Phương pháp monte carlo nghiên cứu một số tính chất của hệ vật liệu từ với mô hình Hubbard

1



























BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ HOA





PHƢƠNG PHÁP MONTE CARLO
NGHIÊN CỨU MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA
HỆ VẬT LIỆU TỪ VỚI MÔ HÌNH
HUBBARD

Chuyên ngành: Vật lí chất rắn
Mã số: 60440104




LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT


Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Thế Lâm

HÀ NỘI, 2013


2
LỜI CẢM ƠN
Để có thể hoàn thành đề tài luận văn thạc sĩ một cách hoàn chỉnh, bên
cạnh sự cố gắng nỗ lực của bản thân còn có sự hướng dẫn nhiệt tình của quý
Thầy Cô, cũng như sự động viên ủng hộ của gia đình và bạn bè trong suốt
thời gian học tập nghiên cứu và thực hiện luận văn thạc sĩ.
Xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến TS. Nguyễn Thế Lâm, người đã
hết lòng giúp đỡ và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi hoàn thành luận văn
này. Xin gửi lời tri ân nhất của tôi đối với những điều Thầy đã dành cho tôi.
Xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến toàn thể quý Thầy Cô giảng dạy
chuyên ngành Vật lí chất rắn và quý Thầy Cô trong trường Đại học Sư phạm
Hà nội 2 đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo mọi
điều kiện thuận lợi nhất cho tôi trong suốt quá trình học tập nghiên cứu và
cho đến khi thực hiện đề tài luận văn.
Xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè, những người
đã không ngừng động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi trong
suốt thời gian học tập và thực hiện luận văn này.
Mặc dù tôi đã rất cố gắng hoàn thiện luận văn của mình, tuy nhiên
không thể tránh khỏi những thiếu sót hoặc có phần nghiên cứu chưa sâu. Rất
mong nhận được sự chỉ bảo của các Thầy, các Cô.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

3
LỜI CAM ĐOAN
Luận văn thạc sĩ “Phương pháp Monte Carlo nghiên cứu một số tính
chất của hệ vật liệu từ với mô hình Hubbard”, chuyên ngành Vật lí chất rắn là
công trình của riêng tôi. Luận văn đã sử dụng thông tin từ nhiều nguồn dữ
liệu khác nhau, các thông tin có sẵn đã được trích rõ nguồn gốc.
Tôi xin cam đoan kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực,
không trùng lặp với các đề tài khác và chưa được sử dụng để bảo vệ một học
vị nào.
Tôi xin cam đoan mọi sự giúp đỡ trong việc thực hiện luận văn này đã
được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đều đã được chỉ rõ
nguồn gốc.
Vĩnh Phúc, ngày tháng năm 2013
Tác giả luận văn


Nguyễn Thị Hoa

4
MỤC LỤC

Trang
Trang bìa phụ………………………………………………………….
1
Lời cảm ơn…………………………………………………………….
2
Lời cam đoan………………………………………………………….
3
Mục lục………………………………………………………………
4
Danh mục các kí hiệu, các chữ viết tắt………………………………
6
MỞ ĐẦU……………………………………………………………
7
NỘI DUNG……………………………………………………………

Chương 1: Mô hình Hubbard cho hệ vật liệu từ………………………
9
1.1 Giới thiệu………………………………………………………
9
1.2 Mô hình Hubbard cho hệ vật liệu từ…………………………….
9
Chương 2: Phương pháp Monte Carlo cho lí thuyết trường lượng tử
13
2.1 Cơ sở hình thành phương pháp Monte Carlo cho lí thuyết
trường lượng tử………………………………………………………

13
2.2 Vấn đề về dấu của hàm sóng……………………………………
19
2.3 Sự không ổn định tại nhiệt độ thấp……………………………
26
2.3.1 Sự kết hợp không gian – thời gian…………………………
27
2.3.2 Sự ổn định ma trận phân hủy…….…………………………
30
Chương 3: Phương pháp Monte Carlo với mô hình Hubbard cho hệ
vật liệu từ……………………………………………………………

34
3.1 Phương pháp Monte Carlo với mô hình Hubbard cho hệ vật liệu
từ……………………………………………………………………

34
3.2 Kết quả và thảo luận……………………… …………………
40
3.2.1 Sự phụ thuộc của mô men từ vào nhiệt độ - chuyển pha sắt
từ thuận từ…………… ……………………………………………

40
3.2.2 Sự phụ thuộc của năng lượng tương tác lân cận vào nhiệt độ
41

5
3.2.3 Sự phụ thuộc của năng lượng của hệ vào nhiệt độ…………
43

3.2.4 Sự phụ thuộc của nhiệt dung vào nhiệt độ…………………
44
3.2.5 Sự phụ thuộc của tổng thống kê Z vào nhiệt độ……………
45
KẾT LUẬN…………………………………………………………
47
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………
48
PHỤ LỤC……………………………………………………………
51

6
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

BCS: Mô tả lí thuyết thông thường
CPU: Máy tính
HS: Hamiltonian – Stratonovich
HST: Khai triển Hubbard – Stratonovich
QMC: Monte Carlo lượng tử
Ref: Tài liệu tham khảo
Tr: Trace

