Biến đổi tích phân fourier và ứng dụng trong thống kê toán học

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG

BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER VÀ ỨNG
DỤNG TRONG THỐNG KÊ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60460102

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS NGUYỄN MINH TUẤN

HÀ NỘI- 2014


Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Kiến thức chuẩn bị
1.1

1.2

Chuỗi Fourier

3
5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1

Định nghĩa chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.2

Tính duy nhất và hội tụ đều của chuỗi Fourier . . . .

8

Tích phân Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.1

Khái niệm về biến đổi tích phân . . . . . . . . . . . .

10

1.2.2

Công thức tích phân Fourier . . . . . . . . . . . . . .

11

2 Biến đổi tích phân Fourier và các tính chất cơ bản

14

2.1

Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.2

Biến đổi Fourier của các hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . .

20

2.3

Tính chất cơ bản của biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . .

32

2.4

Biến đổi Fourier - cosine và Fourier - sine . . . . . . . . . . .

44

2.5

Tổng Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

3 Ứng dụng của biến đổi Fourier trong thống kê toán học

57

3.1

Đại lượng ngẫu nhiên và các hàm cơ bản . . . . . . . . . . . .

57

3.2

Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên . . . . . . . . . .

62

3.3

Một số định lý quan trọng và ví dụ

72

1

. . . . . . . . . . . . . .


Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

2


LỜI NÓI ĐẦU
Toán giải tích là một trong những chuyên ngành nghiên cứu quan trọng
hàng đầu của toán học hiện đại. Nó bao gồm nhiều lĩnh vực được mọi người
quan tâm, nghiên cứu. Và biến đổi Fourier là một trong số đó vì nó có rất
nhiều ứng dụng khoa học, ví dụ như trong vật lý, số học, xác suất, thống kê,
hải dương học, quang học, hình học và nhiều lĩnh vực khác. Ngày nay các
nhà khoa học vẫn đang cố gắng khám phá ra những kết quả có tầm quan
trọng nhằm nâng cao được ứng dụng của nó.
Trong luận văn này chúng ta sẽ tìm hiểu về biến đổi tích phân Fourier và
ứng dụng của nó trong thống kê toán học.
Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận và danh
mục tài liệu tham khảo.
Chương mở đầu là phần kiến thức chuẩn bị, chúng ta sẽ nhắc lại về chuỗi
Fourier và tính chất cơ bản của nó. Trong quá trình tìm hiểu về chuỗi Fourier
sẽ cho chúng ta thấy được khởi nguồn của biến đổi tích phân. Qua đó ta đưa
ra khái niệm về biến đổi tích phân Fourier.

Chương hai sẽ trình bày các khái niệm và các định lý quan trọng liên quan
tới biến đổi Fourier. Phần đầu, ta nghiên cứu định nghĩa biến đổi Fourier và
các ví dụ cơ bản. Tiếp theo ta sẽ nói về biến đổi Fourier của các hàm suy
rộng. Phần trọng tâm trong chương này chính là đi nghiên cứu về các tính
chất cơ bản của biến đổi Fourier, tích chập, đẳng thức Parseval. Cuối cùng
ta tìm hiểu về biến đổi Fourier cosine và Fourier sine, tổng Poisson.
Trong chương cuối ta sẽ đề cập tới các khái niệm về hàm đặc trưng, hàm
phân bố, hàm mật độ cùng các tính chất liên quan. Đồng thời đưa ra cách
3


tính mômen, phương sai bằng phương pháp biến đổi Fourier.
Trong quá trình thực hiện luận văn tôi đã nhận được sự chỉ bảo, hướng
dẫn tận tình của PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn. Các thầy cô trong khoa Toán
- Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự Nhiên - Đại học Quốc Gia Hà
Nội đã giúp tôi có thêm nhiều kiến thức để có thể hoàn thành luận văn và
khóa học một cách tốt đẹp. Bên cạnh đó còn có sự giúp đỡ nhiệt tình của các
thầy cô phòng Sau Đại học đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành
các thủ tục bảo vệ, các thầy cô và các bạn trong seminar Toán Giải Tích đã
có những góp ý hữu ích để tôi hoàn thiện luận văn tốt nhất.
Tôi xin chân thành cảm ơn tất cả những đóng góp quý báu ấy.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời biết ơn tới gia đình, người thân đã luôn động viên,
ủng hộ tôi trong suốt thời gian học tập và hoàn thành khóa luận.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng bản luận văn khó tránh khỏi những
thiếu sót. Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô
và các bạn.
Hà Nội, tháng 10 năm 2014
Nguyễn Thị Phương

4

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Phần đầu của luận văn tôi sẽ trình bày lại một cách ngắn gọn kiến thức
về chuỗi Fourier và biến đổi tích phân.

