Đề thi giải toán trên Máy tính cầm tay cấp tỉnh Quảng Ngãi môn Toán lớp 9 (2008 - 2009)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY
QUẢNG NGÃI CẤP TỈNH - NĂM HỌC 2008-2009


ĐỀ CHÍNH THỨC
Lớp 9
Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề thi)
Ngày thi : 18/01/2009
Chú ý : - Đề thi có 7 trang
- Thí sinh làm trực tiếp vào bản đề thi này


ĐIỂM CỦA TOÀN BÀI THI
Các giám khảo
(họ tên và chữ ký)
SỐ PHÁCH
(Do CTHĐ ghi)
Bằng số Bằng chữ

Qui ước : Trong mỗi bài nếu không có yêu cầu khác thì phần kết quả ghi đủ
các chữ số ngầm định trên màn hình.

Bài 1 : ( 5,0 điểm )
Cho biểu thức :

2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
A = + + + + +
a +a a +3a +2 a +5a +6 a +7a +12 a +9a +20 a +11a +30

Tính giá trị của biểu thức A với a = 3,33

Tóm tắt cách giải Kết quả

Bài 2 : ( 5,0 điểm )
a) Tính tổng :
A = 1,(1) + 1,(12) + 1,(123) + 1,(1234) + 1,1(2) + 1,1(23) + 1,12(34)

b) Cho
20082009 1
= a+
1
241
b+
1
c+
1
d+
1
e+
1
f +
g

Tính giá trị của a; b; c; d; e; f; g.

Tóm tắt cách giải Kết quả
a)

b)

















Bài 3 : (5 điểm)
Tìm số dư trong phép chia đa thức: f(x) = x
2009
+ x
2008
+ + x + 1 cho x

2

– 1

Tóm tắt cách giải Kết quả










Bài 4 : (5 điểm)
Cho hình thang vuông ABCD có góc nhọn BCD =  ngoại tiếp đường tròn
tâm O, bán kính r.
a) Viết công thức tính độ dài các cạnh của hình thang vuông ABCD theo r và .
b) Tìm công thức tính chu vi P của hình thang vuông ABCD và công thức tính
diện tích S của phần mặt phẳng giới hạn bởi đường tròn tâm (O) và hình thang
vuông ABCD.
c) Cho biết  = 65
0
và r = 3,25 (cm) tính P và S.

Tóm tắt cách giải Kết quả

Bài 5 : (5 điểm)
Giải phương trình


020022003
2
 xx
Trong đó



x
là ký hiệu phần nguyên của
x
.

Tóm tắt cách giải Kết quả




















Bài 6 : (5 điểm)
Tìm số hạng nhỏ nhất trong tất cả các số hạng của dãy số
2

2003
n
u n
n
 

Tóm tắt cách giải Kết quả














Bài 7: (5điểm)
Cho tam giác ABC có AB = 3,14 cm; BC = 4,25 cm; CA = 4,67 cm. Tính
diện tích tam giác có đỉnh là chân ba đường cao của tam giác ABC.

Tóm tắt cách giải Kết quả

Bài 8 : (5 điểm)
Viết quy trình ấn phím để tìm một nghiệm dương và một nghiệm âm gần
đúng của phương trình
3
3 1 0
x x
  
bằng phương pháp lặp.

Tóm tắt cách giải Kết quả

Bài 9 : (5,0 điểm)
Cho hình thang ABCD, có AB//CD và góc A, góc B là các góc tù. Kẻ đường
phân giác của góc A và góc B cắt nhau tại E ( với E

CD ). Tính các cạnh của hình
thang ABCD; biết chiều cao của hình thang bằng 12 cm, các phân giác AE =
13,6cm và BE = 16,9cm.

Tóm tắt cách giải Kết quả

Bài 10 : (5,0 điểm)
Cho dãy số:
3
3
4
3
3
2
4
3
3
3

2
4
3
U
nn
n














 ; với n = 0; 1; 2;
a) Tính 8 số hạng đầu tiên của dãy này.
b) Lập công thức truy hồi để tính: U
n+2
theo U
n+1
và U
n
.
c) Lập qui trình ấn phím liên tục để tính U

n
.


