Áp dụng phương pháp lý thuyết trường lượng tử để nghiên cứu nhiệt dung của vật rắn

Luận văn tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan

1
Phần 1. Mở đầu

1. Lý do chọn đề tài
Trong cơ học lợng tử cũng nh trong lý thuyết trờng lợng tử, khi có
sự sai khác giữa một lý thuyết chính tắc và kết quả thực nghiệm, ngời ta
thờng dùng các phơng pháp gần đúng để giải quyết. Tuy nhiên nhiều hiện
tợng vật lý lại không dễ dàng thấy đợc trong phơng pháp nhiễu loạn, chẳng
hạn nh sự phá vỡ đối xứng tự phát, sự chuyển pha các trạng thái
Điều có đòi hỏi phải có những phơng pháp mới không nhiễu loạn mà
vẫn bao gồm tất cả các bậc khai triển của lý thuyết nhiễu loạn mà lại giữ đợc
các yếu tố phi tuyến của lý thuyết nh phơng pháp tác dụng hiệu dụng,
phơng pháp gần đúng, phơng pháp nhóm lợng tử mà cấu trúc của nó là đại
số biến dạng.
Trong những năm gần đây việc nghiên cứu nhóm lợng tử và đại số
lợng tử đã thu hút đợc sự quan tâm của nhiều nhà vật lý lý thuyết vì các cấu
trúc toán học mới này phù hợp với nhiều vấn đề của vật lý lý thuyết nh thống
kê lợng tử, quang học phi tuyến, vật lý chất rắn Nhóm lợng tử và đại số
lợng tử có thể biểu diễn nhiệt dung thuận lợi trong hình thức luận dao động
tử điều hoà biến dạng. Xuất phát từ vấn đề nêu trên, tôi lựa chọn đề tài luận
văn áp dụng phơng pháp lý thuyết trờng lợng tử nghiên cứu nhiệt dung
của vật rắn.
2. Mục đích của luận văn
Nghiên cứu hình thức luận dao động tử điều hoà, từ đó áp dụng hình
thức luận dao động tử điều hoà biến dạng q để nghiên cứu nhiệt dung của
vật rắn (của kim loại).
Trong luận văn này tôi đã giải thích đợc sự sai lệch của lý thuyết nhiệt
dung của Einstein ở vùng nhiệt độ thấp dựa trên quan điểm của hình thức luận
Luận văn tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan

2
dao động tử điều hoà biến dạng q tìm đợc hệ thức nhiệt dùng C
V
phụ thuộc
vào tham số biến dạng.
3. Đối tợng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tợng: Nhiệt dung của vật rắn.
- Phạm vi nghiên cứu: Kim loại.
4. Phơng pháp nghiên cứu
Phơng pháp lý thuyết trờng lợng tử.
Phơng pháp vật lý thống kê.
Phơng pháp giải tích.

Luận văn tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan

3
Phần 2. Nội dung
Chơng 1. Đại cơng về nhiệt dung

1. Nhiệt dung
Để tìm hiểu rõ khái niệm nhiệt dung ta cần xem xét một số khái niện
nh nhiệt độ, nhiệt lợng
Theo quan điểm động lực học phân tử , thì nhiệt độ là một đại lợng vật
lý đặc trng cho tính chất vĩ mô của vật, thể hiện mức độ nhanh hay chậm của
chuyển động nhiệt hỗn loạn của các phân tử cấu tạo nên vật.
Nội năng của hệ bao gồm năng lợng của tất cả các dạng chuyển động
(chuyển động tịnh tiến, quay và dao động của các nguyên tử phân tử) và tơng
tác của các hạt tạo nên hệ (tơng tác phân tử năng lợng nội nguyên tử, năng
lợng nội hạt nhân và các năng lợng khác). Nội năng ký hiệu là U.

Quá trình truyền nhiệt là quá trình trao đổi năng lợng của hệ với môi
trờng xung quanh mà không làm thay đổi các thông số ngoại. Lợng năng
lợng trao đổi trong quá trình này gọi là nhiệt lợng Q. Thông thờng ngời ta
quy ớc nhiệt lợng Q là dơng nếu hệ nhận nhiệt năng từ bên ngoài, nhiệt
lợng Q là âm nếu nhiệt năng đợc chuyển từ hệ ra bên ngoài.
Từ hai khái niệm về nhiệt độ và nhiệt lợng ở trên, ta đi đến khái niệm
nhiệt dung nh sau
Nhiệt dung đợc đo bằng nhiệt lợng cần thiết để đốt nóng hệ tăng lên
1
0
, nghĩa là
C =
dT
Q

. (1.1)
Đơn vị của nhiệt dung là
K
J
hoặc
K
cal
.
Bên cạnh khái niệm nhiệt dung của một vật ở trên, khi hai vật cùng làm
bằng một vật liệu thì nhiệt dung của vật tỷ lệ với khối lợng của chúng, vì vậy
Luận văn tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan

4
ngời ta đa ra khái niệm nhiệt dung riêng C đặc trng cho một đơn vị khối
lợng của chất cấu tạo nên vật.