1.1
1.1.1

Chuỗi Fourier
Định nghĩa chuỗi Fourier

Trước hết luận văn sẽ nhắc lại về chuỗi Fourier và một số tính chất quan
trọng của nó.
Trong giáo trình giải tích các hàm số một biến, chúng ta đa được làm
quen với khái niệm chuỗi Fourier của hàm khả tích và xem xét sơ bộ tính hội
tụ của nó.
Định nghĩa 1.1.1. Chuỗi hàm dạng
∞

a0
+
(an cos nx + bn sin nx) ,
2
n=1

(1.1)

trong đó a0 , an , bn (n = 1, 2, . . . ) là các hằng số, được gọi là chuỗi lượng giác.
Giả sử f (x) là hàm liên tục trong khoảng (−∞, +∞), tuần hoàn với chu
5


kỳ 2π. Ta xác định các hệ số a0 , an , bn (n = 1, 2, . . . ) theo công thức:
1
a0 =
π
1
an =
π
1
bn =
π

π

f (x)dx,

(1.2)

f (x) cos(nx)dx,

(1.3)

f (x) sin(nx)dx.

(1.4)

−π
π
−π
π
−π

Khi đó chuỗi lượng giác (1.1) với các hệ số được xác định theo công thức
(1.2),(1.3),(1.4) được gọi là chuỗi Fourier của hàm f (x) và ký hiệu
∞

a0
f (x) ∼
+
(an cos nx + bn sin nx) .
2
n=1

(1.5)

Chú ý rằng vì f (x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π nên trong các công
thức (1.2), (1.3), (1.4) có thể thay tích phân từ −π đến π bằng cách tích phân
trên đoạn có độ dài 2π bất kỳ.
Nếu f (x) là hàm chẵn thì từ các công thức (1.2), (1.3), (1.4) ta có bn =
0(n = 1, 2, . . . ) còn
2 π
a0 =
f (x)dx,
π 0
2
an = f (x) cos(nx)dx,

π
Khi đó

(n = 1, 2, . . . ).

∞

a0
+
an cos nx.
f (x) ∼
2
n=1
Nếu f (x) là hàm lẻ thì a0 = 0, an = 0(n = 1, 2, . . . ) còn
2
bn =
π

π

f (x) sin(nx)dx,

(n = 1, 2, . . . ).

0

Khi đó

∞

f (x) ∼

bn sin nx.
n=1

Tiếp theo ta sẽ đề cập chuỗi Fourier theo Định nghĩa 1.1.2 dưới đây
6


Định nghĩa 1.1.2. [7] Cho f (x) là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π và khả
tích trên đoạn [−π, π]. Khi đó các hệ số được xác định bởi
1
fˆ(n) =
2π

π

f (x)e−inx dx,

n ∈ Z,

(1.6)

−π

được gọi là hệ số Fourier của hàm f (x). Chuỗi hàm
+∞

fˆ(n)einx

(1.7)

n=−∞

được gọi là chuỗi Fourier của hàm f (x).
Thông thường ta ký hiệu hệ số Fourier của fˆ(n) là cn và chuỗi Fourier
của hàm f (x) được viết dưới dạng
+∞

cn einx .

f (x) ∼

(1.8)

n=−∞

Nếu chuỗi Fourier của hàm f hội tụ về đúng hàm f (x) thì
+∞

cn einx .

f (x) =
n=−∞

Trường hợp tổng quát, nếu f : [a, b] → C và tuần hoàn với chu kỳ L = b − a
thì hệ số Fourier và chuỗi Fourier được xác định như sau:
1
fˆ(n) =
L

b

f (x)e−2πinx/L dx,

a
+∞

(1.9)
fˆ(n)e2πinx/L .

f (x) ∼
n=−∞

Định nghĩa 1.1.3. Cho hàm f khả tích và tuần hoàn với chu kỳ 2π. Với
mỗi số tự nhiên N, tổng riêng thứ N của chuỗi Fourier của f được xác định
bởi

N

fˆ(n)einx .

SN (f )(x) =
n=−N

Tiếp theo ta trình bày về tính duy nhất và sự hội tụ đều của chuỗi Fourier.
7


1.1.2

Tính duy nhất và hội tụ đều của chuỗi Fourier

Đầu tiên ta sẽ nói về tính duy nhất của chuỗi Fourier.
Giả sử f và g là hai hàm khả tích trên [−π, π], tuần hoàn với chu kỳ 2π
và có hệ số Fourier lần lượt là fˆ và gˆ được xác định theo công thức (1.6)
1
fˆ(n) =
2π
1
gˆ(n) =
2π

π

f (x)e−inx dx,
−π
π

g(x)e−inx dx,

n ∈ Z.

