Đề thi HSG toán lớp 9 có đáp án đề 54

THI VO LP 10 THPT CHUYấN LAM SN (39)
MễN TON
(Thi gian: 180 phỳt)
Bài1: Cho f(x)= x
4
+ (a+2003)x
3
+(b+2004)x
2
+(c+2005)x + d .
Với a,b,c,d là những hằng số.
Giả sử f(2)=10 , f(3)=15 , f(4)=20.
Hãy tính:
2006
30
)7()13(
+
+
ff
Bài2: Cho ab

0 và hai số x, y thoả mãn : x
2
+y
2
=1 .
Chứng minh rằng nếu :
bab
y
a
x

+
=+
1
44
, thì :

10021002
2006
1002
2006
)(
1
bab
y
a
x
+
=+
.
Bài3: Cho phơng trình:
2(x+m)
2
6m(x+m) + 4m
2
-
2
= 0 .
a. Với giá trị nào của m thì phơng trình có nghiệm x
1
, x

2
.
b. Chứng minh rằng các nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn bất đẳng thức :
(x
1
- x
2
)
2
+ (x
1
x
2
+
21
11
xx

)
2
8
2
+ 8 . Và chỉ rõ dấu = xảy ra .
Bài4: Tìm nghiệm dơng của hệ :

=++
=+
16
289
)
1
)(
1
(
1
2
2
2
2
x
y
y
x
yx
.
Bài5: Giải phơng trình :
x
2
+ 3x - 3
1
3

x
- 1 = 0 .
Bài6:
a.Vẽ đồ thị của hàm số :
y = 2x +
1

x
b.Chứng minh rằng mọi m thì phơng trình
2x +
1

x
= m luôn có nghiệm .
Bài7: Tìm nghiệm tự nhiên của phơng trình :
55( x
3
y
3
+ x
2
+ y
2
) = 229(xy
3
+ 1) .
Bài8: Cho tam giác ABC , lấy điểm D thuộc nửa mặt phẳng không chứa điểm C
bờ AB sao cho DAAB và AD=AB .Lấy điểm E thuộc nửa mặt phẳng không chứa
điểm B bờ AC sao cho EAAC và AE=AC . So sánh diện tích tam giác ADE và

diện tích tam giác ABC .
(Toán học tuổi trẻ số 342 trang 18).
Bài9: Chứng minh rằng tổng độ dài các cạnh của một ngũ giác lồi bé hơn tổng độ
dài các đờng chéo của ngũ giác đó.
(bài thi hoc sinh giỏi trên vô tuyến truyền hình Hungari,năm1981-vòng1)
B i 10: Cho t din SABC cú ABC l tam giỏc vuụng ti B v SA vuụng gúc vi
mt phng (ABC)
a. Chng minh BC (SAB)
b. Gi AH l ng cao ca tam giỏc SAB. Chng minh AH SC
Sở GD-ĐT Thanh Hóa hớng dẫn chấm Đề tham gia xây
Trờng thpt Cầm Bá Thớc dựng ngân hàng đề thi vào 10 lam sơn
Nội dung Điểm
Bài 1
(4điểm)
Bài 2
(4điểm)
Bài 3:
(2điểm)
Câu a(2đ):
ĐK: x > 0, x.
A =
Câub(2đ):
Ta có:
lấy (1)- (2) ta đợc x = - 5
thay lại vào (2) ta đợc y =
Vậy hệ đã cho có nghiệm là
Câu a)(2đ):
Ta có = (2m+1)
2
4(m

2
+ m - 6) = 25
x
1
= m + 3, x
2
= m 2
Để hai nghiệm đều âm:

Câu b) (2đ):



Tọa độ giao giao điểm của (P) và (d) I ( -2; 1 )
Câu a)(2đ):
Ta có a áp dụng bất đẳng thức Côsi ta đợc
(1)
Tơng tự ta có: (2)
Cộng (1) và (2) ta đợc
Câu b)(2đ):
Theo giả thiết suy ra 5y
2
2 mà (5,2) =1 suy ra y
2
2, 2 là số nguyên tố
nên ta suy ra y 2 (*)
Ta cũng có 5y
2

Từ (*) ta suy ra y

2
= 0 hoặc y
2
= 4
- Với y
2
= 0 ta có 6x
2
= 74 do x
2
nguyên nên ta loại.
- Với y
2
= 4 ta có 6x
2
= 54 hay
Vậy nghiệm nguyên của phơng trình là:
(3,2), (3,-2), (-3,2), (-3,-2)
Câu a)(2đ):
0,5
1,5
0,75
0,75
0,5
0,5
0,5
1,0
0,5
0,5
1,0

1,0
Bài 4:
(4điểm)
Bài 5
(4điểm)

Ta thấy:
Tơng tự ta có
Xét tam giác ABD, ta có
D o đó:
Suy ra JD là đờng cao của tam giác AJK
Chứng minh tơng tự ta có KE là đờng cao của tam giác AJK , KE và
JD cắt nhau tại F. Do vậy F là trực tâm của tam giác AJK. Hay AI là
đờng cao thứ 3 của tam giác AJK, hay AI JK
Câub)(2đ):
Ta có: (góc nhọn có cạnh tơng ứng vuông góc)
mà
suy ra tứ giác BJKC nội tiếp đợc đờng tròn
Hạ SM BC thì SM là đờng cao của tam giác đều SBC có cạnh a
nên SM =
2
3a
Do đó S
xq
=
3
2
3
4
2

1
2
1
2
aapd
==
Vì tứ giác ABCD là hình vuông cạnh a nên AC =
2a
suy ra OA=
2
2a
Theo định lý Pitago trong tam giác vuông thì
SO=
2
2
22
a
OASA
=
Do đó V
SABCD
=
62
2
3
1
3
1
3
2

aa
aBh
==
1,0
0,5
1,0
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Bµi 6
(2®iÓm)
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
0,75
0,25
0,25
0,5