Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi tích phân laplace và ứng dụng

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học sư
phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS. Trịnh Tuân, người
thầy đã hướng dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quý báu
trong học tập và nghiên cứu khoa học. Thầy luôn động viên và khích
lệ để tác giả vươn lên trong học tập, vượt qua những khó khăn trong
chuyên môn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc
nhất đối với thầy.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, phòng Đào tạo sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà
trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã
giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập.
Tác giả xin chân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô giáo,
bạn bè đồng nghiệp trường THPT Tam Nông, Phú Thọ đã quan tâm,
động viên và tạo điều kiện để tác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ và
hoàn thành luận văn này.
Hà Nội , ngày 20 tháng 8 năm 2012
Tác giả
Nguyễn Thị Thanh Hòa
i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi
dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Trịnh Tuân.
Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện
luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn
đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, ngày 20 tháng 8 năm 2012
Tác giả
Nguyễn Thị Thanh Hòa
ii
Mục lục

Mở đầu 1
1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5
1.1. Một số phép biến đổi tích phân và tính chất . . . . . . . 5
1.1.1. Phép biến đổi Fourier, Fourier sine và Fourier cosine 5
1.1.2. Phép biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2. Tích chập và tích chập suy rộng . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1. Tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2. Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với các phép
biến đổi tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi
tích phân Laplace 17
2.1. Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2. Định nghĩa tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép
biến đổi tích phân Laplace và đẳng thức nhân tử hóa . . 19
2.2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.2. Các đẳng thức nhân tử hóa . . . . . . . . . . . . 19
2.3. Các tính chất toán tử của tích chập suy rộng với hàm
trọng đối với phép biến đổi tích phân Laplace . . . . . . 25
iii
2.3.1. Các bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.2. Định lý kiểu Titchmarch . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.3. Các tính chất khác . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 Ứng dụng 38
3.1. Ứng dụng giải phương trình tích phân . . . . . . . . . . 38
3.2. Ứng dụng giải hệ phương trình tích phân . . . . . . . . . 43
Tài liệu tham khảo 50
iv
CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN
F : Phép biến đổi Fourier
F

−1
: Phép biến đổi Fourier ngược
F
s
: Phép biến đổi Fourier sine
F
−1
s
: Phép biến đổi Fourier sine ngược
F
c
: Phép biến đổi Fourier cosine
F
−1
c
: Phép biến đổi Fourier cosine ngược
K : Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev
K
−1
: Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev ngược
L : Phép biến đổi Laplace
L
−1
: Phép biến đổi Laplace ngược
(f ∗ g) : Tích chập của hai hàm f và g
(f
γ
∗ g) : Tích chập có hàm trọng của hai hàm f và g
L
1

(R) : là tập hợp tất cả các hàm f xác định trên (−∞; +∞)
sao cho
+∞

∞
|f(x)|dx < +∞
L
α,β
p
(R
+
) ≡ L
p
(R
+
, x
α
e
−βx
dx) với chuẩn được định nghĩa như sau
f(x)
L
α,β
p
(R
+
)
=

∞


0
|f(x)|
p
x
α
e
−βx
dx

1
p
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Phép biến đổi tích phân được ra đời từ rất sớm và đóng vai trò
quan trọng trong toán học cũng như trong nhiều lĩnh vực khoa học khác,
đặc biệt trong việc giải các giải các bài toán với điều kiện ban đầu và
điều kiện biên của phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng,
phương trình tích phân và các bài toán của vật lý toán. Phép biến đổi
tích phân đầu tiên là phép biến đổi Fourier được khai sinh bởi nhà toán
học và vật lý nổi tiếng người Pháp là Josepl Fourier (1768-1830), tiếp
theo là sự ra đời của các phép biến đổi Laplace, Melin, Hankel
Từ những năm đầu của thế kỉ 20 đã xuất hiện một hướng nghiên
cứu mới là xây dựng tích chập đối với các phép biến đổi tích phân và
ứng dụng. Lịch sử của hướng nghiên cứu này có thể tính bằng các mốc
thời gian chính như sau
Từ những năm 1951 trở về trước đó đã xây dựng được tích chập
đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Laplace, Melin (xem[11]).
Đến năm 1951 lần đầu tiên nhà toán học người Mỹ I.N Sneddon đã xây
dựng được tích chập suy rộng đầu tiên đối với phép biến đổi Fourier

