Modul lồi và cấu trúc chuẩn tắc của không gian Banach

LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận
tình của Tiến sĩ Hà Đức Vượng, người thầy đã hướng dẫn và truyền cho
tác giả những kinh nghiệm quí báu trong học tập và nghiên cứu khoa
học. Thầy luôn động viên và khích lệ để tác giả vươn lên trong học tập
và vượt qua những khó khăn trong quá trình hoàn thành luận văn. Tác
giả xin bày tỏ lòng kính trọng, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất
đối với thầy.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, Phòng Sau đại học, Khoa Toán và Tổ Giải tích cùng
với các quý thầy cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc
tốt đẹp chương trình cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên
và tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, ngày 20 tháng 6 năm 2011
Tác giả
Đỗ Đức Anh
2
LỜI CAM ĐOAN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của Tiến sĩ Hà ĐứcVượng.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn, tôi đã kế thừa
những thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và
biết ơn.
Hà Nội, ngày 20 tháng 6 năm 2011
Tác giả
Đỗ Đức Anh
Mục lục
Mở đầu 1
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 4
1.1. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1. Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2. Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.3. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.1. Không gian tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.2. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Chương 2. Không gian Banach lồi đều 30
2.1. Tính lồi của hình cầu đơn vị
trong không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2. Modul lồi và đặc trưng lồi của không gian Banach . . . . 34
Chương 3. Modul lồi và cấu trúc chuẩn tắc của không gian
Banach 42
3.1. Cấu trúc chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2. Modul lồi và cấu trúc chuẩn tắc của không gian Banach . 46
Kết luận 51
Tài liệu tham khảo 52
BẢNG KÍ HIỆU
N Tập số tự nhiên
N
∗
Tập số tự nhiên khác không
Q Tập số hữu tỷ
R Tập số thực
Z Tập số nguyên
C Tập số phức
R
k
Không gian thực k chiều
C
[a;b]

Tập tất cả các hàm số thực liên tục trên [a, b]
. Chuẩn
∅ Tập hợp rỗng
 Kết thúc chứng minh
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Năm 1936 Clarkson đã đặt nền móng cho một hướng nghiên cứu rất
quan trọng trong Giải tích toán học đó là "Hình học các không gian
Banach". Đây là công cụ quan trọng để giải quyết nhiều vấn đề trong
khoa học kỹ thuật. Đặc biệt là công cụ không thể thiếu trong lĩnh vực
nghiên cứu về điểm bất động của lớp ánh xạ không giãn.
Năm 1948, Brodskii và Milman đã đưa ra các khái niệm điểm đường
kính (diametral point) và xây dựng khái niệm tập hợp có cấu trúc chuẩn
tắc (normal structure). Các khái niệm modul lồi (modulus of convexity),
đặc trưng lồi (Characteristic of convexity) được xuất hiện, đã thu hút
nhiều nhà toán học nghiên cứu về quan hệ giữa modul lồi, đặc trưng lồi
và cấu trúc chuẩn tắc của không gian Banach như: Bynum, Day, James,
Goebel, Kirk . . .
Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về mối quan hệ giữa modul
lồi, đặc trưng lồi và cấu trúc chuẩn tắc của không gian Banach, được sự
giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của Tiến sĩ Hà Đức Vượng tôi mạnh dạn
chọn đề tài nghiên cứu :
“Modul lồi và cấu trúc chuẩn tắc của không gian Banach”.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài là xây dựng một bài tổng quan về
modul lồi, đặc trưng lồi và cấu trúc chuẩn tắc của không gian Banach.
Công trình nghiên cứu dựa trên kết quả của 2 chương:
2
Chương 5: "Scaling the convexity of the unit ball";
Chương 6: "The modulus of convexity and normal structure" trong