Nhiệt dung riêng đợc đo bằng nhiệt lợng cần thiết để đốt nóng một
đơn vị khối lợng tăng lên 1
0
.
C =
dTm
Q
.

(1.2)
Đơn vị của nhiệt dung riêng là
Kkg
J
.
hay
Kkg
cal
.

Trong nhiều trờng hợp, các lợng vật chất đợc tính theo mol, do đó
nhiệt dung cũng đợc tính theo mol, gọi là nhiệt dung mol (nhiệt dung phân tử
gam) 1mol = 6,023.10
23
đơn vị cơ bản của lợng chất.
Đơn vị của nhiệt dung mol là:
Kmol
J
.

Nhiệt dung mol của một chất bất kỳ đợc đo bằng nhiệt lợng cần thiết

để đốt nóng 1 mol chất ấy tăng lên 1
0
.
2. Nhiệt dung đẳng áp và nhiệt dung đẳng tích
Bởi vì nhiệt lợng Q phụ thuộc vào tính chất của quá trình, cho nên
nhiệt dung C của hệ cũng phụ thuộc vào điều kiện xác định tỷ số
dT
Q

, tức là
tuỳ thuộc vào từng quá trình. Cùng một hệ có thể có nhiều nhiệt dung khác
nhau. Trị số của nhiệt dung có thể biến thiên từ - đến +. Tuỳ thuộc vào quá
trình. Về cơ bản ngời ta chia nhiệt dung làm hai loại: nhiệt dung đẳng tích C
V

và nhiệt dung đẳng áp C
P
.
2.1. Nhiệt dung đẳng tích
C
V
=
V
dT
Q

(1.3)
2.2. Nhiệt dung đẳng áp
C
P
=
P
dT
Q







(1.4)
Luận văn tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan

5
2.3. Liên hệ giữa các nhiệt dung
Theo nguyên lý I Nhiệt động lực học, đối với hệ đơn giản ta có
Q = dU + W = dU + pdv (1.5)
và U = U(V,T),
từ đó
Q =
,dVP
V
U

dT
T
U
TV
























(1.6)
C =

dT
dV
P
V
U
T
U
dT
Q
TV

, (1.7)
do đó
C
V
=
,
V
T
U








(1.8)
C
P
=
,
PTa
dT

dV
P
V
U
T
U

(1.9)
suy ra
C
P
C
V
=
.
PT
dT
dV
P
V
U

(1.10)
Đối với khí lý tởng
C
P
C
V
= R, (1.11)
Trong đó là số mol, R là hằng số khí
R = N
A
.k
B
= 8,31J/mol.K
Nh vậy đối với khí lý tởng nhiệt dung đẳng tích và nhiệt dung đẳng áp có sự
chênh lệch rõ nét.
áp dụng một số kết quả của Nguyên lý II Nhiệt động lực học, chúng ta
có hệ thức
C
P

- C
V
=
,
.
22
0
T
V
VT


(1.12)
Với là hệ số nở đẳng áp
Luận văn tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan

6

T
là hệ số chịu nén đẳng nhiệt
V
0
là thể tích ở OK.
Vì T và
T
luôn có giá trị dơng nên C
P
C
V
> 0 hay C

P
> C
V
.
Kết quả thực nghiệm cho thấy đối với chất rắn và chất lỏng thì nhiệt
dung đẳng tích và nhiệt dung đẳng áp có sự sai khác nhau không quá một vài
phần trăm.
Kết luận :
Trong chơng 1 chúng ta đã nắm đợc các định nghĩa, biểu thức của
nhiệt dung, và mối liên hệ giữa nhiệt dung đẳng áp và nhiệt dung đẳng tích.

Luận văn tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan

7
Chơng 2. Hình thức luận dao động tử điều hoà
1. Dao động tử điều hoà
Phổ năng lợng của dao động tử điều hoà tuyến tính có thể tìm đợc
bằng phơng pháp đại số trong biểu diễn số hạt. Từ biểu thức Hamiltonian.

,

2
1
2


22
2
Qm
m

P
H


(2.1)
trong đó
QP

,

là các toán tử xung lợng và toạ độ, thoả mãn hệ thức giao hoán.

.]

,

[ iQP
(2.2)
Đặt

),

(
2

2
1
aa
m
iP

).

(
2

2
1
aa
m
Q

(2.3)
Dễ dàng chứng minh đợc các toán tử

aa

,

thoả mãn hệ thức giao hoán

aaaaa

]

,

[,1]

,

[
(2.4)
Hamiltonian (2.1) đợc biểu diễn theo công thức


,

2
1

aaaaH














2
1


aaH
. (2.5)
Việc nghiên cứu phổ năng lợng của dao động tử điều hoà quy về bài
toán tìm véc tơ riêng và trị riêng của Hamiltonian (2.5), để làm điều đó ta định
nghĩa một toán tử mới nh sau

aaN

. (2.6)
Toán tử
N

thoả mãn hệ thức giao hoán.

