Nguyên lý cực đại đối với phương trình elliptic cấp hai và ứng dụng

i
LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của PGS.TS Hà Tiến
Ngoạn. Trong suốt quá trình thực hiện luận văn Thầy đã truyền đạt cho
bản thân tôi những kiến thức quý báu và luôn động viên, hướng dẫn tận
tình để tôi hoàn thành công việc. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng
kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, khoa Toán cùng các quý thầy cô đã
tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình
Cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Trường Đại học Sao Đỏ, Khoa Khoa
học Cơ bản và đồng nghiệp đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tác giả an
tâm học tập và hoàn thành tốt luận văn.
Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Tác giả
ii
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi
dưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS.TS Hà Tiến Ngoạn.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Tác giả
Mục lục
Mở đầu 2
1 Nguyên lý cực đại đối với phương trình elliptic cấp hai 5
1.1 Nguyên lý cực đại của E. Hopf . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Nguyên lý cực đại của Alexandrov và Bakelman . . . . . 13
1.2.1 Phát biểu và chứng minh nguyên lý . . . . . . . . 13

1.2.2 Áp dụng nguyên lý . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3 Nguyên lý cực đại đối với lớp phương trình phi tuyến . . 20
2 Nguyên lý cực đại đối với dạng sai phân của phương trình
elliptic cấp hai 27
2.1 Dạng sai phân của phương trình Poisson . . . . . . . . . 27
2.2 Nguyên lý cực đại đối với dạng sai phân của phương trình
Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 Nghiệm xấp xỉ của bài toán Dirichlet đối với phương trình
Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Kết luận 39
Tài liệu tham khảo 40
1
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Trong lý thuyết Phương trình đạo hàm riêng elliptic cấp hai,
Nguyên lý cực đại là một kết quả cổ điển về tính chất định tính của
nghiệm, nhưng đóng vai trò quan trọng trong các nghiên cứu lý thuyết
và ứng dụng.
Nguyên lý cực đại được phát biểu dưới nhiều dạng khác nhau.
Cần phải tổng quan chúng cho các lớp phương trình tuyến tính và phi
tuyến, thuần nhất và không thuần nhất.
Nguyên lý cực đại được ứng dụng để chứng minh sự tồn tại
nghiệm của các bài toán biên cho các phương trình đạo hàm riêng elliptic
tuyến tính cấp hai, đồng thời đưa ra phương pháp giải gần đúng các bài
toán này.
Trên đây là những lý do để chúng tôi tiến hành nghiên cứu đề tài:
"Nguyên lý cực đại đối với phương trình elliptic cấp hai và
ứng dụng "
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu một số nguyên lý cực đại đối với phương trình

elliptic cấp hai và dạng sai phân của phương trình elliptic cấp hai.
2
3
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Với mục đích đã nêu ở trên, nhiệm vụ nghiên cứu chính của
luận văn là:
Nguyên lý cực đại của E. Hopf, Alexandrov và Bakelman đối
với các phương trình elliptic cấp hai tuyến tính, nguyên lý cực đại đối
với lớp phương trình elliptic cấp hai phi tuyến và đối với dạng sai phân
của phương trình Poisson. Áp dụng nguyên lý cực đại để tìm nghiệm
bằng phương pháp sai phân. Nghiệm xấp xỉ của bài toán Dirichlet đối
với phương trình Poisson
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng: Nguyên lý cực đại, dạng sai phân, nghiệm xấp xỉ
của phương trình elliptic cấp hai.
Phạm vi: Nghiên cứu lý thuyết và xây dựng các ứng dụng trên
cơ sở các tài liệu chuyên khảo.
5. Phương pháp nghiên cứu
Luận văn chủ yếu dùng các phương pháp nghiên cứu truyền
thống của Giải tích hàm: Thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp
để được một nghiên cứu tổng quan về nguyên lý cực đại đối với phương
trình elliptic cấp hai. Ngoài ra luận văn còn nghiên cứu trên các tài liệu
liên quan: Giáo trình, tạp chí,
Luận văn được viết dựa trên nội dung các chương 2 và 3 của tài
liệu [3]
4
6. Giả thuyết khoa học
Luận văn được trình bày một cách có hệ thống và khoa học các
vấn đề về nguyên lý cực đại của phương trình elliptic và các ứng dụng
của nó. Đây sẽ là một đóng góp quan trọng về lý thuyết để giải quyết

triệt để các vấn đề về nguyên lý cực đại đối với phương trình elliptic cấp
hai.
Chương 1
Nguyên lý cực đại đối với phương
trình elliptic cấp hai
1.1 Nguyên lý cực đại của E. Hopf
Chúng ta nghiên cứu toán tử vi phân elliptic tuyến tính cấp hai sau:
Lu(x) =
d