sine, Fourier cosine (xem [11]). Đến năm 1967 nhà toán học người Nga
V. A. Kakichev đã xây dựng được sơ đồ kiến thiết tích chập với hàm
trọng (xem[6]) được tóm tắt bằng sơ đồ sau :
K(f
γ
∗ g)(y) = γ(y)(Kf)(y)(Kg)(y)
Đến năm 1998 V. A. Kakichev và Nguyễn Xuân Thảo đã xây dựng
được sơ đồ kiến thiết tích chập suy rộng đối với 3 phép biến đổi tích phân
bất kì K
1
, K
2
, K
3
(xem [7]) được tóm tắt bằng sơ đồ sau :
K
1
γ
(f ∗ g)(y) = γ(y)(K
2
f)(y)(K
3
g)(y)
2
Từ đó đến nay đã có một số kết quả nghiên cứu về tích chập suy
rộng với hàm trọng, xem [12], [13], [14], [15], [16]. Sự khác biết rõ rệt
nhất của tích chập và tích chập suy rộng là trong đẳng thức nhân tử
hóa của tích chập suy rộng có nhiều phép biến đổi tích phân tham gia.
Vì vậy việc ứng dụng của tích chập suy rộng cũng phong phú hơn.
Cùng với phép biến đổi tích phân Fourier, phép biến đổi tích phân

Laplace cũng ra đời rất sớm. Tích chập của phép biến đổi tích phân
Laplace cũng đã được xây dựng (xem [11], [12])
(f ∗
L
g)(x) =
x

0
f(x −t)g(t)dt, x > 0
Tích chập này thoả mãn đẳng thức nhân tử hoá
L(f ∗
L
g)(y) = (Lf )(y).(Lg)(y).
Cho đến thời điểm hiện nay vẫn chưa có một kết quả nào công bố về
tích chập suy rộng đối với phép biến đổi Laplace ngoài tích chập cổ điển
đã nêu ra ở trên
Theo hướng nghiên cứu đó với mong muốn được tiếp tục được tìm
hiểu tích chập suy rộng của các phép biến đổi tích phân, dưới sự hướng
dẫn của TS. Trịnh Tuân tôi đã chọn đề tài
“Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi
tích phân Laplace và ứng dụng ”.
Luận văn được trình bày trong 52 trang A4 ngoài phần mở đầu.
Luận văn được chia thành 3 chương
Chương 1: Trình bày tóm tắt một số kiến thức của các phép biến đổi
tích phân Fourier sine, Fourier cosine, Laplace. Tích chập của các phép
biến đổi tích phân đó và sơ đồ tích chập suy rộng có ví dụ minh họa
Chương 2 và chương 3 là nội dung chính của luận văn. Trong chương
2 trình bày về tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi
Laplace và nghiên cứu các tính chất của tích chập suy rộng này.
3

Chương 3: Trình bày ứng dụng của tích chập suy rộng với hàm trọng
đối với phép biến đổi tích phân Laplace để giải đóng phương trình và hệ
phương trình tích phân dạng chập
Sau mỗi chương đều có kết luận và cuối cùng là kết luận của luận văn
Để tịên cho quá trình theo dõi luận văn chúng tôi có đưa thêm
phần các kí hiệu toán học dùng trong luận văn vào trước lời nói đầu
2. Mục đích nghiên cứu
+ Nghiên cứu các công thức tích chập suy rộng với hàm trọng đối
với phép biến đổi tích phân biến đổi Laplace. Chứng minh sự tồn tại
của tích chập này trên không gian L
1
(R
+
). Từ đó nhận được đẳng thức
nhân tử hóa của chúng .
+ Nghiên cứu một số tính chất toán tử, tính chất đại số của các
tích chập suy rộng này trên một số không gian hàm cụ thể.
+ Ứng dụng tích chập này để giải đóng phương trình, hệ phương
trình tích phân dạng chập.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
+ Nghiên cứu các công thức tích chập suy rộng với hàm trọng đối
với phép biến đổi tích phân Laplace.
+ Trình bày được định lý tồn tại các tích chập suy rộng này và từ
đó đi chứng minh đẳng thức nhân tử hóa của chúng.
+ Nghiên cứu một số tính toán tử và tính chất đại số của tích chập
này trên một số không gian hàm cụ thể.
+ Ứng dụng tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến
đổi Laplace giải đóng phương trình và hệ phương trình tích phân dạng
chập.
4