7
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong lịch sử nghiên cứu Vật lý con người đã sử dụng nhiều phương
pháp nghiên cứu như: phương pháp vật lý lý thuyết, phương pháp thực
nghiệm, phương pháp mô hình hóa,…trong đó phương pháp mô hình hoá là
phương pháp được xây dựng để mô tả hệ Vật lý bằng máy tính có mức chi phí
và thời gian tiết kiệm đáng kể.
Trong quá trình nghiên cứu Vật lý, chúng ta gặp phải rất nhiều hệ hạt vật
lý mà đặc biệt là các tính chất của hệ hạt. Chúng ta có thể nghiên cứu bằng
các phương pháp ở trên nhưng phương pháp mô hình hoá đưa ra kết quả bằng
mô hình phù hợp tốt với thực nghiệm. Trước đây, phương pháp mô hình hoá
đã được áp dụng cho nghiên cứu các hệ hạt theo mô hình cổ điển đã mô tả
khá tốt các tính chất điện, từ và các tính chất nhiệt động của hệ hạt.
Trên thế giới, phương pháp trên đã được sử dụng tuy nhiên còn rất ít,
còn đối với Việt Nam thì phương pháp này còn rất mới lạ, ít người biết đến và
hầu hết các tài liệu được viết bằng tiếng Anh. Phương pháp mô hình hoá trên
thế giới đã nhiều năm tiếp cận với hệ cổ điển, nhưng với lý thuyết trường
lượng tử còn rất ít. Do đó tôi đã chọn phương pháp mô hình hoá các tính chất
của hệ hạt Vật lý theo mô hình lý thuyết trường lượng tử làm đề tài nghiên
cứu chuyên ngành của mình. Trên cơ sở đó tôi đã chọn đề tài nghiên cứu
“Phương pháp Monte Carlo nghiên cứu một số tính chất của hệ vật liệu từ
với mô hình Hubbard ”.
Phương pháp Monte Carlo là một lớp thuật toán để giải quyết nhiều bài
toán trên máy tính và thường sử dụng các số ngẫu nhiên. Phương pháp này
tính bằng số hiệu quả cho nhiều bài toán liên quan đến nhiều biến số mà
không dễ dàng giải được bằng các phương pháp khác, chẳng hạn bằng tính

8

tích phân. Kết quả của phương pháp này càng chính xác (tiệm cận về kết quả
đúng) khi số lượng lặp các bước tăng.
2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu các tính chất từ, các tính chất nhiệt động của hệ sắt từ bằng
phương pháp mô hình hóa.
- Kết quả bằng phương pháp mô hình hoá sẽ được so sánh với kết quả
tìm được với các phương pháp nghiên cứu trước đó như các phương pháp
nghiên cứu bằng lý thuyết và thực nghiệm.
- Trên cơ sở các kết quả tìm được, sẽ mở rộng bài toán cho các trường
hợp tổng quát mà lý thuyết và thực nghiệm có thể chưa thực hiện được do
tính phức tạp trong lý thuyết hoặc tốn kém về chi phí khi thực hiện nghiên
cứu bằng thực nghiệm.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu các tính chất từ và các tính chất nhiệt động của hệ sắt từ
bằng các phương pháp nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm.
- Xây dựng chương trình mô hình tính toán để mô tả các tính chất nói
trên.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu các chuyển pha trong hệ sắt từ.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phương pháp lý thuyết.
- Phương pháp mô hình hoá.
6. Dự kiến đóng góp mới
- Xây dựng được chương trình máy tính để mô hình hoá các hệ vật lý
dạng tổng quát, mở rộng hơn, so sánh với các phương pháp khác trước đó.



9
Chƣơng 1: MÔ HÌNH HUBBARD CHO HỆ VẬT LIỆU TỪ

1.1 Giới thiệu
Chúng tôi xem xét và quyết định phương pháp Monte Carlo lượng tử
cho hệ fermionic, sử dụng mô hình Hubbard như một trường hợp nghiên cứu.
Bắt đầu với thành phần cơ bản của mô phỏng Monte Carlo cho hệ cổ điển.
Chúng ta giới thiệu các khía cạnh như tầm quan trọng của việc lấy mẫu,
nguyên nhân lỗi, và giới hạn kích thước. Sau đó, chúng ta thiết lập các bước
sơ bộ để chuẩn bị cho các mô phỏng, thực sự chúng được thực hiện bằng việc
lấy mẫu rời rạc của trường Hubbard – Stratonovich. Trong phương pháp này
hàm Green xuất hiện như một công cụ cơ bản, từ khi hàm Green được sử
dụng trong cập nhật các quá trình, và, trong cùng một thời điểm, hàm Green
trực tiếp liên quan các đại lượng như từ, điện, kim loại và siêu dẫn. Chúng ta
cũng thảo luận việc chưa được giải quyết đó là vấn đề về dấu của hàm sóng,
và hai cách để ổn định các thuật toán tại nhiệt độ thấp.
1.2 Mô hình Hubbard cho hệ vật liệu từ
Trong việc xử lí với hệ nhiều fermion tương tác, nói chung ta sẽ thấy thú
vị trong một số tính chất tập thể, điều này là phù hợp được mô tả trong cơ học
thống kê. Không giống như nam châm điện, mà bậc tự do của spin được chỉ
ra, tương tác giữa điện và spin tương ứng cho một hiện tượng thú vị (trong đó
số bậc tự do của quỹ đạo cũng có thể được tính đến, nhưng chúng kèm theo
vô cùng những phức tạp, và không được xem xét ở đây). Những câu hỏi bình
thường về một hệ có liên quan đến trạng thái từ tính của nó (Nó có từ tính
không? Nếu có, sắp xếp như thế nào?), đến phân bố điện tích, và liệu nó là
điện môi, kim loại hay siêu dẫn.