Tóm tắt cách giải và kết quả
a)





b)

c)









/)
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY
QUẢNG NGÃI CẤP TỈNH - NĂM HỌC 2008-2009

HƯỚNG DẪN CHẤM - LỚP 9

ĐỀ CHÍNH THỨC


Bài 1 : ( 5,0 điểm )
Cho biểu thức :

2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
A = + + + + +
a +a a +3a +2 a +5a +6 a +7a +12 a +9a +20 a +11a +30

Tính giá trị của biểu thức A với a = 3,33

Tóm tắt cách giải Điểm
Biến đổi các mẫu từng số hạng của A ta được :
          
 
   
 
1 1 1 1
A = + + + +
a a +1 a +1 a+2 a +2 a +3 a+3 a+4
1 1
+
a +4 a +5 a +5 a +6


Viết phân tích từng phân số và ước lượt, ta được :
 
1 1 6
A = - =
a a +6 a a +6
. Thế số vào và tính được A


0,193119164




2,5 điểm


2,5 điểm
Bài 2 : ( 5,0 điểm )
a) Tính tổng :
A = 1,(1) + 1,(12) + 1,(123) + 1,(1234) + 1,1(2) + 1,1(23) + 1,12(34)

b) Cho
20082009 1
= a+
1
241
b+
1
c+
1
d+
1
e+
1
f +
g

Tính giá trị của a; b; c; d; e; f; g.

Tóm tắt cách giải Điểm
a) A = 1 + 0,(1) + 1 + 0,(12) + 1 + 0,(123) + 1 + 0,(1234) + 1,1 +
0,1x 0,(2) + 1,1 + 0,1x 0,(23) + 1,12 + 0,01x 0,(34)
1 12 123 1234 2 23
A =1+ +1+ +1+ +1+ +1,1+0,1× +1,1+0,1× +
9 99 999 9999 9 99
34
+1,12+0,01×
99

Kết quả : A = 7,847747586
b) Dùng máy ấn tìm số dư và viết được :

1,0 điểm


1,0 điểm
0,5 điểm

20082009 1
=83327+
1
241
1+
1
5+
1
5+
1
1+
1
1+
3

Do đó : a = 83327; b = 1; c = 5; d = 5; e = 1; f = 1; g = 3


2,5 điểm
Bài 3 : (5 điểm)
Tìm số dư trong phép chia đa thức: f(x) = x
2009
+ x
2008
+ + x + 1 cho x
2
– 1

Tóm tắt cách giải Điểm
Ta có: f(x) = x

2009
+ x
2008
+ + x + 1






0)1(f
2010)1f(
( I )
Đa thức dư có dạng: ax + b ( vì đa thức chia có bậc là 2)
Ta có: f(x) = (x
2
– 1).Q(x) + ax+b







ba)1(f
ba)1(f
( II )
Kết hợp ( I ) và ( II ) ta được 1005ba
0ba
2010ba









Vậy đa thức dư cần tìm là: 1005x + 1005

1,5 điểm


1,5 điểm



2,0 điểm
Bài 4 : (5 điểm)
Cho hình thang vuông ABCD có góc nhọn BCD =  ngoại tiếp đường tròn
tâm O, bán kính r.
a) Viết công thức tính độ dài các cạnh của hình thang vuông ABCD theo r và .
b) Tìm công thức tính chu vi P của hình thang vuông ABCD và công thức tính
diện tích S của phần mặt phẳng giới hạn bởi đường tròn tâm (O) và hình thang
vuông ABCD.
c) Cho biết  = 65
0
và r = 3,25 (cm) tính P và S.

Tóm tắt cách giải Điểm

Hình
0,5 điểm








A

B

C

D

O

r

H

E

F

G

I



a) Kẻ BH  DC. Khi ấy BH = AD = 2r
Suy ra
BC
Sin
α
2r
SinHCB
BH

HC = BH.cotgHCB = 2rcotg
Gọi E, F, G, I là tiếp điểm của đường tròn với các cạnh AB, BC,
CD, DA.
Vì góc BCD =, nên góc
2
α
EOB   AB = AE+EB = r + EO

tgEOB = r(1+tg
2

)
Tương tự CD = CG + GD = r + OG cotgOCG = r(1+cotg
2

)
b) Do BE + CG = BF + FC = BC nên
P = AB + BC + CD + DA = 4r + 2BC = 4r + 2
2
sin
r

