λ (n là số chiều).

C là hằng số dương, có thể thay đổi trong mỗi bất đẳng thức cũng
như các công thức.
diam(Ω) v`a |Ω| tương ứng là kí hiệu đường kính và độ đo Lebesgue
n - chiều của Ω.
Với một hàm u, ta kí hiệu u
+
v`a u
−
tương ứng là phần dương và phần
- 9 -
âm của u, ta có u = u
+
− u
−
. Giá của u kí hiệu là suppu. Ta kí hiệu:
∂u
∂x
i
= ∂
i
u = u
i
,
∂
2
u
∂x
i
∂x
j

= ∂
ij
u = u
ij
.
D
2
u là Hessian của u (là ma trận đối xứng với các phần tử là u
ij
).
Hàm L trên R
n
được gọi là affine nếu
L(x) = l
0
+ l(x),
trong đó l
0
∈ R và l là một hàm tuyến tính.
Một paraboloid P là một đa thức bậc 2 của (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) và có thể
viết dưới dạng:
P (x) = L(x) +
1
2

x
t
Ax,
trong đó L là một hàm affine và A = D
2
P là ma trận đối xứng.
Trong luận văn này, thuật ngữ "trơn" có nghĩa là thuộc lớp C
∞
.
W
k,p
(Ω) là không gian Sobolev các hàm có tính chất: các hàm và các
đạo hàm đến cấp k của nó thuộc L
p
(Ω).
C
k,α
(Ω) và C
k,α
(Ω) là không gian H¨older ( nếu 0 < α < 1) và là
không gian Lipschitz (nếu α = 1); với k ∈ N
+
. Chuẩn trong chúng là
u
C
k,α
(Ω)
= u
C
k

(Ω)
+

D
k
u

α,Ω
,
trong đó
[v]
α,Ω
= sup
x,y∈Ω
x=y
|v(x) − v(y)|
|x − y|
α
. (1.1.1)
1.2 Paraboloid tiếp xúc và tính khả vi cấp hai
Trong phần này tôi dẫn ra một số tính chất về tính khả vi hai lần của
hàm u từ các kiến thức về các paraboloid tiếp xúc với đồ thị của hàm
u. Các kết quả này sẽ được sử dụng trong lý thuyết về tính chính quy ở
- 10 -
các mục sau.
Ta nói P là một paraboloid với độ mở M nếu
P (x) = l
0
+ l(x) ±
M

2
|x|
2
, (1.2.1)
trong đó M là hằng số dương, l
0
là hằng số và l là hàm tuyến tính. P là
lồi khi lấy + trong (1.2.1) và là lõm khi lấy - trong (1.2.1).
Với hai hàm liên tục u, v xác định trong một tập mở A và x
0
∈ A, ta
nói v tiếp xúc trên với u tại x
0
trong A nếu
u(x) ≤ v(x), ∀x ∈ A,
u(x
0
) = v(x
0
).
Tương tự, ta có khái niệm tiếp xúc dưới.
Cho u là hàm liên tục trên Ω, A ⊂ Ω là tập mở. Với x
0
∈ A, ta định
nghĩa:
θ(u, A)(x
0
) (1.2.2)
là cận dưới của tất cả các hằng số dương M, sao cho có một paraboloid
lồi với độ mở M tiếp xúc trên với u tại x

0
trong A. Ta định nghĩa (1.2.1)
bằng ∞ nếu không tồn tại hằng số dương M nào, Có thể thấy θ(u, A)
là một hàm đo được trong A.
Sử dụng các paraboloid lõm và tiếp xúc dưới với u, ta có khái niệm
θ(u, A)(x
0
) ∈ [0, ∞] .
Đặt θ(u, A)(x
0
) = sup

θ(u, A)(x
0
), θ(u, A)(x
0
)

≤ ∞.
Với x
0
∈ Ω, ta nói u là C
1,1
trên tại x
0
[tương ứng C
1,1
dưới tại x
0
, C

1,1
tại x
0
] nếu θ(u, A)(x
0
) < ∞ [tương ứng θ(u, A)(x
0
) < ∞, θ(u, A)(x
0
) <
∞] với một lân cận A nào đó của x
0
. Mệnh đề 1.2.2 dưới đây cho thấy
tên gọi đó là hợp lý.
Nếu u là C
1,1
tại x
0
thì u khả vi tại x
0
, vì u nằm giữa 2 paraboloid
tiếp xúc trong một lân cận của x
0
.
Xét tỉ sai phân cấp hai của u tại x
0
:
∆
2
h

u(x
0
) =
u(x
0
+ h) + u(x
0
− h) − 2u(x
0
)
|h|
2
; (1.2.3)
- 11 -
trong đó h ∈ R
n
và ta giả thiết rằng x
0
+ h v`a x
0
− h thuộc Ω. Chú ý
rằng ∆
2
h
P ≡ M (tương ứng: ∆
2
h
P ≡ −M) khi P là paraboloid lồi (tương
ứng: lõm) với độ mở M.
Do đó, với mọi x

