Chuyên đề ôn thi đại học năm 2015 môn toán bộ 2

Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC (QUYỂN 2)
(Phần 1: Đại số)
- Tài liệu được soạn theo nhu cầu của các bạn học sinh khối trường THPT (đặc biệt
là khối 12).
- Biên soạn theo cấu trúc câu hỏi trong đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng của Bộ
GD&ĐT.
- Tài liệu được chia ra làm 2 phần:
+ Phần 1: Phần Đại số (Chiếm khoảng 7 điểm) gồm 2 quyển – Mỗi quyển 5 chuyên
đề.
Trong phần này có 10 chuyên đề:
 Chuyên đề 1: Chuyên đề khảo sát hàm số và các câu hỏi phụ trong khảo sát
hàm số.
 Chuyên đề 2: Chuyên đề PT – BPT Đại số.
 Chuyên đề 3: Chuyên đề HPT – HBPT Đại số.
 Chuyên đề 4: Chuyên đề PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit.
 Chuyên đề 5: Chuyên đề Lượng giác và PT Lượng giác.
 Chuyên đề 6: Chuyên đề Tích phân.
 Chuyên đề 7: Chuyên đề Tổ hợp – Xác suất.
 Chuyên đề 8: Chuyên đề Nhị thức Newtơn.
 Chuyên đề 9: Chuyên đề Số phức.
 Chuyên đề 10: Chuyên đề Bất đẳng thức.
+ Phần 2: Phần Hình học (Chiếm khoảng 3 điểm)
Trong phần này có 5 chuyên đề:
 Chuyên đề 1: Chuyên đề Thể tích: Khối chóp, Khối lăng trụ
 Chuyên đề 2: Chuyên đề Hình học phẳng.
 Chuyên đề 3: Chuyên đề Hình học không gian.
 Chuyên đề 4: Chuyên đề Phương trình đường thẳng (*).
 Chuyên đề 5: Chuyên đề Các hình đặc biệt trong đề thi.
Cuối cùng, Phần tổng kết và kinh nghiệm làm bài.

1
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
- Tài liệu do tập thể tác giả biên soạn:
1. Cao Văn Tú – CN.Mảng Toán – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái
Nguyên (Chủ biên)
2. Cô Trần Thị Ngọc Loan – CLB Gia Sư Thái Nguyên(Đồng chủ biên).
3. Thầy Vũ Khắc Mạnh – CLB Gia sư Bắc Giang (Tư vấn).
4. Nguyễn Thị Kiều Trang – SV Khoa Toán – Trường ĐHSP Thái Nguyên.
5. Nguyễn Trường Giang – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên.
6. Lý Thị Thanh Nga – SVNC – Khoa Toán – Trường ĐH SP Thái Nguyên.
7. Ngô Thị Lý – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên.
- Tài liệu được lưu hành nội bộ - Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
- Nếu chưa được sự đồng ý của ban Biên soạn mà tự động post tài liệu thì đều được
coi là vi phạm nội quy của nhóm.
- Tài liệu đã được bổ sung và chỉnh lý lần thứ 2.
Tuy nhóm Biên soạn đã cố gắng hết sức nhưng cũng không thể tránh khỏi sự sai
xót nhất định.
Rất mong các bạn có thể phản hồi những chỗ sai xót về địa chỉ email:
!
Xin chân thành cám ơn!!!
Chúc các bạn có một kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng năm 2015 an toàn,
nghiêm túc và hiệu quả!!!
Thái Nguyên, tháng 07 năm 2014
Trưởng nhóm Biên soạn

Cao Văn Tú
CHUYÊN ĐỀ 6: TÍCH PHÂN
2

Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
I. NGUYÊN HÀM
1. Khái niệm.
Định nghĩa. Cho hàm số
( )f x
xác định trên K (K là đoạn, khoảng, nửa khoảng). Hàm số
( )F x
được gọi là nguyên hàm của hàm số
( )f x
trên K, nếu
'( ) ( )F x f x
=
, với mọi
x K
∈
.
Định lý. Giả sử
( )F x
là một nguyên hàm của hàm số
( )f x
trên khoảng K. Khi đó
a. Với mỗi hằng số C, hàm số
( ) ( )G x F x C
= +
cũng là một nguyên hàm của
( )f x
.
b. Ngược lại, nếu G(x) là một nguyên hàm của