,

]

,

[ aaN
(2.7)

,

]

,

[

aaN

có phơng trình trị riêng hàm riêng là
Luận văn tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan

8

nnnN

. (2.8)
Việc tính toán cho chúng ta các kết luận sau
- Các trị riêng n của toán tử
N

là các số không âm: n 0
- Nếu
n
là một véc tơ riêng của toán tử
N

ứng với trị riêng n, thì
na
P


và
na
P

với P = 1, 2, 3, cũng là một véc tơ riêng của toán tử
N

ứng với trị
riêng (n-p) và (n+p), tơng ứng.
Hamiltonian (2.5) có dạng

2
1

NH
, (2.9)
với trị riêng là

.
2
1
)(








n

n
(2.10)
Vậy phổ năng lợng của dao động tử điều hoà có giá trị gián đoạn, cách đều
nhau. Hiệu số năng lợng giữa hai trạng thái kề nhau luôn luôn bằng cùng
một lợng tử năng lợng . Trạng thái
n
đợc đoán nhận là trạng thái chứa
n lợng tử năng lợng, toán tử
N

có các trị riêng nguyên không âm cách nhau
một đơn vị đợc đoán nhận là toán tử số lợng tử năng lợng. Toán tử
a

khi
tác dụng lên
n
cho một trạng thái tỷ lệ với
1n


,1

nnna
(2.11)
toán tử

a

khi tác dụng lên

n
cho một trạng thái tỷ lệ với
1n


,11



nnna
(2.12)
Vì vậy

aa

,

đợc đoán nhận là toán tử huỷ lợng tử năng lợng và sinh lợng
tử năng lợng.
Trạng thái chân không thoả mãn phơng trình

00

a
(1.13)
Các véc tơ trạng thái
n
thoả mãn điều kiện trực chuẩn
Luận văn tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan

9

,
,nm
nm




.0

!
1
n
a
n
n


(2.14)
Trong biểu diễn số hạt, trạng thái dừng của một dao động tử điều hoà
có thể coi là một tập hợp nhiều hạt mỗi hạt có năng lợng bằng , còn gọi
là chuẩn hạt.
2. Hệ nhiều hạt đồng nhất
Cơ học lợng tử đã rút ra các kết luận sau về hệ nhiều hạt đồng nhất:
Hamiltonian của hệ các hạt đồng nhất bất biến (đối xứng) đối với phép
hoán vị hai hạt bất kỳ. Vì vậy các trạng thái vật lý của hệ nhiều hạt đồng nhất
phải là các trạng thái bất biến đối với bất kỳ phép hoán vị nào giữa các hạt. Đó
là nội dung của nguyên lý bất khả phân biệt các hạt đồng nhất.
Với các hạt sơ cấp trong khuôn khổ lý thuyết trờng lợng tử, trên cơ

sở của nguyên lý tơng đối Einstein và nguyên lý nhân quả vi mô, Pauli và
Luders đã chứng minh đợc rằng các hạt có spin nguyên (nh photon, -
meson, K-meson, ) phải tuân theo thống kê Bose Einstein và đợc gọi là
các boson, còn các hạt có spin bán nguyên (nh điện tử, prôtôn, neutron,
neutrino, ) phải tuân theo Fermi Dirac và đợc gọi là các fermion.
Điều khác biệt rõ nét giữa các boson và các fermion là các fermion tuân
theo nguyên lý loại trừ Pauli: Trong hệ nhiều fermion đồng nhất không thể có
hơn một hạt ở cùng một trạng thái hay nói cách khác, mỗi trạng thái của hệ
chỉ có thể hoặc bị bỏ trống hoặc bị chiếm bởi một fermion mà thôi. Còn mỗi
trạng thái của hệ các boson có thể bị chiếm bởi bao nhiêu boson cũng đợc.
Một phơng pháp toán học rất thuận tiện thờng đợc sử dụng khi
nghiên cứu hệ nhiều hạt là phơng pháp diễn tả các trạng thái của hệ bằng các
véc tơ chuẩn hoá trong một không gian Hiebert và sử dụng các toán tử sinh hạt
và huỷ hạt nh ta đã trình bày ở trên khi nghiên cứu dao động tử điều hoà để
kiến tạo các véc tơ trạng thái nhiều hạt.
Luận văn tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan

10
Các toán tử sinh hạt

a

và toán tử huỷ hạt
a

đối với các lợng tử của
dao động tử điều hoà thoả mãn các hệ thức giao hoán.