cuốn sách “Topics in metric fixed point theory” của tác giả K. Goebel và
W. A. Kirk xuất bản tại Mỹ năm 1990.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Với mục đích ở trên, nhiệm vụ nghiên cứu là:
- Nghiên cứu tính lồi của hình cầu đơn vị trong không gian Banach.
- Nghiên cứu mối quan hệ giữa modul lồi và đặc trưng lồi của không
gian Banach.
- Nghiên cứu cấu trúc chuẩn tắc của không gian Banach.
- Nghiên cứu mối quan hệ giữa modul lồi và cấu trúc chuẩn tắc của
không gian Banach.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là modul lồi, đặc trưng lồi và cấu trúc chuẩn
tắc của không gian Banach.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Dịch, đọc, nghiên cứu tài liệu.
- Phân tích, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu.
3
6. Đóng góp mới
Đây là bài tổng quan về modul lồi, đặc trưng lồi và cấu trúc chuẩn
tắc của không gian Banach. Giúp người đọc hiểu được mối quan hệ giữa
modul lồi và đặc trưng lồi của không gian Banach, mối quan hệ giữa
modul lồi và cấu trúc chuẩn tắc của không gian Banach.
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Không gian metric, không gian Banach và không gian Hilbert là các
không gian quan trọng trong Giải tích hàm. Trong chương này chúng tôi
sẽ trình bày một số khái niệm cơ bản về không gian metric, không gian
Banach, không gian Hilbert, một số tính chất quan trọng và các ví dụ
minh họa về các không gian này.
1.1. Không gian Banach

1.1.1. Không gian metric
Định nghĩa 1.1.1. [4] Không gian metric là một tập hợp X = ∅ cùng
với một ánh xạ d từ X vào tập số thực R, thỏa mãn các điều kiện sau
đây:
1) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y, với ∀x, y ∈ X;
2) d(x, y) = d(y, x), với ∀x, y ∈ X;
3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), với ∀x, y, z ∈ X.
Ánh xạ d được gọi là metric trên X.
Không gian metric được ký hiệu là (X, d).
Ví dụ 1.1.1. Với hai véctơ bất kỳ x = (x
1
, x
2
, , x
k
), y = (y
1
, y
2
, , y
k
)
thuộc không gian véctơ thực k chiều R
k
(k là số nguyên dương nào đó)
5
đặt:
d(x, y) =





k

j=1
(x
j
− y
j
)
2
. (1.1)
Ta có (R
k
, d) là một không gian metric.
Thật vậy:
Ta có

k

j=1
(x
j
− y
j
)
2
≥ 0, với mọi x, y ∈ R.
Suy ra d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ R.
Mặt khác ta có:

d(x, y) = 0 ⇔




k

j=1
(x
j
− y
j
)
2
= 0.
Ta có
(x
j
− y
j
)
2
= 0, ∀j = 1, 2, , k.
Hay
x
j
= y
j
, ∀j = 1, 2, , k.
Suy ra

x = y.
Vậy d(x, y) = 0 ⇔ x = y.
Để kiểm tra hệ thức (1.1) thỏa mãn điều kiện 3 của Định nghĩa 1.1.1,
trước hết ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacopski:
Với 2k số thực a
j
, b
j
, (j = 1, 2, , k) ta có:





k

j=1
a
j
b
j





≤





k

j=i
a
2
j
.




k

j=i
b
2
j
. (1.2)
Thật vậy
0 ≤
k

i=1

k

j=1
(a
i

b
j
− a
j
b
i
)
2

6
=
k

i=1
k

j=1
a
2
i
b
2
j
− 2
k

i=1
k

j=1

a
i
b
i
a
j
b
j
+
k

i=1
k

j=1
a
2
j
b
2
i
= 2

k

j=1
a
2
j


k

j=1
b
2
j

− 2

k

j=1
a
j
b
j

2
.
Do đó ta có

k

j=1
a
2
j

k


j=1
b
2
j

−

k

j=1
a
j
b
j

2
≥ 0.
Từ đó suy ra





k

j=1
a
j
b
j






≤

k

j=i
a
2
j

k

j=i
b
2
j
.
Với ba véc tơ bất kỳ x = (x
1
, x
2
, , x
k
), y = (y
1
, y

2
, , y
k
), z = (z
1
, z
2
, , z
k
)
thuộc R
k
ta có:
d
2
(x, y) =
k

j=1
(x
j
− y
j
)
2
=
k

j=1
[(x

j
− z
j
) + (z
j
− y
j
)]
2
=
k

j=1
(x
j
− z
j
)
2
+ 2
k

j=1
(x
j
− z
j
)(z
j
− y

j
) +
k

j=1
(z
j
− y
j
)
2
≤
k

j=1
(x
j
− z
j
)
2
+ 2




k

j=1
(x

j
− z
j
)
2




k

j=1
(z
j
− y
j
)
2
+
k

j=1
(z
j
− y
j
)
2
= d
2

(x, z) + 2d(x, z)d(y, z) + d
2
(z, y)
= [d(x, z) + d(y, z)]
2
.
Từ đó suy ra:
d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ R.
Do đó hệ thức (1.1) thỏa mãn điều kiện 3 của Định nghĩa 1.1.1.
Vậy hệ thức (1.1) là một metric trên R
k
.
Ta có (R
k
, d) là một không gian metric.
7
Ví dụ 1.1.2. Cho tập X = ∅. Với hai phần tử bất kỳ x, y ∈ X ta đặt:
d(x, y) =



