Ứng dụng sai phân giải bài toán biên của phương trình eliptic

Lời cảm ơn
Em xin chân thành cảm ơn Phòng sau Đại học; Các thầy giáo, cô giáo
trong Khoa Toán cùng toàn thể các anh chị em học viên khóa 13 chuyên
ngành Toán giải tích Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đã động viên
giúp đỡ để tác giả có điều kiện tốt nhất trong suốt quá trình thực hiện
đề tài nghiên cứu khoa học. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu
sắc tới TS. Nguyễn Văn Hùng đã định hướng chọn đề tài và tận
tình chỉ bảo giúp đỡ em hoàn thành Luận văn này.
Do thời gian và kiến thức có hạn nên Luận văn không tránh khỏi những
hạn chế và còn có thiếu sót nhất định. Em xin chân thành cảm ơn đã
nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn
học viên.
Hà Nội, tháng 11 năm 2011
Tác giả
Bùi Văn Lương
Lời cam đoan
Em xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hùng,
Luận văn Thạc sỹ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "ỨNG
DỤNG SAI PHÂN GIẢI BÀI TOÁN BIÊN CỦA PHƯƠNG
TRÌNH ELIPTIC" được hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản
thân tác giả, không trùng với bất cứ Luận văn nào khác.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện Luận văn, tác giả đã kế thừa
những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn!
Hà Nội, tháng 11 năm 2011
Tác giả
Bùi Văn Lương
Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Chương 1. Các khái niệm cơ bản về phương trình đạo hàm
riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1. Các kí hiệu và định nghĩa chung . . . . . . . . . . . . 6

1.1.1. Về miền trong R
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2. Về đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3. Về các không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.4. Định nghĩa phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.5. Các phương trình đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2. Phân loại phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . 9
1.3. Các bài toán biên của phương trình Eliptic . . . . . . . . 10
Chương 2. Phương trình sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1. Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.2. Tính chất của sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2. Phương trình sai phân tuyến tính. . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.2. Nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.3. Tuyến tính hóa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3. Phương trình sai phân tuyến tính cấp một . . . . . . . . . . 25
2.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.2. Nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1
2.3.3. Một số phương pháp tìm nghiệm riêng x
∗
n
của phương trình sai phân tuyến tính
cấp một không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.4. Phương trình sai phân tuyến tính cấp một với hệ số biến thiên . . . . . . . . 29
2.4. Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai. . . . . . . . . . 31
2.4.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.2. Nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4.3. Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với hệ số biến thiên . . . . . . . . . . . 35
Chương 3. Giải bài toán biên phương trình Eliptic bằng
phương pháp sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1. Sai phân hóa bài toán biên của phương trình Eliptic . . . . . 38
3.1.1. Bài toán biên Đirichlê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1.2. Những bước đi chính trong việc sai phân hóa bài toán biên Đirichlê. . . . . . 39
3.1.3. Thí dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.1.4. Bài toán biên Nơman. Sai phân hóa biên kiện ∂u/∂n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2. Phương pháp giải hệ phương trình sai phân của bài toán biên
phương trình Eliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.1. Vài điều chú ý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.2. Về việc giải lặp các hệ phương trình đại số tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.3. Phép lặp Iacôbi và phép lặp Zayđen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.4. Phép giảm dư quá hạn kế tiếp (phép lặp SOR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2.5. Phép lặp luân hướng (phép lặp ADI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2.6. Các phép lặp khối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3. Sự hội tụ của bài toán biên sai phân phương trình Eliptic 66
3.3.1. Đường lối chung để chứng minh sự hội tụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3.2. Cách chứng minh cụ thể. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3
Lời nói đầu
Phương trình đạo hàm riêng được nghiên cứu lần đầu tiên vào giữa
thế kỷ 18 trong các công trình của những nhà toán học nổi tiếng như
Ơle, Đalambe, Lagrăng và Laplaxơ như là một công cụ quan trọng để
mô tả các mô hình của vật lý và cơ học. Những bài toán có nội dung
tương tự vẫn còn được nghiên cứu đến tận ngày nay và là một trong
các nội dung cơ bản của lý thuyết phương trình đạo hàm riêng. Chỉ đến