0
∈ Ω,
−θ(u, B
|h|
(x
0
))(x
0
) ≤ ∆
2
h
u(x
0
) ≤ θ(u, B
|h|
(x
0
))(x
0
) , (1.2.4)
nếu
B
|h|
(x
0
) ⊂ Ω.
Mệnh đề 1.2.1. Cho 1 < p ≤ ∞ và u liên tục trong Ω. Giả sử ε là một
hằng số dương và đặt
θ(u, ε)(x) := θ(u, Ω ∩ B
ε

(x))(x), x ∈ Ω. (1.2.5)
Giả sử θ(u, ε) ∈ L
p
(Ω). Khi đó D
2
u ∈ L
p
(Ω) và


D
2
u


L
p
(Ω)
≤ 2θ(u, ε)
L
p
(Ω)
. (1.2.6)
Chứng minh
Do 1 < p ≤ ∞, nên ta chỉ cần chứng minh








Ω
uϕ
ij






≤ 2θ(u, ε)
L
P
(Ω)
ϕ
L
P

(Ω)
(1.2.7)
với ∀ϕ ∈ C
∞
(Ω) và ∀i, j. Trong đó p

là số mũ liên hợp của p. Nếu có
điều đó thì D
2
u ∈ L
p

(Ω) và thỏa mãn (1.2.6).
Ta chứng minh (1.2.7), ta có
∂
ij
ϕ =
1
2

∂
e
i
+e
j
,e
i
+e
j
ϕ − ∂
ii
ϕ − ∂
jj
ϕ

=
1
2
(2∂
vv
ϕ − ∂
ii

ϕ − ∂
jj
ϕ) ,
trong đó v =
(e
i
+e
j
)
√
2
và {e
i
} là cơ sở chính tắc của R
n
. Vì thế ta chỉ cần
chứng minh:







Ω
uϕ
ii







≤ θ(u, ε)
L
P
(Ω)
ϕ
L
p

(Ω)
. (1.2.8)
Giả sử K ⊂⊂ Ω là giá của ϕ. Ta có

Ω
uϕ
ii
=

K
uϕ
ii
=lim
δ→0

K
u∆
2
δe

i
ϕ =lim
δ→0

K
(∆
2
δe
i
u)ϕ ;
- 12 -
xem lại (1.2.3) về định nghĩa của ∆
2
. Lấy δ < ε v`a δ < dist(K, R
n
\Ω)
thì từ (1.2.4) và (1.2.5) suy ra


∆
2
δe
i
u


≤ θ(u, ε) trong K
và ta có (1.2.8). 
Mệnh đề 1.2.2. Cho u ∈ C(Ω) và B là miền lồi sao cho B ⊂ Ω. Lấy
ε > 0 và định nghĩa:

θ(u, ε)(x) := θ(u, Ω ∩ B
ε
(x))(x), x ∈ B.
Giả sử tồn tại hằng số K sao cho θ(u, ε)(x) ≤ K, ∀x ∈ B. Khi đó
u ∈ C
1,1
(B) và
|Du(x) − Du(y)| ≤ 2nθ(u, ε)
L
∞
(B)
|x − y| ∀x, y ∈ B (1.2.9)
Chú ý 1.2.1. Nếu Ω là lồi thì θ(u, ε)
L
∞
(Ω)
≤ u
C
1,1
(Ω)
.
Chứng minh mệnh đề 1.2.2
Do θ(u, x) < ∞, ∀x ∈ B nên u là khả vi tại ∀x ∈ B. Theo Mệnh
đề 1.1.1 (áp dụng với Ω = B) ta có D
2
u ∈ L
∞
(B) và



D
2
u


L
∞
(B)
≤
2θ(u, ε)
L
∞
(B)
.
Vì u
i
= ∂
i
u ∈ W
1,∞
(B) và B là lồi nên u
i
liên tục và
u
i
(x) − u
i
(y) =
1


0
d
dt
u
i
(tx + (1 −t)y)dt
=

j
1

0
∂
ij
u(tx + (1 −t)y)dt(x
j
− y
j
),
với mọi x, y ∈ B. Do


D
2
u


L
∞
(B)

≤ 2θ(u, ε)
L
∞
(B)
nên ta có (1.2.9).

Mệnh đề 1.2.2 và kết quả sau đây được dùng để chứng minh đánh giá
Alexandroff cho nghiệm nhớt trong Chương 2.
Định lý 1.2.1. Cho H : B
d
⊂ R
n
→ R
n
là ánh xạ Lipschiitz. Khi đó
H là khả vi hầu khắp nơi trong B
d
.
- 13 -
Giả sử A ⊂ B
d
là tập sao cho |B
d
\A| = 0 và H khả vi tại ∀x ∈ A.
Khi đó
|H(B
d
)| ≤