0]

,

[]

,

[,1]

,

[

aaaaaa
.
Các hệ thức giao hoán này đợc mở ra cho hệ nhiều hạt ở nhiều trạng thái
khác nhau nh sau








aaaaaa

,

,

,

,

= 0. (2.15)
Câu hỏi đặt ra là các lợng tử của dao động tử điều hoà hay một cách tổng
quát hơn, các hạt mà toán tử sinh hạt và toán tử huỷ hạt thoả mãn các hệ thức
giao hoán (2.15) là boson hay fermion? Để trả lời câu hỏi này ta hãy kiến tạo
hai véc tơ trạng thái của hệ hai hạt ở hai trạng thái khác nhau và đó là

0





aa

và (2.16)

0



aa



trong đó
0

là trạng thái chân không, không chứa hạt nào. Vì các toán tử sinh
hạt thoả mãn hệ thức giao hoán (2.15) nên




aaaa


và do đó ta suy ra ngay



.
Vậy, do có các hệ thức giao hoán (2.15) nên véc tơ trạng thái của hệ hai hạt
đồng nhất có tính chất đối xứng đối với phép hoán vị hai hạt, chúng là các
boson. Hay nói cách khác các toán tử sinh, huỷ bosson phải tuân theo các hệ
thức giao hoán (2.15).
Thế còn fermion thì sao? Trong trờng hợp fermion véc tơ trạng thái
của hệ hai hạt đồng nhất phải là phản đối xứng đối với phép hoán vị hai hạt,
các toán tử sinh

b

và huỷ
b

đối với fermion thoả mãn

,
Luận văn tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan

11

,0

0


bbbb



suy ra
0




bbbb
.
Khi = , hệ thức này trở thành


0

2

bbb
. (2.17)
Bây giờ ta xét trờng hợp và tác dụng toán tử

bb

,

lên véc tơ
trạng thái

diễn tả trạng thái chỉ chứa một hạt fermion đặc trng bởi số
lợng tử .





0

bbb
. (2.18)
Mặt khác, tác dụng toán tử

bb


lên

, ta lại có





0

bbb
. (2.19)
So sánh hai vế của (2.18) và (2.19), ta suy ra hệ thức phản giao hoán sau đây
đối với các toán tử sinh, huỷ hạt fermion.

,0




bbbb
.
Trong trờng hợp = , ta sử dụng (2.17) và có


,00

2

bbbb


,0

0





bbb


,0





bbb


00




bb

.
Cộng các phơng trình lại theo từng vế, ta có







00

bbbb
.
Vì bất kỳ nên ta suy ra

.1




bbbb
(2.20)
Tổng hợp các kết quả thu đợc ở trên ta có các hệ thức phản giao hoán
nh sau đối với các fermion.
Luận văn tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan

12


0

,

,

,





bbbbbb
(2.21)
Một điều khá lý thú nữa là từ các hệ thức phản giao hoán (2.21) ta có
thể chứng minh đợc nguyên lý loại trừ Pauli, nh sau. Thật vậy sử dụng
(2.21) cho trờng hợp = , ta có


bbbbN

2



2

N
=

bbbb

1





2

N
=

22


bbbb




2

N
=

bb

Nghĩa là

NN

2


Từ đó suy ra rằng mọi trị riêng n

của toán tử

N

phải thoả mãn phơng trình
n

(n

- 1) = 0
và do đó chỉ có thể bằng 0 hoặc bằng 1 nghĩa là trong mỗi trạng thái chỉ có thể
có nhiều nhất một hạt fermion.
Kết luận :
Trong chơng này chúng ta đã làm quen với các toán tử sinh hạt, huỷ hạt
và toán tử số hạt để diễn tả sự thay đổi trạng thái của hệ lợng tử.


Luận văn tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan

13
Chơng 3. Dao động mạng tinh thể

1. Chuỗi nguyên tử cùng loại
1.1. Lý thuyết cổ điển
Mạng tinh thể đơn giản nhất là chuỗi các nguyên tử cùng loại xếp đặt
cách đều nhau một khoảng bằng a (hằng số mạng tinh thể) trên trục ox, mỗi
nguyên tử có khối lợng M và dao động xung quanh vị trí cân bằng của nó
(hình vẽ)
a a
n 1 n n + 1

x
u
n-1
u
n
u
n+1


Hình 1. Chuỗi nguyên tử cùng loại
Đánh số các nguyên tử bằng một chỉ số nguyên n, toạ độ của nguyên tử thứ n
ở vị trí cân bằng là x
n
,
x
n
= na,
còn độ dịch chuyển của nguyên tử này là u
n
(t) với

u
n
(t) = u(x
n
, t).
Giả thiết rằng thế năng giữa hai nguyên tử kề nhau, ở các nút thứ n và
n+1, tỷ lệ với bình phơng độ dời tơng đối.
u
n
(t) u
n+1
(t)
và bỏ qua tơng tác giữa các nút không kề nhau
Khi đó thế năng toàn phần của hệ là
U =