= =4r(1+
1
sin

)
S =
1
2
(AB + CD)AD - S
(o)

=
2 2
1 2 2
(2 )2 (2 )
2 sin sin

r
r r r r
 
 
    

c) Áp dụng bằng số với  = 65
o
và r = 3,25 (cm)
Trên máy Casio fx-570MS
* Tính P ta được P = 27,34391294 (cm)
* Tính S ta được S = 11,25078613 (cm)


0,25 điểm

0,25 điểm







0,5 điểm

0,5 điểm

0,75 điểm



0,75 điểm



0,75 điểm
0,75 điểm

Bài 5 : (5 điểm)
Giải phương trình


2
2003 2002 0
x x
  
(1)
Trong đó


x
là ký hiệu phần nguyên của
x


Tóm tắt cách giải Điểm
Gọi

x
là nghiệm của phương trình (1) và ký hiệu


x
= n.
(1)
2
2002 2003
x n
  
(2). Chứng tỏ n > 0
Vì
1
n x n
  

Nên
2 2 2
2002 2002 ( 1) 2002
n x n      (3)
Thay (2) vào (3) ta được
2 2
2002 2003 ( 1) 2002
n n n    
Bất đẳng thức này tương đương với :

2
2
2003 2002 0
2001 2003 0
n n
n n

  

  

hay
1 2002
1,0015; 1999,998
n
n n
 


 


Suy ra
1 1,0015

n
 
hoặc
1999,998 2002
n
 

Do n nguyên nên n = 1; 2000; 2001; 2002
Thay vào phương trình
2
2002 2003
x n
 
ta được
Với n =1;
2
1
x

vậy
1
x

( n dương nên
x
cũng chỉ lấy giá trị
dương)
Với n =2000;
2
4003998

x

vậy
4003998 2000,99250
x  
Với n = 2001; vậy
2001,499687
x


Với n = 2002; vậy
2002
x


1
2
3
4
1
2000,999250
2001,499687
2002
x
x
x
x

















1,25 điểm
1,25 điểm
1,25 điểm
1,25 điểm
Bài 6 : (5 điểm)
Tìm số hạng nhỏ nhất trong tất cả các số hạng của dãy số
2
2003
n
u n
n
 
Tóm tắt cách giải Điểm
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương
3
2 2 2
2003 2003 2003

3
2 2 2 2
n n n n
n
n n n
       =
3
2003
3
4

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi :
2
2003
2
n
n
 hay
3
2003 2 15,88
n    .
Vì n nguyên nên n chỉ có thể là 15 hoặc 16.
So sánh hai số u
15
= 23,90222222 và
u
16
= 23,82421875 (Tính trên máy)
Ta được n = 16

1,0 điểm


1,0 điểm


1,0 điểm
1,0 điểm
1,0 điểm
Bài 7: (5điểm)
Cho tam giác ABC có AB = 3,14 cm; BC = 4,25 cm; CA = 4,67 cm. Tính
diện tích tam giác có đỉnh là chân ba đường cao của tam giác ABC.

Tóm tắt cách giải Điểm


A
B
C
H
M
N
Tính
ABC
S = P(P -AB)(P -BC)(P - AC) = 6,49511781

Với
AB+BC+AC
P = = 6,03

2

ABC
2 2
2 2
2S
AH = = 3,056526028
BC
BH = AB -AH
CH = AC -AH



Mặt khác tam giác BHN đồng dạng với tam giác BAC nên :
NH BH BH×AC
= NH = =1,069638217
AC BA BA

Chứng minh tương tự, ta có : HM = 2,374028266 và MN = 1,971709244.
Vậy
S = P'(P'-NH)(P'-HM)(P'-MN)
HMN