i,j=1
a
ij
(x)u
x
i
x
j
(x) +
d

i=1
b
i
(x)u
x
i
(x) + c(x)u(x),
trong đó các hệ số đưa ra thỏa mãn điều kiện sau:
(i) Tính đối xứng: a

ij
(x) = a
ji
(x) với mọi i, j và x ∈ Ω ⊂ R
n
(ii) Tính Elliptic: Tồn tại một hằng số λ > 0 với
λ |ξ|
2
≤
d

i,j=1
a
ij
(x) ξ
i
ξ
j
với mọi x ∈ Ω, ξ ∈ R
d
.
Do đó, ma trận

a
ij
(x)

i,j=1, ,d
là xác định dương với mọi x, và giá trị
riêng nhỏ nhất là lớn hơn hoặc bằng λ.

(iii) Tính bị chặn của hệ số: Tồn tại một hằng số K với


a
ij
(x)


,


b
i
(x)


, |c (x)| ≤ K với mọi i, j và x ∈ Ω
Hiển nhiên, toán tử Laplace ∆u =
d

i=1
u
x
i
x
j
thỏa mãn cả ba điều kiện
trên.
5
6

Mục đích của chương này là chứng minh nguyên lý cực đại cho nghiệm
của Lu = 0.
Trở lại mục đích ban đầu, chúng ta sẽ chỉ ra rằng cần phải đặt thêm
điều kiện về dấu của c (x). Để minh họa, chúng ta xét một ví dụ đơn
giản về bài toán Dirichlet
u”(x) + u(x) = 0 trên (0, π)
u(0) = u(π) = 0.
Bài toán này có họ nghiệm là
u (x) = α sin (x) .
Tùy thuộc vào dấu của α, các nghiệm này đạt giá trị cực đại hoặc cực
tiểu nghiêm ngặt tại x = π/2. Trong khi đó, bài toán Dirichlet
u”(x) −u(x) = 0
u(0) = 0 = u(π)
có nghiệm u(x) ≡ 0 như là một nghiệm duy nhất của nó.
Trước tiên chúng ta trình bày về chứng minh nguyên lý cực đại cho hàm
dưới điều hòa (subharmonic functions).
Bổ đề 1.1.1. Cho u ∈ C
2
(Ω) ∩C
0
(
¯
Ω), u ≥ 0 trong Ω. Khi đó
sup
Ω
u = max
∂Ω
u. (1.1)
(Do u liên tục, Ω bị chặn,
¯

Ω là tập compact, nên sup
Ω
u = max
¯
Ω
u)
Chứng minh. Đầu tiên chúng ta xét trường hợp ∆u > 0 trong Ω.
Khi đó u không thể đạt cực đại tại một điểm trong x
0
∈ Ω, bởi vì tại
một cực đại như vậy ta có
u
x
i
x
i
≤ 0 với i = 1, . . . , d,
7
và do đó
∆u (x
0
) ≤ 0.
Bây giờ ta xét trường hợp ∆u ≥ 0 và xét hàm phụ
v(x) = e
x
1
,
thỏa mãn
∆v = v > 0.
Với mỗi ε > 0, khi đó

∆ (u + v) > 0 trong Ω.
Ta suy ra
sup
Ω
(v + εv) = max
∂Ω
(v + εv),
khi đó
sup
Ω
u + ε inf
Ω
v ≥ max
∂Ω
u + ε max
∂Ω
v
và từ đó do mỗi ε > 0 là tùy ý chúng ta có điều phải chứng minh.
Định lí 1.1.1. Giả sử c(x) ≡ 0 và cho u trong Ω thỏa mãn
u ∈ C
2
(Ω) ∩C
0
(
¯
Ω), Lu ≥ 0
nghĩa là
d

i,j=1

a
ij
(x)u
x
i
x
j
+
d

i=1
b
i
(x)u
x
i
≥ 0. (1.2)
Khi đó ta cũng có
sup
Ω
u = max
∂Ω
u. (1.3)
Trong trường hợp Lu ≤ 0 ta cũng được kết quả tương ứng cho cận dưới
đúng.
8
Chứng minh. Cũng như trong chứng minh ở Bổ đề 1.1.1, ta xét trường
hợp Lu > 0
Tại một cực đại trong x
0

của u ta có:
u
x
i
(x
0
) = 0 với i = 1, . . . , d
và
(u
x
i
x
j
(x
0
))
i,j=1, ,d
là nửa xác định âm
Từ điều kiên Elliptic ta có:
Lu(x
0
) =
d

i,j=1
a
ij
(x)u
x
i

x
j
(x
0
) ≤ 0
nên hàm u(x) không thể có cực đại bên trong Ω tại điểm x
0
.
Ta xét trường hợp Lu ≥ 0.
Ta xét hàm phụ
v(x) = e
αx
1
với α > 0. Khi đó
Lv(x) =