1 nếu x = y
0 nếu x = y.
(1.3)
Hiển nhiên, hệ thức (1.3) xác định một ánh xạ từ X vào tập số thực
R. Ta kiểm tra hệ thức (1.3) thỏa mãn các tiên đề về metric.
Thật vậy:
Với hai phần tử x, y ∈ X, hiển nhiên d(x, y) ≥ 0 .
Nếu x = y thì theo (1.3), ta có d(x, y) = 0 .
Nếu d(x, y) = 0, nhưng x = y thì d(x, y) = 1 điều này trái với giả

thiết.
Vì vậy d(x, y) = 0 ⇔ x = y. Do đó (1.3) thỏa mãn tiên đề 1 về metric.
Với hai phần tử x, y ∈ X.
Nếu x = y thì y = x, do đó d(x, y) = d(y, x) = 0.
Nếu x = y thì y = x, do đó d(x, y) = d(y, x) = 1.
Vậy ta có d(x, y) = d(y, x), với mọi x, y ∈ X.
Với ba phần tử x, y, z ∈ X, ta có:
Nếu x = y thì d(x, y) = 0.
Theo chứng minh trên d(x, z) ≥ 0, d(y, z) ≥ 0.
Do đó d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).
Giả sử x = y thì d(x, y) = 1.
Nếu z = x thì z = y, khi đó d(x, z) = 0, d(z, y) = 1.
Suy ra
d(x, y) = d(x, z) + d(z, y).
Nếu z = x, z = y thì d(x, z) = d(z, y) = 1, do đó
d(x, y) < d(x, z) + d(z, y).
Vì vậy d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), với mọi x, y, z ∈ X .
Vậy hệ thức (1.3) là một metric trên X. Khi đó (X, d) là không gian
metric rời rạc.
8
Nhận xét 1.1.1.
Trên cùng một tập hợp có thể xác định những metric khác nhau. Ví
dụ trên cùng tập hợp R
k
, ngoài metric Eukleides, có thể xác định các
metric sau đây.
Với hai phần tử bất kỳ x = (x
1
, x
2

, , x
k
), y = (y
1
, y
2
, , y
k
) thuộc R
k
ta đặt:
d
1
(x, y) =
k

i=1
|x
i
− y
i
|,
d
2
(x, y) = max
1≤i≤k
|x
i
− y
i

|,
Các hệ thức trên cũng là các metric trên R
k
.
Định nghĩa 1.1.2. [4] Cho không gian metric (X, d), dãy {x
n
} ∈ X
và điểm x
0
∈ X. Dãy {x
n
} được gọi là hội tụ tới điểm x
0
trong X khi
n → ∞, nếu với mọi ε > 0, ∃n
0
∈ N
∗
, với mọi n ≥ n
0
ta có d(x
n
, x
0
) < ε.
Ký hiệu:
lim
n→∞
x
n

= x
0
hay x
n
→ x
0
, khi n → ∞.
Điểm x
0
gọi là giới hạn của dãy {x
n
} trong X.
Ví dụ 1.1.3. Sự hội tụ của một dãy điểm trong không gian Eukleides
R
k
là sự hội tụ theo tọa độ.
Thật vậy, giả sử dãy điểm x
(n)
= (x
(n)
1
, x
(n)
2
, , x
(n)
k
), n = 1, 2, hội
tụ tới điểm x = (x
1

, x
2
, , x
k
) trong R
k
.
Theo định nghĩa, với mọi ε > 0, ∃n
0
∈ N
∗
, với mọi n ≥ n
0
sao cho:
d(x
(n)
, x) =




k

j=1
(x
(n)
j
− x
j
)

2
< ε.
Suy ra



x
(n)
j
− x
j



< ε, ∀n ≥ n
0
, j = 1, 2, , k. (1.4)
Bất đẳng thức (1.4) chứng tỏ với mỗi j = 1, 2, , k dãy số thực

x
(n)
j

hội tụ tới số thực x
j
khi n → ∞. Sự hội tụ đó được gọi là sự hội tụ theo
9
tọa độ.
Ngược lại, giả sử dãy điểm x
(n)