( )f x
thì tồn tại hằng số C sao cho G(x) = F(x)
+ C.
c. Họ tất cả các nguyên hàm của
( )f x
là
( ) ( )f x dx F x C
= +
∫
, trong đó
( )F x
là một nguyên
hàm của
( )f x
, C là hằng số bất kỳ.
d. Bảng các nguyên hàm cơ bản.
Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
Nguyên hàm các hàm số sơ cấp thường gặp
Nguyên hàm của hàm số hợp
( )u u x
=
,kdx kx C k R
= + ∈
∫
,kdu ku C k R
= + ∈
∫
1
1
. ( 1)

1
x dx x C
α α
α
α
+
= + ≠ −
+
∫
1
1
. ( 1)
1
u du u C
α α
α
α
+
= + ≠ −
+
∫
ln
dx
x C
x
= +
∫
(
0x
≠

)
ln
du
u C
u
= +
∫
(
0x
≠
)
2
dx
x C
x
= +
∫
2
du
u C
u
= +
∫
x x
e dx e C
= +
∫
u u
e du e C
= +

∫
(0 1).
ln
x
x
a
a dx C a
a
= + < ≠
∫
(0 1).
ln
u
u
a
a du C a
a
= + < ≠
∫
cos sinxdx x C
= +
∫
cos sinudu u C
= +
∫
sin cosxdx x C
= − +
∫
sin cosudu u C
= − +

∫
2
tan
cos
dx
x C
x
= +
∫
;
2
cot
sin
dx
x C
x
= − +
∫
.
2
tan
cos
du
u C
u
= +
∫
;
2
cot

sin
du
u C
u
= − +
∫
Ngoài ra còn một số công thức thường gặp là.
3
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
1
1 ) 1 1
( ) ,( 0, 1); ln , 0.
1
1 1
; ( ) sin( )
1
sin( ) ( )
ax ax
(ax
ax ax
ax
os ax ax
ax os ax
k
k
b b
b
b dx C a k dx b C a

a k b a
e dx e C c b dx b C
a a
b dx c b C
a
+
+ +
+
+ = + ≠ ≠ − = + + ≠
+ +
= + + = + +
+ = − + +
∫ ∫
∫ ∫
∫
2. Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm
Định lý. Nếu
( ), ( )F x G x
tương ứng là một nguyên hàm của
( ), ( )f x g x
thì
a.
'( ) ( )f x dx f x C
= +
∫
b.
[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx F x G x C
± = ± = ± +
∫ ∫ ∫
;

c.
( ) ( ) ( 0)a.f(x)dx aFa f x dx x C a
= = + ≠
∫ ∫
.
3. Một số phương pháp tìm nguyên hàm
a. Phương pháp đổi biến số
Cơ sở của phương pháp đổi biến số là định lý sau: Cho hàm số
( )u u x
=
có đạo hàm liên tục
trên K và hàm số
(u)y f
=
liên tục sao cho
[ ( )]f u x
xác định trên K. Khi đó nếu F là một
nguyên hàm của f, tức là
( ) ( )f u du F u C
= +
∫
thì
[ ( )]dx=F[u(x)]+Cf u x
∫
.
b. Phương pháp tích phân từng phần
Một số dạng thường gặp:
Dạng 1.
( ). , ( )sin( ) , ( ) ( )
ax

ax os ax
b
P x e dx P x b dx P x c b dx
+
+ +
∫ ∫ ∫
Cách giải: Đặt
( ), ( sin( ) , cos( ) )
ax
hoaëc
b
u P x dv e dx dv ax b dx dv ax b dx
+
= = = + = +
Dạng 2.
( )ln( )axP x b dx
+
∫
Cách giải: Đặt
ln( ), ( ) .axu b dv P x dx
= + =
I. TÍCH PHÂN.
1. Định nghĩa. Cho hàm
( )f x
liên tục trên khoảng K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu
( )F x
là một nguyên hàm của
( )f x
thì hiệu số
( ) ( )F b F a

−
được gọi là tích phân của
( )f x
từ
a đến b và ký hiệu là
( )
b
a
f x dx
∫
. Trong trường hợp
a b
<
thì
( )
b
a
f x dx
∫
là tích phân của f trên
4
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
[ ]
;a b
.
2. Tính chất của tích phân .
Cho các hàm số
( ), ( )f x g x

liên tục trên K và
, ,a b c
là ba số thuộc K.
( ) 0 ( ) ( )
( ) ( ) ( ) . ( ) ( )
[ ( ) ( )] ( ) ( )
a b a
a a b
b c b b b
a a c a a
b b b
a a a
f x dx f x dx f x dx
f x dx f x dx f x dx k f x dx k f x dx
f x g x dx f x dx g x dx
• = • = −
• = + • =
• ± = ±
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
3. Một số phương pháp tính tích phân
• Phương pháp đổi biến số: Công thức đổi biến số
( )
( )
[ ( )] '( ) ( )
u b
b
a u a
f u x u x dx f u du=