α
2
a
11
(x) + αb
1
(x)

v(x)
Vì Ω và các hệ số b
i
là bị chặn và các hệ số thỏa mãn a
ii
(x) ≥ 0 chúng

ta có với α đủ lớn điều kiện sau được thỏa mãn
Lv > λ.
Áp dụng cho u + εv với ε > 0 đủ nhỏ ta có
L(u + εv) > 0.
Tù đó suy ra (1.3).
Trường hợp Lu ≤ 0 được xét tương tự.
9
Hệ quả 1.1.1. Cho L như trong Định lý 1.1.1 và cho f ∈ C
0
(Ω), ϕ ∈
C
0
(∂Ω). Khi đó bài toán Dirichlet:
Lu(x) = f(x) với x ∈ Ω (1.4)
u(x) = ϕ(x) với x ∈ ∂Ω
có tối đa một nghiệm u ∈ C
2
(Ω) ∩C
0
(
¯
Ω).
Chứng minh. Giả sử ta có hai nghiệm u
1
(x) và u
2
(x) của bài toán (1.4).
Xét hiệu u(x) = u
1
(x) −u

2
(x) thỏa mãn:
Lu(x) = 0 trong Ω
u(x) = 0 trên ∂Ω
Từ Định lý 1.1.1 hàm số u(x) đồng nhất triệt tiêu trên Ω.
Hệ quả 1.1.2. Giả sử c(x) ≤ 0 trong Ω. Cho u ∈ C
2
(Ω) ∩ C
0
(
¯
Ω) thỏa
mãn:
Lu ≥ 0 trong Ω.
Đặt u
+
(x) := max(u(x), 0). Khi đó ta có
sup
Ω
u
+
= max
∂Ω
u
+
. (1.5)
Chứng minh. Cho Ω
+
:= {x ∈ Ω : u(x) > 0}. Vì c ≤ 0, trong Ω
+

ta có
d

i,j=1
a
ij
(x)u
x
i
x
j
+
d

i=1
b
i
(x)u
x
i
≥ 0
Theo Định lý 1.1.1:
sup
Ω
+
u ≤ max
∂Ω
+
u (1.6)
Nên

u ≡ 0 trên ∂Ω
+
∩ Ω(do tính liên tục của u)
10
max
∂Ω
+
∩∂Ω
u = max
∂Ω
u
Từ ∂Ω
+
= (∂Ω
+
∩ Ω) ∪ (∂Ω
+
∩ ∂Ω), nên
max
∂Ω
+
u = max
∂Ω
u
+
(1.7)
và ta cũng có
sup
Ω
u

+
= sup
Ω
+
u. (1.8)
Bây giờ chúng ta xét đến nguyên lý cực đại mạnh của E.Hopf.
Định lí 1.1.2. Giả sử c(x) ≡ 0 và cho u trong Ω thỏa mãn:
Lu ≥ 0. (1.9)
Nếu u có cực đại thuộc miền trong của Ω thì hàm số này phải là hằng
số.
Tổng quát, giả sử c(x) ≤ 0 và Lu ≥ 0. Khi đó u phải là hằng số nếu nó
đạt giá trị cực đại không âm bên trong miền Ω.
Để chứng minh định lý trên ta xét bổ đề sau.
Bổ đề 1.1.2. Giả sử c(x) ≤ 0 và
Lu ≥ 0 trong Ω

⊂ R
d
và cho x
0
∈ ∂Ω

. Hơn nữa, ta giả thiết:
(i) u liên tục tại x
0
,
(ii) u(x
0
) ≥ 0 nếu c(x) = 0,
(iii) u(x

0
) > u(x) với mọi x ∈ Ω

,
(iv) Tồn tại một hình cầu
˙
B(y, R) ⊂ Ω

với x
0
∈ ∂B(y, R).
Khi đó chúng ta có, với r := |x −y|,
∂u
∂r
(x
0
) > 0.
Với điều kiện là đạo hàm này (theo hướng pháp tuyến ngoài của Ω

) tồn
tại.
11
Chứng minh. Chúng ta giả sử
∂B(y, R) ∩∂Ω

= {x
0
}
Cho 0 < ρ < R, trên miền hình vành
˙

B(y, R) B(y, ρ) chúng ta xét hàm
phụ:
v(x) := e
−γ[x−y]
2
− e
−γR
2
Ta có:
Lv(x) = {4γ
2
d

i,j=1
a
ij
(x)(x
i
− y
i
)(x
j
− y
j
)
−2γ
d

i=1
a

ii
(x) + b
i
(x)(x
i
− y
i
)}e
−γ|x−y|
2
+c(x)(e
−γ[x−y]
2
− e
−γR
2
)
Cho γ đủ lớn, vì giả thiết tính bị chặn của các hệ số của L và điều kiện
elliptic nên chúng ta có
Lv ≥ 0 trong
˙
B(y, R) B(y, ρ). (1.10)
Từ (iii) và (iv),
u(x) −u(x
0
) < 0 với x ∈
˙
B(y, R)
Từ đó chúng ta có thể tìm ε > 0 với
u(x) −u(x

