Đề học sinh giỏi tham khảo bồi dưỡng học sinh các huyện, sở (27)

ĐÁP ÁN ĐỀ 17
Bài 1: Cho các số dương a, b thỏa mãn: .
Chứng minh rằng:
Lời giải:
Ta có:


Từ đó suy ra: .
ĐPCM.
Bài 2: Giả sử x, y là các số thỏa mãn đẳng thức:
Tính giá trị của biểu thức S = x + y
Lời giải:
Ta có:


(1)
Tương tự như vậy, ta cũng có: (2)
Trừ vế theo vế hai đẳng thức (1) và (2) ta được: 2y = –2x x + y = 0
Vậy x + y = 0
Bài 3: Cho phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm là x
1
và x
2
thỏa mãn ax
1
+ bx
2
+ c = 0. Tính giá trị của biểu thức: M = a
2

c + ac
2
+ b
3
– 3abc
Lời giải:
Ta có: ax
1
+ bx
2
+ c = 0 (ax
1
+ bx
2
+ c)(ax
2
+ bx
1
+ c) = 0
(a
2
+ b
2
)x
1
x
2
+ ab( ) + (ac + bc)(x
1
+ x

2
) + c
2
=0 (1)
Vì x
1
, x
2
là hai nghiêm của phương trình ax
2
+ bx + c = 0 nên:
x
1
x
2
= , x
1
+ x
2
= và ta có: = (x
1
+ x
2
)
2
– 2x
1
x
2
= (2)

Thay (2) vào (1) ta suy ra:
a
2
c + ac
2
+ b
3
– 3abc = 0
Vậy M = 0
Bài 4: Cho các số thực dưong a, b, c thỏa mãn a + b + c = 6. Chứng minh rằng:

Lời giải:
Bổ đề: Cho các số thực dương x, y, z.
Chứng minh rằng: (1)
Chứng minh bổ đề:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số thực dương, ta có:
và:
Nhân vế theo vế hai bất đẳng thức trên, ta được (1). Bổ đề được chứng minh.
Áp dụng bổ đề vào bài toán đã cho, ta có:



. ĐPCM.
Bài 5: Cho đường tròn (O) và dây AB, M là điểm chuyển động trên đường tròn.Từ M
kẻ MH vuông góc với AB(H AB). Gọi E và F là hình chiếu của H trên MA và MB.
Qua M kẻ đường vuông góc với EF cắt dây AB tại D
a) Chứng minh rằng đường thẳng MD luôn đi qua 1 điểm cố định khi M thay
đổi trên đường tròn.
b) Chứng minh
Lời giải:

a) Vì MD vuông góc với EF nên:
BMD = 90
0
– MFE (1)
Mặt khác, vì tứ giác MEHF là tứ giác nội tiếp
( MFH + MEH = 90
0
+ 90
0
= 180
0
) nên
MFE = MHE (2)
Lại có: MHE = MAH(Cùng phụ với AMH) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra: BMD = 90
0
– MAH = 90
0
– MAB = BMO
Đường thẳng MD đi qua O là điểm cố định
b) Dễ dàng nhận thấy:
BMO = AMH = 90
0
– MAB
AMO = BMH = 90
0
– MBA
Ta có: (4)
Và (5)
Thay (5) vào (4) ta được:

ĐPCM.