10
Một cách hiểu sâu hơn của tương tác giữa spin và các bậc tự do điện
tích có thể đạt được thông qua các mô hình, trong khi đó để có cơ chế vật lí
cơ bản tương ứng với cái quan sát được, nên để đơn giản để cho việc tính toán
đại lượng có thể so sánh với thực nghiệm. Mô hình đơn giản nhất được mô tả

trong các tương tác fermion trên một mạng tinh thể là mô hình Hubbard đơn
nhánh [16], được xác định bằng Hamiltonian lớn kinh điển.
 
 
,,
.
ij
i i i i
i j i i
t c c H c U n n n n




   
      
  
(1.1)
Trong đó:
t
là năng lượng đơn hạt (nó xác định độ lớn của năng lượng vì vậy
chúng ta cho
1t 
trong suốt trang này).

U
là lực đẩy Coulomb tại các nút,


là thế hóa học được kiểm soát bằng mật độ fermion,

i
chạy từ vị trí của một mạng không gian
d
– chiều;
Tiếp theo, chúng ta xem xét tương tác giữa các lân cận gần nhất, như
được kí hiệu bằng

. Toán tử
i
c


và
i
c

tương ứng là toán tử sinh và hủy
một fermion với spin

trên (đơn) orbital trung tâm tại
i
, khi đó
i i i
n c c
  


.
Mô hình Hubbard mô tả sự cạnh tranh giữa xu hướng đối lập của lưu động

(điều khiển bằng các đại lượng tương tác) và định xứ hóa (điều khiển bằng
lực đẩy tại các nút mạng). Đối với miền năng lượng điền đầy một nửa (một
fermion trên một nguyên tử), nó có thể được làm rõ ở [36], trong giới hạn của
lực đẩy mạnh thì Hubbard Hamiltonian trở thành mô hình Heisenberg phản
sắt từ đẳng hướng với một năng lượng tương tác
2
4J t U
.
Nếu chúng ta cho năng lượng tương tác
U
một giá trị âm thì ta có một
mô hình Hubbard hút. Về mặt vật lí, lực hút địa phương có thể là nguồn gốc

11
trong kết cặp fermion (thông qua hình thành polaron) hoặc các phonon địa
phương (như mô hình dao động của các phức hóa học) [23]. Trong giới hạn
liên kết cặp yếu tố mô tả lý thuyết BCS thông thường, và kết cặp trong không
gian thực thuận lợi hơn để tính toán bằng số, mô hình này rất hiệu quả để làm
sáng tỏ nhiều tính chất ở cả siêu dẫn nhiệt độ thường và siêu dẫn nhiệt độ cao
[23].
Mô hình Hubbard [là công thức đơn giản nhất, phương trình (1.1)] chỉ
có thể giải được chính xác trong không gian một chiều, thông qua vành
Bethe; hàm tương quan, tuy nhiên, không có tác dụng trực tiếp. Ở bài toán
nhiều chiều ta phải dùng đến phương pháp gần đúng, và kĩ thuật tính số,
giống như mô phỏng Monte Carlo lượng tử (QMC) đã được chứng minh là
quan trọng trong việc giải quyết những thông tin về các fermion tương tác
mạnh.
Kể từ lần đầu tiên phương pháp Monte Carlo của hệ cổ điển được phát
minh sớm vào năm 1950 [18, 31, 17], nhiều thuật toán QMC đã được đề xuất.
Các thuật toán này khác nhau và phụ thuộc vào các tính chất mà ta mong

muốn chương trình đưa ra. Ví dụ, chúng có thể được phân loại theo bậc tự do
trong không gian liên tục, hoặc trên một mạng tinh thể, hoặc nó là một trạng
thái cơ bản hoặc một bài toán nhiệt độ hữu hạn; hay nó là biến hay là hàm;
hoặc thậm chí theo cách thực hiện của chúng như nếu một trường ngoài được
đặt vào, hoặc nếu hàm Green được xây dựng bằng phương pháp lũy thừa.
Tuyệt vời để mở rộng các thuật toán một cách có hiệu quả trong ngôn ngữ
như [20, 37], vì vậy ở đây chúng ta tập trung trên các chi tiết thực tế là việc
kết hợp công thức lớn kinh điển với trường phụ trợ để tạo nên định thức
fermion [21]. Chúng ta sẽ phải đặc biệt chú ý đến các khai triển và các cải
tiến đã đạt được trong nhiều năm qua [13, 14, 15, 32, 6]. Chúng ta cũng sẽ có