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến
đổi tích phân Laplace bao gồm định nghĩa, đẳng thức nhân tử hoá, tính
chất và ứng dụng của tích chập này vào việc giải đóng phương trình và
hệ phương trình tích phân dạng chập.
5. Phương pháp nghiên cứu
+ Sử dụng lý thuyết tích chập và tích chập suy rộng đối với các
phép biến đổi tích phân.
+ Sử dụng một số công cụ của giải tích hàm như các không gian
hàm, lý thuyết toán tử.
6.Đóng góp mới
Luận văn trình bày một cách có hệ thống về tích chập suy rộng với
hàm trọng đối với phép biến đổi tích phân Laplace và ứng dụng của tích
chập suy rộng mới để giải đóng phương trình tích phân và hệ phương
trình tích phân dạng chập.
Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này chúng tôi trình bày một cách tóm tắt lại một số
kiến thức về các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine, Fourier
cosine và Laplace, tích chập và tích chập suy rộng của các phép biến đổi
nói trên. Đặc biệt là sơ đồ kiến thiết tích chập và tích chập suy rộng có
hàm trọng. Sau mỗi sơ đồ đó chúng tôi đều nêu một số tích chập, tích
chập suy rộng làm ví dụ minh hoạ và các tích chập này còn dùng để
nghiên cứu ở chương 2, chương 3.
Nội dung chính của chương này được dựa vào các tài liệu [2], [4],
[6], [7], [8],[11].
1.1. Một số phép biến đổi tích phân và tính chất
1.1.1. Phép biến đổi Fourier, Fourier sine và Fourier cosine
Định nghĩa 1.1.1. (Xem[5], [11]). Phép biến đổi Fourier của hàm
f ∈ L

1
(R) là một hàm kí hiệu F f và được xác định bởi công thức

f (x) = (F f) (x) =
1
√
2π
+∞

−∞
e
−iyx
f (y) dy x ∈ R (1.1)
5
6
Ở đó F được gọi là phép biến đổi Fourier hoặc toán tử Fourier
Và F có phép biến đổi Fourier ngược F
−1
được định nghĩa
Phép biến đổi Fourier ngược của một hàm được xác định bởi công thức

F
−1

f

(x) =
1
√
2π

+∞

−∞
e
ixy

f (y) dy x ∈ R (1.2)
Nhận xét 1.1. Vì


e
±iyx


= 1 và f ∈ L
1
(R
+
) nên tích phân (1.1), (1.2)
hội tụ với mỗi x ∈ R
F, F
−1
là các toán tử tuyến tính
Định nghĩa 1.1.2. (Xem [5], [11]). Phép biến đổi Fourier cosine (F
c
)
của một hàm f thuộc L
1
(R
+

) là một hàm và được xác định bởi công thức

f(x) = (F
c
f)(x) =

2
π
∞

0
cosxy.f (y)dy, x > 0 (1.3)
Phép biến đổi Fourier cosine ngược (F
−1
c
) của một hàm được xác định
bởi công thức
(F
−1
c

f)(x) =

2
π
∞

0
cosxy.


f(y)dy, x > 0 (1.4)
Định nghĩa 1.1.3. (Xem [5],[11]). Phép biến đổi Fourier sine (F
s
) của
một hàm f thuộc L
1
(R
+
) là một hàm và được xác định bởi công thức.

f(x) = (F
s
f)(x) =

2
π
∞

0
sinxy.f (y)dy, x > 0 (1.5)
Phép biến đổi Fourier sine ngược (F
−1
s
) của một hàm được xác định bởi
công thức
(F
−1
s

f)(x) =


2
π
∞

0
sinxy.

f(y)dy, x > 0 (1.6)
Nhận xét 1.2. Vì |cos(xy)|  1, |sin(xy)|  1 và f (x) ∈ L
1
(R
+
) nên các
tích phân (1.3), (1.4), (1.5), (1.6) đều hội tụ với mỗi x ∈ R
7
Định lý 1.1.1. (Xem [5]). Nếu f(x) và g(x)∈ L
1
(R
+
) thì
F
−1
c
{(F
c
f)(F
c
g)}(x) =
1

√
2π
+∞

0
f(ξ)[g(x + ξ) + g(|x −ξ|)]dξ
Hay
+∞

0
{(F
c
f)(F
c
g)}(y)cos(xy)dy =
1
2
+∞

0
f(ξ)[g(x + ξ) + g(|x −ξ|)]dξ
Chứng minh. Ta có
F
−1
c
{(F
c
f)(F
c
g)}(x) =


2
π
+∞

0

(F
c
f)(F
c
g)