giữa thế kỷ 19 và đặc biệt là trong các công trình của Riemann, phương
trình đạo hàm riêng mới trở thành công cụ mạnh trong những lĩnh vực
khác của toán học lý thuyết. Phương trình đạo hàm riêng thường xuyên
xuất hiện trong các bài toán ứng dụng của lý thuyết thuỷ động học, cơ
học lượng tử, điện học, điện – từ trường
Đa số các bài toán này rất phức tạp, không có phương pháp giải
đúng. Nhiều bài toán không có nghiệm theo nghĩa cổ điển. Vấn đề tìm
nghiệm đúng của các phương trình đạo hàm riêng nhiều khi không thể
và cũng không cần thực hiện trong mọi trường hợp. Bởi vậy trong nhiều
trường hợp ta chỉ tìm được nghiệm gần đúng của các phương trình đạo
hàm riêng và cũng từ đó xuất hiện các phương pháp để giải gần đúng
các phương trình đó.
Phương pháp sai phân (hay còn gọi là phương pháp lưới) là một
trong những phương pháp được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực
khoa học, kỹ thuật. Nội dung của nó là dẫn đối tượng cần xét về việc
giải phương trình sai phân. Một trong những ứng dụng của phương
4
pháp này là giải bài toán biên phương trình đạo hàm riêng, trong đó có
phương trình Eliptic là một trong những phương trình đạo hàm riêng
quan trọng.
Với mong muốn được tìm hiểu kỹ hơn các ứng dụng của sai phân,
cùng với sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của Tiến sĩ Nguyễn Văn
Hùng, tôi xin giới thiệu đề tài:
“ỨNG DỤNG SAI PHÂN GIẢI BÀI TOÁN BIÊN CỦA
PHƯƠNG TRÌNH ELIPTIC”.
5
Chương 1
Các khái niệm cơ bản về phương
trình đạo hàm riêng
1.1. Các kí hiệu và định nghĩa chung

1.1.1. Về miền trong R
n
R
n
=

x = (x
1
, x
2
, , x
n
) | x
i
∈ R, i = 1, n

.
Chuẩn x =

n

i=1
x
2
i

1
2
.
Tích vô hướng: x.y =

n

i=1
x
i
y
i
.
Hình cầu mở tâm a ∈ R
n
, bán kính r > 0. Kí hiệu: B
r
(a) hoặc B(a, r);
B(a, r) = {x ∈ R
n
: x −a < r}.
Ω ⊂ R
n
là một miền ⇔ Ω mở và liên thông.
W
n
là thể tích của B
r
(a) trong R
n
, W
n
=
Π
r

2
Γ

n
2
+ 1

.
1.1.2. Về đạo hàm
Đa chỉ số: là một bộ α = (α
1
, α
2
, , α
n
) ∈ N
n
.
Khi đó bậc của α là số |α| = α
1
+ α
2
+ ···+ α
n
.
Đạo hàm cấp α của hàm số u = u(x), x ∈ R
n
là:
D
α

u(x) =
∂
|α|
u
∂x
α
1
1
∂x
α
2
2
∂x
α
n
n
.
6
Với hàm số z = f(x, y). Thay cho viết
∂f
∂x
, ta viết f
x
(x, y) hoặc z
x
(x, y).
Thay cho viết
∂
3
f

∂x
2
∂y
, ta viết z
xxy
(x, y), vài trường hợp còn kí hiệu
D
xxy
f(x, y).
1.1.3. Về các không gian
Giả sử A ⊂ R
n
là một tập bất kì.
C
k
(A) là tập hợp tất cả các hàm u = u(x), xác định trên A và có đạo
hàm D
α
u(x) với |α| ≤ k liên tục trên A
0
và có thể thác triển liên tục
trên toàn bộ A.
A
0
là tập các điểm trong A, A mở thì A
0
= A = Ω. Khi đó C
k
(Ω) cũng
được hiểu tương tự như trên.

R
n+1
= R
n
× R các phần tử x = (x

, t) với x

∈ R
n
, t ∈ R; x

là biến
không gian, t là biến thời gian.
Với A ∈ R
n+1
, kí hiệu C
k,m
(A) tập tất cả các hàm u(x, t) xác định trên
A sao cho u(x, t) và D
α
x
D
β
t
u(x, t) liên tục trên A
0
và có thể thác triển
liên tục trên A với mọi α ≤ k, 0 ≤ β ≤ n.
∂Ω là tập các điểm biên của Ω.