12
lưu ý chủ yếu của mô hình Hubbard, nhưng sẽ không thảo luận nhiều về kết
quả thu được; thay vì, tài liệu tham khảo sẽ cho người đọc những phân tích
chi tiết và chúng tôi xin lỗi về việc đưa ra nhiều giấy tờ có liên quan, mà nó
được kể đến cho việc cần phải giữ tập trung thảo luận trong thực hiện QMC
đặc biệt này, và không phải mô hình Hubbard (hoặc bất kì mô hình khác).
Để phù hợp với mục đích hướng dẫn của bài viết này, chúng tôi giới
thiệu thành phần cơ bản của mô phỏng Monte Carlo, hình ảnh cho spin “cổ
điển”. Trong cách này, chúng ta có cơ hội để kéo dài sự chú ý của người đọc
thiếu kinh nghiệm để thấy được tầm quan trọng của việc phân tích dữ liệu đầy
đủ, bình thường cả hai hệ cổ điển và lượng tử, trước khi bắt tay vào nghiên
cứu công thức lượng tử. Việc đầu tiên, kể cả gần đúng, là sự xuất hiện của
hàm Green trong nội dung này được thảo luận. Chúng ta mô tả cập nhật các
quá trình, cũng như mở rộng phạm vi của các đại lượng trung bình đã có để
tìm hiểu các tính chất vật lí khác nhau của hệ. Sau đó chúng ta xác định hai
khó khăn chính được giới thiệu theo thuật toán đơn giản được trình bày, và
cho đến nay: vấn đề này vẫn chưa giải quyết được đó là vấn đề dấu trừ, và
những bất ổn tại nhiệt độ thấp với vấn đề này cho hai giải pháp thành công
được thảo luận. Sau đó các kết luận và một số tổng quan được trình bày trong

phần cuối.






13
Chƣơng 2: PHƢƠNG PHÁP MONTE CARLO CHO LÝ THUYẾT
TRƢỜNG LƢỢNG TỬ
2.1 Cơ sở hình thành phƣơng pháp Monte Carlo cho lý thuyết trƣờng
lƣợng tử
Sử dụng một cách tương tự có hiệu quả tích phân đa chiều Gaussian.
Phương trình được kể đến trong định thức QMC có nhiều điểm tương đồng
với tích phân Gaussian đa chiều. Xem lại sự giống nhau này sẽ cung cấp cho
ta một cách nhìn đơn giản cho thiết lập công thức của định thức QMC.
Tổng quát của một tích phân Gaussian một chiều
2
ax
dx e
a






(2.2)
tới nhiều chiều là:
2

12
det
T
n
x Ax
N
Z dx dx dx e
A



  

  

  
(2.3)
Trong đó: vectơ
x

là một vectơ thực
N
chiều, và
A
là một ma trận
thực, đối xứng
N
chiều. Ta sử dụng kí hiệu
Z
cho tích phân và nhấn mạnh

rằng nó đã phân bố hàm cho một tập hợp của biến cổ điển mà hoạt động của
nó được cho bởi dạng bậc 2 từ
T
x Ax


.
Chúng ta biết làm thế nào để tính tích phân này khi tích phân bao gồm
các chiều của
i
x
.
11
12
1
2
T
x A x
i j N i j
ij
x x Z dx dx dx x x e A


  
  
  



  

(2.4)

14
Nhắc lại kí hiệu
ij
xx
nhấn mạnh một giải thích thống kê khả dĩ cho tỉ
lệ của tích phân.
Xa hơn nữa, hệ số của
i
x
trong biểu thức tích phân sinh ra những biểu
thức đơn giống như phương trình (2.5).


1
12
1 1 1 1 1 1
1
4
T
x Ax
i j k l N i j k l
ij kl ik jl il jk
x x x x Z dx dx dx x x x x e
A A A A A A


  


  
     

           
  
           
  
(2.5)
Có sự tương tự như dạng đinh lí Wick, nó nói cho chúng ta biết rằng
dạng rút gọn của tích các toán tử nhiều fermion có thể biểu diễn dưới dạng
tổng các tích của hai toán tử tại một thời điểm với tất cả các hoán vị.
Trong khi có thể là khả năng để tính tích phân này với những đa thức
tuỳ ý như một phần tử tích phân, ở đây ta không thể làm được khi bậc xuất
hiện các đại lượng bậc 2 trong hàm mũ. Chúng ta sẽ xem những tương tự của
những vấn đề khác nhau cho một số trace của toán tử fermion Hamiltonian.
Dạng cơ bản của định thức QMC. Để giải quyết mô hình Hubbard,
chúng tôi muốn tính những biểu thức như
ˆ
1
ˆ
垐
H
H
A Z Tr Ae
Z Tr e









(2.6)

Tr
là trace trên không gian Hilbert
4
N
chiều, trong đó
N
là số vị trí.
Tương tự tích phân Gaussian nhiều chiều, chúng ta có thể thực hiện
trace làm tương tự nếu chúng có dạng bậc 2 của toán tử fermion.
Giả sử:

15
 
11 12
1
1 2 21 22
2
ˆ
hh
c
H c c h h
c














(2.7)
Trong đó:
h
là ma trận
NxN
được xác định bằng
ˆ
det
Hh
Z Tr e I e



  

