Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Môn Toán Chuyên Trường PTNK, ĐHQG Tp Hồ Chí Minh năm học 2013,2014

TP. HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG PTNK - ĐHQG TP HỒ CHÍ MINH
NĂM HỌC 2013 - 2014
ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút.
Không kể thời gian giao đề
Câu 1:
Cho phương trình: x
2
- 4mx + m
2
- 2m + 1 = 0 (1) với m là tham số.
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
phân biệt. Chứng minh rằng khi đó hai nghiệm
không thể trái dấu nhau.
b) Tìm m sao cho:
12
x x 1
Câu 2:
Giải h ệ phương trình:
 
 
 
2
2
2
3x 2y 1 2z x 2
3y 2z 1 2x y 2

3z 2x 1 2y z 2

   


   


   


Câu 3:
Cho x, y là hai số không âm thỏa mãn: x
3
+ y
3
≤ x - y.
a) Chứng minh rằng: y ≤ x ≤ 1.
b ) C h ứng minh rằng: x
3
+ y
3
≤ x
2
+ y
2
≤ 1.
Câu 4:
Cho M = a
2

+ 3a + 1, với a là số nguyên dương.
a) Chứng minh rằn g m ọi ước số của M đề u là số lẻ.
b) Tìm a sao cho M chia hết cho 5. Với n h ững giá trị n à o c ủa a thì M là lũy thừa của 5.
Câu 5:
Cho ABC có

0
A 60
. Đường tròn (I) nội t i ếp tam giác tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB
l ần lượt tại D, E, F. Đườn g t h ẳng ID cắt EF tại K, đườn g t h ẳng qua K song song với BC cắt
AB, AC lần lượt tại M, N.
a) Chứng minh rằng: IFMK và IMAN là tứ giác nội t i ếp.
b ) G ọi J là trung điểm BC. Chứng minh A, K, J thẳng hàng.
c) Gọi r là bán kính đường tròn (I) và S là diện tích tứ giác IEAF. Tính S theo r và chứng minh:
IMN
S
S
4

Câu 6:
Trong một kỳ thi, 60 học sinh phải g i ải 3 bài toán. Khi kết thúc kì thi, người ta nhận t h ấy r ằn g :
Với hai thí sinh bất kì luôn có ít nhất một bài toán mà cả hai thí sinh đề giải được. Chứng minh
rằn g :
a) Nếu có một bài toán mà mọi thí sinh đề không giải được thì phải c ó m ột bài toán khác
mà mọi thí sinh đều giải được.
b) Có một bài toán mà có ít nhất 40 thí sinh đều giải được.
Hế t
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Ghí chú: Cán bộ coi thi khôn giải thích gì thêm!

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10