0
) + εv(x) ≤ 0 với x ∈ ∂B(y, ρ) (1.11)
Từ v = 0 trên ∂B(y, ρ), (1.11) tiếp tục được thỏa mãn trên ∂B(y, R).
Mặt khác
Lu(x) −u(x
0
) + εv(x) ≥ −c(x)u(x
0
) ≥ 0 (1.12)
do (1.10) và (ii) và vì c(x) ≤ 0. Do đó, chúng ta cần phải sử dụng Hệ
quả 1.1.2 trên
˙
B(y, R) B(y, ρ) và thu được
u(x) −u(x
0
) + εv(x) ≤ 0 với x ∈
˙
B(y, R) B(y, ρ)
12
với điều kiện là đạo hàm tồn tại, khi đó
∂
∂r
(u(x) −u(x
0
) + εv(x) ≥ 0 tại x = x
0
và do đó cho x = x
0
,
∂

∂r
u(x) ≥ −ε
∂v(x)
∂r
= ε(2ρRe
−γR
2
)
> 0
Chứng minh Định lý 1.1.2
Ta giả sử rằng u không là hằng số nhưng lại có cực đại m (≥ 0 trong
trường hợp c = 0) trong Ω. Khi đó chúng ta có:
Ω

:= {x ∈ Ω : u(x) < m} = ∅
và
∂Ω

∩ Ω = ∅
Chúng ta chọn y ∈ Ω

sao cho nó gần ∂Ω

hơn ∂Ω. Cho
˙
B(y, R) là hình
cầu lớn nhất với tâm y nằm trong Ω

. Khi đó chúng ta có:
u(x

0
) = m với một điểm x
0
∈ ∂B(y, R) nào đó
và
u(x) < u(x
0
) với x ∈ Ω

.
Theo Bổ đề 1.1.2:
∂u
∂r
(x
0
) = (Du(x
0
), r) > 0
nên suy ra
Du(x
0
) = 0.
Điều này là mâu thuẫn do tại x
0
ta có Du(x
0
) = 0. Suy ra điều phải
chứng minh.
13
1.2 Nguyên lý cực đại của Alexandrov và Bakelman

1.2.1 Phát biểu và chứng minh nguyên lý
Trong phần này, chúng ta xét toán tử vi phân như mục 1.1, để cho
đơn giản, chúng ta giả sử các hệ số c(x) và b
i
(x) triệt tiêu. Ta có các kết
quả tương tự như trình bày ở dưới đây với b
i
(x) triệt tiêu và c(x) không
dương, ở đây chúng ta chỉ trình bày những ý tưởng quan trọng trong
một trường hợp đơn giản nhất có thể.
Định lí 1.2.1. Giả sử rằng u ∈ C
2
(Ω) ∩C
0
(
¯
Ω), thỏa mãn:
Lu(x) :=
d

i,j=1
a
ij
(x)u
x
i
x
j
≥ f(x), (1.13)
trong đó ma trận (a

ij
(x)) là xác định dương và đối xứng với mỗi x ∈ Ω.
Hơn nữa, cho

Ω
|f(x)|
d
det(a
ij
(x))
dx < ∞. (1.14)
Khi đó chúng ta có
sup
Ω
u ≤ max
∂Ω
u +
diam(Ω)
dω
1
d
d



Ω
|f(x)|
d
det(a
ij

(x))
dx).


1/d
. (1.15)
Trái lại với những đánh giá mà dựa trên nguyên lý cực đại của Hopf,
ở đây chúng ta chỉ có một chuẩn tích phân bên phải của hàm f, tức là
chuẩn là yếu hơn so với chuẩn cận trên đúng. Trong ý nghĩa này nguyên
lý cực đại của Alexandrov và Bakelman là mạnh hơn E.Hopf.
Để chứng minh Định lý 1.2.1, chúng ta cần một phép xây dựng hình học
nào đó. Với v ∈ C
0
(Ω), chúng ta định nghĩa tập tiếp xúc trên:
T
+
(v) := {y ∈ Ω : ∃p ∈ R
d
, ∀x ∈ Ω : v(x) ≤ v(y) + p.(x −y)}. (1.16)
14
Dấu

.