= (x
(n)
1
, x
(n)
2
, , x
(n)
k
), n = 1, 2, hội
tụ theo tọa độ tới điểm x = (x
1
, x
2
, , x
k
). Theo định nghĩa, với ∀ε > 0
(với mỗi j = 1, 2, , k), ∃n
j
∈ N, ∀n ≥ n
j
ta có:



x
(n)
j
− x
j




<
ε
√
k
.
Đặt n
0
= max {n
1
, n
2
, , n
k
} thì với ∀n ≥ n
0
ta có:



x
(n)
j
− x
j




<
ε
√
k
, j = 1, 2, , k.
Từ đó suy ra
(x
(n)
j
− x
j
)
2
<
ε
2
k
.
Vậy ta có
k

j=1
(x
(n)
j
− x
j
)
2
< ε

2
, ∀n ≥ n
0
.
Do đó




k

j=1
(x
(n)
j
− x
j
)
2
< ε, ∀n ≥ n
0
.
Vậy dãy điểm đã cho hội tụ theo metric Eukleides của không gian R
k
.
Định nghĩa 1.1.3. [4] Cho không gian metric (X, d). Dãy {x
n
} ⊂ X gọi
là dãy Cauchy, nếu với mọi ε > 0, tồn tại n
0

∈ N
∗
sao cho, ∀m, n ≥ n
0
ta có:
d(x
m
, x
n
) < ε.
Hay
lim
m,n→∞
d(x
m
, x
n
) = 0.
Mọi dãy {x
n
} ⊂ X hội tụ trong X đều là dãy Cauchy.
Định nghĩa 1.1.4. [4] Không gian metric (X, d) gọi là đầy đủ, nếu mọi
dãy Cauchy trong X đều hội tụ tới một điểm thuộc X.
10
Ví dụ 1.1.4. Không gian l
2
là không gian các dãy số khả tổng bậc hai.
l
2
là không gian đầy đủ.

Thật vậy, giả sử x
(n)
= (x
(n)
1
, x
(n)
2
, , x
(n)
k
), n = 1, 2, là dãy Cauchy tùy
ý trong không gian l
2
.
Theo định nghĩa dãy Cauchy, với ∀ε > 0, ∃n
0
∈ N
∗
, ∀m, n ≥ n
0
.
d(x
(n)
, x
(m)
) =





∞

k=1



x
(n)
k
− x
(m)
k



2
< ε.
Suy ra




p

k=1



x

(n)
k
− x
(m)
k



2
< ε, ∀m, n ≥ n
0
, p ∈ N
∗
. (1.5)



x
(n)
k
− x
(m)
k



< ε, ∀m, n ≥ n
0
, ∀k = 1, 2, (1.6)
Bất đẳng thức (1.6) chứng tỏ với mỗi k cố định, dãy


x
(n)
k

là dãy số
Cauchy, nên phải tồn tại giới hạn
lim
n→∞
x
(n)
k
= x
k
, k = 1, 2,
Đặt x = (x
1
, x
2
, , x
k
, ) = (x
k
). Vì các bất đẳng thức (1.5) không
phụ thuộc p nên có thể chuyển qua giới hạn trong các bất đẳng thức này
khi m → ∞ ta được:





p

k=1



x
(n)
k
− x
k



2
≤ ε, ∀n ≥ n
0
, p ∈ N
∗
. (1.7)
Tiếp tục chuyển qua giới hạn bất đẳng thức (1.7) khi p → ∞ ta được:




∞

k=1




x
(n)
k
− x
k



2
≤ ε, ∀n ≥ n
0
. (1.8)
Mặt khác
|x
k
|
2
=



x
k
− x
(n)
k
+ x
(n)
k




2
≤




x
k
− x
(n)
k



+



x
(n)
k




2
.

