Phương trình sai phân và một số mô hình kinh tế

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Nguyễn Văn
Hùng, người thầy đã hướng dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệm
quý báu trong học tập và nghiên cứu khoa học. Thầy luôn động viên và
khích lệ để tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua những khó khăn
trong chuyên môn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu
sắc nhất đối với thầy.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường
và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ,
tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập.
Tác giả xin chân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, các thầy cô giáo,
bạn bè đồng nghiệp Trường Dự bị Đại học Dân tộc Trung ương Việt Trì,
Phú Thọ đã quan tâm, động viên và tạo điều kiện để tác giả hoàn thành
khóa học Thạc sĩ và hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, ngày 4 tháng 10 năm 2012
Tác giả
Lương Thị Hồng Khuyên
i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi
dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học
của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, ngày 4 tháng 10 năm 2012
Tác giả
Lương Thị Hồng Khuyên
ii
Mục lục
Mở đầu 1

1 Một số kiến thức chuẩn bị 4
1.1. Không gian véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Ma trận và định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3. Ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4. Sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Phương trình sai phân 14
2.1. Phương trình sai phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.2. Nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.3. Tuyến tính hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.4. Dạng chính tắc của phương trình sai phân tuyến
tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 . . . . . . . . . . 26
2.2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.2. Nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 . . . . . . . . . . 30
iii
2.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.2. Nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4. Phương trình sai phân với hệ số biến thiên . . . . . . . . 37
2.4.1. Phương trình sai phân tuyến tính cấp một với hệ
số biến thiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4.2. Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với hệ
số biến thiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 Một số ứng dụng của phương trình sai phân trong lĩnh
vực kinh tế 40
3.1. Mô hình Cobweb cân bằng cung cầu . . . . . . . . . . . 41
3.1.1. Phát biểu mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.1.2. Phân tích mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2. Mô hình thị trường có hàng tồn kho . . . . . . . . . . . . 56

3.2.1. Phát biểu mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2.2. Phân tích cân bằng động của mô hình . . . . . . 57
3.3. Mô hình thu nhập quốc dân với nhân tử tăng tốc Samuelson 64
3.3.1. Phát biểu mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3.2. Khảo sát tính ổn định động của mô hình . . . . . 65
Kết luận 77
Tài liệu tham khảo 77
iv
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Phương trình sai phân thường xuất hiện khi người ta mô tả những
hiện tượng tiến hóa quan sát được trong tự nhiên.
Chẳng hạn xét quá trình phát triển dân số của một quốc gia hay một
vùng nào đó. Nếu gọi x
n+1
là số dân tại thời điểm năm n + 1 thì x
n+1
là một hàm của số dân x
n
tại thời điểm năm trước đó. Mối liên hệ này
được mô tả bởi hệ thức: x
n+1
= f (x
n
, n); n ∈ N
n
0
Phương trình sai phân theo một biến n và một hàm phải tìm x
n
là

phương trình hàm có dạng:
F (x
n+1
, x
n
, , x
n−k
, n) = 0, n ∈ N
n
0
(0.1)
Ở đó k là số nguyên không âm, F là một hàm theo các biến x
n+1
, x
n
, ,
x
n−k
, n và n
0
là một số nguyên dương đã cho. Trong trường hợp k hữu
hạn, phương trình (0.1) được gọi là phương trình sai phân cấp k.
Bằng một số phương pháp biến đổi thì phương trình sai phân cấp k + 1
có thể đưa về phương trình sai phân cấp 1 dạng:
F (x
n+1
, x
n
, n) = 0 (0.2)
Ở đây x

n
, (n ∈ N
n
0
) là những véc tơ và hàm véc tơ. Vì vậy khi xét các
phương trình sai phân có cấp hữu hạn trong không gian R
n
ta chỉ cần
đề cập đến phương trình sai phân cấp 1 dạng (0.2).
Lý thuyết phương trình sai phân tìm được nhiều ứng dụng trong
các lĩnh vực toán học cũng như các nghành khoa học khác, chẳng hạn
trong giải tích số, lý thuyết điều khiển, lý thuyết trò chơi, giải tích tổ
hợp, tâm lý học, và đặc biệt là nghành kinh tế học.
Những vấn đề kinh tế trong các hoạt động kinh tế thường rất đa dạng
2
và phức tạp. Toán học là một công cụ hết sức hiệu quả giúp cho việc
phát biểu, phân tích và giải quyết các vấn đề kinh tế một cách chặt chẽ
và hợp lý, mang lại các lợi ích thiết thực.
Trong những thập kỷ gần đây, nhiều giải Nobel kinh tế được trao cho
các công trình có vận dụng mạnh mẽ các lý thuyết và phương pháp toán
học như tối ưu hóa, lý thuyết trò chơi, lý thuyết xác suất và thống kê,
lý thuyết về phương trình hệ phương trình vi phân và sai phân.
Lý thuyết sai phân được áp dụng nhiều trong việc phân tích cân
bằng động của một số mô hình kinh tế như:
• Mô hình Cobweb cân bằng cung cầu
• Mô hình thị trường có hàng tồn kho
• Mô hình thu nhập quốc dân với nhân tử tăng tốc Samuelson
Việc biết cách mô tả các vấn đề kinh tế dưới dạng mô hình toán học
thích hợp, vận dụng phương pháp sai phân để giải quyết, phân tích và
giải thích cũng như kiểm nghiệm các kết quả đạt được một cách logic