,)()(
2
2
1
tutu
nn
n




Với là hệ số tỷ lệ, còn động năng toàn phần của hệ là
Luận văn tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan

14
T =
2
)(
2







dt
tdU
M
n
n
.
Lực tác dụng lên nguyên tử thứ n là
F
n
=-

.2
11



nnn
n

uuu
U
U


Từ định luật thứ hai của Newton
F
n
= M
2
2
)(
dt
tud
n

ta suy ra phơng trình chuyển động sau


.02
11
2
2

nnn
n
uuu
Mdt
ud

(3.1)
Tìm nghiệm của (3.1) dới dạng sóng đơn sắc
u
n
(t) = u(x
n
,t) =
])([ tkkxi
n
Ae


(3.2)
với A 0. Thay (3.2) vào (3.1), ta nhận đợc hệ thức

,
2
sin
4
)cos1(
2
)(
22
ka
M
ka
M
k

hay

.
2
sin2)(
ka
M
k



(3.3)


ka
M







a


0
a

k
Hình 2. Sự phụ thuộc vào véc tơ sóng k của tần số của dao động
của chuỗi nguyên tử cùng loại.
Luận văn tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan

15
Vậy, dao động của chuỗi nguyên tử cùng loại là một sóng đơn sắc (3.2)
với tần số góc (k) xác định theo công thức (3.3) phụ thuộc không tuyến tính
vào giá trị k của véc tơ sóng (hình 2), giống nh hiện tợng tán sắc trong
quang học.
Trờng hợp với k rất bé ta mới có sự phụ thuộc tuyến tính.
(k)
.
M
ka


Khi đó nghiệm (3.2) có dạng

)(
),(
Vtxik
n
n
Aetxu



với

.v const
M
a


Trong trờng hợp này dao động của mạng tinh thể trùng với sóng âm với v là
tốc độ truyền âm. Do vậy, các dao động (3.2) với (k) thoả mãn hệ thức (3.3),
gọi là các dao động âm.
1.2. Lý thuyết lợng tử
Xung lợng của nguyên tử thứ n ứng với toạ độ u
n
(t) là
P
n
(t) = M
dt
tdu
n
)(
.
Biểu thức của động năng toàn phần có thể viết lại nh sau

),(
2
1
2
tP
M
T

n
n


và do đó năng lợng toàn phần của hệ là


.)()(
2
)(
2
1
2
1
2
tututP
M
E
nn
n
n
n




Khi lợng tử hoá ta thay hàm P
n
(t) bằng toán tử xung lợng
n

P

và hàm u
n
(t)
bằng toán tử toạ độ suy rộng
n
u

liên hợp với
n
P

. Hamiltonian của hệ trở thành.


.

2

2
1

2
1
2


nn
n

n
n
uuP
M
H

(3.4)
Luận văn tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan

16
Giữa các toán tử
n
u

và
n
P

có các hệ thức giao hoán.


,

,

nmnm
iPu


(3.5)

.0

,



mnmn
PPuu

Các toán tử
n
u

và
n
P

tơng đơng với nút thứ n và phụ thuộc vào toạ độ x
n
của
nút này. Ta khai triển các toán tử này theo các sóng phẳng với véc tơ sóng
nằm trong vùng Brilouin thứ nhất.

,

1
)1(

k
ikx
k
n
ue
N
u
n



.

1

)1(
k
ikx
k
n
Pe
N
P
n

(3.6)
chỉ số (1) có nghĩa là lấy tổng theo k chỉ lấy trong vùng Brilouin thứ nhất.
Theo phơng pháp chung ta chỉ xét các sóng phẳng thoả mãn điều kiện tuần
hoàn trên đoạn thẳng chiều dài L = Na với N là số nút mạng có trên đoạn
thẳng này, cũng là số giá trị gián đoạn k trong vùng Brilouin thứ nhất. Nhân cả

hai vế của các công thức (3.6) với
n
xik
e
'
, trong đó k cũng là véc tơ sóng trong
vùng Brilouin thứ nhất, rồi cộng theo n và dùng công thức

'
)'(
1
kk
xkki
n
n
e
N



, (3.7)
ta thu đợc các biến đổi ngợc lại:

,

1

n
ikx
n

k
ue
N
u
n




.