ở đây nghĩa là tích vô hướng Euclide của R
d
. p xuất hiện trong
định nghĩa nói chung sẽ phụ thuộc vào y, nghĩa là p = p(y). Tập T
+
(v)

là tập con của Ω trong đó các đồ thị của v nằm bên dưới một siêu phẳng
trong R
d+1
tiếp xúc với đồ thị của v tại (y, v(y)). Nếu v có vi phân tại
y ∈ T
+
(v), thì nhất thiết p(y) = Dv(y). Cuối cùng, một cách chính xác
v là lõm nếu T
+
(v) = Ω
Bổ đề 1.2.1. Cho v ∈ C
2
(Ω), ma trận Hessian
(v
x
i
x
j
)
i,j=1, ,d
là xác định âm trên T
+
(v).
Chứng minh. Cho y ∈ T
+
(v), ta xét hàm
ω(x) := v(x) − v(y) −p.(x −y).
Khi đó ω(x) ≤ 0 trên Ω, từ y ∈ T
+
(v) và ω(y) = 0. Do đó, ω có một

cực đại tại y, do đó (ω
x
i
x
j
(y)) là nửa xác định âm.Từ (v
x
i
x
j
) = (ω
x
i
x
j
)
với ∀i, j, tiếp theo ta có điều khẳng định
Nếu v không khả vi tại y ∈ T
+
(v), thì p = p(y) không cần là duy
nhất nhưng có thể tồn tại một vài p thỏa mãn điều kiện trong (1.16). Ta
chọn ngẫu nhiên y ∈ T
+
(v) là tất cả các tập của p, nghĩa là, xét tập giá
trị của ánh xạ:
τ
v
(y) := {p ∈ R
d
: ∀x ∈ Ω : v(x) ≤ v(y) + p.(x − y)}.

Với y /∈ T
+
(v), ta đặt τ
v
(v) := ∅
Ví dụ 1.2.2. Ω =
˙
B(0, 1), β > 0,
v(x) = β(1 −|x|).
15
Đồ thị của v khi đó là một mặt nón có đỉnh là chiều cao β tại 0 và có
cơ sở là hình cầu đơn vị. Chúng ta có T
+
(v) =
˙
B(0, 1),
τ
v
(y) =





B (0, β) với y = 0,

−β
y
|y|


với y = 0.
Cho mặt nón với đỉnh là chiều cao β tại x
0
và có cơ sở ∂B(x
0
, R),
v(x) = β

1 −
|x −x
0
|
R
)

và Ω =
˙
B(x
0
, R), tương tự
τ
v

˙
B(x
0
, R)

= τ
v

(x
0
) = B(0, β/R). (1.17)
Bây giờ chúng ta xét ảnh của Ω xuống τ
v
τ
v
(Ω) =

y∈Ω
τ
v
(y) ⊂ R
d
.
Chúng ta sẽ giả sử L
d
kí hiệu là độ đo Lebesgue d-chiều. Khi đó chúng
ta có bổ đề sau:
Bổ đề 1.2.2. Cho v ∈ C
2
(Ω) ∩C
0
(
¯
Ω). Khi đó
L
d
(τ
v

(Ω)) ≤

T
+
(v)
|det(v
x
i
x
j
(x))|dx. (1.18)
Chứng minh. Trước hết,
τ
v
(Ω) = τ
v
(T
+
(v)) = Dv(T
+
(v)) (1.19)
bởi vì v là khả vi. Do Bổ đề 1.2.1, ma trận Jacobian của Dv : Ω → R
d
,
cụ thể là (v
x
i
x
j
) là nửa xác định âm trên T

+
(v). Do đó Dv −εId có hạng
lớn nhất với ε > 0. Từ phép biến đổi công thức tích phân bội, ta có:
L
d
((Dv − εId)(T
+
(v))) ≤

T
+
(v)
|det(v
x
i
x
j
(x) −εδ
ij
)
i,j=1, ,d
|dx. (1.20)
Cho ε dần tới 0, kết hợp với (1.2.7) ta có điều phải chứng minh
16
Bây giờ chúng ta có thể chứng minh Định lý 1.2.1: Chúng ta có thể
giả sử
u ≤ 0 trên ∂Ω,
bởi vì ta có thể thay thế u bởi u −max
∂Ω
u nếu cần thiết.

Bây giờ lấy x
0
∈ Ω, u(x
0
) > 0. Chúng ta xét hàm κ
x
0
trên B(x
0
, δ) với
δ = diam(Ω) có đồ thị là một hình nón với đỉnh thuộc chiều cao u(x
0
)
tại x
0
và cơ sở là ∂B(x
0
, δ). Từ định nghĩa đường kính δ = diamΩ,
Ω ⊂ B(x
0
, δ).
Từ giả thiết u ≤ 0 trên ∂Ω, với mỗi siêu phẳng tiếp xúc với mặt nón này
tồn tại một vài siêu phẳng song song tiếp xúc với đồ thị của u (trong
thứ tự này chúng ta đơn giản di chuyển một siêu phẳng song song tới vị
trí gốc của nó từ phía trên đồ thị của u cho đến khi nó trở về vị trí ban
đầu. Từ đồ thị của u là nhỏ nhất với chiều cao u(x
0
), nghĩa là, chiều
cao của hình nón, và từ u ≤ 0 trên ∂Ω và ∂Ω ⊂ B(x
0

