Đề thi hoc Kì I môn toán lớp 12 tỉnh vĩnh phúc năm học 2014 - 2015(có đáp án)

SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I - NĂM HỌC 2014 - 2015
MÔN: TOÁN; LỚP 12
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1. (3 điểm)
Cho hàm số
3
3 2y x x= − +
(1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
b) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng
5 2y x= − +
.
Câu 2. ( 3 điểm)
a) Rút gọn biểu thức:
1 2
2
4
log 16 log 108 log 12.P = − +
b) Giải phương trình:
4 3.2 4 0
x x
+ − =
.
Câu 3. (1 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
1
x
y

x
=
+
.
Câu 4. (3 điểm)
Cho hình hộp chữ nhật
. ' ' ' 'ABCD A B C D
có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Góc giữa đường
thẳng A’C và mặt phẳng (ABCD) bằng
0
60
.
a) Tính thể tích của khối hộp theo a.
b) Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (BDA’).
c) Gọi N là trung điểm của CD, điểm P nằm trên đường thẳng A’D, điểm Q nằm trên đường
thẳng AB’ sao cho PQ song song với BN. Tính theo a độ dài đoạn PQ.
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:…………………………………………… Số báo danh:…………
SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I, NĂM HỌC 2014-2015
MÔN: TOÁN, LỚP 12
Câu 1.a) ( 2 điểm) Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số
3
3 2y x x= − +
(1).
Nội dung Điểm
*) Tập xác định:

.D = ¡
0,25
*) Sự biến thiên
- Giới hạn:
lim ; lim
x x
y y
→+∞ →−∞
= +∞ = −∞
0,25
-Chiều biến thiên: Ta có
2 2
1
' 3 3. ' 0 1 0
1
x
y x y x
x
=

= − = ⇔ − = ⇔

= −

0,25
Ta có
' 0 ( ; 1) (1; )y x> ∀ ∈ −∞ − ∪ +∞
và
' 0 ( 1;1)y x< ∀ ∈ −
nên hàm số đồng biến

trên các khoảng
( ; 1);(1; )−∞ − +∞
và nghịch biến trên khoảng
( 1;1)−
.
Hàm số đạt cực đại tại
1, 4
CD
x y= − =
; hàm số đạt cực tiểu tại
1, 0.
CT
x y= =
0,25
- Bảng biến thiên:
0,50
*) Đồ thị

4
2
-2
y
x
f x
( )
= x
3
-3
⋅
x

( )
+2
O
1
-2
3
-1

0,50
Câu 1.b) ( 1 điểm) Tìm giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng
5 2y x= − +
.
Nội dung Điểm
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng
5 2y x= − +
là
0,25

3
3 2 5 2x x x− + = − +
3
2 0x x⇔ + =
0,25
2
2
0
( 2) 0 0
2 0
x
x x x

x
=

⇔ + = ⇔ ⇒ =

+ =

0,25
Với
0 2x y= ⇒ =
. Vậy tọa độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng đã cho là (0;2).
0,25
Câu 2.a ( 1,5 điểm) Rút gọn biểu thức:
1 2
2
4
log 16 log 108 log 12.P = − +
Nội dung Điểm
Ta có
1 1
2
2 2 3 2
2
4
2
log 4 log (2 .3 ) log (2 .3)P
−
= − +
0,50
1 1 1

2 2
2 2 3 2
2 2
4
2 2
log 4 log 2 log 3 log 2 log 3
−
= − − + +
0,50
2 2
2 2 3log 3 4 2log 3= − − − + +
0,25
2
log 3.= −
0,25
Câu 2.b ( 1,5 điểm) Giải phương trình:
4 3.2 4 0
x x
+ − =
.
Nội dung Điểm
Đặt
2
x
t =
,
0t >
phương trình đã cho trở thành:
2
3 4 0.t t+ − =