luôn là một yêu cầu cấp thiết đối với các nhà nghiên cứu toán, kinh tế.
Như vậy, việc nghiên cứu phương trình sai phân và một số ứng
dụng của nó trong kinh tế là một vấn đề thời sự của toán học được
nhiều nhà khoa học quan tâm
Dưới sự hướng dẫn tận tình của Ts. Nguyễn Văn Hùng và với
mong muốn được tìm hiểu một cách rõ ràng, sâu rộng về phương trình sai
phân để thấy được ứng dụng của nó trong lĩnh vực kinh tế tôi chọn đề tài:
"Phương trình sai phân và một số mô hình kinh tế"
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu phương trình sai phân và một số ứng dụng của nó
trong lĩnh vực kinh tế
3
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Hệ thống các kiến thức về phương trình sai phân và sự ổn định
nghiệm của các phương trình đó.
• Tìm hiểu và nghiên cứu một số mô hình kinh tế có sử dụng lý thuyết
sai phân để phân tích giải quyết.
• Vận dụng kiến thức sai phân giải một số bài toán kinh tế và nêu
lên được ý nghĩa của chúng.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đề tài tập trung nghiên cứu chủ yếu vào phương trình sai phân
tuyến tính thuần nhất, không thuần nhất cấp 1, cấp 2. Sự ổn định nghiệm
của phương trình sai phân. Một số ứng dụng của phương trình sai phân
trong lĩnh vực kinh tế.
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các kết quả của phương trình sai phân
6. Dự kiến đóng góp mới
Nghiên cứu một cách có hệ thống về phương trình sai phân
Ứng dụng lý thuyết phương trình sai phân trong lĩnh vực kinh tế.
Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
1.1. Không gian véc tơ
Khái niệm không gian véc tơ
Định nghĩa 1.1.1. Không gian véc tơ trên trường K là tập V khác ∅
với hai phép toán:
V × V −→ V K ×V −→ V
(u, v) → u + v (α, v) → αv
thỏa mãn các tiên đề sau: với mọi u, v, w ∈ V, α, β ∈ K
1. (u+v)+w = u +(v+w)
2. ∃0 ∈ V sao cho 0 + u = u + 0 = u
3. Với mỗi u ∈ V có −u ∈ V sao cho: u + (−u) = (−u) + u = 0
4. u + v = v + u
5. (α + β)u = αu + βu
6. α(u + v) = αu + αv
7. (αβ)u = α(βu)
5
8. 1u = u1 = u. Trong đó 1 là phần tử đơn vị của K
Khi K = R thì V được gọi là không gian véc tơ thực.
Khi K = C thì V được gọi là không gian véc tơ phức.
Các phần tử của V được gọi là các véc tơ, các phần tử của K được gọi
là các phần tử vô hướng.
Không gian véc tơ con
Định nghĩa 1.1.2. Giả sử V là một không gian véc tơ và W là tập con
của V. Tập W là ổn định (hay đóng kín) đối với hai phép toán trên Vnếu:
u + v ∈ V ∀u, v ∈ W (1.1)
αu ∈ W ∀α ∈ K, u ∈ W (1.2)
Tập W là một không gian con của V nếu W ổn định với hai phép toán
trên V và cùng với hai phép toán của V hạn chế trên nó, W cũng là một
không gian véc tơ trên trường K
Không gian sinh bởi hệ S: Không gian W bé nhất chứa hệ véc

tơ S được gọi là không gian sinh bởi hệ S. Ký hiệu W = spanS và S
được gọi là hệ sinh của W.
W = spanS bằng tổ hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của S.
Nếu V = spanS, S = {v
1
, v
2
, ··· , v
n
} hữu hạn thì V được gọi là không
gian hữu hạn sinh.
Lúc đó, với ∀u ∈ V : u = x
1
v
1
+x
2
v
2
+···+x
n
v
n
, x
1
, x
2
, ··· , x
n
∈ K.