∫ ∫
. Trong đó
( )f x
là hàm số liên tục và
( )u x
có đạo hàm liên tục trên khoảng J sao cho hàm hợp
[ ( )]f u x
xác định trên J;
,a b J
∈
.
Phương pháp đổi biến số thường áp dụng theo hai cách
Cách 1. Đặt ẩn phụ
( )u u x
=
(
u
là một hàm của x)
Cách 2. Đặt ẩn phụ
( )x x t
=
(
x
là một hàm số của t).
• Phương pháp tích phân từng phần.
Định lý. Nếu
( ), ( )u x v x
là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng K và
,a b
là hai số thuộc

K thì
( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )
b b
b
a
a a
u x v x dx u x v x v x u x dx
= −
∫ ∫
4. Ứng dụng của tích phân
• Tính diện tích hình phẳng
• Nếu hàm số
( )y f x
=
liên tục trên
[ ]
;a b
thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
hàm số
( )y f x
=
, trục hoành và hai đường thẳng
,x a x b
= =
là
( )
b
a
S f x dx=
∫

.
• Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số
( )y f x
=
,
( )y g x
=
và hai đường thẳng
,x a x b
= =
là
( ) ( )
b
a
S f x g x dx
= −
∫
• Tính thể tích vật thể. Thể tích vật thể B giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox
5
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
tại các điểm
,a b
là
( )
b
a
V S x dx
=

∫
. Trong đó S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt
bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là
[ ]
;x a b
∈
và S(x) là một
hàm liên tục.
• Tính thể tích khối tròn xoay.
• Hàm số
( )y f x
=
liên tục và không âm trên
[ ]
;a b
. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
( )y f x
=
, trục hoành và hai đường thẳng
,x a x b
= =
quay quanh trục hoành tạo nên một
khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công thức
2
( )
b
a
V f x dx
π
=

∫
.
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
( )x g y
=
, trục tung và hai đường thẳng
,y c y d
= =
quay quanh trục tung tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công thức
2
( )
d
c
V g y dy
π
=
∫
.
Bảng công thức tích phân bất định
∫
=
Cdx0
∫
+=
Cxdx
1
1
1
−≠+
+

=
∫
+
nC
n
x
dxx
n
n
Cxdx
x
+=
∫
ln
1
∫
+=
Cedxe
xx
∫
= C
a
a
dxa
x
x
ln
∫
+−=
Cxxdx cossin

∫
+=
Cxxdx sincos
∫
+=
Cxdx
x
tan
cos
1
2
∫
+−=
Cxdx
x
cot
sin
1
2
∫
+=
′
Cxudx
xu
xu
)(ln
)(
)(
∫
+

+
−
=
−
C
ax
ax
a
dx
ax
ln
2
11
22
∫
+++++=+
Caxx
a
ax
x
dxax
222
ln
22
Phương pháp biến số phụ :
Cho hàm số
)(xf
liên tục trên đoạn
[ ]
ba;

có nguyên hàm là
)(xF
.
Giả sử
)(xu
là hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn
[ ]
βα
,
và có miền giá trị là
[ ]
ba;
thì ta có :
[ ] [ ]
CxuxFdxxuxuf
+=
∫
)()()('.)(
BÀI TẬP
6
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
Tính các tích phân sau :
a)
∫
+
=
1
0

2
1
1x
xdx
I
b)
∫
−
=
1
0
2
1
x
x
e
dxe
I
c)
∫
+
=
e
x
dxx
I
1
3
ln1
Bài làm :

a) Đặt
2
21
2
dt
xdxxdxdtxt
=⇒=⇒+=
Đổi cận :



=→=
=→=
21
10
tx
tx
Vậy :
2ln
2
1
ln
2
1
2
1
1
2
1
2

1
2
1
2
1
===
+
=
∫ ∫
t
t
dt
x
xdx
I
b) Đặt
dxedtet
xx
=⇒−= 1
Đổi cận :