(y)cos(xy)dy (1.7)
=
2
π
+∞

0
cos(xy)(F
c
g)(y)dy
+∞

0
f(ξ)cos(yξ)dξ
=
2
π

+∞

0
f(ξ)dξ
+∞

0
cos(xy)cos(yξ)(F
c
g)(y)dy
=
1
2

2
π
+∞

0
f(ξ)dξ


2
π
+∞

0
cos(y(x + ξ))(F
c
g)(y)dy

+

2
π
+∞

0
cos(y|x −ξ|)(F
c
g)(y)dy

=
1
√
2π
+∞

0
f(ξ)

g(x + ξ) + g(|x − ξ|)

dξ
Vậy
F
−1
c
{(F
c
f)(F

c
g)}(x) =
1
√
2π
+∞

0
f(ξ)[g(x + ξ) + g(|x −ξ|)]dξ (1.8)
Từ (1.7), (1.8) ta có
+∞

0
{(F
c
f)(F
c
g)}(y)cos(xy)dy =
1
2
+∞

0
f(ξ)[g(x + ξ) + g(|x −ξ|)]dξ
8
Định lý 1.1.2. (Xem [5]). Nếu f(x) và g(x) ∈ L
1
(R
+
) thì

F
−1
c
{(F
s
f)(F
s
g)}(x) =
1
√
2π
+∞

0
f(ξ)[g(ξ + x) + g(ξ − x)]dξ
Hay
+∞

0
{(F
s
f)(F
s
g)}(y)cos(xy)dy =
1
2
+∞

0
f(ξ)[g(x + ξ) + g(ξ − x)]dξ

Định lý (1.1.2) ta chứng minh tương tự như định lý (1.1.1)
1.1.2. Phép biến đổi Laplace
Định nghĩa 1.1.4. (Xem [4) Giả sử với mỗi hàm f(t) là hàm phức của
biến số thực t sao cho tích phân
+∞

0
f(t)e
−st
dt hội tụ ít nhất với một số
phức s = a + ib. Hàm F được xác định bởi công thức sau
F (s) =
+∞

0
f(t)e
−st
dt (1.9)
Khi đó F (s) được gọi là phép biến đổi Laplace của hàm f(t) ( Hay gọi
là ảnh của phép biến đổi Laplace của hàm f(t))
Ví dụ 1.1.1. Cho hàm f(t) = e
at
. Khi đó
F (s) =
+∞

0
f(t)e
−st
dt =

+∞

0
e
at
e
−st
dt = −
1
s −a
e
−(s−a)t



+∞
t=0
=
1
s −a
với res(s −a) > 0
Định lý 1.1.3. (Xem[4]). Nếu hàm F (s) là ảnh của hàm gốc f(t) với
chỉ số tăng p
0
. Thì tích phân
∞

0
f(t)e
−st

dt hội tụ với mọi s = a + ib có
Res > p
0
9
Định lý 1.1.4. (Xem [4]).(Tính giải tích của phép biến đổi Laplace)
Nếu biến đổi Laplace F (s) của hàm gốc f(t) với chỉ số tăng p
0
thì hàm
F (s) là hàm giải tích trong nửa mặt phẳng Res > p
0
Định lý 1.1.5. (Xem[4]).(Mellin) Cho hàm f(t) là hàm gốc với chỉ số
tăng p
0
và F (s) là ảnh của nó. Khi đó tại mọi điểm t mà f(t) liên tục,
hàm f(t) được biểu diễn theo công thức
f(t) =
1
2πi
a+i∞

a−i∞
e
st
F (s)ds = lim
b→∞
1
2πi
a+ib

a−ib

e
st
F (s)ds
Trong đó tích phân lấy dọc theo đường thẳng bất kì Res = p > p
0
1.2. Tích chập và tích chập suy rộng
1.2.1. Tích chập
Định nghĩa 1.2.1. (Xem [6], [7], [12]). Cho U
1
(X), U
2
(X) là các không
gian tuyến tính, V (Y ) là đại số. Khi đó
(∗) : U
1
(X) ×U
2
(X) → V (y)
(f, g) → (f ∗g)(y)
được gọi là phép toán tích chập. Kí hiệu :(*)
Giả sử K là một toán tử tuyến tính từ không gian tuyến tính U (X)
vào đại số V (Y )
K : U(X) → V (Y )
Tích chập của hai hàm f ∈ U
1
(X), g ∈ U
2
(X) đối với phép biến đổi K
là một hàm, kí hiệu (f ∗g) sao cho đẳng thức nhân tử hóa sau đây được
thỏa mãn