Tổng của một họ không gian véc tơ con: Giả sử W
1
, W
2
, ··· , W
n
là n không gian véc tơ con của V. Ta ký hiệu W
1
+W
2
+···+W
n
là tổng
của các không gian con W
1
, W
2
, ··· , W
n
và được định nghĩa như sau:
u ∈ W
1
+ W
2
+ ···+ W
n
khi và chỉ khi u = u
1
+ u
2

+ ···+ u
n
, trong đó
u
i
∈ W
i
, i = 1, 2, ··· , n
Khi mỗi u ∈ W
1
+ W
2
+ ··· + W
n
cách biểu diễn trên là duy nhất thì
6
tổng các không gian con này được gọi là tổng trực tiếp. Lúc đó ta ký hiệu:
W = W
1
⊕ W
2
⊕ ··· ⊕ W
n
Độc lập tuyến tính
Định nghĩa 1.1.3. a) Cho K−không gian véc tơ V. Một tổ hợp tuyến
tính của các véc tơ v
1
, v
2
, ··· , v

n
∈ V là một biểu thức dạng
n

i=1
α
i
v
i
= α
1
v
1
+ ··· + α
n
v
n
trong đó:α
1
, ··· , α
n
∈ K.
b) Với u ∈ V, nếu u = α
1
v
1
+···+ α
n
v
n

thì ta nói véc tơ u biểu thị tuyến
tính qua hệ vec tơ (v
1
, ··· , v
n
) và đẳng thức u = α
1
v
1
+ ··· + α
n
v
n
được
gọi là một biểu thị tuyến tính của u qua các véc tơ (v
1
, ··· , v
n
).
Định nghĩa 1.1.4. Trong không gian véc tơ V
a) Hệ n véc tơ S = {v
1
, v
2
, ··· , v
n
} của V được gọi là độc lập tuyến tính
nếu: α
1
v

1
+ α
2
v
2
+ ··· + α
n
v
n
= 0, α
1
, α
2
, ··· , α
n
∈ K thì α
1
= α
2
=
··· = α
n
= 0
b) Hệ n véc tơ S = {v
1
, v
2
, ··· , v
n
} của V được gọi là phụ thuộc tuyến

tính nếu nó không độc lập tuyến tính.
Hệ con {v
1
, v
2
, ··· , v
n
} của hệ S được gọi là độc lập tuyến tính tối
đại nếu nó là hệ độc lập tuyến tính và nếu thêm bât kỳ véc tơ nào vào
hệ thì ta có hệ phụ thuộc tuyến tính.
Mọi hệ véc tơ S đều có hệ con độc lập tuyến tính tối đại, số véc
tơ của các hệ con độc lập tuyến tính tối đại của S đều bằng nhau và
gọi là hạng của S, ký hiệu rankS. Mỗi hệ sinh độc lập tuyến tính của
V được gọi là một cơ sở của V. Mọi không gian hữu hạn sinh V đều tồn
tại cơ sở. Số phần tử của mọi cơ sở củaV đều bằng nhau và được gọi là
số chiều của V, ký hiệu dimV.
7
1.2. Ma trận và định thức
Ma trận
Định nghĩa 1.2.1. Cho K là một trường tùy ý. Bảng gồm m hàng n cột
A =







a
11

a
12
··· a
1n
a
21
a
22
··· a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
a
m2
··· a
mn








được gọi là ma trận cấp m × n, a
ij
là phần tử ở hàng i cột j.
Ma trận A được viết tắt dưới dạng [a
ij
]
m×n
.
Khi m = n ta gọi là ma trận vuông cấp n
Ma trận không: 0 = [0]
m×n
(các phần tử đều bằng không).
Ma trận đơn vị cấp n: Ma trận I
n
vuông cấp n có các phần tử trên đường
chéo chính bằng 1, các phần tử còn lại bằng 0. Với mọi ma trân A cấp
m × n ta có I
m
A = A = AI
n
Ma trận chuyển vị: Ma trận chuyển vị của ma trận A = [a
ij
]
m×n
là ma
trận A

= [c

ij
]
n×m
, trong đó c
ij
= a
ji
, i = 1, m, j = 1, n
Hạng của ma trận: Ta gọi hạng của ma trận A, ký hiệu là rank(A), là
hạng của các véc tơ cột của A.
Hoán vị và phép thế
Định nghĩa 1.2.2. Mỗi song ánh σ : {1, 2, ··· , n} −→ {1, 2, ··· , n}
được gọi là một phép thế bậc n, ảnh của một phép thế gọi là một hoán vị.
Nếu có cặp i < j mà σ(i) > σ(j) thì ta nói có một nghịch thế
của σ.
Giả sử k là số nghịch thế của σ, ta định nghĩa và ký hiệu dấu của phép
thế σ:
signσ = (−1)
k
8
Tập các phép thế bậc n ký hiệu S
n
. Tập S
n
có đúng n! phần tử.
Định thức của ma trận vuông
Định nghĩa 1.2.3. Định thức của ma trận vuông A = [a
ij
]
n