−=→=
−=→=
12
11
2
etx
etx

Vậy :
)1ln(ln
1
1
1
1
1
1
0
2
2
2
+===
−
=
−
−
−
−
∫∫
et
t
dt
e
dxe
I
e
e
e
e

x
x
c) Đặt
dx
x
tdtxt
1
ln1
=⇒+=
Đổi cận :



=→=
=→=
2
11
tex
tx
Tích phân lượng giác :
Dạng 1 :
∫
=
β
α
nxdxmxI cos.sin

Cách làm: biến đổi tích sang tổng .
Dạng 2 :
∫

=
β
α
dxxxI
nm
.cos.sin
Cách làm :
Nếu
nm,
chẵn . Đặt
xt tan
=
Nếu
m
chẵn
n
lẻ . Đặt
xt sin
=
(trường hợp còn lại thì ngược lại)
7
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
)122(
3
2
3
2ln1
2
1
2

1
2
3
1
3
−===
+
=
∫∫
tdtt
x
dxx
I
e
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
Dạng 3 :
∫
++
=
β
α
cxbxa
dx
I
cos.sin.
Cách làm :
Đặt :








+
−
=
+
=
⇒=
2
2
2
1
1
cos
1
2
sin
2
tan
t
t
x
t
t
x
x
t

Dạng 4 :
∫
+
+
=
β
α
dx
xdxc
xbxa
I .
cos.sin.
cos.sin.
Cách làm :
Đặt :
xdxc
xdxcB
A
xdxc
xbxa
cos.sin.
)sin.cos.(
cos.sin.
cos.sin.
+
−
+=
+
+
Sau đó dùng đồng nhất thức .

Dạng 5:
∫
++
++
=
β
α
dx
nxdxc
mxbxa
I .
cos.sin.
cos.sin.
Cách làm :
Đặt :
nxdxc
C
nxdxc
xdxcB
A
nxdxc
mxbxa
++
+
++
−
+=
++
++
cos.sin.cos.sin.

)sin.cos.(
cos.sin.
cos.sin.
Sau đó dùng đồng nhất thức.
BÀI TẬP
Tính tích phân :
a)
∫
+
=
2
0
4
1
)1(sin
cos
π
x
xdx
I
b)
∫
=
2
0
5
2
cos
π
xdxI

c)
∫
=
4
0
6
3
tan
π
xdxI
Bài làm :
a) Đặt :
xdxdtxt cos1sin
=⇒+=
Đổi cận :





=→=
=→=
2
2
10
tx
tx
π
Vậy :
24

7
3
1
)1(sin
cos
2
1
3
2
1
4
2
0
4
1
=−==
+
=
∫∫
tt
dt
x
xdx
I
π
b) Đặt :
xdxdtxt cossin
=⇒=
8
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:

Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
Đổi cận :





=→=
=→=
1
2
00
tx
tx
π
Vậy :
( ) ( )
15
8
3
2
5
211cos
1
0
1
0
3
5

1
0
1
0
24
2
2
2
0
5
2
=








+−=
−+=−==
∫
∫ ∫∫
tt
t
dtttdttxdxI
π
c) Đặt :
dxxdtxt )1(tantan

2
+=⇒=
Đổi cận :





=→=
=→=
1
4
00
tx
tx
π
Vậy :
415
13
35
1
1
1
1
tan
4
0
1
0
35

1
0
1
0
2
24
2
6
4
0
6
3
π
π
π
−=−








+−=







+
−+−=
+
==
∫
∫ ∫∫
dut
tt
dt
t
tt
t
dtt
xdxI
Tính các tích phân sau :
a)
∫
+
=
2
0
2222
1
cos.sin.
cos.sin
π
dx
xbxa
xx

I
b)
∫
+
=
3
0
2
2cos2
cos
π
dx
x
x
I

Bài làm :
a) Đặt :
xdxxabdtxbxat cos.sin)(2cos.sin.
222222
+−=⇒+=
Đổi cận :





=→=
=→=
2

2
2
0
btx
atx
π
Nếu
ba
≠
9
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
Vậy :
( )
ba
ab
ba
t
ab
t
dt
ab
dx
xbxa
xx
I
b
a
b

a
+
=
−
−
=
−
=
−
=
+
=
∫ ∫
11
2
1
cos.sin.
cos.sin
2222
2
0
22
22
1
2
2
2
2
π
Nếu

ba
=
Vậy :
a
x
a
xdx
a
a
xdxx
dx
xbxa
xx
I
2
1
2cos
4
1
2sin
2
1
cos.sin
cos.sin.
cos.sin
2
0
2
0
2