1.1.4. Định nghĩa phương trình đạo hàm riêng
Định nghĩa: Phương trình liên hệ giữa các hàm ẩn u
1
, u
2
, , u
n
; các
biến và các đạo hàm riêng của chúng được gọi là phương trình đạo hàm
riêng.
Một phương trình đạo hàm riêng chứa ít nhất một đạo hàm cấp m và
không chứa đạo hàm cấp cao hơn m được gọi là phương trình đạo hàm
7
riêng cấp m.
Phương trình đạo hàm riêng được gọi là tuyến tính nếu nó tuyến tính
đối với tất cả các hàm ẩn và các đạo hàm riêng của chúng. Cũng vì vậy
mà phương trình đạo hàm riêng tuyến tính chỉ chứa các đạo hàm hàm
ẩn bậc một.
Phương trình đạo hàm riêng gọi là tựa tuyến tính nếu nó tuyến tính
với các đạo hàm cấp cao nhất.
Thí dụ: Xét hàm 2 biến u = u(x, y).
Phương trình: x
2
u
xx
+ u
yy
+ u
2
= 1 là phương trình đạo hàm riêng

tựa tuyến tính.
Phương trình:
∂
2
u
∂x
2
+
∂
2
u
∂x∂y
−
∂u
∂x
+ y
2
u = x
2
−y
2
là phương trình
đạo hàm riêng cấp 2 và nó tuyến tính.
Phương trình tuyến sóng: u
tt
− ∆u = f(x, t) là tuyến tính với
u = u(x, t).
Nghiệm của phương trình đạo hàm riêng là một hệ bất kì các hàm sao
cho khi thay vào các hàm ẩn, phương trình biến thành đồng nhất thức.
Thí dụ: Một nghiệm của phương trình

∂
2
u
∂x
2
−a
2
∂
2
u
∂y
2
= 0 là hàm u(x, y) =
cos(ax + y) + e
−ax+y
.
1.1.5. Các phương trình đặc biệt
Toán tử Laplace:
∆ =
∂
2
∂x
2
1
+
∂
2
∂x
2
2

+ ···+
∂
2
∂x
2
n
∆u =
∂
2
u
∂x
2
1
+
∂
2
u
∂x
2
2
+ ···+
∂
2
u
∂x
2
n
8
Phương trình Poison: ∆u = f(x). Khi f(x) = 0 trên Ω ta có phương
trình Laplace.

Phương trình truyền nhiệt: u
t
− ∆u = f(x, t); (x, t) ∈ Q
T
, ở đây u =
u(x, t).
Phương trình tuyến sóng: u
tt
− ∆u = f(x, t).
1.2. Phân loại phương trình đạo hàm riêng
Xét phương trình tuyến tính cấp 2
Lu := A
∂
2
u
∂x
2
+ 2B
∂
2
u
∂x∂y
+ C
∂
2
u
∂y
2
+ a
∂u

∂x
+ b
∂u
∂y
+ c.u = f(x, y). (1.1)
Nếu các hệ số A, B, C không phụ thuộc vào x, y thì ta có biệt thức:
D =






A B
B C






= AC −B
2
.
Ta nói phương trình (1.1) thuộc loại Eliptic nếu D > 0, thuộc loại
Parabol nếu D = 0, thuộc loại Hypebol nếu D < 0.
Để ý rằng phương trình không thay đổi sau mọi phép biến đổi không
suy biến ξ = ϕ (x, y); ν = ψ (x, y), tức là








∂ϕ
∂x
∂ϕ
∂y
∂ψ
∂x
∂ψ
∂y







= 0; ∀(x, y) ∈ G,
trong đó G là một miền thay đổi của (x, y) trong phương trình (1.1).
Thí dụ:
a, Phương trình Laplace:
∂
2
u
∂x
2
+

∂
2
u
∂y
2
= 0 có D = A.C = 1 > 0 nên
phương trình thuộc loại Eliptic.
9
b, Phương trình:
∂u
∂y
−
∂
2
u
∂x
2
= 0 thuộc loại Parabol.
Các dạng phổ biến:
1, Phương trình Laplace (Eliptic): ∆u =
∂
2
u
∂x
2
+
∂
2
u
∂y

2
= 0.
2, Phương trình truyền nhiệt:
∂u
∂t
= a
2
∂
2
u
∂x
2
; u = u (x, t).
3, Phương trình dây cung:
∂
2
u
∂t
2
= a
∂
2
u
∂x
2
; u = u (x, t).
1.3. Các bài toán biên của phương trình Eliptic
Xét phương trình:
Lu := a
∂

2
u
∂x
2
+ b
∂
2
u
∂y
2
+ c
∂u
∂x
+ d
∂y
∂y
+ gu = f, (1.2)
trong đó a, b, c, d, g, f là các hàm của (x, y) và mọi (x, y) ∈ G, D :=
a.b > 0 để (1.2) là phương trình Eliptic.
Người ta phân biệt ba loại bài toán biên
1) Bài toán Đirichlê:



L(u) = f, (x, y) ∈ G
u | Γ = ϕ, (x, y) ∈ Γ.
2) Bài toán Nơman:




L(u) = f, (x, y) ∈ G
∂u
∂n
| Γ = ϕ, (x, y) ∈ Γ.
3) Bài toán hỗn hợp:





L(u) = f, (x, y) ∈ G

αu + α
1
u
∂u
∂n

| Γ = ϕ, (x, y) ∈ Γ.
10
Chương 2
Phương trình sai phân
Phương pháp sai phân là phương pháp được áp dụng rộng rãi trong
nhiều lĩnh vực khoa học, kĩ thuật. Nội dung của nó là đưa bài toán cần
xét về việc giải phương trình sai phân hoặc hệ phương trình sai phân
(tức là hệ thức hoặc các hệ thức liên hệ các giá trị của các hàm số tại
các điểm khác nhau như những hàm số của đối số nguyên).
Thí dụ, để tìm nghiệm của phương trình đại số hoặc siêu việt
f(x) = 0 (2.1)
trên (a, b), trên đó f


(x) và f

(x) không đổi dấu và f(a)f(b) < 0 , ta
có thể dùng phương pháp Niutơn theo công thức





x
n+1
= x
n
−
f (x
n
)
f

(x
n
)
x
0
= c, với f(c)f

(c) > 0, c ∈ [a, b] .
(2.2)
Có nghĩa là ta thay phương trình (2.1) bằng phương trình sai phân

(2.2) (gọi là sai phân hóa), để tính nghiệm gần đúng x
n
của (2.1) theo
công thức truy hồi (2.2).
Ta cũng có thể viết (2.1) dưới dạng:
x = ϕ(x) (2.3)
sao cho |ϕ

(x)| ≤ q ≤ 1, ∀x ∈ (a, b) và tìm nghiệm của (2.3) (cũng có
11
nghĩa là nghiệm của (2.1)) bằng phương pháp lặp đơn theo công thức:



x
n+1
= ϕ (x
n
)
x
0
= c, c ∈ (a, b),
(2.4)
tức là ta đã thay (2.1) bằng phương trình sai phân (2.4).
Để minh họa, ta lấy ví dụ đơn giản là tìm nghiệm của phương trình
x
2
+ x −1 = 0 trên (0, 1).
2.1. Các khái niệm cơ bản
Xét dãy số {x

n
}; dạng khai triển của nó là: {x
0
, x
1
, , x
n
, }.
Thí dụ, dãy số tự nhiên kí hiệu là N có dạng: {n} = {0, 1, 2, , n, };
dãy số nguyên dương Z
+
có dạng: {n} = {1, 2, , n, }; dãy số điều
hòa

1
n

=

1,
1
2
, ,
1
n
,

.
Có thể xem dãy số là một hàm của đối số nguyên n. Kí hiệu x(n) = x
n

.
2.1.1. Định nghĩa
Định nghĩa 2.1. Ta gọi sai phân hữu hạn cấp 1 của hàm số x(n) = x
n
với n ∈ Z: {n} = {0, ±1, ±2, , ±n, } (hoặc n ∈ Z
+
hoặc n ∈ N) là
hiệu:
∆x
n
= x
n+1
− x
n
.
Thí dụ: Hàm x
n
cho dưới dạng bảng
n 0 1 2 3 4
x(n) 1 3 4 7 6
12
có sai phân hữu hạn cấp 1 là:
∆x
0
= x
1
− x
0
= 3 −1 = 2; ∆x
1

= x
2
− x
1
= 4 −3 = 1;
∆x
2
= x
3
− x
2
= 7 −4 = 3; ∆x
3
= x
4
− x
3
= 6 −7 = −1.
Từ đây về sau, nếu không có gì nhầm lẫn với tỉ sai phân, ta gọi tắt
sai phân hữu hạn là sai phân và cũng gọi sai phân cấp 1 là sai phân.
Định nghĩa 2.2. Ta gọi sai phân cấp 2 của hàm số x
n
là sai phân của
sai phân cấp 1, và nói chung sai phân cấp k của hàm số x
n
là sai phân
của sai phân cấp k − 1 của hàm số đó.
Như vậy, sai phân cấp 2 của hàm số x
n
là:

∆
2
x
n
= ∆ (∆x
n
) = ∆x
n+1
− ∆x
n
= x
n+2
− x
n+1
− (x
n+1
− x
n
)
= x
n+2
− 2x
n+1
+ x
n
.
Sai phân cấp 3 của hàm x
n
là:
∆

3
x
n
= ∆

∆
2
x
n

= ∆
2
x
n+1
− ∆
2
x
n
= x
n+3
− 2x
n+2
+ x
n+1
− (x
n+2
− 2x
n+1
+ x
n

)
= x
n+3
− 3x
n+2
+ 3x
n+1
− x
n
.
Nói chung sai phân cấp k của hàm x
n
là:
∆
k
x
n
= ∆