được ký
hiệu detA hay |A| và được định nghĩa bởi biểu thức:
detA =

σ∈S
n
signσa
1σ(1)
···a
nσ(n)
Ma trận nghịch đảo
Định nghĩa 1.2.4. Ma trận A vuông gọi là khả nghịch nếu tồn tại ma
trận vuông cùng cấp B sao cho AB = BA = I. Vì phép nhân ma trận
có tính kết hợp nên nếu tồn tại B thì tồn tại duy nhất và ta gọi B là ma
trận nghịch đảo của A, ký hiệu A
−1
.
Định lý 1.2.1. A khả nghịch khi và chỉ khi detA = 0 và A
−1
=
1
detA
B
t
,
với B = [A
ij
]
n
, trong đó A

ij
là phần bù đại số của phần tử a
ij
của ma
trận A, được gọi là ma trận phụ hợp của A.
1.3. Ánh xạ tuyến tính
Ánh xạ tuyến tính
Định nghĩa 1.3.1. Cho V, W là hai không gian véc tơ trên trường K.
Ánh xạ f từ không gian véc tơ V vào không gian véc tơ W thỏa mãn:
• Với mọi u, v ∈ V : f(u + v) = f(u) + f(v)
• Với mọi α ∈ K, f(αu) = αf(u)
được gọi là ánh xạ tuyến tính.
Khi V = W thì f được gọi là tự đồng cấu hay toán tử tuyến tính.
Tập các ánh xạ tuyến tính từ V vào W được ký hệu là Hom(V, W, +, ·)
9
hay L(V, W). Ta xác định hai phép toán (+, ·) trên tập các ánh xạ tuyến
tính từ V vào W. Với hai phép toán này thì (Hom(V, W), +, ·) có cấu
trúc không gian véc tơ và dimHom(V, W) = dimV ·dimW
Hạt nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính: Với ánh xạ tuyến
tính f : V −→ W ta ký hiệu và định nghĩa như sau:
Kerf = f
−1
(0) là hạt nhân của V
Imf = f(V) là ảnh của V
Chiều của Imf được gọi là hạng của ánh xạ tuyến tính f, ký hiệu rankf.
Ta có:
dimV = rankf + dimKerf
Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính
Cho ánh xạ tuyến tính f : V −→ W.
Giả sử B = {e

1
, e
2
, ··· , e
n
} là một cơ sở của V, B

= {w
1
, w
2
, ··· , w
n
} là
một cơ sở của W. Ma trận A = [a
ij
]
m×n
của hệ véc tơ {f(e
1
), f(e
2
), ··· , f(e
n
)}
trong cơ sở B được gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f ứng với hai
cơ sở B, B

. Nếu (x
1

, x
2
, ··· , x
n
) là tọa độ của v ∈ V trong cơ sở B,
(y
1
, y
2
, ··· , y
n
) là tọa độ của f(v) ∈ W trong cơ sở B

thì:




y
1
.
.
.
y
n




= [a

ij
]
m×n




x
1
.
.
.
x
n




hay












y
1
= a
11
x
1
+ ··· + a
1n
x
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y
m
= a
m1
x
1
+ ··· + a
mn
x
n
được gọi là biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính f
Tương ứng:
Hom(V, W) −→ M
m×n
F → A
là một đẳng cấu tuyến tính và r(F ) = r(A).
10
1.4. Sai phân
Khái niệm sai phân

Định nghĩa 1.4.1. Giả sử f : R −→ R là một hàm số cho trước và h
là một hằng số khác 0. ta gọi

0
f(x) = f (x) là sai phân cấp 0 của hàm số y = f(x).

1
f(x) = f (x + h) − f (x) là sai phân cấp 1 của hàm số y = f(x).

2
f(x) = (
1
f(x)) = f (x+h)−f(x) = f (x+2h)−2f(x+h)+f (x)
là sai phân cấp hai của hàm số y = f(x).
Tổng quát: 
n
f(x) = (
n−1
f(x)), (∀n ∈ N
∗
) là sai phân cấp n của
hàm số y = f(x)
Một số tính chất
Tính chất 1: Sai phân các cấp đều có thể biểu diễn qua các giá
trị của hàm số.
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh sai phân cấp k của hàm x
n
là:

k

x
n
= (
k−1
x
n
) = 
k−1
x
n+1
− 
k−1
x
n
=
k

i=0
(−1)
i
C
i
k
x
n+k−i
. (1.3)
Thật vậy, với k = 1 ta có x
n
= x
n+1

− x
n
= C
0
1
x
n+1
− C
1
1
x
n
.
Giả sử (1.3) đúng với k, nghĩa là:

k
x
n
=
k

i=0
(−1)
i
C
i
k
x
n+k−i
ta chứng minh (1.3) đúng với k + 1, nghĩa là


k+1
x
n
= 
k
x
n+1
− 
k
x
n
=
k

i=0
(−1)
i
C
i
k
x
n+1+k−i
−
k

i=0
(−1)
i
C

i
k
x
n+k−i
11
Trong tổng thứ hai ta đổi chỉ số i = i

− 1, sau đó thay i

= i, ta được
k

i=0
(−1)
i
C
i
k
x
n+k−i
=
k+1

i

=1
(−1)
i

−1

C
i

−1
k
x
n+k+1−i

= −
k+1

i=1
(−1)
i
C
i−1
k
x
n+k+1−i
Bởi vậy,

k+1
x
n
=
k

i=0
(−1)
i

C
i
k
x
n+k+1−i
+
k+1

i=1
(−1)
i
C
i−1
k
x
n+k+1−i
=
k

i=1
(−1)
i
C
i
k
x
n+k+1−i
+ x
n+k+1
+

k

i=1
(−1)
i
C
i−1
k
x
n+k+1−i
+ (−1)
k+1
x
n
=
k

i=1
(−1)
i
(C
i
k
+ C
i−1
k
)x
n+k+1−i
+ x
n+k+1

+ (−1)
k+1
x
n
=
k

i=1
(−1)
i
C
i
k+1
x
n+k+1−i
+ x
n+k+1
+ (−1)
k+1
x
n
=
k

i=1
(−1)
i
C
i
k+1

x
n+k+1−i
Theo quy luật quy nạp, công thức (1.3) đúng với mọi giá trị n nguyên
dương.
Tính chất 2: Sai phân mọi cấp của hàm số là một toán tử tuyến
tính.
Chứng minh. Ta phải chứng minh

k
(ax
n
+ by
n
) = a 
k
x
n
+ b 
k
y
n
12
Thật vậy, ta có:

k
(ax
n
+ by
n
) =

k

i=0
(−1)
i
C
i
k
(ax
n+k−i
+ by
n+k−i
)
=
k

i=0
(−1)
i
C
i
k
(ax
n+k−i
) +
k

i=0
(−1)
i

C
i
k
(by
n+k−i
)
= a
k

i=0
(−1)
i
C
i
k
(x
n+k−i
) + b
k

i=0
(−1)
i
C
i
k
(y
n+k−i
)
= a 

k
x
n
+ b 
k
y
n
Tính chất 3: Sai phân cấp k của đa thức bậc m là
• Đa thức bậc m − k nếu k < m
• Hằng số nếu k = m
• Bằng 0 nếu k > m
Chứng minh. Theo tính chất 2, sai phân mọi cấp là toán tử tuyến tính,
nên ta chỉ việc chứng minh cho đơn thức P
m
(n) = n
m
là đủ.
1. Ta có,

m
n
= (n + 1)
m
− n
m
= C
0
m
+ C
1

m
n + ··· + C
m
m
n
m
− n
m
C
0
m
+ C
1
m
n + ··· + c
m−1
m
n
m−1
= P
m−1
(n)
Giả sử tính chất này đúng với k = s < m, ta chứng minh nó đúng với
k = s + 1 < m
Thật vậy,

s+1
n
m
= (

s
n
m
) = 
s
(n + 1)
m
− 
s
n
m
= P
m−s
(n) = P
m−s−1
(n)
2. Khi k = m, theo chứng minh trên ta có:

m
n
m
= P
m−n
(n) = P
0
(n) = C(const)
13
3. Khi k > m, ta có:

k

n
k
= 
k−m

m
n
m
= 
k−m
C = 
k−m−1
 C = 0.
Tính chất 4:
N

n=a

k
x
n
= 
k−1
x
N+1
− 
k−1
x
a
với k ∈ Z

+
Chứng minh.
N

n=a

k
x
n
=
N

n=a
(
k−1
x
n
) = 
k−1
x
a+1
− 
k−1
x
a
+
+ 
k−1
x
a+2

− 
k−1
x
a+1
+ ··· + 
k−1
x
N+1
− 
k−1
x
N
= 
k−1
x
N+1
− 
k−1
x
a
Đặc biệt khi k = 1, ta có:
N

n=a
x
n
= x
N+1
− x
a

Chương 2
Phương trình sai phân
2.1. Phương trình sai phân tuyến tính
2.1.1. Định nghĩa
Định nghĩa 2.1.1. Phương trình sai phân tuyến tính của hàm x
n
là
một biểu thức tuyến tính giữa các giá trị của hàm x
n
tại các điểm khác
nhau:
L
h
x
n
= a
0
x
n+k
+ a
1
x
n+k−1
+ ··· + a
k
x
n
= f
n
(2.1)