−π

Nếu ta có hàm f = g thì fˆ(n) = gˆ(n) với mọi n ∈ Z. Nhưng ngược lại, nếu
các hệ số Fourier fˆ(n) = gˆ(n) thì chưa chắc f = g. Ví dụ
f (x) = x3 + 2 = g(x) = x + 2 trên [−π, π],
nhưng ta lại có
π

π

f (x)dx =
−π

g(x)dx = 4π.
−π

Định lý 1.1.1. [7] Giả sử f là hàm khả tích trên [−π, π], tuần hoàn với chu
kỳ 2π và fˆ(n) = 0 với mọi n ∈ Z. Khi đó, nếu f liên tục tại x0 thì f (x0 ) =
0.
Hệ quả 1.1.1. [7] Nếu f liên tục trên [−π, π] và fˆ(n) = 0 với mọi n ∈ Z thì
f = 0.
Từ những kết quả trên ta có định lý về tính duy nhất của chuỗi Fourier
như sau
Định lý 1.1.2. Giả sử f và g là hai hàm liên tục trên [−π, π] và có hệ số
Fourier lần lượt là fˆ(n) và gˆ(n) được xác định theo (1.6)
1
fˆ(n) =
2π
1
gˆ(n) =
2π

π

f (x)e−inx dx,
−π
π

g(x)e−inx dx,
−π

8

n ∈ Z.


Khi đó, ta có
f =g
khi và chỉ khi fˆ(n) = gˆ(n).
Tiếp theo ta nhắc lại một số kết quả về sự hội tụ đều của chuỗi Fourier.
Định lý 1.1.3. [7] Giả sử f là hàm liên tục trên [−π, π], tuần hoàn với chu
kỳ 2π và f (x) ∼

∞
n=−∞

fˆ(n)einx có các hệ số thỏa mãn

∞
−∞

|fˆ(n)| < ∞

thì chuỗi Fourier hội tụ đều đến hàm f , tức là
SN (f )(x) ⇒ f (x),

khi

N → ∞.

Chứng minh. Ta nhắc lại rằng nếu một dãy của hàm liên tục hội tụ đều thì
giới hạn của nó cũng liên tục. Ta có
π

1
|fˆ(n)einx | =
2π
Theo giả thiết

f (x)e
−π

∞
n=−∞

inx

1
dx ≤
2π

π

|f (x)||einx |dx = |fˆ(n)|.
−π

|fˆ(n)| < ∞ nên theo dấu hiệu Weierstrass thì SN (f )(x)

hội tụ đều đến hàm liên tục g(x) và suy ra
∞

∞

fˆ(n)einx .

fˆ(n)einx = lim

g(x) =

N →∞

n=−∞

n=−∞

Hơn nữa, hệ số Fourier của hàm g(x) đúng bằng fˆ(n) do đó fˆ(n) = gˆ(n) hay
fˆ(n) − gˆ(n) = 0. Khi đó, áp dụng Hệ quả 1.1 cho hàm liên tục f − g ta được
f − g = 0 hay f = g. Vậy
SN (f )(x) ⇒ f (x),

khi N → ∞.

Định lý được chứng minh.
Định lý 1.1.4. Nếu f là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π và khả vi, liên tục
k
cấp k trên [−π, π], tức là f ∈ C[−π,π]
. Khi đó ta có đánh giá cho các hệ số

Fourier
fˆ(n) = O(1/|n|k )
9

khi

|n| → ∞,


Tài liệu tham khảo
[1] D.I. Kazakevits (2005), Cơ sở Lý thuyết Hàm ngẫu nhiên và ứng dụng
trong Khí tượng Thủy văn (Người dịch: Phạm Văn Huấn, Nguyễn Thanh
Sơn, Phan Văn Tân), NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
[2] Vũ Viết Yên (2009), Bài tập Lý thuyết xác suất, NXB Đại học Sư phạm.
[3] Joseph Beyene (2001), Use of the fast Fourier transform in exact statistical inference, University of Toronto.
[4] R. N. Bracewell (1986), The Fourier transform and its applications, McGraw Hill.
[5] K. Chandrasekharan (1989), Classical Fourier transforms, SpringerVerlag, New York.
[6] Lokenath Debnath and Dambaru Bhatta (2007), Integral transforms and
their applications, Taylor and Francis group.
[7] Elias M. Stein and Rami Shakarchi (2003), Fourier analysis an introduction, Princeton university Press, Princeton and Oxford.