(2.8)
Chú ý rằng trong khi “
Tr
” ban đầu là trong không gian Hilbert
4

N

chiều của cơ học lượng tử. Thì “det” là một định thức của ma trận
NxN
. “
I
”
ma trận đồng nhất
N
chiều và
h
là ma trận số đầu vào định nghĩa toán tử
ˆ
H
.
Điều đó nhấn mạnh rằng bởi vì chúng ta đang thực hiện Trace theo không
gian Hilbert
4
N
chiều đầy đủ, bao gồm tất cả các trạng thái của số lấp đầy.
Chính phương pháp định thức QMC như được tính toán thực hiện trong chính
tắc lớn. Mật độ hạt được điều khiển bằng sự biến đổi của thế hoá.
Đó là cho phép kiểm tra thông thường (phương trình 2.8) viết cho một
bậc tự do fermion đơn. Với toán tử
ˆ
H e c c


. Có hai trạng thái không gian
Hilbert và

0 0 1 1 1
ec c ec c e
Z e e e
  

  
   
(2.9)
Nói một cách rộng hơn (phương trình cho nhiều hơn một bậc tự do của
fermion) phương trình (2.8) có thể xác định bởi ô cơ sở trong đó
h
là đường
chéo. Phương trình có thể tìm được bằng cách sử dụng tích phân Gaussian.
Có một đặc trưng lớn hơn. Nếu có một tập hợp các Hamiltonian bậc 2
Ll ,,2,1 

 
 
   
   
11 12
1
12
21 21
2
ˆ
h l h l
c
H l c c h l h l
c














(2.10)

16
Thì,
           
垐
1 2 1 2
det
H H H L h h h L
Z Tr e e e I e e e
     
     


  



(2.11)
Ở đây ta thay đổi phần tử trước trong hàm mũ từ

tới


, điều này sẽ
sớm được làm rõ. Điều này cũng đúng cho
     
     
12
1
1
12
H H H L
ij i j i j
h h h L
ij
G c c Z Tr c c e e e
I e e e
  
   
  
  
  

  







(2.12)
Hàm Green Fermion vừa là một phần tử nghịch đảo của ma trận
NxN

mà định thức của nó đưa ra được hàm phân bố.
Công thức ở trên đã mô tả khá tốt cách thực hiện Trace cho dạng bậc 2
của các bậc tự do fermion. Không may là Hubbard Hamiltonian có một đại
lượng tương tác
i i i i i i
Un n Uc c c c

     

là bậc 2 trong các toán tử fermion.
Để xử lí các đại lượng này chúng ta sử dụng khai triển Hubbard –
Stratonovich (rời rạc hoá).
 
11
22
4
1
2
U
U n n
s n n
s
e e e






  

   

  

  


(2.13)
Ở đây,
2
cosh
U
e




và
s
là biến Ising có thể nhận hai giá trị
1S 
.
Điều này có thể xác định bằng việc lần lượt chọn 4 khả năng có thể có của

n

,
n

.
Bây giờ, chúng ta chia
L


và sử dụng phép phân tích Trotter.
Điều này cho phép chúng ta tính ra các thành phần khác nhau của toán tử
Hamiltonian. Ta viết,
垐
H K V
, ở đó toán tử
ˆ
K
là toán tử chứa tất cả phần tử
đơn hạt và toán tử
ˆ
V
là phần tử tương tác Hubbard giữa các vị trí. Khi đó,

17
垐 垐 垐
L
H H K V K V
Z Tr e Tr e Tr e e e e
     

     
   
  
   
(2.14)
Phương trình cuối cùng này chỉ là gần đúng khi toán tử
ˆ
K
và
ˆ
V
không
giao hoán. Tuy nhiên, gần đúng
L
tăng (


giảm). Như đã đề cập trước đó,
sai số nhỏ và khá nhỏ nếu
 
2
1 10tU


.

ˆ
K
e



là bậc 2 trong toán tử fermion. Mỗi một
L
như vậy sẽ tốt hơn khi
ˆ
V
e


ở trên. Chúng ta đã đưa vào
N
trường Hubbard – Stratonovich, mà ở tại
mỗi điểm không gian riêng chúng ta có một tương tác cặp. Trường Hubbard –
Stratonovich
 
,s i l
có 2 chỉ số, không gian
i
và thời gian tưởng tượng
l
. Bây
giờ,
 
ˆ
Vl
e


là bậc 2 trong các toán tử fermion. Chúng ta đặt một đối số
l

trên
toán tử
ˆ
V
và nhấn mạnh rằng trong khi toán tử
ˆ
K
tất cả là đồng nhất, toán tử
 
ˆ
Vl
chứa trường Hubbard – Stratonovich khác nhau trên thời điểm ảo khác
nhau.
Áp dụng phương trình (2.10 – 2.11) cho phép tính toán phân bố của
Trace
 
det det
s il
Z M M



(2.15)
với,
     
12v v v L
k k k
M I e e e e e e
  


  
  

(2.16)
Chúng ta nhận được một định thức cho cả 2 spin. Hàm phân bố lượng
tử bây giờ đã được điều biến như một bài toán Monte Carlo cổ điển. Chúng ta
cần tính tổng trên cấu hình có thể thực, cổ điển, biến
 
lis ,
với trọng số
“Boltzmann” là tích của hai định thức fermion. Chú ý rằng như mã QMC trên
thế giới, biến cổ điển được tính bằng tổng một chỉ số bổ sung
l
biểu thị cho
thời gian ảo.