A

|det DH|, (1.2.10)
trong đó DH là vi phân của H.
Khẳng định thứ nhất là định lý Rademacher. Còn (1.2.10) là công
thức tính diện tích của ánh xạ Lipschitz.
Định nghĩa 1.2.1. Hàm u ∈ C(Ω) được gọi là khả vi cấp hai theo nghĩa
từng điểm tại x
0
∈ Ω nếu tồn tại một paraboloid P sao cho
u(x) = P (x) + o

|x − x
0
|
2

khi x → x
0
, (1.2.11)
tức là |u(x) − P(x)||x − x
0
|
−2
→ 0 khi x → x
0
. Khi đó đặt D
2
u(x
0
) =
D

2
P .
Ta nói u khả vi cấp hai tại x
0
nếu u khả vi trong lân cận của x
0
và
Du(x) khả vi tại x
0
. Rõ ràng tính khả vi cấp hai tại x
0
kéo theo tính
khả vi cấp hai theo nghĩa từng điểm tại x
0
.
Định lý 1.2.2 sau đây là định lý Alexandroff-Buselman-Feller. Nó rất
cần thiết cho Chương 3.
Định lý 1.2.2. Giả sử u lồi trong B
d
. Khi đó u khả vi cấp hai theo
nghĩa từng điểm tại hầu hết x
0
∈ B
d
.
Mệnh đề 1.2.3. Giả sử u liên tục trong một miền lồi Ω sao cho
θ(u, Ω)(x) ≤ K ∀x ∈ Ω
với hằng số K nào đó. Khi đó
u(x) +
K

2
|x|
2
là lồi trong Ω. Nói riêng, u khả vi cấp hai theo nghĩa từng điểm tại hầu
hết x ∈ Ω.
Chứng minh
- 14 -
Đặt w(x) = u(x) +
K
2
|x|
2
. Như trong (1.2.4), ta có: với mọi h sao cho
x
0
+ h v`a x
0
− h thuộc Ω,
∆
2
h
w(x
0
) = ∆
2
h
u(x
0
) + K ≥ 0.
Do đó w


x+y
2

≤
1
2
(w(x) + w(y)) , ∀x, y ∈ Ω. Vì w liên tục nên w lồi.
Theo Định lý 1.2.2 ta suy ra khẳng định cuối của Mệnh đề 1.2.3. 
- 15 -
Chương 2
Nghiệm nhớt của phương trình
Elliptic, đánh giá Alexandroff và
nguyên lý cực đại
Trong [5], Crandall và Lions đã phát triển một lý thuyết nghiệm nhớt
cho phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp 1, theo đó ta có sự tồn tại
nghiệm. Trong chương này ta đưa ra khái niệm nghiệm nhớt của phương
trình đạo hàm riêng cấp hai phi tuyến hoàn toàn.
Trước hết ta đề cập tới ý tưởng của định nghĩa này đối với phương
trình Laplace.
Ví dụ 1. Xét phương trình u
xx
= 1 (trong trường hợp n = 1).
Dễ thấy: một hàm số liên tục u xác định trên khoảng I của R có dạng
u(x) = a + bx + x
2
/2 với a, b − const (hay u là một nghiệm cổ điển của
phương trình đó) khi và chỉ khi 2 điều kiện sau thỏa mãn:
(1). p(x) là một parabol (một đa thức bậc hai) và u − p có cực đại địa
phương tại x

0
∈ I thì p

(x
0
) ≥ 1.
(2). p(x) là một parabol (một đa thức bậc hai) và u − p có cực tiểu địa
phương tại x
0
∈ I thì p

(x
0
) ≤ 1.
Ví dụ 2. Xét phương trình ∆u = 0 (trong trường hợp n > 1).
Giả sử Ω là một miền trong R
n
, ta có thể chứng minh được u là một
hàm điều hòa trong Ω khi và chỉ khi u liên tục và thỏa mãn 2 điều kiện
sau:
- 16 -
(1). u−ϕ có cực đại địa phương tại x
0
∈ Ω và ϕ ∈ C
2
(Ω) thì ∆ϕ(x
0
) ≥ 0.
(2). u−ϕ có cực tiểu địa phương tại x
0

∈ Ω và ϕ ∈ C
2
(Ω) thì ∆ϕ(x
0
) ≤ 0.
Với hai ví dụ trên, ta sẽ lấy 2 điều kiện trên làm định nghĩa nghiệm nhớt
của phương trình Laplace.
Tương tự, ta sẽ định nghĩa nghiệm nhớt cho phương trình đạo hàm
riêng phi tuyến cấp 2. Vấn đề mấu chốt là nguyên lý cực đại vẫn thỏa
mãn đối với các phương trình đó nhờ thủ tục tuyến tính hóa. Do vậy
định nghĩa nghiệm nhớt đòi hỏi nguyên lý cực đại phải thỏa mãn khi u
"được thử" với các nghiệm dưới và nghiệm trên trơn. Theo cách đó thì
toán tử vi phân không áp dụng vào u mà được áp dụng vào các hàm
trơn.
Nghiệm cổ điển u của phương trình elliptic đều với vế phải bằng 0
(phương trình có thể phi tuyến), có tính chất Hessian D
2
u có các giá trị
riêng với dấu khác nhau và chúng liên hệ với nhau theo nghĩa: các giá trị
nhỏ nhất và lớn nhất là so sánh được với nhau, tức là chúng điều khiển
nhau qua các hằng số elliptic. Điều đó là rõ ràng đối với các phương
trình tuyến tính dạng không divergence:
a
ij
(x)∂
ij
u(x) = tr