K(f ∗ g)(y) = (Kf)(y)(Kg)(y)
10
Khi đó U(X) cùng với phép nhân chập như trên xác định một đại số
Cho đến nay hầu hết các phép biến đổi tích phân đã được xây dựng
tích chập chẳng hạn như phép biến đổi Fourier, phép biến đổi Fourier
sine, phép biến đổi Fourier cosine, phép biến đổi Hilbert, phép biến đổi
Stieltjes, phép biến đổi Laplace, phép biến đổi Mellin, phép biến đổi
Kontorovich-Lebedev,
Ví dụ 1.2.1. (Xem[11). Cho f, g ∈ L
1
(R
+
). Tích chập đối với phép biến
đổi tích phân Fourier cosine (1.3) của hai hàm f và g kí hiệu

f ∗ g
F
c

(x),
được xác định bởi công thức

f ∗ g
F
c

(x) =
1
√
2π

∞

0
f(y)[g(x + y) + g(|x − y|)]dy x > 0 (1.10)
Tích chập (1.10) thuộc không gian L
1
(R
+
) và thỏa mãn đẳng thức nhân
tử hóa :
F
c

f ∗ g
F
c

(y) = (F
c
f)(y)(F
c
g)(y) (1.11)
Ví dụ 1.2.2. (Xem [11], [12]).Cho f, g ∈ L
1
(R
+
). Tích chập đối với phép
biến đổi tích phân Laplace (1.9) của hai hàm f và g được xác định bởi
công thức


f ∗ g
L

(x) =
x

0
f(x −y)g(y)dy, x > 0 (1.12)
Tích chập này giao hoán được và thuộc không gian L
1
(R
+
), đồng thời
thoả mãn đẳng thức nhân tử hóa
L

f ∗ g
L

(y) = (Lf)(y)(Lg)(y), y > 0 (1.13)
Tuy nhiên trước những năm 50 của thế kỉ trước, các tích chập đã
được biết đến là các tích chập không có hàm trọng. Đến năm 1967, V.A.
Kakichev đã đưa ra phương pháp kiến thiết tích chập đối với phép biến
đổi tích phân K với hàm trọng γ(y), kí hiệu

γ
f ∗ g

và thoả mãn đẳng
11

thức nhân tử hóa K

γ
f ∗ g

(y) = γ(y)(Kf)(y)(Kg)(y).
Nhờ phương pháp này một số tích chập với hàm trọng đã được
xây dựng và nghiên cứu ( xem [6])
Ví dụ 1.2.3. (xem[6], [12]).Cho f, g ∈ L
1
(R
+
). Tích chập có hàm trọng
γ
1
(y) = siny của hai hàm f và g đối với phép biến đổi tích phân Fourier
sine (F
s
) (1.5) được xác định như sau

γ
1
f ∗ g
F
s

(x) =
1
2
√

2π
∞

0
f(x)[g(x + 1 + t) + sign(x + 1 −t)g(|x + 1 −t|)]
+ sign(x −1 + t)g(|x −1 + t|) + sign(x −1 −t)g(|x −1 −t|)]dt, x > 0
(1.14)
Tích chập (1.14) thuộc không gian L
1
(R
+
) và thoả mãn đẳng thức
nhân tử hóa
F
s

γ
1
f ∗ g
F
s

(y) = siny(F
s
f)(y)(F
s
g)(y), y > 0 (1.15)
Chú ý rằng cho đến nay tích chập đối với phép biến đổi tích phân
Fourier sine của hai hàm f và g vẫn chưa được xây dựng khi không có
hàm trọng γ(y) tham gia vào.

Ví dụ 1.2.4. (Xem [6]).Cho f, g ∈ L
1
(R
+
). Tích chập có hàm trọng
γ
2
(y) = cosy của hai hàm f và g đối với phép biến đổi tích phân Fourier
cosine (F
c
) (1.3) được xác định như sau

γ
2
f ∗ g
F
c

(x) =
1
2
√
2π
∞

0
f(x)[g(x + 1 + t) + g(|x + 1 −t|)
+ g(|x −1 + t|) + g(|x −1 −t|)]dt, x > 0 (1.16)
Tích chập (1.16) thuộc không gian L
1