18
Phương trình ma trận động năng và ma trận năng lượng tương tác có
thể được hiểu như việc đến từ việc đồng nhất toán tử tổng quát của phương
trình (2.10 – 2.11) tương tác
ˆ
V
có dạng bậc 2 bằng việc sử dụng phương trình
(2.13).
Thuật toán như đã nói, thì trong thời gian tính CPU như tỉ lệ với
4
NL
.
Lý do là việc tính lại định thức của
M


mất
3
N
hoạt động, và chúng ta phải
thực hiện
NL
lần bước tính qua tất cả các biến của trường Hubbard –
Stratonovich (nếu như là được thực hiện bình thường, chúng ta vừa thay đổi
tại một thời điểm). Thời gian có thể giảm tới
3
NL
(như sau đây nếu ta sẽ bỏ
các chỉ số spin). Ý tưởng đó là viết
M M dM


và tỉ lệ định thức là:
 
 
 
 
11
det det det det detM M M M M M dM I G dM


    
(2.17)
Với định nghĩa
1

GM


. Nó chỉ ra rằng
dM
là rất đơn giản bởi vì khi
một trường Hubbard – Stratonovich lật trạng thái, một đầu vào chéo đơn
trong
 
vl
sẽ thay đổi. Bởi vì
dM
là rất nhỏ, nên việc tính của
 
det I G dM

nếu thời gian cpu tính toán không phụ thuộc
N
và
L
! Trong thực tế, suy nghĩ
một chút sẽ thuận lợi rằng phương trình update trường Hubbard –
Stratonovich xuất hiện từ phương trình (2.19) và dạng của
dM
.
Tuy nhiên, chúng ta cần biết
1
GM



cho phép tính này, và một khi
trường Hubbard – Stratonovich biến đổi được thực hiện, thì cần cập nhật
G
.
Việc tính toán
G
này không mất
3
N
tương tác, như dự đoán của một nghịch
đảo ma trận, nhưng có thể thực hiện chỉ trong
2
N
thao tác. Một lần nữa kết
quả đơn giản là sự biến đổi của
dM
. Việc này liên quan giữa
 
1
new
G M dM




và
1
old
GM




là một ứng dụng của công thức “Sherman – Morrison” đã cho, ví
dụ trong xử lí số liệu số Press. Nếu bạn thực hiện với công thức Sherman –

19
Morrison, áp dụng cho vấn đề của chúng ta, kết thúc với phương trình cập
nhật hàm Green.
Một nhận xét cuối cùng liên quan đến sự cần thiết (Wrapping) đóng gói
C cho phương trình đóng gói hàm Green. Việc sử dụng phương trình (2.19)
để nhận được phương trình update trường Hubbard – Stratonovich và công
thức Sherman – Morrison để nhận được phương trình cập nhật hàm Green
yêu cầu rằng thời điểm ảo cho biến Hubbard – Stratonovich được cập nhật ở
cuối của tích trong phương trình (2.16). Quá trình đóng gói C chuyển ma trận
tương tác gần đúng tới cuối của tích thông qua một giao hoán tuần hoàn. Đó
là,
         
11
12v L v v v L v L
k k k k k
e e I e e e e e e e e
    

    
    
     

     
(2.18)
     

1
11v L v v L
k k k
I e e e e e e
  

   
  



(2.19)
2.2 Vấn đề về dấu của hàm sóng
Như đã đề cập ở trước, tích của định thức fermionic được xác định là
không dương
 

, ngoại trừ trong một vài trường hợp. Ví dụ được biết đến
nhiều nhất là mô hình Hubbard đẩy điền đầy một nửa. Để xem tại sao có điều
này, chúng ta sử dụng một khai triển công thức lỗ - hạt.
   
1 , 1
ii
i i i i i i
c d c c d c
     
  
     
(2.20)
Thật vậy

11
i i i i i i
n c c d d n
     

    
(2.21)
Và xem xét định thức fermion tại hệ,
2U


. Sau đó ta có

20

 
 
 
   
 
det
det
i
i
i
ii
i
ii
i
il

s l n
K
nl
s l n s l
K
nl
sl
r e e
r e e e
e
















   

  



(2.22)
Trong đó, các nét nghiêng biểu thị các giá trị biến lỗ. Do đó,
det .det 0

  
, cho
1, 0nU
(2.23)

Hình 2.1: Dấu trung bình của tích định thức fermionic như một hàm của miền năng
lượng điền đầy, của mô hình Hubbard với
4U 
:
 
a

44
mạng vuông, cho nghịch đảo
nhiệt độ
6


(vòng tròn),
8
(hình vuông), và
10
(tam giác); được chuyển thể từ Refs
[37] và [32]. (b)
66

(vòng tròn) và
88
(hình vuông) mạng vuông, cố định được nghịch
đảo nhiệt độ,
6


; được chuyển thể từ Ref [32]. (c)
444
(vòng tròn) và
666

(hình vuông) mạng lập phương đơn giản, cố định nghịch đảo nhiệt độ,
7


. Đường nối
các điểm được nhìn bằng mắt cho tất cả các trường hợp.
Cho mô hình Hubbard hấp dẫn, phụ thuộc

trong khai triển Hamiltonian
Stratonovich rời rạc dẫn đến
 
 
 
 
ss

  
, nhưng tích của định thức là

dương
 

với tất cả các hàm.