A(x).D
2

u(x)

= 0,
trong đó A(x) = [a
ij
(x)] và tr là vết của ma trận. Nói cách khác, một
phương trình elliptic quy định độ cong của các nghiệm. Trong mục 2.1.2
tôi đưa ra toán tử cực trị Pucci, nó diễn tả sự điều khiển đối với các giá
trị riêng của D
2
u qua các hằng số elliptic. Tập các nghiệm nhớt của các
toán tử cực trị Pucci gọi là lớp S, nó chứa tất cả các nghiệm cổ điển
của các phương trình elliptic đều tuyến tính và phi tuyến với các hằng
số elliptic cố định. Mục 2.1.3 giới thiệu một số ví dụ về phương trình
elliptic phi tuyến hoàn toàn.
2.1 Nghiệm nhớt của phương trình elliptic
2.1.1 Nghiệm nhớt
Xét phương trình
F

D
2
u(x), x

= f(x), (2.1.1)
- 17 -
trong đó x ∈ Ω và u, f là hàm xác định trên miền bị chặn Ω của R
n
.
F (M, x) là hàm giá trị thực xác định trên S ×Ω. Trong đó S là tập tất

cả các ma trận đối xứng thực cấp n ×n. Ta giả thiết F là toán tử elliptic
đều, tức là:
Định nghĩa 2.1.1. F là elliptic đều nếu tồn tại 2 hằng số dương λ ≤ Λ
(được gọi là hằng số elliptic) sao cho với mọi M ∈ S v`a x ∈ S
λ N ≤ F (M + N, x) − F (M, x) ≤ Λ N, ∀N ≥ 0.
Ta viết N ≥ 0 nếu N là ma trận đối xứng thực, không âm, còn M
là

L
2
, L
2

- chuẩn của M (tức là M = sup
|x|=1
|Mx|). Do đó N là giá
trị riêng lớn nhất của N khi N ≥ 0.
Với các giả thiết trên thì phương trình (2.1.1) được gọi là phương
trình elliptic đều cấp hai hoàn toàn phi tuyến.
Nếu không nói gì thì ta luôn giả sử f và F là các hàm liên tục tại x.
Ta nhớ rằng bất kì N ∈ S đều có sự phân tích duy nhất dưới dạng
N = N
+
− N
−
với N
+
, N
−
≥ 0 và N

+
N
−
= 0. Ta dễ dàng kiểm tra
điều sau.
Bổ đề 2.1.1. F là elliptic đều nếu và chỉ nếu
F (M + N, x) ≤ F(M, x) + Λ


N
+


− λ


N
−


, ∀M, N ∈ S, ∀x ∈ Ω
Chú ý rằng: Từ điều kiện elliptic đều suy ra F(M, x) là đơn điệu tăng
và Lipschitz theo M ∈ S.
Ví dụ. Dễ thấy, toán tử tuyến tính Lu = a
ij
(x)∂
ij
u với a
ij
là ma trận

đối xứng thực có các giá trị riêng thuộc đoạn [λ, Λ] là elliptic đều (theo
Định nghĩa 2.1.1) với các hằng số elliptic λ, nΛ.
Tiếp theo ta đưa ra định nghĩa nghiệm nhớt của (2.1.1). Trước tiên,
cần nhớ lại rằng hàm v xác định trên Ω được gọi là có cực đại địa phương
tại x
0
(x
0
∈ Ω) nếu v(x) ≤ v(x
0
) với mọi x thuộc một lân cận nào đó
của x
0
.
Định nghĩa 2.1.2. Một hàm liên tục u trong Ω được gọi là nghiệm nhớt
dưới (tương ứng: nghiệm nhớt trên) của (2.1.1) trong Ω, khi điều kiện
- 18 -
sau thỏa mãn.
Nếu x
0
∈ Ω, ϕ ∈ C
2
(Ω) v`a u − ϕ có cực đại địa phương tại x
0
thì
F (D
2
ϕ(x
0
), x

0
) ≥ f(x
0
) (2.1.2)
[Nếu u − ϕ có cực tiểu địa phương tại x
0
thì F (D
2
ϕ(x
0
), x
0
) ≤ f(x
0
)].
Ta nói u là nghiệm nhớt của (2.1.1) nếu nó vừa là nghiệm nhớt dưới
vừa là nghiệm nhớt trên của phương trình đó.
Ta cũng nói F (D
2
u, x) ≥ [tương ứng: ≤, =] f(x) theo nghĩa nhớt trong
Ω nếu u là nghiệm nhớt dưới [tương ứng: nghiệm nhớt trên, nghiệm nhớt]
của (2.1.1) trong Ω.
Mệnh đề 2.1.1. Các khẳng định sau đây là tương đương
(1) u là nghiệm nhớt dưới của (2.1.1) trong Ω.
(2) Nếu x
0
∈ Ω, A là một lân cận mở của x
0
, ϕ ∈ C
2