∆
k−1
x
n

= ∆
k−1
x
n+1
− ∆
k−1

x
n
=
k

i=0
(−1)
i
C
i
k
x
n+k−i
, (2.5)
13
trong đó C
i
k
=
k!
i!(k − i)!
.
Thí dụ: Xét hàm x
n
trong định nghĩa 2.1, ta có:
∆
2
x
0
= x

2
− 2x
1
+ x
0
= 4 −2.3 + 1 = −1;
∆
2
x
1
= x
3
− 2x
2
+ x
1
= 7 −2.4 + 3 = 2;
∆
2
x
2
= x
4
− 2x
3
+ x
2
= 6 −2.7 + 4 = −4;
∆
3

x
0
= x
3
− 3x
2
+ 3x
1
− x
0
= 7 −3.4 + 3.3 − 1 = 3;
∆
3
x
1
= x
4
− 3x
3
+ 3x
2
− x
1
= 6 −3.7 + 3.4 − 3 = −6;
∆
4
x
0
= x
4

− 4x
3
+ 6x
2
− 4x
1
+ x
0
= 6 −4.7 + 6.4 −4.3 + 1 = −9.
Từ công thức (2.5) suy ra một số tính chất của sai phân sau đây:
2.1.2. Tính chất của sai phân
Tính chất 1. Sai phân các cấp đều có thể biểu diễn qua các giá trị
của hàm số.
Tính chất 2. Sai phân mọi cấp của hàm số là một toán tử tuyến tính.
Tính chất 3. Sai phân cấp k của đa thức bậc m là
1. Đa thức bậc m −k, nếu k < m;
2. Hằng số, nếu k = m;
3. Bằng 0 khi k > m.
Tính chất 4.
N

n=a
∆
k
x
n
= ∆
k−1
x
N+1

− ∆
k−1
x
a
, với k ∈ Z
+
.
14
Chứng minh.
N

n=a
∆
k
x
n
=
N

n=a
∆

∆
k−1
x
n

= ∆
k−1
x

a+1
− ∆
k−1
x
a
+ ∆
k−1
x
a+2
− ∆
k−1
x
a+1
+ ···+ ∆
k−1
x
N+1
− ∆
k−1
x
N
= ∆
k−1
x
N+1
− ∆
k−1
x
a
.

Đặc biệt lưu ý với trường hợp k = 1, ta có:
N

n=a
∆x
n
= x
N+1
− x
a
.
Ví dụ 2.1. Tính các tổng
S = 1.1! + 2.2! + ··· + n.n! =

n
k=1
kk!;
S
1
=

1
2
+ 1 + 1

! +

2
2
+ 2 + 1


2! + ··· +

n
2
+ n + 1

n!
=
n

k=1

k
2
+ k + 1

k!.
Lời giải. Ta có k.k! = (k + 1)! − k! = ∆k!
Vậy S =
n

k=1
k.k! =
n

k=1
∆k! = (n + 1)! −1.
Vì


k
2
+ k + 1

k! =

k
2
+ 2k + 1 − k

k!
= (k + 1)
2
k! −kk!
= (k + 1)(k + 1)! −kk!
= ∆(kk!)
nên S
1
=
n

k=1
(
k
2
+k + 1)k! =
n

k=1
∆(kk)! = (n + 1)(n + 1)! − 1.

15
Ví dụ 2.2. Tính các tổng
T
m
= 1
m
+ 2
m
+ 3
m
+ ···+ n
m
, với m = 1; 2.
Lời giải. T
1
= 1 + 2 + ··· + n =
n

k=1
k =
n

k=1
∆
k(k − 1)
2
=
(n + 1)n
2
;

T
2
= 1
2
+ 2
2
+ ···+ n
2
=
n

k=1
2
k
=
n

k=1
∆
(k − 1)k(2k − 1)
6
=
n(n + 1)(2n + 1)
6
.
Ví dụ 2.3. Tính các tổng
S
n
= sin x + sin 2x + ··· + sin nx;
C

n
= cos x + cos 2x + ··· + cos nx.
Lời giải. Ta có
∆ cos

k −
1
2

x = cos

k +
1
2

x −cos

k −
1
2

x
= −2 sin kx sin
x
2
.
+Nếu sin
x
2
= 0 ⇔ x = 2kπ, k ∈ Z, thì

sin x = sin 2x = ··· = sin nx = 0,
suy ra S
n
= 0.
+Nếu sin
x
2
= 0 ⇔ x = 2kπ, k ∈ Z, thì
sin kx = −
1
2 sin
x
2
∆ cos