, δ), như vậy sự
tiếp xúc ban đầu không thể xẩy ra tại một điểm biên của Ω, mà chỉ xảy
ra tại điểm trong x
1
. Do đó, siêu phẳng tương ứng là nằm trong τ
v
(x
1
).
Điều này có nghĩa là:
τ
κx
0
(Ω) ⊂ τ
u
(Ω). (1.21)
Do (1.17),
τ
κx
0
(Ω) = B(0, u(x
0
)/δ). (1.22)
Từ các hệ thức (1.18), (1.21), (1.22) ta có
L
d
(B(0, u(x
0
)/δ)) ≤


T
+
(v)
|det(v
x
i
x
j
(x))|dx,
và do đó
u(x
0
) ≤
δ
ω
d
1/d




T
+
(v)
|det(v
x
i
x
j
(x))|dx




1/d
17
=
δ
ω
d
1/d




T
+
(v)
(−1)
d
det(v
x
i
x
j
(x))dx



1/d
(1.23)

Do Bổ đề 1.2.1. Nếu không có giả thiết u ≤ 0 trên ∂Ω, chúng ta sẽ có
thêm số hạng max
∂Ω
u vào phía bên phải của (1.23). Từ đó công thức
thỏa mãn với mọi x
0
∈ Ω, chúng ta có kết quả sau:
Bổ đề 1.2.3. Cho u ∈ C
2
(Ω) ∩C
0
(
¯
Ω),
sup
Ω
u ≤ max
∂Ω
u +
diam (Ω)
ω
1/d
d




T
+
(v)

(−1)
d
det(v
x
i
x
j
(x))dx



1/d
. (1.24)
Bổ đề 1.2.4. Trên T
+
(u),
(−1)
d
det(v
x
i
x
j
(x)) ≤
1
det (a
ij
(x))

−

1
d
d

i,j=1
a
ij
(x) u
x
i
x
j
(x)

d
. (1.25)
Chứng minh. Từ giả thiết tính đối xứng, xác định dương của các ma
trận A, B, ta có
det A det B ≤

1
d
traceAB

d
,
mà dễ dàng kiểm tra bằng cách chéo hóa các ma trận này.
Cho A = (−u
x
i

x
j
), B =

a
ij

(điều đó là có thể do Bổ đề 1.2.1 và điều
kiện elliptic), chúng ta được (1.25).
Từ bất đẳng thức (1.24), (1.25) ta suy ra
sup
Ω
u ≤ max
∂Ω
u +
diam (Ω)
dω
1/d
d




T
+
(u)

−

i,j=1

d
a
ij
(x)u
x
i
x
j
(x)

d
det (a
ij
(x))
dx



1/d
.
(1.26)
18
Từ công thức (1.26) ta trực tiếp suy ra Định lý 1.2.1, bởi vì từ (1.13) ta
có, −

a
ij
u
x
i

x
j
≤ −f, và phía bên trái của bất đẳng thức là không âm
trên T
+
(u) do Bổ đề 1.2.1.
1.2.2 Áp dụng nguyên lý
Chúng ta áp dụng Định lý 1.2.1 cho một vài phương trình phi tuyến,
cụ thể là phương trình Monge-Ampere 2-chiều.
Do đó, cho Ω là mở trong R
2
=

x
1
, x
2

và cho u ∈ C
2
(Ω) thỏa mãn
u
x
1
x
1
(x) u
x
2
x

2
(x) −u
2
x
1
x
2
(x) = f (x) trong Ω, (1.27)
với f đã cho. Phương trình (1.15) là elliptic nếu các điều kiện sau được
thỏa mãn:
(i) Ma trận Hessian của u phải xác định dương, và do đó
(ii) f (x) > 0 trong Ω
Điều kiện (i) có nghĩa là u là một hàm lồi. Do vậy, u không thể có một
cực đại nằm trong Ω, nhưng có thể có một cực tiểu. Theo thứ tự kiểm
tra cực tiểu, chúng ta thấy rằng nếu u là một nghiệm của (1.27) thì
(−u) cũng vậy. Tuy nhiên, phương trình (1.27) không dài hơn elliptic tại
(−u), từ ma trận Hessian của (−u) là âm, và không dương, do vậy Định
lý 1.2.1 không thể áp dụng trực tiếp. Chúng ta quan sát, tuy nhiên, Bổ
đề 1.2.3 không cần giả định tính elliptic, và có hệ quả sau:
Hệ quả 1.2.1. Với giả thiết (i), (ii), một nghiệm của phương trình
Monge-Ampere (1.27) thỏa mãn
inf
Ω
u ≥ min
∂Ω
u −
diam (Ω)
√
π



