Đề học sinh giỏi tham khảo bồi dưỡng học sinh các huyện, sở (16).DOC

Hớng dẫn chấm học sinh giỏi toán 9
đề II
Câu 1:
Ta có : x + 2y = 1 <=> x =1 2y
Do đó P = x.y = (1 - 2y)y = y 2y
2
= -(2y
2
y)

8
1
22
1
2
8
1
22
1
22
1
2
222







=

yy

Do đó tích số P=x.y đạt giá trị lớn nhất bằng
8
1
tại trị số
2
1
;

4
1
== ab

Câu 2:
a. Ta có a
8
+ a
4
+ 1 = (a
4
+ 1)
2
+ a
4

= (a
4
- a
2
+ 1)(a
4
+ a
2
+ 1)
= (a
4
- a
2
+ 1)(a

2
+ a + 1)(a
2
- a + 1)
Vậy a
8
+ a
4
+ 1 = (a
4
- a
2
+ 1)(a
2
+ a + 1)(a
2
- a + 1)
a. a
10
+ a
5
+ 1 = a
10
+ a
9
+ a
8
+ a
7
+ a

6
+ a
5
+ a
5
+ a
4
+ a
3
+ a
2
+ a + 1
- a
9
- a
8
- a
7
- a
6
- a
5
- a
4
- a
3
- a
2
- a
= (a

10
+ a
9
+ a
8
) +(a
7
+ a
6
+ a
5
)

+ (a
5
+ a
4
+ a
3
)

+ (a
2
+ a + 1)
- (a
9
+ a
8
+ a
7

)

- (a
6
+ a
5
+ a
4
)

- (a
3
+ a
2
+ a)
= a
8
(a
2
+ a + 1) + a
5
(a
2
+ a + 1) + a
3
(a
2
+ a + 1) + (a
2
+ a + 1)

- a
7
(a
2
+ a + 1) a
4
(a
2
+ a + 1) - a(a
2
+ a + 1)
= (a
2
+ a + 1)(a
8
a
7
+ a
5
a
4
+ a
3
a + 1)
Vậy a
10
+ a
5
+ 1 = (a
2

+ a + 1)(a
8
a
7
+ a
5
a
4
+ a
3
a + 1)
Câu 3:
Biến đổi:
( )
2
13
2
324
32
2
+
=
+
=+
Tơng tự:
( )
2
13
2
324

32
2

=

=
Do đó:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2
6
32
6
1313
136
13
136
13
623
13
623
13
2622
13
2622
13

2
13
2
2
13
2
13
2
2
13
322
32
322
32
22
2222
22
==
++
=


+
+
+
=


+
+

+
=
+

+
++
+
=



+
+
+
+
=


+
++
+
Vậy
2
322
32
322
32
=

+
++
+
Câu 4 Rút gon biểu thức:
ta có
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
xx
x
x

Q
x
x
x
x
xx
xxx
xx
xx
xx
xx
xx
x
xx
x
xxx
x
xx
x
xx
x
xx
x
P
111
1
2
1
11
2

122
11
1211
11
11
11
11
11
1
11
1
111
1
11
1
11
1
11
1
2
2
22
2
22
2
2
−
−
=−−=
−+

=
−+
=
−−+
−+−++
=
−−+
−++
=
−−+
−++
=
−−+
−
+
−−+
+
=
−−+−
−
+
−−+
+
=
+−−
−
+
−−+
+
=

x
x 11
2
−−
nÕu 0 < x < 1
=

x
x 11
2
−−
−
nÕu -1 < x < 0
=>
Q
P
A =

* NÕu -1 < x < 0 ta cã
1
11
11
2
2
−=
+−
−
−+
=

x
x
x
x
A

* NÕu 0 < x < 1 ta cã:
(
)
(
)
2
22
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
122122
11
11
11
11
11
11

x
xx
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
A
−−−
=
−
−−−
=
−−
+−
=
−−
+−
=
−−
−+
=
VËy -1 nÕu -1 < x < 0
A=

2
22
122
x
xx −−−
nÕu 0 < x < 1
C©u 5:
a. Khi a=5 ta cã hÖ
134
33
−=+
=+
yx
yx
<=>
1)33(34
33
−=−=
−=
xx
xy

<=>
105
33
−=−
−=
x
xy
<=>

2
33
=
−=
x
xy
<=>
3
2
−=
=
y
x
VËy khi a = 3 hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm (2;-3)
b. XÐt hÖ
14
3
−=+
=+
ayx
yax
(I) ta cã (I) <=>
1)3(4
3
−=−+
−=
axax
axy
<=>
( )

)2(314
)1(3
2
axa
axy
−−=−
−=
0,25 ®iÓm
0,25 ®iÓm
0,25 ®iÓm
0,25 ®iÓm
0,5 ®iÓm
0,25 ®iÓm
0,25 ®iÓm
0,25 ®iÓm
0,25 ®iÓm
0,25 ®iÓm
0,25 ®iÓm
Muốn (I) có nghiệm duy nhất thì
2404
22
aaa
Muốn (I) vô nghiện thì:
031
04
2

=
a
a

13
4
2

=
a
a



3
1
2

=
a
a



2
=
a
Vậy : Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất là
2a
Điều kiện để hệ vô nghiệm là
2

=
a
Câu 5:
Vẽ hình
1. Chứng minh
DECF

và
DECE
=
ta có
DECFcgcDAECDF == )(
Ta cũng có
11
DC =
mà
VNDCD 1
1
=+
=>
VNDCC 1
1
=+
=>
VCND 1=
hay
DECF

Qủy tích của N: ta có
VCND 1=

=> N chạy trên đờng tròn đờng kính CD
giới hạn : N ở miền trong của hình vuông ABCD .
- Khi M ở B thì A ở F, E ở B suy ra CF trùng với CA và DE trùng với DB do
đó N ở tại O (tâm của hình vuông).
- Khi M ở D thì F ở D, E ở A suy ra CF trùng với CD và DE trùng với DA do
đó N ở tại D.
Vậy N chỉ chạy trên 1/4 đờng tròn, cung DNO, có đờng kính CD.
Phần đảo: Lấy N thuộc cung phần t DO ở trên đờng tròn đờng kính CD ta có
VCND 1=
(1)
Gọi E là giao điểm của DN và AB, F là giao điểm của CN và AD. Dựng hình
chữ nhật AEMF ta chứng minh rằng
BDM
.
Từ (1) =>
11
DC =
(góc nhọn có cạnh đối một vuông góc)
=>
AEDFgcgDAECDF == )(

mà FM =AE (vì AEMF là hình chữ nhật)
=> DF=FM <=>
FDM
vuông cân
DBMFDM =
0
45
Vậy quỷ tích của N là 1/4 cung DNO của đờng tròn đờng kinh CD.
2. Chứng tỏ

EFCM =
và
EFCM

gọi K là giao điểm của FM và CB ta có:
DFCK
=
=>
FMCK
=

tơng tự :
MEMK =
Do đó:
EFCMcgCFMECKM == )(
Ta cũng có:
EFCMMFEKCM ==
.
3. Chứng minh CM, BF, DE đồng quy
Chứng minh tơng tự câu 1 ta có
CEBF
Trong
CEF

ta có
EFCM

;
EFED
;

CEFB

=> CM, ED, FB Là 3 đờng cao của tam giác do đó chúng đồng quy.
Vậy CM, BF, DE đồng quy tại một điểm. đó là trực tâm của tam giác CEF
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
Chú ý: Vẽ hình đúng ý 1
VÏ h×n sai kh«ng chi ®iÓm c©u 6