k −
1
2

x,
suy ra S
n
=
n

k=1
sin kx = −
1
2 sin
x

2
n

k=1
∆cos(k −
1
2
)x
= −
1
2 sin
x
2

cos

n +
1
2

x −cos
1
2
x

16
=
sin
n + 1
2

x sin
nx
2
sin
x
2
.
Tương tự C
n
=






n, x = 2kπ, k ∈ Z
cos
n + 1
2
x sin
nx
2
sin
x
2
, x = 2kπ, k ∈ Z.
2.2. Phương trình sai phân tuyến tính
2.2.1. Định nghĩa
Định nghĩa 2.3. Phương trình sai phân tuyến tính là một hệ thức

tuyến tính giữa sai phân các cấp:
F

x
n
, ∆x
n
, ∆
2
x
n
, , ∆
k
x
n

= 0,
trong đó x
n
hiểu là sai phân cấp 0 của hàm x
n
, cấp lớn nhất của các sai
phân (ở đây là bằng k) là cấp của phương trình sai phân tuyến tính.
Do tính chất 1 của sai phân, sai phân các cấp đều có thể biểu diễn
qua các giá trị của hàm số, nên người ta thường dùng định nghĩa dưới
đây tương đương với định nghĩa trên, nhưng thuận tiện hơn.
Định nghĩa 2.4. Phương trình sai phân tuyến tính của hàm x
n
là một
biểu thức tuyến tính giữa các giá trị của hàm x

n
tại các điểm khác
nhau:
L
h
x
n
= a
0
x
n+k
+ a
1
x
n+k−1
+ ···+ a
k
x
n
= f
n
, (2.6)
trong đó L
h
là kí hiệu toán tử tuyến tính tác dụng lên hàm x
n
, xác
định trên lưới có bước lưới h; a
0
, a

1
, , a
k
với a
0
= 0, a
k
= 0 là các hằng
17
số hoặc các hàm số của n, được gọi là các hệ số của phương trình sai
phân; f
n
là một hàm số của n, được gọi là vế phải; x
n
là giá trị cần
tìm, được gọi là ẩn.
Phương trình (2.6) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp
k (còn gọi là bậc k), vì để tính được tất cả các giá trị x
n
ta phải cho
trước k giá trị liên tiếp của x
n
, rồi tính các giá trị còn lại của x
n
theo
công thức truy hồi (2.6).
Định nghĩa 2.5. Nếu f
n
≡ 0 thì (2.6) gọi là phương trình sai phân
tuyến tính thuần nhất.

Nếu f
n
≡ 0 thì (2.6) gọi là phương trình sai phân tuyến tính không
thuần nhất.
Nếu f
n
≡ 0 thì a
0
, a
1
, , a
k
là các hằng số, a
0
= 0, a
k
= 0 thì phương
trình (2.6) trở thành
L
h
x
n
= a
0
x
n+k
+ a
1
x
n+k−1

+ ···+ a
k
x
n
= 0 (2.7)
và được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp k với
các hệ số hằng số.
2.2.2. Nghiệm
Hàm số x
n
biến n, thỏa mãn (2.6) được gọi là nghiệm của phương
trình sai phân tuyến tính (2.6).
Hàm số x
n
phụ thuộc k tham số, thỏa mãn (2.7), được gọi là nghiệm
tổng quát của (2.7), nếu với mọi tập giá trị ban đầu x
0
, x
1
, , x
k−1
, ta
đều xác định được duy nhất các tham số C
1
, C
2
, C
3
, , C
k

để nghiệm
18
x
n
trở thành nghiệm riêng của (2.7), tức là vừa thỏa mãn (2.7) vừa
thỏa mãn x
0
= x
0
, x
1
= x
1
, x
k−1
= x
k−1
.
Định lý 2.1. Nghiệm tổng quát x
n
của (2.6) bằng tổng x
n
và x
∗
n
với
x
∗
n
là một nghiệm riêng bất kì của (2.6).

Chứng minh. Thật vậy, giả sử x
n
và x
∗
n
là hai nghiệm của (2.6), tức
là L
h
x
n
= f
n
, L
h
x
∗
n
= f
n
. Do L
h
tuyến tính nên
L
h
x
n
− L
h
x
∗

n
= L
h
(x
n
− x
∗
n
) = 0,
tức là x
n
− x
∗
n
thỏa mãn (2.7) và do đó nghiệm tổng quát:
x
n
= x
n
− x
∗
n
hay x
n
= x
n
+ x
∗
n
.