Ω
f (x) dx

1
2
.
Chứng minh. Ta đặt
a
11
(x) =
1
2
u
x
2
x
2
(x)
19
a
22
(x) =
1
2
u
x
1
x
1

(x)
a
12
(x) = a
21
(x) = −
1
2
u
x
1
x
2
(x)
Ta có: u ∈ C
2
(Ω)
a
11
u
x
1
x
1
+ 2a
12
u
x
1
x

2
+ a
22
u
x
2
x
2
=
=

1
2
u
x
2
x
2

u
x
1
x
1
− 2

1
2
u
x

1
x
2

u
x
1
x
2
+

1
2
u
x
1
x
1

u
x
2
x
2
=
= u
x
1
x
1

u
x
2
x
2
− u
2
x
1
x
2
= f(x)
(1.27) trở thành
2

i,j=1
a
ij
(x) u
x
i
x
j
(x) = f (x)
Áp dụng (1.13) đối với (-u)
sup
Ω
(−u) ≤ max
∂Ω
(−u) +

diam(Ω)
2ω
1
2
2



Ω
|f(x)|
2
det(a
ij
(x))
dx.


1/2
−inf
Ω
(u) ≤ −min
∂Ω
(u) +
diam(Ω)
2π
1
2




Ω
|f(x)|
2
1
4
f(x)
dx.


1/2
inf
Ω
(u) ≥ min
∂Ω
(u) −
diam(Ω)
π
1
2



Ω
|f(x)|dx.


và vì vậy loại phương trình này đã được xét. Thật vậy, để suy ra tính
chất của nghiệm u, chúng ta chỉ phải kiểm tra các điều kiện cho các hệ
số a
ij

(x) theo các giả định của về u. Điều đó có thể xảy ra, tuy nhiên,
những điều kiện này được thỏa mãn đối với một số, nhưng không phải
cho tất cả nghiệm u. Ví dụ, với các giả thiết (i), (ii), (1.27) không là
elliptic tại (-u).
20
1.3 Nguyên lý cực đại đối với lớp phương trình phi
tuyến
Xét phương trình vi phân tổng quát có dạng
F [u] = F

x, u, Du, D
2
u

= 0, (1.28)
với F : S := Ω ×R ×R
d
×S (d, R) → R, ở đây S (d, R) là một không gian
các ma trận d × d đối xứng, giá trị thực. Các phần tử của S được viết
là (x, z, p, r); ở đây p = p (p
1
, . . . , p
d
) ∈ R
d
, r = (r
ij
)
i,j=1, ,d
∈ S (d, R).

Chúng ta giả sử F là vi phân đối với r
ij
.
Định nghĩa 1.3.1. Phương trình vi phân (1.28) được gọi là elliptic tại
u ∈ C
2
(Ω) nếu

∂F
∂r
ij

x, u (x) , Du (x) , D
2
u (x)


i,j=1, ,d
là xác định dương. (1.29)
Ví dụ, phương trình Monge-Ampere (1.27) là elliptic theo nghĩa này
nếu các điều kiện (i), (ii) ở mục (1.2) được thỏa mãn.
Điều đó không hoàn toàn là rõ ràng để tổng quát nguyên lý cực đại từ
phương trình tuyến tính lên các phương trình phi tuyến, bởi vì trong
trường hợp tuyến tính, chúng ta luôn phải đưa ra những giả thiết cho
những số hạng thấp hơn. Một giải thích rằng có thể đưa ra giả thuyết
tổng quát để xét nguyên lý cực đại như một sự trình bày so sánh một
nghiệm với một hằng số trong các điều kiện khác nhau là một nghiệm
của Lu ≤ 0. Do cấu trúc tuyến tính, điều này ngay lập tức dẫn đến một
định lý so sánh cho nghiệm tùy ý u
1

, u
2
của Lu = 0. Vì lý do này, trong
trường hợp phi tuyến chúng ta cũng bắt đầu với một định lý so sánh:
Định lí 1.3.1. Cho u
0
, u
1
∈ C
2
(Ω) ∩C
0

¯
Ω

, và giả sử
(i) F ∈ C
1
(S),
(ii) F là elliptic tại tất cả các hàm tu
1
+ (1 − t) u
0
, 0 ≤ t ≤ 1,
21
(iii) với mỗi bộ (x, p, r), F là đơn điệu giảm trong z.
Nếu
u
1

≤ u
0
trên ∂Ω
và
F [u
1
] ≥ F [u
0
] trong Ω,
khi đó ta cũng có
u
1
< u
0
trong Ω
hoặc
u
0
≡ u
1
trong Ω.
Chứng minh. Ta đặt
v := u
1
− u
0
,
u
t
:= tu