(R
+
) và thỏa mãn đẳng thức nhân
tử hóa
F
c

γ
2
f ∗ g
F
c

(y) = cosy(F
c
f)(y)(F
c
g)(y), y > 0 (1.17)
12
Các tích chập (1.10), (1.12), (1.14), (1.16) đều có một đặc điểm
chung là trong đẳng thức nhân tử hóa chỉ có một phép biến đổi tích phân
tham gia . Do đó các tích chập này không phải là các tích chập suy rộng,
điều đó ít nhiều làm hạn chế ứng dụng của nó. Năm 1998, V.A.Kakichev
và Nguyễn Xuân Thảo đã xây dựng được sơ đồ kiến thiết tổng quát nhất
của tích chập suy rộng với hàm trọng đối với ba phép biến đổi tích phân
bất kì(xem[8]). Trong phần tiếp theo chúng tôi sẽ trình bày một số tích
chập suy rộng như những ví dụ minh hoạ cho sơ đồ tích chập suy rộng
(1.18) đồng thời các tích chập này còn được sử dụng trong chương 2,
chương 3.
1.2.2. Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với các phép biến

đổi tích phân
Năm 1998, V.A.Kakichev và Nguyễn Xuân Thảo (xem[8]) đã cho
kết quả xây dựng tích chập suy rộng với hàm trọng đối với 3 phép biến
đổi tích phân và được tóm tắt như sau:
Xét các phép biến đổi tích phân
K
j
: U
j
(X
j
) → V (Y ), j = 1, 2, 3

f
j
(y) = (K
j
f
j
)(y) =

X
j
k
j
(y, x
j
)f
j
(x

j
)dx
j
∈ V (Y )
Ở đó U
j
(X
j
) là các không gian tuyến tính, V(Y) là đại số
Định nghĩa 1.2.2. Tích chập tổng quát đối với các phép biến đổi tích
phân K
1
, K
2
, K
3
với hàm trọng γ
1
của hai hàm f và g là biểu thức

f
γ
1
∗
g

sao cho thỏa mãn:
K
1


f
γ
1
∗
g

(y) = γ
1
(y)(K
2
f)(y)(K
3
g)(y), ∀y ∈ Y (1.18)
Tương tự có các tích chập tổng quát với hàm trọng:
13

f
γ
2
∗
g

, thỏa đẳng thức nhân tử hóa:
K
2

f
γ
2
∗

g

(y) = γ
2
(y)(K
1
f)(y)(K
3
g)(y) (1.19)

f
γ
3
∗
g

thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
K
3

f
γ
3
∗
g

(y) = γ
3
(y)(K
1

f)(y)(K
2
g)(y)
Khi K
1
≡ K
2
, thì có :

f
γ
1
∗
g

, thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
K
1

γ
1
f ∗ g

(y) = γ
1
(y)K
1
f)(y)(K
3
g)(y)


f
γ
2
∗
g

thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
K
1

γ
2
f ∗ g

(y) = γ
2
(y)K
1
f)(y)(K
3
g)(y)

f
γ
3
∗
g

, thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa

K
3

γ
3
f ∗ g

(y) = γ
3
(y)(K
1
f)(y)(K
1
g)(y)
Khi K
1
≡ K
2
≡ K
3
, thì có tích chập với hàm trọng

f
γ
∗
g

, thỏa mãn
đẳng thức nhân tử hóa
K

1

f
γ
∗
g

(y) = γ(y)(K
1
f)(y)(K
1
g)(y)
Tổng số có 24 tích chập tổng quát và 3 tích chập (chưa kể đến các hàm
trọng). Để minh họa cho các sơ đồ về tích chập suy rộng với hàm trọng
đối với các phép biến đổi tích phân khác nhau sau đây ta xét một số ví
dụ:
Ví dụ 1.2.5. (Xem[8])Cho f, g ∈ L
1
(R
+
) . Tích chập suy rộng đối với
phép biến đổi tích phân Fourier cosine (F
c
) (1.3) và Fourier sine (F
s
)
14
(1.5) của hai hàm f và g, kí hiệu (f ∗ g
2
), được xác định bởi công thức

(f ∗ g
2
)(x) =
1
√
2π
+∞

0
f(u)[sign(u −x)g(|u −x|) + g (u + x) ]du, x > 0
(1.20)
Tích chập suy rộng (1.20) thuộc không gian L
1
(R
+
) và thỏa mãn đẳng
thức nhân tử hóa:
F
c
(f ∗ g
2
)(y) = (F
s
f) (y) (F
s
g) (y) , ∀y > 0. (1.21)
Trong đó:K
1
= F
c