Với
 
2
HMN
NH+HM+MN
P' = = 2,707687863
2

S =1,043631644 Cm



1,0 điểm


1,0 điểm




1,0 điểm





2,0 điểm
Bài 8 : (5 điểm)
Viết quy trình ấn phím để tìm một nghiệm dương và một nghiệm âm gần
đúng của phương trình
3
3 1 0
x x
  
bằng phương pháp lặp
Tóm tắt cách giải Điểm
Từ phương trình đã cho ta có
3

3 1
x x
 

* Nhập
0
2
x
 
, ấn phím
SHIFT
3
(3.Ans-1)
và lặp lại dãy phím

, ta có nghiệm gần đúng
1
1,879385242
x
 


* Nhập
0
2
x

, ấn phím
SHIFT
3

(3.Ans-1)
và lặp lại dãy phím

, ta có nghiệm gần đúng
2
1,532088886
x




2,5 điểm



2,5 điểm

Bài 9 : (5,0 điểm)
Cho hình thang ABCD (AB//CD) và góc A, góc B là các góc tù. Kẻ đường
phân giác của góc A, góc B cắt nhau tại E ( với E

CD ). Tính các cạnh của hình
thang ABCD; biết chiều cao của hình thang bằng 12 cm, các phân giác AE =
13,6cm và BE = 16,9cm
Tóm tắt cách giải Điểm


Vẽ AH và BK cùng vuông góc với CD.
Ta có : EH = 6,4 cm
EK = 11,9 cm (Pitago)

Ta lại có tam giác ADE cân tại D;
đặt AD = DE = x
Suy ra DH = x - HE = x - 6,4
Xét tam giác vuông DHA, có :
DH
2
+ AH
2
= AD
2

Suy ra (x - 6,4)
2
+ 12
2
= x
2

Ta được x = 14,45
Chứng minh tương tự cho tam giác BCE cân tại C.
Đặt y = BC = CE
Ta có CK = y - EK = y - 11,9
Khi đó : (y - 11,9)
2
+ 12
2
= y
2

Ta tính được y = 12,00042017

Kết quả : BC = 12,00042017 cm AB = 18,3 cm
CD = 26,45042017 cm AD = 14,45 cm

Hình 0,5 đ







1,5 điểm




1,5 điểm


1,5 điểm
Bài 10 : (5,0 điểm)
Cho dãy số:
3
3
4
3
3
2
4
3

3
3
2
4
3
U
nn
n














 ; với n = 0; 1; 2;
d) Tính 8 số hạng đầu tiên của dãy này.
e) Lập công thức truy hồi để tính: U
n+2
theo U
n+1
và U
n

.
f) Lập qui trình ấn phím liên tục để tính U
n
(trên máy f(x)-570MS)
Tóm tắt cách giải Điểm
a) U
0
= 0; U
1
= 1; U
2
= 1,5;
U
3


3,020833333; U
4
= 5,6875 U
5


10,85980903
;
U
6


20,67382813; U
7


39,38184498


1,5điểm
b) Lập công thức truy hồi:
Đặt
3
3
4
3
3
2
4
3
b;
3
3
4
3
3
2
4
3
a
n
n
n
n

















Khi ấy
nn1nnnn
b3
3
2
4
3
a3
3
2
4
3
UbaU

















nn
2
n
2
2n
3
48
91
a3
48
91
b3
3
2
4

3
a3
3
2
4
3
U








































A
B
D
C
E
H
K



 
n1nnnnn
U
48

37
U
2
3
ba
48
37
b3
3
2
4
3
2
3
a3
3
2
4
3
2
3


















Vậy: U
n+2
= U
n+1
– 18U
n
n1n2n
U
48
37
U
2
3
U 


2,0 điểm
c) Ấn 1
2
3

48
37

Rồi lặp lại dãy phím:

2
3

48
37



2
3

48
37

1,5 điểm

Ghi chú :
- Mỗi bài toán có thể có nhiều cách giải khác nhau, nếu kết quả đúng chính xác thì
vẫn cho điểm tối đa;
- Đối với các câu yêu cầu viết, lập, xác định công thức hay viết qui trình ấn phím tổ
giám khảo cần thống nhất quan điểm trước khi chấm;
- Yêu cầu của đề là viết kết quả bằng tất cả các chữ số ngầm định trên màn hình,
nếu học sinh tự làm tròn số thì cũng phải thống nhất quan điểm chung trong tổ giám khảo.
- Đồng thời giám khảo cần thử các loại máy tính trước khi chấm vì trong thực tế
giữa loại máy giòng MS và ES có khác nhau từ 2 đến 3 đơn vị của chữ số cuối cùng.




+



+



+



STO

B



STO



Shift




B



ANLPHA

.




A



STO

Shift




A



ANLPHA

.




B



Shift

.

A



STO



Shift