0
2
0
2222
1
=−==
=
+
=
∫
∫∫
π
π
ππ
b) Đặt :
xdxdtxt cossin
=⇒=
Đổi cận :





=→=
=→=
2
3
3
00
tx

tx
π
Vậy :
∫∫∫
−
=
−
=
+
=
2
3
0
2
2
3
0
2
3
0
2
2
32
1
23
2cos2
cos
t
dt
t

dt
dx
x
x
I
π
Đặt :
ududtut sin
2
3
cos
2
3
−=⇒=
Đổi cận :







=→=
=→=
42
3
2
0
π
π

ut
ut
Vậy :
( )
242
1
2
1
cos1
2
3
sin
2
3
2
1
2
32
1
2
4
4
4
2
4
2
2
3
0
2

2
π
π
π
π
π
π
π
===
−
=
−
=
∫
∫∫
udu
u
udu
t
dt
I
Tính các tích phân sau :
10
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
a)
∫
++
=

2
0
1
5cos3sin4
1
π
dx
xx
I
b)
∫
++
++
=
2
0
2
5cos3sin4
6cos7sin
π
dx
xx
xx
I

Bài làm :
a) Đặt :
1
2
1

2
tan
2
tan
2
2
+
=⇒






+=⇒=
t
dt
dxdx
x
dt
x
t
Đổi cận :





=→=
=→=

1
2
00
tx
tx
π
Vậy :
( )
6
1
2
1
1
5
1
1
3
1
2
4
1
2
1
0
1
0
2
1
0
2

2
2
2
1
=
+
−=
+
=
+
+
−
+
+
+
=
∫∫
t
t
dt
dt
t
t
t
t
t
I
b)Đặt :
5cos3sin45cos3sin4
sin3cos4

5cos3sin4
6cos7sin
++
+
++
−
+=
++
++
xx
C
xx
xx
BA
xx
xx
Dùng đồng nhất thức ta được:
1,1,1
===
CBA
Vậy :
( )
6
1
8
9
ln
2
5cos3sin4ln
5cos3sin4

1
5cos3sin4
sin3cos4
1
5cos3sin4
6cos7sin
1
2
0
2
0
2
0
2
++=++++=






++
+
++
−
+=
++
++
=
∫∫

π
π
ππ
Ixxx
dx
xxxx
xx
dx
xx
xx
I
Bạn đọc tự làm :
a)
∫
=
2
6
2
3
1
sin
cos
π
π
dx
x
x
I
b)
∫

=
2
0
3
2
sin.cos
π
xdxxI
c)
∫
+
=
2
0
3
2sin
π
x
dx
I
c)
∫
+
=
2
0
3
3
1cos
sin4

π
dx
x
x
I
d)
∫
++
=
2
0
5
3cos2sin
1
π
dx
xx
I
d)
∫
++
+−
=
2
0
6
3cos2sin
1cossin
π
dx

xx
xx
I
Tính nguyên hàm,tích phân các hàm hữu tỷ
11
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
Dạng 1 :
( ) ( )
C
ax
n
ax
dx
I
nn
+
−
−
−=
−
=
−
∫
1
1
.
1
1

với
( ) { }( )
1,0,
−×∈
NCna
ta có :
Nếu
Ran
∈=
,1
ta có :
Cx
ax
dx
I
+=
−
=
∫
ln
Dạng 2 :
( )
∫
++
+
=
dx
cbxax
x
I

n
2
βα
trong đó :



<−=∆
∈
04
,,,,
2
acb
Rcba
βα
* Giai đoạn 1 :
0
≠
α
,làm xuất hiện ở tử thức đạo hàm của tam thức
cbxax
++
2
, sai khác một số :
( ) ( ) ( )
∫∫∫
++







−+
++
+
=
++
−++
=
nnn
cbxax
dx
b
a
a
dx
cbxax
bax
a
dx
cbxax
b
a
bax
a
I
222
2
2

2
2
2
2
2
α
βαα
α
β
α
* Giai đoạn 2 :
Tính
( ) ( )
∫∫
∆−
+
=
+
∆−






∆−
=
++
=
bax

t
n
n
n
t
dt
a
a
dx
cbxax
dx
I
2
22
1
2
.
4

* Giai đoạn 3 :
Tính
( )
∫
+
= dt
t
I
n
1
1

2
có thể tính bằng hai phương pháp , truy hồi hoặc đặt
φ
tan
=
t
Dạng 3 :
( )
( )
∫
= dx
xQ
xP
I
n
m