, K
2
= K
3
= F
s
, γ = 1
Trong những năm gần đây nhờ kĩ thuật [8] cũng đã có một số kết
quả công bố trên các tạp chí trong nước và quốc tế về tích chập suy
rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier sine, Fourier cosine và
Kontorovich-Lebedev (xem [12], [13, [14], [15], [16] )
Nhận xét 1.3. Các tích chập suy rộng (1.20) và trong các kết quả [12],
[13, [14], [15], [16] hoàn toàn khác biệt rõ ràng so với các tích chập (1.10),
(1.12), (1.14) ở chỗ là trong đẳng thức nhân tử hoá của chúng có nhiều
phép biến đổi tích phân tham gia. Các tích chập này không có tính chất
giao hoán và kết hợp.
Trong quá trình làm luận văn chúng tôi sử dụng thêm tích chập
suy rộng đối với phép biến đổi Fourier sine và Fourier cosine. Đây cũng
chính là tích chập suy rộng đầu tiên được I.N. Sneddon công bố năm
1951 (xem [11]).
Ví dụ 1.2.6. (Xem [11]). Cho f, g ∈ L
1
(R
+
). Tích chập suy rộng đối
phép biến đổi tích phân Fourier sine (F
s
)(1.5) và Fourier cosine (F
c
) (1.3)

của hai hàm f và g, kí hiệu (f ∗ g
1
), được xác định bởi công thức sau
(f ∗ g
1
)(x) =
1
√
2π
∞

0
f(u)[g(|x −u|) −g(x + u)]du, x > 0 (1.22)
15
Hoặc cũng có thể viết
(f ∗ g
1
)(x) =
1
√
2π
∞

0
g(y)[f(x + y) + sign(x − y)f(|x −y|)]dy, x > 0
(1.23)
Tích chập (1.22) thuộc không gian L
1
(R
+

) và thỏa mãn đẳng thức
nhân tử hóa
F
s
(f ∗ g
1
)(y) = (F
s
f)(y)(F
c
g)(y), ∀y > 0 (1.24)
16
KẾT LUẬN CHƯƠNG I
Trong chương 1 chúng tôi đã trình bày một số kiến thức của các
phép biến đổi tích phân dùng trong luận văn đó là phép biến đổi tích
phân Fourier sine, Fourier cosine, Laplace, sơ đồ xây dựng tích chập với
hàm trọng và tích chập suy rộng với hàm trọng của các phép biến đổi
tích phân. Đồng thời trình bày một số ví dụ về tích chập và tích chập
suy rộng liên quan đến các phép biến đổi tích phân này. Qua đó chúng
tôi cũng muốn nhấn mạnh sự khác biệt rõ ràng giữa tích chập và tích
chập suy rộng.
Chương 2
Tích chập suy rộng với hàm trọng
đối với phép biến đổi tích phân
Laplace
Sử dụng kĩ thuật xây dựng tích chập suy rộng với hàm trọng của 3
phép biến đổi tích phân K
1
, K
2

, K
3
(xem [7]). Trong chương này chúng
tôi trình bày các tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến
đổi Laplace. Chứng minh sự tồn tại của tích chập (2.1), (2.2) trong một
số không gian hàm cụ thể đó là L
1
(R
+
), L
α,β
r
(R
+
) và từ đó nhận được
đẳng thức nhân tử hoá của chúng. Đồng thời nghiên cứu một số tính
chất toán tử, tính chất đại số của các tích chập này trên một số không
gian hàm cụ thể. Nội dung chính của chương dựa vào tài liệu [15]
2.1. Một số không gian hàm
• L
1
(R) là tập hợp tất cả các hàm f xác định trên (−∞; +∞) sao cho
+∞

−∞
|f (x)|dx < +∞.
17
18
Và L
1

(R) là một không gian định chuẩn với chuẩn được xác định :
f
L
1
(R)
=
+∞

−∞
|f(x)|dx
• L
1
(R
+
) là tập hợp tất cả các hàm f xác định trên (0; +∞) sao cho
+∞

0
|f (x)|dx < +∞. Và L
1
(R
+
) là một không gian định chuẩn với
chuẩn được xác định : f
L
1
(R
+
)
=

+∞

0
|f(x)|dx
• L
p
(R
+
) là tập hợp tất cả các hàm f xác định trên (0; +∞) sao cho
+∞

0
|f (x)|
p
dx < +∞. Và L
p
(R
+
) là một không gian định chuẩn với
chuẩn được xác định : f
L
p
(R
+
)
=

+∞

0

|f(x)|
p
dx

1
p
• L
p
(R
+
, e
ax
) là tập hợp tất cả các hàm f xác định trên (0; +∞) sao
cho
+∞