21
Tương tự đối số được áp dụng để biểu thị định thức fermionic là luôn luôn
dương cho mô hình Holstein của tương tác electron – phonon [7, 22].
Trong một số trường hợp khác, định thức fermionic trở thành âm của một
vài cấu hình. Để phá vỡ vấn đề này, nhớ lại rằng hàm riêng có thể được viết
bằng một tổng của các cấu hình,
 
cs
, của „trọng số Boltzmann‟,
   
 
 
 
det detp c s s

  
. Nếu chúng ta viết
     
p c s c p c
, trong đó
 
1sc
để chú ý dấu của
 
pc

, giá trị trung bình của một đại lượng
A
có thể
được thay thế bằng giá trị trung bình của một trọng số
 
pc
như sau:
   
 
     
   
       
     
     
   
c
c
p
c
c
cc
cc
p
c
p
c
p c s c A c
p c A c
A
pc

p c s c
p c s c A c p c
p c s c p c
sA
p c s c A c
s
p c s c
























(2.24)
Trong đó
   
p c p c


. Do đó, nếu giá trị tuyệt đối của
 
pc
được sử dụng
như trọng số Boltzmann, ta phải phá dấu tuyệt đối để chia các giá trị trung
bình bằng dấu trung bình của tích các định thức fermionic,
p
sign s


. Khi
các đại lượng này nhỏ, thời gian biến đổi (so sánh với các trường hợp khác,
1sign
) là cần thiết cho các biến đổi mạnh trong
p
A
. Thực sự, chúng ta có
thể ước tính được thời gian biến đổi cần thiết để kéo một thành phần về bậc
của
2
sign

để thu được đại lượng như nhau của cùng dữ liệu như cho
1sign

.
Trong hình 2.1a, chúng ta thể hiện điều kiện của
sign
như một hàm của
miền năng lượng điền đầy, cho mô hình Hubbard trên một mạng tinh thể hình

22
vuông
44
với
4U 
, và cho ba nhiệt độ khác nhau. Ta thấy rằng, từ
1n 
,
sign
chỉ các điều kiện tại điền đầy nhất định, tương ứng để đóng cấu hình;
như vậy trạng thái cơ bản của hệ là không suy biến [32]. Đối với một số
trường hợp, các hàm đặc biệt là 2 và 10 fermion trên
44
vị trí, tương ứng,
dẫn đến
0.125n 
và
0.625
. Tại bất kì hàm không đặc biệt,
sign
bị suy giảm
dần giống như nhiệt độ giảm, thể hiện mô phỏng trong một số trường hợp.
Hình 2.1b làm rõ rằng đối với một nhiệt độ cho trước, nhưng trong
sign

được làm sâu hơn giống như kích thước hệ tăng lên. Ta nên chú ý, tuy nhiên,
vị trí chung nhỏ nhất không phụ thuộc vào khoảng kích thước hệ, mà, các
hàm cho phép ta kiểm tra an toàn hiệu ứng kích thước trong các tính chất.
Thực sự mô hình không gian ba chiều ít nhiều được làm rõ trong hình 2.1c:
cho
0.3 1n
,
sign
không bao giờ lớn hơn
0.5
ở các hàm như nhau cho cả
hai kích thước hệ.
Đó cũng là bài học để thảo luận về sự phụ thuộc của dấu
sign
vào nhiệt
độ, giữ cố định cả hai kích thước hệ và miền năng lượng của hàm. Trong hình
2.2 chúng ta thể hiện
ln sign
với

của mạng
44
tại
0.625n 
. Thực sự, các
dữ liệu đã thu được trong Ref [7] bởi thuật toán của một trạng thái cơ bản,
nhưng chúng theo xu hướng giống nhau để thu được từ thuật toán định thức
để thảo luận ở đây.
U

tăng, dấu bị suy giảm ngay cả đối với các hàm đặc biệt.
Cho các hàm khác dấu trung bình cũng giảm với
U
, và có những khẳng định
tổng quát [7] là
s
N
sign e


(2.25)
Trong đó:

phụ thuộc vào
n
và
U
. Trong khi cho
n
,

phụ thuộc vào
U

là đơn điệu, cho
U
,

nhỏ hơn ở các hàm đặc biệt so với các hàm khác.

23
Câu hỏi căn bản là làm thế nào để ngăn chặn, hoặc giảm đến mức nhỏ nhất
vấn đề về dấu của hàm sóng. Trong khi chúng ta có thể bị thu hút bởi đặc tính
của trọng số âm của các cấu hình để lựa chọn khai triển Hubbard –
Stratonovich đặc biệt (HST) thường được dùng, nó cho lập luận [8] rằng ngay
cả các dạng tổng quát nhất của khai triển Hubbard – Stratonovich không thể
loại bỏ được vấn đề về dấu của hàm sóng. Do đó có vẻ như vấn đề này có tính
chất cơ bản.