(A),
u ≤ ϕ trong A v`a u(x
0
) = ϕ(x
0
) (2.1.3)
thì F (D
2
ϕ(x
0
), x
0
) ≥ f(x
0
).
(3) Giống như (2) nhưng thay ϕ ∈ C
2
(A) bởi ϕ là một paraboloid.
Chú ý 2.1.1. Theo thuật ngữ trong mục 2.1.1, ta nói ϕ tiếp xúc trên
với u tại x
0
, nếu tồn tại một lân cận mở A của x
0
sao cho (2.1.3) thỏa
mãn.
Chứng minh mệnh đề 2.1.1
Ta thấy (1) ⇒ (2) v`a (2) ⇒ (3) là hiển nhiên. Để chứng minh (3) ⇒
(1), ta giả sử ϕ ∈ C
2
(Ω) v`a u − ϕ có cực đại địa phương tại x

0
. Với
ε > 0 đủ nhỏ, đặt
P (x) = u(x
0
)+Dϕ(x
0
)(x−x
0
)+
1
2
(x − x
0
)
t
D
2
ϕ(x
0
)(x−x
0
)+
ε
2
|x − x
0
|
2
.

Ta có P là paraboloid tiếp xúc trên với u tại x
0
. Do (3) đúng nên ta có:
F (D
2
ϕ(x
0
) + εI, x
0
) ≥ f(x
0
). Cho ε → 0, ta có F (D
2
ϕ(x
0
), x
0
) ≥ f(x
0
)
vì F (M, x) liên tục (thậm chí Lipschitz) theo M. 
Tương tự với Mệnh đề 2.1.1 ta cũng có các kết quả tương tự cho
nghiệm trên. Bởi vì nếu u là nghiệm nhớt trên của F

D
2
u(x), x

= f(x)
- 19 -

trong Ω thì u = −v là nghiệm nhớt dưới của G

D
2
u(x), x

= −f(x)
trong Ω, trong đó
G(M, x) = −F (−M, x).
Chú ý rằng G cũng là hàm elliptic đều.
Bổ đề 2.1.2. Giả sử u là nghiệm nhớt dưới của (2.1.1) trong Ω và u
khả vi cấp hai theo nghĩa từng điểm tại x
0
∈ Ω (xem Định nghĩa 1.2.1).
Khi đó F (D
2
u(x
0
), x
0
) ≥ f(x
0
).
Chứng minh
Giả sử P là paraboloid thỏa mãn (1.2.11). Khi đó P (x) +ε
|x−x
0
|
2
2

tiếp
xúc trên với u tại x
0
, với mọi ε > 0. Tương tự như chứng minh Mệnh đề
2.1.1 ta có kết luận của bổ đề. 
Từ điều kiện elliptic đều, ta có: mỗi C
2
- nghiệm cổ điển của (2.1.1)
là một nghiệm nhớt. Bổ đề 2.1.2 cho ta điều ngược lại, tức là ta có hệ
quả 2.1.1
Hệ quả 2.1.1. Giả sử u ∈ C
2
(Ω). Khi đó u là nghiệm nhớt dưới của
(2.1.1) trong Ω khi và chỉ khi F (D
2
u(x), x) ≥ f(x), ∀x ∈ Ω.
Kết quả sau đây là hệ quả trực tiếp của định nghĩa nghiệm nhớt dưới
Mệnh đề 2.1.2. Giả sử u và v là các nghiệm nhớt dưới của (2.1.1) trong
Ω. Khi đó sup(u, v) cũng là nghiệm nhớt dưới của (2.1.1) trong Ω.
Kết quả sau đây liên quan tới vấn đề thác triển nghiệm nhớt trên.
Mệnh đề 2.1.3. Cho Ω và Ω
1
là các miền bị chặn sao cho Ω ⊂ Ω
1
. Giả
sử u ∈ C(Ω
1
) là một nghiệm nhớt trên trong Ω
1
của F(D

2
u, x) = f(x)
và v ∈ C( Ω) là một nghiệm nhớt trên của F (D
2
u, x) = g(x).
Hơn nữa giả thiết v ≥ u trên ∂Ω ∩ Ω
1
và đặt
w =





u trong Ω
1
\Ω
inf (u, v) trong Ω
v`a h =





f trong Ω
1
\Ω
sup (f, g) trong Ω.
Khi đó w là một nghiệm nhớt trong Ω
1

của F (D
2
w, x) = h(x).
- 20 -
Ta có kết quả tương tự cho nghiệm nhớt dưới.
Chứng minh mệnh đề 2.1.3
Giả sử ϕ là một C
2
- hàm tiếp xúc dưới với w tại x
0
∈ Ω
1
. Nếu
w(x
0
) = u(x
0
) thì ϕ tiếp xúc dưới với u tại x
0
, do đó F (D
2
ϕ(x
0
), x
0
) ≤
f(x
0
) ≤ h(x
0

