ĐỀ THI HSG TOÁN 6 HUYỆN TAM DƯƠNG 2013-2014

PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG
ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 6
Năm học: 2012-2013
Môn: Toán
Thời gian làm bài:120 phút
Đề thi này gồm 01 trang
Chú ý: Thí sinh dự thi không được dùng máy tính cầm tay!
Câu 1.(2.0 điểm) Thực hiện phép tính:
a) S =
2 2 2
3 5 61

(1.2) (2.3) (30.31)
+ + +
b) B=
12 12 12 4 4 4
12 4
6 124242423
19 37 53 15 4 2013
1 . : .
3 3 3 5 5 5
41 237373735
3 5
19 37 53 15 4 2013
 
+ − − + + +
 ÷
 ÷
 ÷
+ − − + + +
 

.
Câu 2. (2.0 điểm)
a) Cho
1 1 1 1
1
2 3 4 2012
A = − + − + −
;
1 1 1

1007 1008 2012
B = + + +
. Tính
2013
A
B
 
 ÷
 
b) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho: 1! + 2! + 3! + + n! là số chính phương.
Câu 3 (2.0 điểm)
a) Tìm các số tự nhiên a, b, c thỏa mãn:
5
4111
=++
cba
b) Tìm 3 số nguyên tố liên tiếp p, q, r sao cho p
2
+ q
2

+ r
2
cũng là số nguyên tố.
Câu 4 (2.0 điểm)
Cho
·
0
100xOy =
. Vẽ tia phân giác Oz của
·
xOy
; vẽ tia Ot sao cho
·
0
25yOt =
.
a) Tính số đo các góc:
·
·
,zOt xOt
b) Ot có phải là tia phân giác của góc zOy không? Vì sao?
Câu 5 (2.0 điểm)
a) Cho A = 2012
2012
+ 2
2012
và B = 2012
2012
.
Chứng tỏ rằng khi biểu diễn A, B dưới dạng các số tự nhiên thì số chữ số của A và

số chữ số của B là bằng nhau.
b) Ký hiệu S
(n)
là tổng các chữ số của số tự nhiên n
Tìm n sao cho S
(n)
= n
2
– 2013n + 6.
HẾT
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ tên thí sinh SBD:
ĐỀ CHÍNH THỨC
PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG KÌ THI GIAO LƯU HSG LỚP 6, 7, 8
NĂM HỌC 2012-2013
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 6
(HDC này gồm 04 trang)
Câu 1: (2,0 điểm)
Phần Nội dung trình bày Điểm
a
(1.0
điểm)
Ta có :
[ ]
2
2 2
2 1 1 1
;
( 1)
( 1)

n
n n
n n
+
= −
+
+
với n ∈N
*

Do đó:
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
(1 )
2 2 3 30 31
S
   
= − + − + + −
 ÷  ÷
   
2
2 2 2
1 31 1 30.32
1
31 31 31
−
= − = =
.
0.25
0.5

0.25
b
(1.0
điểm)
Ta có:
B =
12 12 12 4 4 4
12 4
6 124242423
19 37 53 15 4 2013
1 . : .
3 3 3 5 5 5
41 237373735
3 5
19 37 53 15 4 2013
 
+ − − + + +
 ÷
 ÷
 ÷
+ − − + + +
 
=
1 1 1 1 1 1
12. 1 4 1
47 41.3.1010101
19 37 53 15 4 2013
. : .
1 1 1 1 1 1
41 47.5.1010101

3 1 5 1
19 37 53 15 4 2013
 
   
+ − − + + +
 ÷  ÷
 ÷
   
 ÷
   
 ÷
+ − − + + +
 ÷  ÷
 ÷
   
 
=
5.47
3.41
).
4
5
.4.(
41
47
= 3
0.5
0.5
Câu 2: (2,0 điểm)
Phần Nội dung trình bày Điểm

a
(1.0
điểm)
Ta có
1 1 1 1
1
2 3 4 2012
A = − + − + −
;
=
1 1 1 1 1 1 1 1
1 2( )
2 3 4 2012 2 4 6 2012
+ + + + + − + + +
=
1 1 1 1 1 1 1 1
1 (1 )
2 3 4 2012 2 3 4 1006
+ + + + + − + + + +