Trong đó L
h
là ký hiệu toán tử tuyến tính tác dụng lên hàm x
n
, a
0
, a
1
, ··· , a
k
với a
0
= 0, a
k
= 0 là các hằng số hoặc các hàm số của n được gọi là hệ
số của phương trình sai phân; f
n
là một hàm số của n được gọi là vế
phải; x
n
là giá trị cần tìm và được gọi là ẩn.
Phương trình (2.1) gọi là phương trình sai phân tuyến tính bậc k,
để tính các giá trị x
n
, ta phải cho trước k giá trị liên tiếp của x
n
, rồi
tính các giá trị còn lại theo công thức truy hồi (2.1).
Định nghĩa 2.1.2. Nếu f
n

≡ 0 thì (2.1) được gọi là phương trình sai
phân tuyến tính thuần nhất. Nếu f
n
= 0 thì (2.1) được gọi là phương
trình sai phân tuyến tính không thuần nhất. Nếu f
n
≡ 0 và a
0
, a
1
, ···a
k
15
là các hằng số a
0
= 0, a
k
= 0 thì phương trình (2.1) trở thành:
L
h
x
n
= a
0
x
n+k
+ a
1
x
n+k−1

+ ··· + a
k
x
n
= 0 (2.2)
Khi đó phương trình (2.1) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính
thuần nhất bậc k với các hệ số hằng số.
2.1.2. Nghiệm
Nghiệm tổng quát
Hàm số x
n
biến n, thỏa mãn phương trình (2.1) được gọi là nghiệm của
phương trình sai phân tuyến tính (2.1).
Hàm số ˜x
n
phụ thuộc k tham số, thỏa mãn (2.2) được gọi là nghiệm
tổng quát của (2.2), nếu với mọi tập giá trị ban đầu x
0
, x
1
, ··· , x
k−1
ta
đều xác định được duy nhất các tham số C
1
, C
2
, ··· , C
k
để nghiệm ˜x

n
trở thành nghiệm riêng của (2.2) tức là thỏa mãn (2.2) và thỏa mãn
˜x
0
= x
0
, ˜x
1
= x
1
, ··· , ˜x
k−1
= x
k−1
.
Định lý 2.1.1. Nghiệm tổng quát x
n
của (2.1) bằng tổng ˜x
n
và x
∗
n
với
x
∗
n
là một nghiệm riêng bất kỳ của (2.1)
Chứng minh. Thật vậy, giả sử x
n
và x

∗
n
là hai nghiệm của (2.1), tức là
L
h
x
n
= f
n
, L
h
x
∗
n
= f
n
. Do L
h
tuyến tính, nên
L
h
x
n
− L
h
x
∗
n
= L
h

(x
n
− x
∗
n
) = 0
như vậy x
n
− x
∗
n
thỏa mãn (2.2) và do đó nghiệm tổng quát
˜x
n
= x
n
− x
∗
n
suy ra x
n
= ˜x
n
+ x
∗
n
Định lý 2.1.2. Nếu x
n1
, x
n2

, ··· , x
nk
là k nghiệm độc lập tuyến tính của
(2.2), tức là từ hệ thức
C
1
x
n1
+ C
2
x
n2
+ ··· + C
k
x
nk
= 0
16
suy ra C
1
= C
2
= ··· = C
k
= 0, thì nghiệm tổng quát ˜x
n
của (2.2)
có dạng:
˜x
n

= C
1
x
n1
+ C
2
x
n2
+ ··· + C
k
x
nk
,
trong đó C
1
, C
2
, ··· , C
k
là các hằng số tùy ý.
Chứng minh. Theo tính chất tuyến tính của L
h
ta có:
L
h
˜x
n
= L
h
k


i=1
(C
i
x
ni
) =
k

i=1
(C
i
L
h
x
ni
) = 0
vì theo giả thiết x
n
là nghiệm, tức là L
h
x
ni
= 0. Vậy ˜x
n
là nghiệm
của (2.2).
Giả sử x
0
, x

1
, ··· , x
k−1
là các giá trị ban đầu tùy ý. Ta chứng minh rằng,
có thể xác định duy nhất các hằng số C
1
, C
2
, ··· , C
k
để:
˜x
0
= x
0
, ˜x
1
= x
1
, ··· , ˜x
k−1
= x
k−1
Điều này có nghĩa là hệ:


















C
1
x
01
+ C
2
x
02
+ ··· + C
k
x0k = x
0
C
1
x
11
+ C
2
x

12
+ ··· + C
k
x
1k
= x
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C
1
x
k−1,1
+ C
2
x
k−1,2
+ ··· + C
k
x
k−1,k
= x
k−1
có nghiệm duy nhất C
1
, C
2
, ··· , C
k
với mọi vế phải x
0

, x
1
, ··· , x
k−1
.
Muốn vậy, định thức
 =











x
01
x
02
··· x
0k
x
11
x
12
··· x
1k

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x
k−1,1
x
k−1,2
··· x
k−1,k











phải khác 0.