11
≤ 2



x
(n)
k



2
+ 2



x
(n)
k
− x
k



2
, ∀k, n = 1, 2 (1.9)
Từ các bất đẳng thức (1.8) và (1.9) suy ra
p

k=1

|x
k
|
2
≤ 2
p

k=1



x
(n
1
)
k



2
+ 2
p

k=1



x
(n
1

)
k
− x
k



2
≤ 2
∞

k=1



x
(n
1
)
k



2
+ 2
∞

k=1




x
(n
1
)
k
− x
k



2
< 2
∞

k=1



x
(n
1
)
k



2
+ 2ε
2

, ∀n
1
> n
0
.
Vậy
p

k=1
|x
k
|
2
< 2
∞

k=1



x
(n
1
)
k



2
+ 2ε

2
, ∀n
1
> n
0
.
Do đó dãy x = (x
k
) ∈ l
2
, các bất đẳng thức (1.9) chứng tỏ dãy Cauchy

x
(n)

hội tụ tới x ∈ l
2
trong không gian l
2
.
Vì vậy không gian l
2
là không gian đầy đủ.
Ví dụ 1.1.5. Cho X là tập tất cả các hàm số x(t) liên tục trên không
gian R
1
sao cho x(t) = 0 ngoài một đoạn nào đó (đoạn này phụ thuộc
từng hàm số x(t)). Với hai hàm số bất kỳ x(t) ∈ X, y(t) ∈ X, ta đặt
d(x, y) = max
t∈R

1
|x(t) − y(t)|.
Khi đó (X, d) là một không gian metric không đầy đủ.
Thật vậy:
Trước hết ta chỉ ra (X, d) là một không gian metric.
d : X × X → R.
d là một ánh xạ vì: ∀x = x(t) ∈ X, ∀y = y(t) ∈ X, ta gọi x, y là
các đoạn tương ứng với các hàm số x(t), y(t) sao cho x(t) = 0 với mọi
t /∈ x và y(t) = 0 với mọi t /∈ y.
Do x = x(t), y = y(t) liên tục trên không gian R
1
nên x(t), y(t) liên
tục trên x∪y, mà x∪y là tập đóng và bị chặn nên ta có: x(t)−y(t)
12
liên tục trên x ∪ y và ∃max
R
1
|x(t) − y(t)| = max
t∈x∪y
|x(t) − y(t)|.
Vậy d xác định.
Mặt khác ta lại có:
Với mọi (x, y) ∈ X, (x
1
, y
1
) ∈ X, giả sử (x, y) = (x
1
, y
1

) hay (x(t), y(t)) =
(x
1
(t), y
1
(t)) với ∀t ∈ R
1
.
Suy ra
x(t) = x
1
(t), y(t) = y
1
(t) với ∀t ∈ R
1
.
Từ đó ta có
max
R
1
|x(t) − y(t)| = max
R
1
|x
1
(t) − y
1
(t)|.
Hay
d(x, y) = d(x

1
, y
)
.
Vậy d là đơn trị.
Từ đó suy ra
d :X ×X → R là ánh xạ
(x, y) → max
R
1
|x(t) − y(t)|.
Bây giờ ta kiểm tra các tiên đề về metric.
Với mọi x = x(t) ∈ X, y = y(t) ∈ X ta có
|x(t) − y(t)| ≥ 0, ∀t ∈ R
1
.
Suy ra
max
R
1
|x(t) − y(t)| ≥ 0.
Hay
d(x, y) ≥ 0.
Mặt khác
d(x, y) = 0.
Tương đương
max
R
1
|x(t) − y(t)| = 0.

13
Suy ra
|x(t) − y(t)| = 0, ∀t ∈ R
1
.
Hay
x(t) = y(t) ⇔ x = y.
Vậy tiên đề 1 thỏa mãn.
Với mọi x, y ∈ X ta có :
d(x, y) = max
R
1
|x(t) − y(t)|
= max
R
1
|y(t) − x(t)|
= d(y, x).
Vậy tiên đề 2 thỏa mãn.
Với mọi x = x(t) ∈ X, y = y(t) ∈ X, z = z(t) ∈ X, ta có:
|x(t) − y(t)| = |x(t) − z(t) + z(t) − y(t)|
≤ |x(t) −z(t)| + |z(t) − y(t)|.
Suy ra
|x(t) − y(t)| ≤ max
R
1
|x(t) − z(t)| + max
R
1
|z(t) − y(t)|, ∀t ∈ R

1
.
Từ đó ta có
max
R
1
|x(t) − y(t)| ≤ d(x, z) + d(z, y).
Hay
d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).
Vậy tiên đề 3 thỏa mãn.
Do đó d là một metric trên X.
Tiếp theo ta chỉ ra (X, d) là không gian không đầy đủ.
Thật vậy với mọi n ∈ N
∗
ta chọn
x
n
(t) =