0,50
Suy ra
1t =
hoặc
4t = −
(loại).
0,50
Với
1t =
suy ra
2 1 0.
x
x= ⇔ =
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
0.x =
0,50
Câu 3. (1 điểm) Tìm GTLN, NN của hàm số
2
1
x
y
x
=
+
.
Nội dung Điểm
*) Tập xác định:
.D = ¡
*) Sự biến thiên
- Giới hạn:

2 2
1 1
lim lim 0, lim lim 0.
1 1
1 1
x x x x
x x
y y
x x
→+∞ →+∞ →−∞ →−∞
= = = =
+ +
0,25
-Chiều biến thiên: Ta có
2 2
2
2 2 2 2
1
1.( 1) .2 1
' . ' 0 1 0
1
( 1) ( 1)
x
x x x x
y y x
x
x x
=

+ − −

= = = ⇔ − = ⇔

= −
+ +

0,25
- Bảng biến thiên:
0,25
Từ bảng biến thiên ta suy ra
- Hàm số đạt GTLN bằng
1
2
tại
1x =
, GTNN bằng
1
2
−
, tại
1.x = −
0,25
Câu 4.a (1 điểm) Tính thể tích hình hộp.

Nội dung Điểm
Ta có
2
ABCD
S a=
, tứ giác ABCD là hình vuông nên
2AC a=

.
0,25
Góc giữa A’C và mặt đáy là
·
0
' 60A CA =
. Xét tam giác vuông A’CA, ta có
·
0
'
tan ' tan60 3 ' 6
A A
A CA A A a
AC
= = = ⇒ =
.
0,25
Từ đó
. ' ' ' '
' .
ABCD A B C D ABCD
V A A S=
0,25
2 3
. ' ' ' '
6 . 6 .
ABCD A B C D
V a a a⇔ = =
0,25
Câu 4.b (1 điểm) Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (BDA’).

Nội dung Điểm
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Hạ
' ( ' ) (1)AH A O H A O⊥ ∈
0,25
( ' ) (2)
'
BD AC
BD A AO BD AH
BD A A
⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥

0,25
P
Q
O
M
N
C'
B'
D'
A
B
C
D
A'
H

Từ (1) và (2) suy ra
( ' ) ( ,( ' ))AH A BD d A A BD AH⊥ ⇒ =
.
0,25
Xét tam giác vuông A’AO, ta có
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 2 13 78
' 6 6 13
a
AH
AH AA AO a a a
= + = + = ⇒ =
.
Vậy
78
( ,( ' )) .
13
a
d A A BD =
0,25
Câu 4.c (1 điểm) Gọi N là trung điểm của CD, điểm P nằm trên đường thẳng A’D, điểm Q nằm trên
đường thẳng AB’ sao cho PQ song song với BN. Tính theo a độ dài đoan PQ.
Nội dung Điểm
Ta có A’D và AB’ là hai đường thẳng chéo nhau. Giả sử có
,P Q
thoả mãn điều kiện bài
toán. Do
' ( ' )
( ' ) ( ' )
' ( ' )

P A D P A DQ
A DQ AB P PQ
Q AB Q AB P
∈ ⇒ ∈

⇒ ∩ =

∈ ⇒ ∈

.
0,25
Giả sử A’Q cắt AB tại M. Vì BN//PQ suy ra BN//(A’DQ) hay BN//(A’DM). Mặt phẳng
(ABCD) chứa BN và cắt mặt phẳng (A’DM) theo giao tuyến DM nên BN//DM. 0,25
Suy ra M là trung điểm AB. Từ đó ta tìm các điểm P, Q như sau:
- Gọi M là trung điểm AB, nối A’M cắt AB’ tại Q.
- Trong mặt phẳng (A’DM), qua Q kẻ đường thẳng song song với DM cắt A’D tại P.
Đoạn thẳng PQ thỏa mãn các điều kiện của bài toán.
0,25
Theo cách dựng, ta có
2 2
2 2 5
.
3 3 3
a
PQ DM AM AD= = + =
0,25
Hết