Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán chuyên KHTN - Đại học Quốc gia Hà Nội năm 2014 - 2015

Page 1
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN KHTN ( ĐH QUỐC GIA HÀ NỘI) NĂM
HỌC 2014 – 2015
Môn thi: Toán ( không chuyên)
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề.
Câu I.
1) Giải phương trình
 


2
1 1 2 1 2 8x x x     

2) Giải hệ phương trình
22
22
1
24
x xy y
x xy y

  


  



Câu II.
1) Giả sử x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x + y + z = xyz. Chứng minh

rằng:
 
   
2 2 2
5 4 3
23
1 1 1
xyz x y z
x y z
x y z x y y z x z

  
     

2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
 
22
3x y x y x y xy    

Câu III. Cho tam giác ABC nhọn với AB < BC là điểm thuộc cạnh BC sao cho AD là phân
giác góc ABC. Đường thẳng qua C song song với AD cắt trung trực của AC tại E. Đường
thẳng qua B song song với AD cắt trung trực của AB tại F.
1. Chứng minh: tam giác ABF đồng dạng tam giác ACE.
2. Chứng minh: AD, BE, CF đồng quy tại G.
3. Đường thẳng qua G song song với AE cắt BF ở Q. Đường thẳng QE cắt đường tròn
ngoại tiếp tam giác GEC tại P. Chứng minh 5 điểm A, P, G, Q, F thuộc một đường tròn.
Câu IV. Giả sử a, b, c là các số thực dương và ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng:
 
4 2 4 2 4 2
5

2
9
abc a b c a b b c c a     








Page 2
Môn thi: Toán ( chuyên)
Thời gian làm bài : 150 phút, không kể thời gian phát đề.
Câu I.
1) Giả sử x, y là những số thực dương phân biệt thỏa mãn:
2 4 8
2 2 4 8 8
2 4 8
4
4
y y y y
x y x y x y x y
   
   

Chứng minh rằng 4x = 5y.
2) Giải hệ phương trình:
22
22

2 3 12
6 12 6
x y xy
x x y y y x

  


   



Câu II:
1) Cho x, y là những số nguyên lớn hơn 1 sao cho
22
4 7 7x y x y
là số chính phương.
Chứng minh rằng x = y.
2) Giả sử x, y là những số thực không âm thỏa mãn
3 3 2 2
x y xy x y   
. Tìm GTLN
và GTNN của biểu thức:
12
21
xx
P
yy





Câu III. Cho tam giác ABC nội tiếp (O) và điểm P nằm trong tam giác sao cho BP = PC. D là
điểm nằm trên BC ( D nằm giữa B và C) sao cho P nằm trong đường tròn ngoại tiếp tam giác
DAB và đường tròn ngoại tiếp tam giác DAC. Đường thẳng PB cắt đường tròn ngoại tiếp tam
giác DAB tại E khác B. Đường thẳng PC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác DAC tại F khác
C.
1) Chứng minh rằng 4 điểm A, E, P, F thuộc 1 đường tròn.
2) Giả sử đường thẳng AD cắt (O) tại Q khác A, đường thẳng AF cắt đường thẳng CQ
tại L. Chứng minh rằng tam giác ABE đồng dạng tam giác CLF.
3) Gọi K là giao điểm của đường thẳng AE và đường thẳng QB. Chứng minh rằng




QKL PAB QLK PAC  
.
Câu IV. Cho tập hợp A gồm 31 phần tử và dãy gồm m tập hợp con của A thỏa mãn đồng thời
các điều kiện sau:
i) Mỗi tập thuộc dãy m có ít nhất 2 phần tử.
ii) Nếu hai tập thuộc dãy có chung nhau ít nhất 2 phần thử thì số phần tử của hai tập này
khác nhau.
Chứng minh rằng :
900m

HẾT