1
t
2
+ 1
−
1
n

2
+ 1
nếu |t| ≤ n
0 nếu |t| > n.
14
Dễ thấy x
n
(t) là một hàm thuộc X với mỗi n ∈ N
∗
. Hơn nữa {x
n
} ⊂ X
là một dãy Cauchy. Thật vậy ta có:
d(x
n
, x
n+p
) = max
t∈R
1
|x
n
(t) − x
n+p
(t)|, ∀p ∈ N
∗
= max
|t|≤n+p
|x
n

(t) − x
n+p
(t)|
= max

max
|t|≤n
|x
n
(t) − x
n+p
(t)|, max
n<|t|≤n+p
|x
n
(t) − x
n+p
(t)|

= max
n<|t|≤n+p





1
n
2
+ 1

−
1
(n + p)
2
+ 1




,




1
t
2
+ 1
−
1
(n + p)
2
+ 1





=
1

n
2
+ 1
−
1
(n + p)
2
+ 1
.
Cho n → ∞ ta có d(x
n
, x
n+p
) → 0, với p ∈ N
∗
.
Vậy {x
n
} là dãy Cauchy trong X. Mặt khác ta lại có: Với x
0
=
1
t
2
+ 1
,
khi đó
d(x
n
, x

0
) = max




1
t
2
+ 1
−
1
n
2
+ 1
−
1
t
2
+ 1




= max
|t|≤n





−1
n
2
+ 1




=
1
n
2
+ 1
.
Cho n → ∞ ta có d(x
n
, x
0
) → 0. Do đó ta có lim
n→∞
x
n
= x
0
.
Mặt khác ta lại có x
0
=
1
t

2
+ 1
> 0, ∀t ∈ R
1
nên x
0
/∈ X.
Vậy (X, d) là một không gian metric nhưng không đầy đủ.
1.1.2. Không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.1.5. [1] Ta gọi không gian tuyến tính định chuẩn (hay
không gian định chuẩn) là một không gian tuyến tính X trên trường
K(thực hoặc phức) cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R, ký hiệu
là . và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau:
1) x = 0 ⇔ x = θ (θ là phần tử 0 trong X), với mọi x ∈ X;
15
2) x + y ≤ x + y, với ∀x, y ∈ X;
3) αx = |α|x, với ∀x ∈ X, α ∈ K.
Số x gọi là chuẩn của phần tử x.
Nhận xét 1.1.2.
x ≥ 0 với mọi x ∈ X.
Thật vậy
0 = θ = x + (−x)
≤ x + −x = 2 x.
Ta suy ra
x ≥ 0.
Cho (X, .)) là một không gian định chuẩn. Với hai phần tử bất kỳ
x, y ∈ X ta đặt:
d(x, y) = x −y.
Khi đó d là một metric trên X. Như vậy mọi không gian định chuẩn
đều là không gian metric.

Ví dụ 1.1.6. C
k
là một không gian định chuẩn với chuẩn
x =




k

i=1
|x
i
|
2
, với x = (x
1
, x
2
, , x
k
) ∈ C
k
.
Thật vậy ta có
x = 0.
Tương đương





k

i=1
|x
i
|
2
= 0.
Suy ra
|x
i
| = 0, ∀i = 1, 2, , k.
16
Hay
x
i
= 0, ∀i = 1, 2, , k.
Do đó
x = 0.
Với mọi x = (x
1
, x
2
, , x
k
), y = (y
1
, y
2

, , y
k
) thuộc C
k
ta có:
x + y =




k

i=1
|x
i
+ y
i
|
2
≤




k

i=1
(|x
i
| + |y

i
|)
2
=




k

i=1
|x
i
|
2
+ 2
k

i=1
|x
i
||y
i
| +
k

i=1
|y
i
|

2
.
Theo bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacopski ta có:
k

i=1
|x
i
||y
i
| ≤




k

i=1
|x
i
|
2
k

i=1
|y
i
|
2
.