1 1 1

1007 1008 2012
= + + +
= B
Suy ra:
2013
2013
1 1 1
A A

B B
 
= => = =
 ÷
 
Vậy
2013
1
A
B
 
=
 ÷
 
0.25
0.25
0.25
0.25
b
(1.0
điểm)
Xét : n = 1 ⇒ 1! = 1
2
n = 2
⇒
1! +2! = 3
n=3
⇒
1! + 2! + 3! = 9 =3
2

ĐỀ CHÍNH THỨC
n = 4
⇒
1!+ 2! +3! + 4! =33
- Với n >4 thì n! = 1.2.3 n là một số tự nhiên có chữ số tận
cùng là 0. Nên 1!+2!+ +n! = 33 cộng với một số có chữ số tận
cùng bằng 0
Suy ra : 1!+2!+ +n! có chữ số tận cùng là 3, nên nó không phải
là số chính phương.
- Vậy chỉ có hai giá trị n=1 hoặc n=3 thì 1! +2! + 3! +4! + +n!
là số chính phương
0.25
0.5
0.25
Câu 3: (2,0 điểm)
Phần Nội dung trình bày Điểm
a
(1.0
điểm)
Ta thấy: a, b, c là các số tự nhiên khác 0
Do a, b, c có vai trò như nhau nên không mất tính tổng quát, giả sử:
0 < a ≤ b ≤ c
Ta có:
1 1 1 3
a b c a
+ + ≤

3 4
5a
=> ≥

=> a ≤
15
4
=> a ∈ {1;2;3}
+ Với a = 1 thì
1 1 4
1
5b c
+ = −
. Không tồn tại b, c ∈N thỏa mãn.
+ Với a = 2:
Ta có:
1 1 1 4
2 5b c
+ + =
=>
1 1 3
10b c
+ =
Do b ≤ c nên
1 1 2
b c b
+ ≤
2 3
10b
=> ≥

2 3
10b
=> ≥

=> b ≤
20
3
=> b∈ {1;2;3;4;5;6}
Kiểm tra các trường hợp ta thấy b = 5 thì c = 10; b=4 thì c=20 (thỏa
mãn). Các trường hợp còn lại của b không thỏa mãn.
+ Với a = 3:
Ta có
1 1 4 1 7
5 3 15b c
+ = − =
Do b ≤ c nên
1 1 2
b c b
+ ≤
0.25
0.25
0.25
2 7
15b
=> ≥
b ≤
30
4
=> b∈ {1;2;3;4;5;6;7}
Kiểm tra các trường hợp của b ta thấy các giá trị của c đều không thỏa
mãn c∈ N
Vậy các bộ số (a;b;c) thỏa mãn đề bài là: (2;5;10) , (2;4;20) và các hoán
vị của chúng
0.25

b
(1.0
điểm)
- Vì p > q > r nên: p
2
+ q
2
> 2
Do vậy p
2
+ q
2
+ r
2
là số nguyên tố thì p
2
+ q
2
+ r
2
phải là số lẻ => p
2
, q
2
, r
2
là
các số lẻ => p, q, r là các số nguyên tố lẻ.
- Trong ba số p,q,r phải có ít nhất 1 số chia hết cho 3 vì nếu không có số
nào chia hết cho 3 thì p

2
, q
2
, r
2
chia 3 đều dư 1, khi đó p
2
+ q
2
+ r
2
chia hết
cho 3 (mâu thuẫn)
=> p = 3 ( p là số nguyên tố lẻ và nhỏ nhất trong 3 số)
=> q = 5, r = 7
Kiểm tra: p
2
+ q
2
+ r
2
= 3
2
+ 5
2
+ 7
2
= 83 là số nguyên tố (thỏa mãn)
0.25
0.25