). Nếu u(x
0
) > w(x
0
) = v(x
0
) thì x
0
∈ Ω (do u ≥ v trên
∂Ω ∩ Ω
1
) và ϕ tiếp xúc dưới với v tại x
0
nên F (D
2
ϕ(x
0
), x
0
) ≤ g(x
0
) ≤
h(x
0
). 
Chúng ta cũng dễ dàng chứng minh tính đóng của họ các nghiệm nhớt
của (2.1.1). Cụ thể ta có
Mệnh đề 2.1.4. Cho {F
k
}

k≥1
là dãy các toán tử elliptic đều với các hằng
số elliptic λ, Λ và gọi {u
k
}
k≥1
⊂ C(Ω) là hàm thỏa mãn F
k
(D
2
u
k
, x) ≥
f(x) theo nghĩa nhớt trong Ω. Giả sử F
k
hội tụ đều trên các tập con
compact của S ×Ω tới F và u
k
hội tụ đều trên các tập con compact của
Ω tới u. Khi đó: F (D
2
u, x) ≥ f(x) theo nghĩa nhớt trong Ω.
Chứng minh
Lấy một paraboloid P tiếp xúc với u tại x
0
; xét hình cầu bất kì
B
r
(x
0

) ⊂ Ω, ε > 0, k
0
≥ 1. Khi đó dễ dàng thấy P (x)+ ε
|x−x
0
|
2
2
+ c tiếp
xúc trên với một u
k
nào đó tại x
k
∈ B
r
(x
0
), k ≥ k
0
và c là hằng số cụ
thể. Từ đây ta có điều phải chứng minh. 
2.1.2 Lớp nghiệm S của phương trình elliptic đều
Trong mục này ta định nghĩa lớp "tất cả các nghiệm của tất cả các
phương trình elliptic đều". Để làm điều đó, ta cần tới các toán tử cực
trị Pucci. Ý tưởng ở đây là thay một phương trình bất kì bằng một bất
đẳng thức thực sự qua các hằng số elliptic.
Cho 0 < λ ≤ Λ. Với M ∈ S, ta định nghĩa:
M
−
(M, λ, Λ) = M

−
(M) = λ

e
i
>0
e
i
+Λ

e
i
<0
e
i
,
M
+
(M, λ, Λ) = M
+
(M) = Λ

e
i
>0
e
i
+λ

e

i
<0
e
i
,
trong đó e
i
= e
i
(M) là các giá trị riêng của M.
Giả sử A là một ma trận đối xứng có các giá trị riêng thuộc [λ, Λ],
- 21 -
tức là: λ|ξ|
2
≤ A
ij
ξ
i
ξ
j
≤ Λ|ξ|
2
, ∀ξ ∈ R
n
. Ta kí hiệu A ∈ A
λ,Λ
.
Ta xác định một phiếm hàm tuyến tính L
A
trên S bởi

L
A
M = A
ij
M
ij
= tr (AM), M ∈ S.
Vì M = ODO
t
, trong đó D
ij
= e
i
δ
ij
(với e
i
là các giá trị riêng của M)
và O là một ma trận trực giao, nên dễ thấy:
M
−
(M, λ, Λ) = inf
A∈A
λ,Λ
L
A
M, (2.1.4)
M
+
(M, λ, Λ) = sup

A∈A
λ,Λ
L
A
M. (2.1.5)
Trước hết ta liệt kê một số tính chất cơ bản của M
−
và M
+
.
Bổ đề 2.1.3. Ta có các tính chất sau
(1) M
−
(M) ≤ M
+
(M).
(2) λ

≤ λ ≤ Λ ≤ Λ

⇒ M
−
(M, λ

, Λ

) ≤ M
−
(M, λ, Λ) v`a
M

+
(M, λ

, Λ

) ≥ M
+
(M, λ, Λ).
(3) M
−
(M, λ, Λ) = −M
+
(−M, λ, Λ).
(4) M
±
(αM) = αM
±
(M).
(5) M
+
(M) + M
−
(N) ≤ M
+
(M + N) ≤ M
+
(M) + M
+
(N).
(6) M