1

n
ikx
n
k
Pe
N
P
n


(3.8)
Hãy tìm hệ thức giao hoán giữa
k
P

và
k

u

. Dùng các khai triển (3.8), các hệ
thức giao khoán (3.5) và công thức (3.7), ta thu đợc


mn
xkkxi
mn
kk
uPe
N
uP
mn

,

1

,

)'(




2
1

nn

n
uu
= -
nm
xkkxi
mn
mn
e
N
i

)'(



Luận văn tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan

17


2
1

nn
n
uu
=
n
xkki
n

e
N
i
)'(





2
1

nn
n
uu
=
', kk
i




,
nghĩa là

',
]

,

[
kkkk
iPU




. (3.9)
Tơng tự, ta cũng có

0]

,

[]

,

[
''

kkkk
uuPP
. (3.10)
Mặt khác, thay các khai triển (3.6) vào Hamiltonian (3.4) và lại dùng công
thức (3.7), ta tính đợc

kk
xkki
nkk

n
n
PPe
N
P
n

,

1

)'(
)1()1(
'
2



=
kkkk
kk
PP

'',
)1(
'
)1(

=
kk
k
PP

)1(


,


kk
aikika
xkki
nkk
nn
n
uueee
N
uu
n

)1)(1(
1
'
'
)'(
)1(
'

)1(2
1






2
1

nn
n
uu
=
kk
aikika
kk
kk
uuee

)1)(1(
'
'
',
)1(
'
)1(

2
1

nn
n
uu
=
kk
ikaika
k
uuee

)1)(1(
)1(






2
1

nn
n
uu

=
kk
k
uuka

)cos1(2
)1(





2
1

nn
n
uu
=
kk
k
uu
ka

2
sin4
2
)1(

và do đó








kkkk
k
uu
ka
PP
M
H

2
sin2

2
1

2
)1(

(3.11)
Thay

22
)(
2
sin4 k
ka
M



,
cuối cùng ta thu đợc
Luận văn tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan

18

.

)(
2
1

2
1

2
)1(

kkkk
k
uukMPP
M
H

(3.12)
Tiếp theo ta biến đổi công thức này về một dạng mới bằng cách đặt

)

(
2
)(

)(



kkk
aa
k
ukM



,

.

2
)(

1



kkk
aa
k
iP
M


(3.13)
Trong các biểu thức trên,
k
a

và

k
a

là các toán tử mới đợc biểu diễn ngợc lại
qua

k
P

và
k
u

nh sau:








kkk
P
M
i
ukM
k
a


)(
)(2
1

,










kkk
P
M
i
ukM
k
a

)(
)(2
1




.
Từ các hệ thức giao hoán (3.9), (3.10) suy ra rằng gĩa các toán tử

k
a

và

k
a

có
các hệ thức giao hoán

.0]

[]

[,]

,

[
''''


kkkkkkkk
aaaaaa

(3.14)
Thay các biến đổi (3.13) vào Hamiltonian (3.12), ta nhận đợc

kkkk
k
aaaakH

)(
2
1

)1(




(3.15)
Theo các hệ thức giao hoán (3.14) ta có

1



kkkk
aaaa
,
do đó

).(
2
1

)(

)1(
kaakH
kk
K



(3.16)
có thể chọn gốc tính năng lợng tại giá trị E
0
=
)(
2
1
k


, cuối cùng ta nhận
đợc

.

)(

)1(
kk
k
aakH

(3.17)
Luận văn tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan

19

k
k
NkH

)(

)1(



Vậy, mạng tinh thể đơn giản mà ta xét đợc diễn tả trong lý thuyết
lợng tử bằng Hamiltonian (3.17) với các toán tử
k
a

và

k
a

thoả mãn các hệ
thức giao hoán (3.14). Vì vậy có thể coi mạng tinh thể dao động nh một hệ

nhiều hạt
k
a

là toán tử huỷ hạt có véc tơ sóng
k

, xung lợng
k


và năng lợng
(k), còn

k
a

là toán tử sinh hạt nh thế. Các hạt này là các lợng tử trong
dao động của mạng tính thể, gọi là các phonon, do tuân theo các hệ thức giao
hoán (3.14) nên các phonon là các boson, trong thực tế ta không có các hạt
thật mà chỉ có các trạng thái dao động khác nhau của mạng tinh thể đợc mô
tả giống nh một hệ hạt mà thôi. Điều này có nghĩa là các phonon không phải
là các hạt thật mà chỉ là các giả hạt, thờng đợc gọi là chuẩn hạt. Ta đang xét
dao động của chuỗi nguyên tử cùng loại là các sóng âm khi véc tơ sóng rất bé.
Các phonon trong trờng hợp này là các phonon âm. Trong phần tiếp theo ta
sẽ thấy còn có cả các phonon quang nữa.
2. Chuỗi hai nguyên tử khác loại
2.1. Lý thuyết cổ điển
Tiếp theo ta xét chuỗi hai nguyên tử gồm hai loại khác nhau, loại thứ nhất
có khối lợng M

1
còn loại thứ hai có khối lợng M
2
, xếp xen kẽ cách đều nhau
một khoảng bằng a (vậy hằng số mạng tỉnh thể là 2a, mỗi ô cơ sở chứa hai
nguyên tử) trên tục ox, mỗi nguyên tử dao động quanh vị trí cần bằng của
mình (hình 3).