0.25
0.25
Câu 4: (2,0 điểm)
Phần Nội dung trình bày Điểm
a
(1.0
điểm)
Tia Oz là phân giác góc xOy nên
·
0
50yOz =
Xét hai trường hợp:
* Trường hợp 1: Ot nằm giữa Oz và Oy
Mà
·
0
25yOt =
và Ot nằm giữa Oz, Oy nên
·
0
25zOt =
Vì Oz nằm giữa Ox, Oy và Ot nằm giữa Oy, Oz nên Oz nằm giữa Ox, Ot
=>
·
0
75xOt =
* Trường hợp 2: Oy nằm giữa Oz, Ot
Tia Oy nằm giữa Oz, Ot nên
·
0

75zOt =
Vì Oz nằm giữa Ox, Oy và Oy nằm giữa Ot, Oz nên Oz, Oy nằm giữa
Ox, Ot =>
·
0
125xOt =
0.25
0.25
0.25
0.25
O
x
y
z
t
50
0
50
0
25
0
50
0
50
0
25
0
O
x
y

z
t
b
(1.0
điểm)
- Trường hợp Oy nằm giữa Oz, Ot thì Ot không là phân giác của góc zOy
- Trường hợp Ot nằm giữa Oz và Oy ta có:
·
0
25yOt =
và
·
0
25zOt =
nên Ot là phân giác của góc zOy.
0.5
0.5
Câu 5: (2,0 điểm)
Phần Nội dung trình bày Điểm
a
(1.0
điểm)
Giả sử số B=2012
2012
khi biểu diễn dưới dạng số tự nhiên có n chữ số, ta có:
1000
2012
< 2012
2012
< 10

n
=> 10
n
> 10
6036
=> n > 6036
Giả sử khi số A=2012
2012
+ 2
2012
biểu diễn dưới dạng số tự nhiên thì số A
có nhiều hơn n chữ số, tức là A ít nhất có n + 1 chữ số, suy ra:
2012
2012
+2
2012
≥ 10
n

=> 2012
2012
< 10
n
< 2012
2012
+ 2
2012

=> 2
2012

.1006
2012
< 2
2012
. 2
n – 2012
.5
n
≤ 2
2012
.(1006
2012
+1) Do n > 6036
=> 1006
2012
< 2
n-2012
.5
n
≤ 1006
2012
+1.
=> 2
n-2012
.5
n
= 1006
2012
+1. Điều này là vô lý vì 1006
2012

+1 là số lẻ, còn
2
n-2012
.5
n
là số chẵn.
Do đó số chữ số của A không nhiều hơn số chữ số của B
=> ĐPCM
0.25
0.25
0.25
0.25
b
(1.0
điểm)
Giả sử khi biểu diễn số tự nhiên n dưới dạng số thập phân ta có:
n =
1
1 1 0
.10 .10 .10
m m
m m
a a a a
−
−
+ + + +
( với a
i
là các chữ số, i = 0,1,2, ,m ;
m ∈N)

=> n ≥
1 1 0

m m
a a a a
−
+ + + +
=> n ≥ S
(n)

=> n
2
– 2013n + 6 ≤ n
=> n
2
+ 6 ≤ 2014n
=>
6
2014n
n
+ ≤
=> n< 2014 (1)
Mà S
(n)
≥ 0
=> n
2
– 2013n + 6 ≥ 0
=> n
2

+ 6 ≥ 2013n
=>
6
2013n
n
+ ≥
=> n ≥ 2013 (2)
Từ (1) và (2) suy ra n = 2013
Thử với n = 2013 ta có:
S
(2013)
= 2013
2
– 2013.2013 +6 = 6 (thỏa mãn)
Vậy số tự nhiên n cần tìm là 2013.
0.25
0.25
0.25
0.25
Giám khảo chú ý:
- HDC chỉ là một cách giải. HS có thể giải theo cách khác, giám khảo căn cứ vào
bài làm cụ thể của HS để cho điểm.
- Điểm các phần, các câu không làm tròn. Điểm toàn là tổng điểm của các câu
thành phần.
……….