Điều này suy ra từ tính độc lập tuyến tính của các véc tơ nghiệm x
n1
, x
n2
, ··· , x
nk
.
17
Bây giờ ta tìm nghiệm ˜x
n
của (2.2) và x
∗
n
của (2.1). Vì phương
trình thuần nhất (2.2) luôn có nghiệm x
n
= 0 nên để tìm nghiệm tổng
quát ta tìm x
n
của (2.2) dưới dạng x
n
= Cλ
n
, C = 0, λ = 0. Thay
x
n
= Cλ
n
vào (2.2) và ước lượng cho Cλ
n

= 0 ta được
L
h
λ = a
0
λ
k
+ a
1
λ
k−1
+ ··· + a
k
= 0 (2.3)
phương trình (2.3) được gọi là phương trình đặc trưng của (2.2). Nghiệm
˜x của (2.2) và x
∗
n
của (2.1) phụ thuộc vào cấu trúc nghiệm của (2.3).
Định lý 2.1.3. Nếu (2.3) có k nghiệm thực khác nhau là λ
1
, λ
2
, ··· , λ
k
thì nghiệm tổng quát ˜x
n
của (2.2) có dạng:
˜x
n

= C
1
λ
n
1
+ C
2
λ
n
2
+ ··· + C
k
λ
n
k
=
k

i=1
C
i
λ
n
i
,
trong đó C
i
, i = 1, k là các hằng số tùy ý
Chứng minh. Ta có:
L

h
˜x
n
=
k

i=1
(C
i
L
h
λ
n
i
) = 0
Ta lại có:
 =











1 1 ··· 1
λ

1
λ
2
··· λ
k
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
λ
k−1
1
λ
k−1
2
··· λ
k−1
k












=

k≥i≥j≥1
(λ
i
= λ
j
) = 0
Vì λ
i
= λ
j
, ∀i, j. Theo định lý (2.2),
˜x
n
=
k

i=1
(C
i
λ
k

i
), là nghiệm tổng quát của(2.2)
18
Ví dụ 2.1.1. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sai phân:
x
n+2
+ 5x
n+1
+ 6x
n
= 0
Giải: Phương trình đặc trưng:
λ
2
+ 5λ + 6 = 0
có các nghiệm thực λ
1
= −2, λ
2
= −3 nên phương trình sai phân có
nghiệm tổng quát là:
˜x
n
= C
1
(−2)
n
+ C
2
(−3)

n
trong đó C
1
, C
2
là các hằng số.
Nếu phương trình đặc trưng (2.3) có nghiệm thực λ
j
bội s, thì
ngoài nghiệm λ
n
j
ta lấy thêm các véc tơ bổ sung nλ
n
j
, n
2
λ
n
j
, ··· , n
s−1
λ
n
j
,
cũng là các nghiệm độc lập tuyến tính của (2.2) và do đó nghiệm tổng
quát có dạng:
˜x
n

=
s−1

i=0
(C
i
j
n
i
λ
n
j
) +
k

j=i=1
(C
i
λ
n
i
)
trong đó C
i
j
, C
i
là các hằng số tùy ý
Ví dụ 2.1.2. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sai phân:
x

n+4
− 3x
n+3
− 6x
n+2
+ 28x
n+1
− 24x
n
= 0
Giải: Phương trình đặc trưng
λ
4
− 3λ
3
− 6λ
2
+ 28λ − 24 = 0
có các nghiệm λ
1
= 2(bội 3) và λ
2
= −3 nên phương trình sai phân có
nghiệm tổng quát là:
˜x
n
= C
1
(−3)
n

+ C
2
2
n
+ C
3
n2
n
+ C
4
n
2
2
n
19
Nếu phương trình đặc trưng (2.3) có nghiệm phức:
λ
j
= a + bi = r(cos ϕ + i sin ϕ)
trong đó r = |λ
j
| =
√
a
2
+ b
2
, ϕ = acgumenλ
j
thì (2.3) cũng có nghiệm

liên hợp phức λ
j
= a − bi = r(cos ϕ − i sin ϕ). Khi đó ta có:
λ
n
j
= r
n
(cos nϕ − i sin ϕ) λ
n
j
= r
n
(cos nϕ − i sin nϕ)
là các nghiệm của (2.3). Ta lấy
x
1
nj
=
1
2
(λ
n
j
+ λ
n
j
) = r
n
cos nϕ

x
2
nj
=
1
2i
(λ
n
j
− λ
n
j
) = r
n
sin nϕ
làm các nghiệm độc lập tuyến tính của (2.2), khi đó:
˜x
n
=
k

j=i=1
(C
i
λ
n
i
) + r
n
(C

1
j
cos nϕ + C
2
j
sin nϕ)
trong đó C
i
, C
1
j
, C
2
j
là các hằng số tùy ý.
Ví dụ 2.1.3. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sai phân:
x
n+3
+ 5x
n+2
+ 11x
n+1
+ 15x
n
= 0
Giải: Phương trình đặc trưng:
λ
3
+ 5λ
2