Hình 2.2: Đối số của dấu trung bình của tích các định thức fermionic như một hàm
nghịch đảo của nhiệt độ, cho mạng tinh thể vuông
44
của mô hình Hubbard, với
0.625n 
và cho giá trị lực đẩy Coulomb khác nhau:
4U 
(vòng tròn) và
8
(hình
vuông). Đường nối là đường nối thông qua các điểm được chuyển thể từ Ref [7].
Để tìm hiểu nguồn gốc của vấn đề, chúng ta hãy thay đổi kí hiệu nhỏ và
viết hàm phân bố là
     
11

MM
S
r B S B S B S
  



   

(2.26)
Trong đó: một cấu hình Hamiltonian Stratonovich tổng quát của lát cắt
thời gian
l
bây giờ được kí hiệu bằng
     
 
12
, ,
s
lN
S s l s l s l
;
 
12
, ,
M
S S S S

xác định hoàn chỉnh một đường trong không gian của trường Hamiltonian
Stratonovich. Thay vì áp dụng khai triển Hubbard – Stratonovich cho tất cả

24
lát cắt thời gian tại một thời điểm, ta cần áp dụng nó cho mỗi lát cắt thời gian
kế tiếp và thu thập các kết quả từ một cấu hình Hamiltonian – Stratonovich
cho lát cắt thời gian
l

đầu tiên trong phần đường dẫn [34].
 
 
     
1 2 1 1
, , ,
l l l l
P S S S r BB B B S B S B S
  



  

(2.27)
Trong đó, có
Ml
thành phần của
Be

 

không được biến đổi trong
khai triển Hubbard – Stratonovich. Rõ ràng,
0
P 
tương ứng với trường HS
đã được đưa vào; do đó nó là dương. Khi trường HS được đưa vào trong lát
cắt thời gian đầu tiên, một “shower” của
2

s
N
giá trị khác nhau của
1
P
xuất
hiện từ
0
P
; xem hình 2.3. Mỗi một giá trị tiếp theo được đưa vào của trường
HS dẫn đến showers của
2
s
N
giá trị của
l
P
xuất hiện từ
1l
P

. Trong hình 2.3,
chúng chỉ chạy theo hai đường dẫn đại diện: đường trên luôn luôn là dương
 

trong khi đường dưới cắt trục
l
tại
0
l

. Trong các trường hợp sau này, các
shower tiếp theo dẫn đến cả hai giá trị
 

và
 

của phần đường dẫn. Nội
dung được thảo luận trong phần mô tả cập nhật các quá trình, các mô phỏng
được thực hiện sau khi thực hiện khai triển Hubbard Stratonovich trên tất cả
các vị trí của tất cả các lát cắt thời gian. Trong trường hợp này, số lượng lấy
mẫu là giao của tất cả các phần dương
 

với đường dọc tại
lM
; xem hình
2.3. Nếu ta tính tổng trên tất cả cấu hình Hamiltonian – Stratonovich, chúng
ta có thể tìm được số
M
P
dương
 

sẽ thừa ra số
M
P
âm bằng một số ở tại
nhiệt độ thấp, theo cấp số nhân nhỏ. Trong thực tế chỉ có một số giới hạn của
cấu hình Hamiltonian Stratonovich được lấy mẫu, điều này không ngạc nhiên

rằng ta tìm thấy các trường mà cấu hình đưa đến trọng số âm nhiều hơn
những trường cấu hình đưa đến trọng số dương. Quan điểm này giúp chúng ta
hiểu tại sao chỉ đơn giản là loại bỏ những cấu hình trọng số âm là không

25
đúng: những đóng góp tổng thể của cấu hình trọng số dương sẽ được đánh giá
trong tổng các giá trị trung bình.

Hình 2.3: Sơ đồ điều kiện của phần đường dẫn (xem hình) như một hàm của chiều dài.
Chỉ hai đường đại diện từ „shower‟ tại
0l 
được thể hiện: một đường nét liền đưa đến
một phần tử
 

khi nó đạt tại
lM
, trong khi đường nét đứt đạt
0P 
tại
0
l
.
Phân tích phần đường dẫn này của một đề nghị gần đây [34] để giải quyết
vấn đề về dấu của hàm sóng. Nó đưa ra thực tế rằng khi phần đường dẫn
chạm đến trục
0P 
, đưa đến showers, khi tổng trên tất cả các trường HS tiếp
theo, cho một biến; xem hình 2.3. Nói cách khác, thay thế tất cả
B

trong
phương trình bởi
 
00
11

ll
s B S





không thay đổi thực tế rằng
0
0
l
P 
. Do
đó, nếu ta có thể theo „thời gian‟ nét vẽ của đường dẫn, và loại bỏ những biến
tại đó
lM
, chỉ cấu hình trọng số dương kết thúc tại
lM
. Tuy nhiên, mặc
dù về nguyên tắc rất đơn giản, nhưng chương trình này thực sự khá khó để
thực hiện do cần phải xử lí hệ số
B
mà không sử dụng một khai triển HS.
Zhang [34] đã đề nghị sử dụng hệ số

B
thử nghiệm và kết quả dường như
được khuyến khích sơ bộ. Rõ ràng, điều này là cần thiết để đánh giá đầy đủ
hiệu quả và mạnh mẽ của phương pháp.
Hơn nữa, những đề xuất gần đây thú vị để giải quyết vấn đề về dấu của
hàm sóng cần được xem xét triệt để và kĩ lưỡng. Trong phương pháp tiếp cận
của nhóm Meron [30], các trường HS được đặt vào trong tất cả các vị trí như