Định lý 2.2. Nếu x
n1
, x
n2
, , x
nk
là k nghiệm độc lập tuyến tính của
(2.7), tức là từ hệ thức
C
1
x
n1
+ C
2
x
n2
+ ···+ C
k
x
nk
= 0
suy ra C
1
= C
2
= ··· = C
k
= 0, thì nghiệm tổng quát x
n
của (2.7) có

dạng
x
n
= C
1
x
n1
+ C
2
x
n2
+ ···+ C
k
x
nk
,
trong đó C
1
, C
2
, , C
k
là các hằng số tùy ý.
Bây giờ ta chuyển sang tìm nghiệm x
n
của (2.7) và x
∗
n
của (2.6).
Vì phương trình thuần nhất (2.7) luôn có nghiệm x

n
= 0, nên để tìm
nghiệm tổng quát, ta tìm x
n
của (2.7) dưới dạng x
n
= Cλ
n
, C = 0,
19
λ = 0.
Thay x
n
= Cλ
n
vào (2.7) và ước lược cho Cλ
n
= 0 , ta được
L
h
λ = a
0
λ
k
+ a
1
λ
k−1
+ ···+ a
k

= 0. (2.8)
Phương trình (2.8) được gọi là phương trình đặc trưng của (2.7) (người
ta cũng xem là phương trình đặc trưng của (2.6)). Nghiệm x
n
của (2.7)
và x
∗
n
của (2.6) phụ thuộc cốt yếu vào cấu trúc nghiệm của (2.8).
2.2.2.1. Nghiệm tổng quát x
n
Định lý 2.3. Nếu (2.8) có k nghiệm thực khác nhau là λ
1
, λ
2
, , λ
k
thì
nghiệm tổng quát x
n
của (2.7) có dạng
x
n
= C
1
λ
n
1
+ C
2

λ
n
2
+ ···+ C
k
λ
n
k
=
k

i=1
C
i
λ
n
i
,
trong đó C
i
; i = 1, 2, , k là các hằng số tùy ý.
Ví dụ 2.4. Phương trình sai phân x
n+3
− 7x
n+2
+ 16x
n+1
− 12x
n
= 0.

Phương trình đặc trưng của nó là
λ
3
− 7λ
2
+ 16λ −12 = 0
có các nghiệm λ
1
= 2 (kép), λ
2
= 3. Đối với λ
1
= 2 (kép), ngoài nghiệm
λ
n
1
= 2
n
, ta bổ sung thêm nghiệm nλ
n
1
= n2
n
và được nghiệm tổng quát
là
x
n
=

C

1
1
+ C
2
1
n

2
n
+ C
2
3
n
,
trong đó C
1
1
, C
2
1
, C
2
là các hằng số tùy ý.
Nếu phương trình đặc trưng (2.8) có nghiệm phức λ
j
= a + bi =
r (cos ϕ + i sin ϕ), trong đó r = |
λ
j
| =

√
a
2
+
b
2
, ϕ = acgumenλ
j
, có
20
nghĩa là tan ϕ =
b
a
, thì (2.8) cũng có nghiệm liên hợp phức λ
j
=
a −bi = r (cos ϕ − i sin ϕ).
Khi đó ta có λ
n
j
= r
n
(cos nϕ + i sin nϕ) ; λ
n
j
= r
n
(cos nϕ −i sin nϕ) là
các nghiệm của (2.7).
Ta lấy

x
1
nj
=
1
2

λ
n
j
+ λ
n
j

= r
n
cos nϕ;
x
2
nj
=
1
2i

λ
n
j
+ λ
n
j


= r
n
sin nϕ
làm các nghiệm độc lập tuyến tính của (2.7). Khi đó
x
n
=
k

j=i=1
C
i
λ
n
i
+ r
n

C
1
j
cos nϕ + C
2
j
sin nϕ

,
trong đó C
i

, C
1
j
, C
2
j
là các hằng số tùy ý.
2.2.2.2. Nghiệm riêng x
∗
n
Phương pháp chung để tìm nghiệm riêng x
∗
n
của phương trình sai
phân tuyến tính không thuần nhất (2.6) là xây dựng hàm Grin. Chúng
ta sẽ đề cập đến trong phương trình bậc 1 và bậc 2. Lí do là các phương
trình bậc sai phân tuyến tính đều có thể đưa về phương trình bậc 1
hoặc bậc 2 bằng cách đưa vào vectơ nghiệm có nhiều tọa độ hơn và đưa
về dạng chính tắc. Hơn nữa, với lí do nhập môn, ta chỉ ứng dụng cho
các bài toán đơn giản và chỉ sử dụng đến phương trình sai phân tuyến
tính bậc 1 và bậc 2.
Sau đây là một số trường hợp đặc biệt, có thể x
∗
n
tìm đơn giản hơn
và nhanh hơn. Các dạng đặc biệt này của x
∗
n
là chuyển tương ứng từ
các dạng đặc biệt của phương trình vi phân thường. Để xác định các