1
+ (1 − t) u
0
, với 0 ≤ t ≤ 1,
a
ij
(x) :=

1
0
∂F
∂r
ij

x, u
t
(x) , Du
t
(x) , D
2
u
t
(x)

dt,
b
i
(x) :=

1

0
∂F
∂p
i

x, u
t
(x) , Du
t
(x) , D
2
u
t
(x)

dt,
c (x) :=

1
0
∂F
∂z

x, u
t
(x) , Du
t
(x) , D
2
u

t
(x)

dt
(chú ý rằng chúng ta đang tích phân một đạo hàm toàn phần theo biến
số t, cụ thể là,
d
dt
F

x, u
t
(x) , Du
t
(x) , D
2
u
t
(x)

dt,), và vì vậy, chúng ta
có thể chuyển đổi tích phân về các số hạng biên, dẫn tới phép biểu diễn
chính xác của Lv dưới đây
Lv :=
d

i,j=1
a
ij
(x) v

x
i
x
j
(x) +
d

i=1
b
i
(x) v
x
i
(x) + c (x) v (x) .
Khi đó
Lv = F [u
1
] −F [u
0
] trongΩ. (1.30)
22
Phương trình L là elliptic vì (ii) và (iii), c (x) ≤ 0. Vì vậy, có thể áp dụng
Định lý 2.1.2 cho v và có được kết luận của định lý.
Định lý thỏa mãn trong trường hợp đặc biệt cho các nghiệm của
F [u] = 0. Điểm mấu chốt trong chứng minh của Định lý 1.3.1 khi đó là
từ các nghiệm u
0
và u
1
của phương trình phi tuyến F [u] = 0 đã được

đưa ra, chúng ta có thể giải thích số lượng phụ thuộc vào các u
0
và u
1
và các đạo hàm của chúng như là các hệ số của phương trình vi phân
tuyến tính khác.
Chúng ta cũng muốn xây dựng công thức cho các kết quả duy nhất cho
bài toán Dirichlet F [u] = f với f đã cho.
Hệ quả 1.3.1. Giả thiết các điều kiện của Định lý 1.3.1 và giả sử u
0
= u
1
trên ∂Ω, và
F [u
0
] = F [u
1
] trong Ω.
Khi đó u
0
= u
1
trong Ω.
Ví dụ 1.3.2. Xét các phương trình mặt cực tiểu
Cho Ω ⊂ R
2
= {(x, y)}. Phương trình mặt cực tiểu khi đó là phương
trình tựa tuyến tính:

1 + u

2
y

u
xx
− 2u
x
u
y
u
xy
+

1 + u
2
x

u
yy
= 0. (1.31)
Định lý 2.1 cho ta hệ quả sau:
Hệ quả 1.3.2. Cho u
0
, u
1
∈ C
2
(Ω) là các nghiệm của phương trình mặt
cực tiểu. Nếu hiệu u
0

− u
1
đạt cực đại hoặc đạt cực tiểu tại một điểm
trong của Ω, chúng ta có
u
0
− u
1
≡ conts trong Ω.
Bây giờ chúng ta đến với nguyên lý cực đại tiếp theo:
23
Định lí 1.3.3. Cho u ∈ C
2
(Ω) ∩C
0

¯
Ω

, và cho F ∈ C
2
(S). Giả sử với
λ > 0 nào đó, điều kiện elliptic
λ |ξ|
2
≤
d

i,j=1
∂F

∂r
ij
(x, z, p, r) ξ
i
ξ
j
(1.32)
thỏa mãn với tất cả ξ ∈ R
d
, (x, z, p, r) ∈ S. Hơn nữa, giả sử rằng tồn tại
hằng số µ
1
, µ
2
sao cho với mọi (x, z, p),
F (x, z, p, 0)sign (z)
λ
≤ µ
1
[p] +
µ
2
λ
. (1.33)
Nếu
F [u] = 0 trong Ω,
thì
sup
Ω
|u| ≤ max

∂Ω
|u| + c
µ
2
λ
, (1.34)
ở đây c là hằng số phụ thuộc vào µ
1
và đường kính diam (Ω) .
Ở đây, điều kiện (1.33) là tương tự điều kiện về dấu của c (x) ≤ 0 và bị
chặn của b
i
(x) cũng như tính bị chặn của vế phải f của phương trình
Lu = f.
Chứng minh. Chúng ta sẽ thực hiện một cách tương tự như trong chứng
minh của Định lý 1.3.1 và sẽ rút gọn kết quả nguyên lý cực đại trong
mục (1.1) cho phương trình tuyến tính. Ở đây v là một hàm phụ đã được
xác định, và ω := u − v. Chúng ta xét toán tử
Lω :=
d

i,j=1
a
ij
(x) ω
x
i
x
j
+

d

i=1
b
i
(x) ω
x
i
với
a
ij
(x) :=

1
0
∂F
∂r
ij

x, u (x) , Du (x) , D
2
u (x)

dt, (1.35)