−
(M) + M
−
(N) ≤ M
−
(M + N) ≤ M
−
(M) + M
+
(N).
(7) N ≥ 0 ⇒ λ N ≤ M
−
(N) ≤ M
+
(N) ≤ nΛ N.
(8) M
−
v`a M
+
là các toán tử elliptic đều với các hằng số elliptic λ, nΛ.
Chứng minh
Ta thấy các tính chất (1), (2), (3) và (4) là hiển nhiên. Còn hai tính
chất (5) và (6) được suy ra từ (2.1.4) và (2.1.5). Tính chất (7) là hiển
nhiên còn tính chất (8) được suy ra từ các tính chất (5), (6) và (7). 
Bây giờ ta định nghĩa lớp S
Định nghĩa 2.1.3. Cho f ∈ C(Ω), 0 < λ ≤ Λ. Ta kí hiệu S(λ, Λ, f) là
không gian các hàm u ∈ C(Ω) sao cho M
+
(D
2

u, λ, Λ) ≥ f(x) theo nghĩa
nhớt trong Ω.
Tương tự S(λ, Λ, f) là không gian các hàm u ∈ C(Ω) sao cho M
−
(D
2
u,
λ, Λ) ≤ f(x) theo nghĩa nhớt trong Ω. Đặt:
S(λ, Λ, f) = S(λ, Λ, f) ∩ S(λ, Λ, f),
S
∗
(λ, Λ, f) = S(λ, Λ, −|f|) ∩ S(λ, Λ, |f|).
- 22 -
Rõ ràng ta có: S(λ, Λ, f) ⊂ S
∗
(λ, Λ, f) và S(λ, Λ, 0) = S
∗
(λ, Λ, 0).
Ta viết S, S, S, S
∗
(λ, Λ, f) bởi S, S, S, S
∗
(f) khi λ, Λ đã xác định.
Viết S, S, S, S
∗
(λ, Λ, 0) bởi S, S, S, S
∗
(λ, Λ) (hoặc đơn giản hơn là
S, S, S, S
∗

). Ta gọi các hàm thuộc S, S, S(λ, Λ, f) tương ứng là các
nghiệm dưới, nghiệm trên và nghiệm.
Sau đây là một số tính chất của các lớp hàm đó.
Bổ đề 2.1.4. Ta có các tính chất sau
(1) λ

≤ λ ≤ Λ ≤ Λ

⇒ S(λ, Λ, f) ⊂ S(λ

, Λ

, f); tương tự với
S, S, S
∗
.
(2) u ∈ S(λ, Λ, f) ⇒ −u ∈ S(λ, Λ, −f).
(3) α > 0, r > 0, u ∈ S(λ, Λ, f), v(y) = αu(y/r) với y ∈ rΩ
⇒ v ∈ S(λ, Λ, αf(y/r)/r
2
).
(4) u ∈ S(λ, Λ, f), φ ∈ C
2
(Ω) v`a M
+
(D
2
φ(x)) ≤ g(x), ∀x ∈ Ω
⇒ u −φ ∈ S(λ, Λ, f − g).
Chứng minh

Ta chỉ chứng minh tính chất (4). Lấy ϕ ∈ C
2
và tiếp xúc với u − φ
tại x
0
∈ Ω, khi đó ϕ + φ tiếp xúc trên với u tại x
0
, nên M
+
(D
2
ϕ(x
0
) +
D
2
φ(x
0
)) ≥ f(x
0
). Theo (5) của Bổ đề 2.1.3 ta có M
+
là dưới cộng tính.
Do đó M
+
(D
2
ϕ(x
0
)) + M

+
(D
2
φ(x
0
)) ≥ f(x
0
).
Từ đây ta có M
+
(D
2
ϕ(x
0
)) ≥ f(x
0
) − g(x
0
). 
Chú ý 2.1.2. Theo Mệnh đề 2.1.2 và 2.1.4, ta có
(1) u, v ∈ S(f) ⇒ sup(u, v) ∈ S(f).
(2) u ∈ S ⇒ u
+
∈ S.
(3) S(f), S(f) v`a S(f) là đóng.
Mệnh đề 2.1.5. Giả sử u thỏa mãn F (D
2
u, x) ≥ f(x) [tương ứng
F (D
2

u, x) ≤ f(x)] theo nghĩa nhớt trong Ω. Khi đó u ∈ S(
λ
n
, Λ, f(x) −
F (0, x)) [tương ứng u ∈ S(
λ
n
, Λ, f(x) − F(0, x))].
Tổng quát hơn, ∀φ ∈ C
2
(Ω) ta có u −φ ∈ S(
λ
n
, Λ, f(x) −F (D
2
φ(x), x))
[tương ứng: u − φ ∈ S(
λ
n
, Λ, f(x) − F(D
2
φ(x), x))].
Chứng minh
Khẳng định thứ nhất là trường hợp đặc biệt của khẳng định thứ hai
khi cho φ = 0. Ta chứng minh khẳng định thứ hai: Giả sử ϕ ∈ C
2
(Ω)
- 23 -
tiếp xúc trên với u − ϕ tại x
0

. Khi đó ϕ + φ tiếp xúc trên với u tại x
0
,
do đó theo Bổ đề 2.1.1 (gọi e
i
là các giá trị riêng của D
2
ϕ(x)), ta có
f(x
0
) ≤ F (D
2
ϕ(x
0
) + D
2
φ(x
0
), x
0
)
≤ F (D
2
φ(x
0
), x
0
) + Λ





D
2
ϕ(x
0
)

+



− λ




D
2
ϕ(x
0
)