Luận văn tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan

20
2a
2n-3
2n-2
2n-1
2n
2n+1
2n+2

x

M
2
u
2n

M
1

u
2n-2
u
2n+2


a a a a a
Hình 3. Chuỗi hai nguyên tử khác loại

Gọi độ dời của loại nguyên tử thứ nhất, loại hình vuông trên hình 3 là
u
2n
(t) và của loại nguyên tử thứ hai, loại hình tròn là v
2n+1
(t), ta có hệ hai
phơng trình vi phân


,0vv2
12122
1
2
2
2

nnn
n

u
Mdt
ud

(3.18)


.0v2
v
22212
2
2
12
2



nnn
n
uu
Mdt
d

(3.19)
Tìm nghiệm của hệ phơng trình (3.18), (3.19) dới dạng sóng đơn sắc

))((
22
2
),()(

tkkxi
nn
n
Aetxutu



, (3.20)

))((
1212
12
),(v)(v
ttkxi
nn
n
Betxt





. (3.21)
với A, B không đồng thời bằng không, thay các nghiệm (3.20), (3.21) vào các
(3.18), (3.19), ta đi đến hệ phơng trình đại số với hai biến A và B:


,0cos2)(2
2
1

kaBAkM




.0)(2cos2
2
2
BkMkaA


Để tồn tại lời giải không tầm thờng thì định thức của hệ phơng trình
này phải bằng 0.

,0
)(2cos2
cos2)(2
2
2
2
1



kMka
kakM

tức là
Luận văn tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan

21


,0cos4)(2)(2
222
2
2
1
kakMkM


phơng trình này có hai nghiệm đối với (k)
2


.
sin41111
)(
21
2
2
2121
2

MM
ka
MMMM
k

(3.22)

Vậy dao động của chuỗi hai nguyên tử khác loại là hai sóng đơn sắc
(3.20), (3.21) với hai tần số góc

(k), xác định theo công thức (3.21). Sự phụ
thuộc của

(k) vào số sóng k đợc thể hiện bằng đồ thị hai nhánh trên hình
4, nhánh trên là
+
(k) và nhánh dới là
-
(k).








a2



a2

k
Hình 4. Sự phụ thuộc của vào k

Với k rất bé:

21
2
)(
MM
kak






phụ thuộc tuyến tính vào k giống nh các sóng âm và vì thế ta ký hiệu
)()( kk
A



còn

21
11
2)(
MM
k



+

-
Luận văn tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan

22
không phụ thuộc vào k. Các sóng này tơng tác với ánh sáng mạnh hơn các
sóng âm nên ta ký hiệu
+
(k) =
0
(k).

2.2. Lý thuyết lợng tử
Các xung lợng tơng ứng với các độ rời u
2n
(t) và v
2n+1
(t) đợc ký hiệu
là

,

)(
)(
2
12
dt
tdu
MtP
n
n



dt
tdv
Mtq
n
n
)(
)(
12
212




Khi lợng tử hoá ta thay u
2n
, P
2n
, v

2n+1
, q
2n+1
bằng các toán tử
121222

,v

,

,

nnnn
qPu
, thoả mãn hệ thức giao hoán


nmmn
iuP


22

,

,


,v,
1212 nmmn

iq








,0

,


,

2222

mnmn
uuPP



,0v

,v

,

12121212

mnmn
qq




,0v,

,

122122

nnmn
uqP




.0

,

v,

212122

mnmn
uqP

Sau đó ta khai triển các toán tử theo chuỗi Fourier đối với các véc tơ sóng
trong vùng Brilouin thứ nhất

,v

1
v

,

1

,

1

,

1

12
2
12
2
)1(
12
)1(
2
)1(
12

)1(
2
k
ikx
k
n
k
ikx
k
n
k
ikx
k
n
k
ikx
k
n
n
n
n
n
e
N
ue
N
u
qe
N
q

Pe
N
P









Luận văn tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan

23
rồi biểu diễn các hệ số Fourier
kkkk
uqP v

,

,

,

một cách thích hợp qua các toán tử
huỷ hạt
)2()1(
,

kk
aa
và sinh hạt
)2()1(

,

kk
aa
để thu đợc Hamiltonian của hệ dới
dạng


.

)(

)(

)2(2
2
)1()1(
1
)1(
kkkk
k
aakaakH

(3.23)
Các hệ thức giao hoán giữa các toán tử sinh hạt và huỷ hạt là:



.0

,

,

,,
)(
'
)()(
'
)(
'
)(
'
)(


j
k
i
k
j
k

i
k
kkij
j
k
i
k
aaaa
aa

(3.24)
Hamiltonian (3.23) cho ta thấy trạng thái dao động tử của chuỗi hai
nguyên tử khác loại có thể xem nh một hệ nhiều hạt gồm hai loại chuẩn hạt
khác nhau, mỗi hạt của loại chuẩn hạt thứ nhất có năng lợng
1
(k) còn mỗi
hạt của loại chuẩn hạt thứ hai có năng lợng
2
(k). Nếu tiến hành tính toán
chi tiết nh ở phần chuỗi nguyên tử cùng loại sẽ tính đợc biểu thức giải tích
tờng minh của
1
(k),
2
(k) trùng khớp với