+ 11λ + 15 = 0
có các nghiệm thực và phức là:
λ
1
= −3, λ
2
= −1 + 2i, λ
3
= −1 − 2i
Do đó nghiệm tổng quát của phương trình là:
˜x
n
= C
1
(−3)
n
+ C
2
(
√
5)
n
cos nϕ + C
3
(
√
5)
n
sin nϕ
trong đó cos ϕ =

−1
√
5
, sin ϕ =
2
√
5
20
Nếu phương trình đặc trưng (2.3) có nghiệm phức λ
j
bội s, thì
nó cũng có nghiệm liên hợp phức λ
j
bội s. Trong trường hợp này, ngoài
nghiệm λ
j1
= r
n
cos nϕ, λ
j1
= r
n
sin nϕ ta cần lấy thêm 2n − 2 véc tơ
nghiệm bổ sung:
λ
j2
= r
n
n cos nϕ, λ
j3

= r
n
n
2
cos nϕ, ··· , λ
js
= r
n
n
s−1
cos nϕ,
λ
j2
= r
n
n sin nϕ, λ
j3
= r
n
n
2
sin nϕ, ··· , λ
js
= r
n
n
s−1
sin nϕ.
Theo định lý (2.1.3) ta có nghiệm tổng quát trong trường hợp này là:
˜x

n
=
k

j=i=1
(C
i
λ
n
i
) + r
n
[(A
1
+ A
2
n + ··· + A
s
n
s−1
) cos nϕ
+ (B
1
+ B
2
n + ··· + B
s
n
s−1
) sin nϕ

trong đó C
i
, A
1
, A
2
, ··· , A
s
, B
1
, B
2
, . ··· , B
s
là các hằng số tùy ý.
Ví dụ 2.1.4. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sai phân
x
n+5
+ x
n+4
+ 2x
n+3
+ 2x
n+2
+ x
n+1
+ x
n
= 0
Giải: Phương trình đặc trưng:

λ
5
+ λ
4
+ 2λ
3
+ 2λ
2
+ λ + 1 = 0
có các nghiệm thực và phức là: λ
1
= −1, λ
2
= i(bội 2), λ
3
= −1(bội 2)
Có i = cos
π
2
+ i sin
π
2
nên nghiệm tổng quát của phương trình là:
˜x
n
= C
1
(−1)
n
+ C

2
cos
nπ
2
+ C
3
n cos
nπ
2
+ C
4
sin
nπ
2
+ C
5
n sin
nπ
2
Ngiệm riêng x
∗
n
Phương pháp chung để tìm nghiệm riêng x
∗
n
của
phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất (2.1) là xây dựng
hàm Greeen.
Sau đây là một số trường hợp đặc biệt, có thể tìm x
∗

n
đơn giản và nhanh
hơn.
21
• Trường hợp f
n
là đa thức bậc m của n; n ∈ N:
Nếu các nghiệm λ
1
, λ
2
, ··· , λ
k
là các nghiệm thực khác 1 của phương
trình đặc trưng (2.3) thì x
∗
n
= Q
m
(n), m ∈ N, trong đó Q
m
(n) là
đa thức của n cùng bậc m với f
n
.
Nếu nghiệm λ = 1 bội s, thì x
∗
n
= n
s

Q
m
(n), m ∈ N, Q
m
(n) là đa
thức của n cùng bậc m với f
n
.
• Trường hợp f
n
= P
m
(n).β
n
, trong đó P
m
(n) là đa thức của n bậc
m; m ∈ N.
Nếu các nghiệm của phương trình đặc trưng đều là các nghiệm thực
khác β thì x
∗
n
có dạng:
x
∗
n
= Q
m
(n)β
n

, m ∈ N
Q
m
(n) là đa thức của n cùng bậc m với f
n
,
Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm λ = β bội s thì tìm nghiệm
riêng như sau:
x
∗
n
= n
s
Q
m
(n)β
trong đó Q
m
(n) là đa thức của n cùng bậc với f
n
• Trường hợp f
n
= α cos nx + β sin nx, với α, β là hằng số.
Trong trường hợp này nghiệm riêng x
∗
n
được tìm dưới dạng
x
∗
n

= α cos nx + β sin nx
• Trong trường hợp f
n
= f
n1
+ f
n2
+ ··· + f
ns
nghiệm riêng x
∗
ni
ứng
với từng hàm f
ni
, i = 1, 2, ··· , s nghiệm riêng x
∗
n
ứng với hàm f
n
là:
x
∗
n
= x
∗
n1
+ x
∗
n2

+ ··· + x
∗
ns
do tính tuyến tính của phương trình sai phân.