0
|f (x)|
p
.e
ax
dx < +∞, p  1 và L
p
(R
+
, e
ax
) là một không gian
định chuẩn với chuẩn được xác định : f 
L

p
(R
+
,e
ax
)
=

+∞

0
|f(x)|
p
e
ax
dx

1
p
• L
α,β
r
(R
+
) là tập hợp tất cả các hàm f xác định trên (0; +∞) sao
cho
+∞

0
|f (x)|

r
.x
α
e
−βx
dx < +∞, r  1, β  0, α > −1 và L
α,β
r
(R
+
) là
không gian định chuẩn với chuẩn được xác định :
f
L
α,β
r
(R
+
)
=

+∞

0
|f (x)|
r
.x
α
e
−βx

dx

1
r
19
2.2. Định nghĩa tích chập suy rộng với hàm trọng
đối với phép biến đổi tích phân Laplace và đẳng
thức nhân tử hóa
2.2.1. Định nghĩa
Định nghĩa 2.2.1. (Xem [15]). Tích chập suy rộng với hàm trọng
γ(y) = e
−µy
siny, µ > 0 của hai hàm f và g đối với phép biến đổi tích
phân Fourier sine và Laplace được xác định như sau
γ
(f ∗ g)
(1)
(x) =
1
2π
∞

0
∞

0

ν + µ
(ν + µ)
2

+ (x −1 −u)
2
+
ν + µ
(ν + µ)
2
+ (x −1 + u)
2

−

ν + µ
(ν + µ)
2
+ (x + 1 −u)
2
+
ν + µ
(ν + µ)
2
+ (x + 1 + u)
2

f(u)g(ν)dudν, x > 0
(2.1)
Định nghĩa 2.2.2. (Xem [15]). Tích chập suy rộng với hàm trọng
γ(y) = e
−µy
siny, µ > 0 của hai hàm f và g đối với phép biến đổi tích
phân Fourier cosine và Laplace được xác định như sau

γ
(f ∗ g)
(2)
(x) =
1
2π
∞

0
∞

0

ν + µ
(ν + µ)
2
+ (x −1 −u)
2
−
ν + µ
(ν + µ)
2
+ (x −1 + u)
2

−

ν + µ
(ν + µ)
2

+ (x + 1 −u)
2
−
ν + µ
(ν + µ)
2
+ (x + 1 + u)
2

f(u)g(ν)dudν, x > 0
(2.2)
2.2.2. Các đẳng thức nhân tử hóa
Định lý 2.2.1. (Xem [15]) Giả sử f (x) và g(x) là hai hàm thuộc không
gian L
1
(R
+
). Khi đó tích chập suy rộng
γ
(f ∗ g)
(1)
thuộc L
1
(R
+
) và thoả
mãn đẳng thức nhân tử hóa
(F
s
γ

(f ∗ g)
(1)
)(y) = e
−µy
siny(F
c
f)(y)(Lg)(y), ∀y > 0 (2.3)
20
và ta có

γ
(f ∗ g)
(1)

L
1
(R
+
)
 f 
L
1
(R
+
)
g
L
1
(R
+

)
Hơn nữa, tích chập suy rộng
γ
(f ∗ g)
(1)
thuộc C
0
(R
+
) và thỏa mãn đẳng
thức Parseval’s
γ
(f ∗ g)
(1)
(x) =

2
π
∞

0
(F
c
f)(y)(Lg)(y)e
−µy
sinysinxydy (2.4)
Chứng minh. Đặt
θ
1
(x, u, ν) = [

ν + µ
(ν + µ)
2
+ (x −1 −u)
2
+
ν + µ
(ν + µ)
2
+ (x −1 + u)
2
]
− [
ν + µ
(ν + µ)
2
+ (x + 1 −u)
2
+
ν + µ
(ν + µ)
2
+ (x + 1 + u)
2
]
Khi µ > 0, ν  0 ta có



ν + µ

(ν + µ)
2
+ (x −1 −u)
2




1
ν + µ

1
µ
Do đó
θ
1
(x, u, ν)| 
4
µ
(2.5)
Từ đó suy ra
|
γ
(f ∗ g)
(1)
(x)| 
2
πµ




∞

0
∞

0
f(u)g(ν)dudν




2
πµ
∞

0
|f(u)|du
∞

0
|g(ν)|dν
=
2
πµ
f
L
1
(R
+

)
. g
L
1
(R
+
)
(2.6)
Vậy tích chập (2.1) tồn tại