tham số trong các dạng nghiệm này, người ta dùng phương pháp hệ số
21
bất định (còn gọi là phương pháp chọn).
a) Trường hợp f
n
là đa thức bậc m của n: f
n
= P
m
(n), m ∈ N.
1. Nếu các nghiệm λ
1
, λ
2
, λ
k
là các nghiệm thực khác 1 của phương
trình đặc trưng (2.8), thì x
∗
n
= Q
m
(n), m ∈ N, với Q
m
(n) là đa thức
cùng bậc m với f
n
.
2. Nếu có nghiệm λ = 1 bội s, thì x
∗

n
= n
s
Q
m
(n), m ∈ N, với Q
m
(n) là
đa thức của n cùng bậc m với f
n
.
b) Trường hợp f
n
= P
m
(n)β
n
, trong đó P
m
(n) là đa thức bậc m
của n, m ∈ N.
1. Nếu các nghiệm của phương trình đặc trưng (2.8) đều là các nghiệm
thực khác β, thì x
∗
n
có dạng x
∗
n
= Q
m

(n)β
n
, với Q
m
(n) là đa thức của
n cùng bậc với f
n
.
2. Nếu (2.8) có nghiệm λ = β bội s thì tìm x
∗
n
có dạng x
∗
n
= n
s
Q
m
(n)β
n
,
với Q
m
(n) là đa thức của n cùng bậc với f
n
.
c) Trường hợp f
n
= α cos nx + β sin nx, với α, β là hằng số.
Trong trường hợp này nghiệm riêng x

∗
n
được tìm dưới dạng x
∗
n
=
a cos nx + b sin nx.
d) Trường hợp f
n
= f
n1
+ f
n2
+ ···+ f
ns
.
Trong trường hợp này ta tìm nghiệm riêng x
∗
ni
ứng với từng hàm
f
ni
; i = 1, 2, , s. Khi đó, nghiệm riêng x
∗
n
ứng với hàm f
n
sẽ là x
∗
n

=
x
∗
n1
+ x
∗
n2
+ ···+ x
∗
ns
(do tính tuyến tính của phương trình sai phân).
Ví dụ 2.5. Tìm nghiệm riêng x
∗
n
của phương trình sai phân
x
n+3
− 2x
n+2
− x
n+1
+ 2x
n
=

2 −
√
2

cos

nπ
4
+ 2 sin
nπ
4
.
Lời giải. Tìm x
∗
n
dưới dạng x
∗
n
= a cos
nπ
4
+ b sin
nπ
4
.
22
Thay x
∗
n
vào phương trình sai phân và rút gọn, ta được

2 −
√
2

a −2b


cos
nπ
4
+

2a +

2 −
√
2

b

sin
nπ
4
=

2 −
√
2

cos
nπ
4
+ 2 sin
nπ
4
.

So sánh hệ số của cos
nπ
4
và sin
nπ
4
ở 2 vế, ta được




2 −
√
2

a −2b = 2 −
√
2
2a +

2 −
√
2

b = 2.
Giải hệ này, ta được a = 1, b = 0. Vậy x
∗
n
= cos
nπ

4
.
2.2.3. Tuyến tính hóa
Một số bài toán sai phân không tuyến tính, ta biến đổi đưa về phương
trình sai phân tuyến tính, được gọi là tuyến tính hóa. Một số phương
trình sai phân hệ số thay đổi, nhiều khi cũng có thể biến đổi để đưa về
phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng số. Điều này làm tăng
hiệu quả ứng dụng của phương trình sai phân. Sau đây ta lấy một số
ví dụ để minh họa cho ý nói trên.
Trong công thức lặp x
n
= ϕ (x
n−1
, x
n−2
, , x
n−k
) để giải phương
trình f(x) = 0, các giá trị ban đầu x
1
= α
1
, x
2
= α
2
, , x
k
= α
k

thuộc
đoạn ta xét. Giả sử rằng phương trình sai phân
x
n
= ϕ (x
n−1
, x
n−2
, , x
n−k
)
là tuyến tính hóa được, khi đó điều kiện cần là tồn tại các số a
1
, a
2
, , a
k
sao cho
x
n
= a
1
x
n−1
+ a
2
x
n−2
+ ···+ a
k

x
n−k
.
23