(k) theo công thức (3.22). Để
xác định ta đặt

1

(k) =
-
(k) =
A
(k)

2
(k) =
+
(k) =
0
(k).
Khi đó các chuẩn hạt ứng với các toán tử
)1()1(

,

kk
aa
đợc gọi là các
phonon âm, còn các chuẩn hạt ứng với các toán tử
)2()2(

,

kk
aa
đợc gọi là các
phonon quang. Tóm lại trạng thái dao động lợng tử của chuỗi hai nguyên tử
khác loại có thể xem nh một hệ nhiều phonon âm và phonon quang.

3. Mạng tinh thể ba chiều
Mở rộng các kết quả lập luận ở trên cho trờng hợp mạng tính thể dao
động ba chiều trong không gian.
Nếu mỗi ô cơ sở của mạng Bravais chứa một nguyên tử thì sự dao động
của các nguyên tử trong không gian ba chiều quanh vị trí cân bằng tạo ra ba
trạng thái dao động tơng ứng với một véc tơ sóng
k

cho trớc, một trạng thái
Luận văn tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan

24
có véc tơ dịch chuyển trùng với hớng của véc tơ sóng
k

gọi là dao động dọc
hoặc sóng dọc, ký hiệu bằng chữ L, hai trạng thái có véc tơ dịch chuyển trực
giao với hớng của véc tơ sóng
k

gọi là dao động ngang hoặc các sóng ngang,
ký hiệu bằng chữ T. Cả ba sóng đó đều có tần số góc tỷ lệ tuyến tính với giá
trị k của véc tơ sóng khi k rất bé và do đó là các sóng âm. Ta nói có một sóng
âm dọc LA và hai sóng âm ngang TA.
Nếu mỗi ô cơ sở của mạng Bravais chứa hai nguyên tử khác loại thì sự
dao động của các nguyên tử trong không gian ba chiều quanh vị trí cân bằng
tạo ra ba trạng thái dao động, ký hiệu là A, mà tần số góc tỷ lệ tuyến tính với
k khi k rất bé và ba trạng thái dao động khác ký hiệu là O, mà tần số góc dẫn
tới giới hạn hữu hạn (không phụ thuộc vào k) khi k trở nên rất bé. Mỗi loại
sóng nói trên lại gồm một sóng dọc L và hai sóng ngang T trong trờng hợp

này một sóng LA, hai sóng TA, một sóng LO, hai sóng TO.
Trong trờng hợp tổng quát, nếu mỗi ô cơ sở của mạng Bravais chứa s
nguyên tử khác loại (không tơng đơng thì sự dao động của mạng tinh thể
bao gồm ba sóng âm (hai sóng ngang TA và một sóng dọc LA) và 3(s-1) sóng
quang (s-1 sóng dọc LO và 2(s-1) sóng ngang TO). Tất cả gồm 3s loại sóng.
Nếu dùng lý thuyết lợng tử để nghiên cứu dao động mạng tinh thể ba
chiều ta sẽ thu đợc Hamiltonian dới dạng

,

)(

)()(
3
1
i
k
i
k
s
i
i
aakH






Trong đó

)()(

,

i
k
i
k
aa

thoả mãn các hệ thức giao hoán (3.24) là các toán tử
sinh, huỷ phonon loại i. Có tất cả 3s loại phonon: một phonon âm dọc LA, hai
phonon âm ngang TA, s-1 phonon quang dọc LO và 2(s-1) phonon quang
ngang TO.
Mặc dù các phonon đều có các toán tử sinh
)(

i
k
a
và huỷ
)(

i
k
a
đều thoả
mãn hệ thức giao hoán (3.24) giống nh các toán tử sinh huỷ boson, nhng
chúng ta không thể áp dụng phân bố thống kê Bose-Einstein cho hệ đồng nhất
Luận văn tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan

25
các phonon hay nói cách khác cho dao động mạng tinh thể đợc bởi vì mạng
tinh thể của vật rắn là một hệ định sứ, trong đó các nguyên tử dao động xung
quanh vị trí cân bằng của mình, chúng khác nhau về phơng diện hoán vị toạ
độ. Vì vậy ta áp dụng phân bố Maxwell boltzmann khi nghiên cứu nhiệt
dung của mạng dao động của vật rắn.
Kết luận :
Chơng 3 đã nghiên cứu về dao động mạng tinh thể, áp dụng lý thuyết lợng
tử để mô tả dao động mạng tinh thể ba chiều nh là một hệ nhiều phonon đó
là một phonon âm dọc, hai phonon âm ngang và (s - 1) phonon quang dọc ,
2(s- 1) phonon quang ngang, với s là số nguyên tử không tơng đơng trong
mỗi ô cơ sở của mạng Bravais