Từ đó suy ra




k

i=1
|x
i
|
2
+ 2
k

i=1
|x
i
||y
i
| +
k

i=1
|y
i
|
2
≤






k

i=1
|x
i
|
2
+ 2




k

i=1
|x
i
|
2
k

i=1
|y
i
|
2

+
k

i=1
|y
i
|
2
=










k

i=1
|x
i
|
2
+





k

i=1
|x
i
|
2

2
17
=




k

i=1
|x
i
|
2
+




k


i=1
|y
i
|
2
= x + y.
Với mọi x ∈ C
k
, và với mọi λ ∈ K, ta có:
λx =




k

i=1
|λx
i
|
2
= |λ|




k

i=1
|x

i
|
2
= |λ|x.
Vậy C
k
là một không gian định chuẩn.
Định nghĩa 1.1.6. [1] Dãy {x
n
} của không gian định chuẩn X gọi là
hội tụ tới điểm x ∈ X, nếu lim
n→∞
x
n
− x = 0.
Ký hiệu
lim
n→∞
x
n
= x hay x
n
→ x khi n → ∞.
Nhận xét 1.1.3.
1) Nếu dãy {x
n
} hội tụ tới x, thì dãy chuẩn {x
n
} hội tụ tới x.
Hay nói cách khác, chuẩn . là một hàm giá trị thực liên tục theo biến

x.
2) Nếu dãy {x
n
} hội tụ tới x, dãy {y
n
} hội tụ tới y trong không gian
định chuẩn X, dãy số {α
n
} hội tụ tới số α, thì:
x
n
+ y
n
→ x + y khi n → ∞, α
n
x
n
→ αx khi n → ∞.
Định nghĩa 1.1.7. [1] Dãy {x
n
} của không gian định chuẩn X gọi là
dãy Cauchy, nếu lim
m,n→∞
x
m
− x
n
 = 0.
Định nghĩa 1.1.8. [3] Giả sử X là một không gian tuyến tính, .
1

và
.
2
là hai chuẩn xác định trên X, τ
1
và τ
2
là các tô pô trên X gây nên
bởi các chuẩn .
1
và .
2
.
a) Chuẩn .
1
được gọi là mạnh hơn chuẩn .
2
, nếu τ
1
≥ τ
2
b) Các chuẩn .
1
và .
2
được gọi là tương đương với nhau, nếu
τ
1
= τ
2

.
18
Định lý 1.1.1. [3]. Chuẩn .
1
mạnh hơn chuẩn .
2
khi và chỉ khi
∀c > 0, ∀x ∈ X, .
2
≤ c .
1
Chứng minh.
a) Điều kiện cần: Kí hiệu hình cầu đóng tâm tại x
0
, bán kính r:
B
i
(x
0
; r) = {x ∈ X : x − x
0
 ≤ r}(i = 1, 2).
Vì τ
1
≥ τ
2
và B
2
(0; 1) là tập mở đối với τ
2

cho nên B
2
(0; 1) cũng là
tập mở đối với τ
1
. Suy ra 0 là một điểm trong của B
2
(0; 1) đối với τ
1
.
Từ đó suy ra tồn tại B
1
(0; r) ⊂ B
2
(0; 1).
Lấy x ∈ X, x = 0 và đặt
u =
rx
2 x
1
.
Khi đó, u
1
=
r
2
, vậy u ∈ B
1
(0; r) ⊂ B
2

(0; 1).
Suy ra u
2
≤ 1, hay




rx
2 x
1




≤ 1.
Từ đó suy ra x
2
≤
2
r
x
1
. Với x = 0, bất đẳng thức này vẫn đúng.
b) Điều kiện đủ: Giả sử .
2
≤ c .
1
đúng. Lấy A là tập mở đối với
τ

2
và x
0
∈ A, suy ra tồn tại B
2
(x
0
; r) ⊂ A.
Với x ∈ B
1
(x
0
; r),
x − x
0

2
≤ c x − x
0

1
< c
r
c
= r.
Suy ra B
1

x
0

;
r
c

⊂ B
2
(x
0
; r) ⊂ A
Do đó x
0
là điểm trong của A đối với τ
1
. Hay A là tập mở đối với τ
1
(do
x
0
là điểm bất kỳ của A).
Vậy τ
2
≤ τ
1
.
Nhận xét 1.1.4.
.
1
và .
2
tương đương khi và chỉ khi tồn tại 0 < α ≤ β sao cho:

α .
1
≤ .
2
≤ β .
1
19
1.1.3. Không gian Banach
Định nghĩa 1.1.9. [1] Không gian định chuẩn X được gọi là không gian
Banach nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ về một điểm trong X.
Ví dụ 1.1.7. C
[a;b]
, không gian các hàm số liên tục trên đoạn [a; b] là
một không gian Banach với chuẩn
x = max
a≤t≤b
|x(t)|, với x ∈ C
[a;b]
.
Thật vậy:
Với mọi x ∈ C
[a;b]
, x = 0,
ta có
max
a≤t≤b
|x(t)| = 0,
suy ra
x(t) = 0, ∀t ∈ [a, b].
Hay x = 0.