−



≤ F (D
2
φ(x

0
), x
0
) + Λ

e
i
>0
e
i
+
λ
n

e
i
<0
e
i
= F (D
2
φ(x
0
), x
0
) + M
+
(D
2
ϕ(x

0
),
λ
n
.Λ).
Chứng tỏ u − ϕ ∈ S(
λ
n
, Λ, f(x) − F(D
2
φ(x), x)). 
Sử dụng ý tưởng trong chứng minh (2.1.4) và (2.1.5), ta chứng minh
được lớp các C
2
(Ω) - hàm chứa trong S(λ, Λ, f) chính là lớp các C
2
(Ω)
- hàm u sao cho: ∀x ∈ Ω tồn tại một ma trận đối xứng a
ij
(x) với các giá
trị riêng thuộc [λ, Λ] sao cho a
ij
(x)∂
ij
u(x) = f(x). Lưu ý rằng a
ij
(x) có
thể không liên tục tại x. Kết quả tương tự cũng đúng đối với S và S.
Như vậy, S(λ, Λ, f) là lớp tất cả các nghiệm yếu (theo nghĩa nhớt) của
tất cả các phương trình elliptic đều, tuyến tính có dạng không divergence

a
ij
(x)∂
ij
u(x) = f(x)
với các hằng số elliptic λ, Λ và với vế phải f.
Mặt khác, mỗi nghiệm nhớt của F(D
2
u, x) = f(x) đều thuộc lớp
S(
λ
n
, Λ, f(x) −F (0, x)) (theo Mệnh đề 2.1.5). Do vậy, mọi kết quả đúng
với các hàm thuộc các lớp S đều đúng với các nghiệm nhớt của phương
trình elliptic đều phi tuyến hoàn toàn. Tức là, tính hữu dụng của lớp S
là ở chỗ tránh không phải tuyến tính hóa.
Chú ý 2.1.3. Ta có thể định nghĩa nghiệm nhớt của (2.1.1) và các lớp
S(f) tương ứng với các hàm F(M, ·) và f bị chặn, không nhất thiết liên
tục. Trong trường hợp này, tất cả các kết quả trong các mục 2.1.1 và
2.1.2 vẫn còn đúng, ngoại trừ tính chất đóng, tức là Mệnh đề 2.1.4 và
khẳng định (3) trong Chú ý 2.1.2.
- 24 -
2.1.3 Ví dụ về phương trình elliptic hoàn toàn phi tuyến
Trước tiên ta đề cập tới một số kiến thức cơ sở về toán tử vi phân
F . Giả sử F là một hàm trên S × Ω, thuộc lớp C
1
, trong đó S là không
gian tất cả các ma trận đối xứng cấp n × n. Thác triển F lên toàn
không gian tất cả các ma trận thực cấp n ×n, chẳng hạn bằng cách đặt
F (A, x) = F (

1
2
(A + A
t
), x). Khi đó F là một hàm của n × n biến a
ij
và
của biến x. Ta đặt
F
ij
(A, x) =
∂F
∂a
ij
(A, x).
Rõ ràng, nếu M và N là các ma trận đối xứng thì DF (M, x)N =
F
ij
(M, x)N
ij
không phụ thuộc vào cách thác triển đã nêu của F. Đồng
thời, dễ kiểm tra rằng nếu F là elliptic đều (theo Định nghĩa 2.1.1) với
các hằng số elliptic λ, Λ thì
λ|ξ|
2
≤ F
ij
(M, x)ξ
i
ξ

j
≤ Λ|ξ|
2
, ∀M ∈ S, ∀x ∈ Ω, ∀ξ ∈ R
n
. (2.1.6)
Mặt khác, từ (2.1.6) suy ra F là elliptic đều (theo Định nghĩa 2.1.1) với
các hằng số elliptic λ, nΛ.
Ta nói F là lõm nếu F (M, x) là hàm lõm của M ∈ S. Bây giờ, giả sử
thêm F thuộc lớp C
2
. Khi đó F là lõm khi và chỉ khi
F
ij,kl
(M, x)N
ij
N
kl
≤ 0, ∀M ∈ S, ∀x ∈ Ω, ∀N ∈ S, (2.1.7)
trong đó F
ij,kl
= ∂
2
F/(∂a
ij
∂a
kl
). Lớp các phương trình lõm (hoặc lồi)
là một trong những lớp phương trình elliptic phi tuyến hoàn toàn quan
trọng (xem các ví dụ sau).

Sau đây là một số phương trình elliptic cấp hai phi tuyến hoàn toàn
(i) Phương trình Pucci: Là các phương trình:
M
−
(D
2
u) = f(x), M
+
(D
2
u) = f(x),
trong đó M
−
và M
+
là các toán tử cực trị Pucci (xem mục 2.1.2). Chúng
là phương trình elliptic đều. Sử dụng Bổ đề 2.1.3, ta thấy M
−
là lõm và
M
+
là lồi.
(ii) Phương trình Bellman: Khi thay họ A
λ,Λ
trong định nghĩa toán tử
cực trị Pucci (2.1.4) và (2.1.5) bởi họ tùy ý A các toán tử elliptic tuyến
- 25 -