Với mọi x, y ∈ C
[a;b]
, ta có:
x + y = max
a≤t≤b
|x(t) + y(t)|
≤ max
a≤t≤b
|x(t)| + max
a≤t≤b
|y(t)|
= x + y.
Với mọi x, y ∈ C
[a;b]
, mọi λ ∈ R ta có:
λx = max
a≤t≤b
|λx(t)| = |λ| max
a≤t≤b
|x(t)| = |λ|x.
Vậy C
[a;b]
là một không gian định chuẩn.
Giả sử {x
n
} là một dãy Cauchy trong không gian C
[a;b]
.
Theo định nghĩa dãy Cauchy: ∀ε > 0, ∃n
0

∈ N
∗
, ∀m, n ≥ n
0
, ta có:
x
n
− x
m
 < ε.
20
Hay
max
a≤t≤b
|x
n
(t) − x
m
(t)| < ε, ∀t ∈ [a; b].
Từ đó ta có
|x
n
(t) − x
m
(t)| < ε, ∀m, n ≥ n
0
, ∀t ∈ [a; b]. (1.10)
Suy ra, với mỗi t ∈ [a; b] dãy {x
n
(t)} là dãy Cauchy trong R.Vì R là

không gian đầy đủ nên dãy {x
n
(t)} hội tụ.
Đặt x(t) = lim
n→∞
x
n
(t) ta được một hàm số xác định trên đoạn [a; b].
Từ (1.10) ta có:
|x
n
(t) − x(t)| < ε, ∀n ≥ n
0
, ∀t ∈ [a; b].
Tương đương
max
a≤t≤b
|x
n
(t) − x(t)| < ε, ∀n ≥ n
0
.
Suy ra
x
n
(t) − x(t) < ε.
Hay
lim
n→∞
x

n
(t) = x(t).
Ta chứng minh x(t) ∈ C
[a;b]
.
Với một điểm bất kỳ t
0
∈ [a; b], và với mọi ε > 0 cho trước tùy ý, theo
(1.10), tồn tại n
0
∈ N
∗
sao cho:
|x
n
(t) − x(t)| ≤
ε
3
, |x
n
(t
0
) − x(t
0
)| ≤
ε
3
, ∀n ≥ n
0
.

Vì x
0
(t) là các hàm liên tục trên [a;b] nên tồn tại δ > 0 sao cho:
|t − t
0
| < δ thì |x
n
(t) − x(t
0
)| ≤
ε
3
.
Khi đó ta có:
|x(t) − x(t
0
))| = |x(t) − x
n
(t) + x
n
(t) − x
n
(t
0
) + x
n
(t
0
) − x(t
0

)|
≤ |x(t) −x
n
(t)| + |x
n
(t) − x
n
(t
0
)| + |x
n
(t
0
) − x(t
0
)|
=
ε
3
+
ε
3
+
ε
3
= ε.
21
Ta có x(t) liên tục tại t
0
.Vì t

0
là bất kỳ thuộc [a; b] nên x(t) liên tục
trên [a; b]. Vậy x(t) ∈ C
[a;b]
.
Do đó C
[a;b]
là một không gian Banach.
Nhận xét 1.1.5.
Định nghĩa 1.1.9 có thể phát biểu như sau:
Không gian định chuẩn đầy đủ là không gian Banach.
Ví dụ 1.1.8. Giả sử E = C
[0;1]
là không gian định chuẩn các hàm liên
tục trên [0; 1] với chuẩn
f
1
=
1

0
|f(x)|dx.
Khi đó E không là không gian Banach.
Thật vậy ta xét hàm:
g
n
(x) =












1 nếu 0 ≤ x ≤
1
2
α
n
x + β
n
nếu
1
2
≤ x ≤
1
n
+
1
2
0 nếu
1
n
+
1
2

≤ x ≤ 1
trong C
[0;1]
, với các hằng số α
n
, β
n
thích hợp.
Khi đó
||g
n
− g
m
|| =
1

0
|g
n
(x) − g
m
(x)|dx
=
1
2




1

n
−
1
m




→ 0, khi m, n → ∞.
Tuy nhiên dãy này không có giới hạn là hàm liên tục trên [0; 1] theo
chuẩn đã cho. Thật vậy, giả sử có f ∈ C
[0;1]
sao cho:
||g
n
− f|| =
1

0
|g
n
(x) − f(x)|dx → 0, khi n → ∞.