Ta có :
( )
( )
01
01


bxbxb
axaxa
xQ
xP
n
n

m
m
n
m
+++
+++
=
Nếu :
( ) ( )
QP degdeg
≥
thì ta thực hiện phép chia
( )
( )
( )
( )
( )
( )
xQ
xR
xA
xQ
xP
n
r
nm
n
m
+=
−

trong đó phân số
( )
( )
xQ
xR
n
r

có
( ) ( )
QR degdeg
<
Nếu :
( ) ( )
QP degdeg
<
ta có các qui tắc sau :
*Qt 1:
( )
( )
( )
( ) ( )
n
n
n
n
n
xm
ax
A

ax
A
ax
A
ax
P
−
+
−
++
−
=
−
−
−
1
11

Vdụ 1a :
( )
( )
( )
∑
∏
=
=
−
=
−
n

i
i
i
i
n
i
i
i
m
ax
A
ax
xP
1
1
Vdụ 1b :
( )
( )
2
2
))()((
cx
D
cx
C
bx
B
ax
A
cxbxax

xP
m
−
+
−
+
−
+
−
=
−−−
*Qt 2':
( )
( )
( )
( ) ( )
n
nn
n
nn
n
m
cbxax
BxA
cbxax
BxA
cbxax
BxA
cbxax
xP

++
+
+
++
+
++
++
+
=
++
−
−−
2
1
2
11
2
11
2

với
0
<∆
12
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
*Qt 3:
( )
( )

( )
( )
( )
∑ ∑
= =
++
+
+
−
=
++−
m
i
n
k
i
i
i
i
n
m
t
cbxax
BxA
x
A
cbxaxx
xP
1 1
2

1
2
α
α
Vdụ 1 :
( )
( ) ( )
cbxax
CBx
x
A
cbxaxx
xP
t
++
+
+
−
=
++−
22
)(
αα

Vdụ 2 :
( )
( )
( )
( )
( )

( )
2
2
22
2
11
2
2
cbxax
CxB
cbxax
CxB
x
A
cbxaxx
xP
t
++
+
+
++
+
+
−
=
++−
α
α
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau :

a)
∫
++
=
1
0
2
1
23xx
dx
I
b)
( )
∫
++
=
1
0
2
2
2
23xx
dx
I

Bài làm :
a)
( )( )
∫∫∫







+
−
+
=
++
=
++
=
1
0
1
0
1
0
2
1
2
1
1
1
21
23
dx
xxxx
dx

xx
dx
I

b)
( )
( ) ( )
( )( )
dx
xx
xx
dx
xx
dx
I
∫∫






++
−
+
+
+
=
++
=

1
0
22
1
0
2
2
2
21
2
2
1
1
1
23

( )
OKxx
xx
=






+−+−
+
−
+

−=
1
0
2ln1ln2
2
1
1
1
Tính các tích phân sau :
a)
∫
++
=
1
0
24
1
33xx
dx
I
b)
( )
( )
∫
++
−
=
1
0
2

2
21
24
dx
xx
x
I

Bài làm :
a)* Bạn đọc dễ dàng chứng minh được
∫
+=
+
=
C
a
x
aax
dx
I arctan
1
22
0
với
0>a
( )( )
dx
xxxx
dx
xx

dx
I
∫ ∫∫






+
−
+
=
++
=
++
=
1
0
1
0
2222
1
0
24
1
3
1
1
1

2
1
3133
( )
329
2
3
arctan
3
1
arctan
2
1
1
0
−=






−=
π
x
x
13
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
[ ]
3

4
ln2ln1ln
1
0
=+−+=
xx
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
b) Đặt :
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
12
22
1212
24
2
2
22
++
+++++
=
+
+
+
+
=
++

−
xx
ACCBxBAx
x
CBx
x
A
xx
x
Do đó ta có hệ :





=
=
−=
⇔





=+
=+
=+
0
2
2

02
42
0
C
B
A
AC
CB
BA
Vậy :
( )
( )
∫ ∫






+
+
+
−=
++
−
=
1
0
1
0

2
2
2
1
2
2
2
21
24
dx
x
x
x
dx
xx
x
I

[ ]
9
4
ln1ln2ln2ln3ln21ln2ln2
1
0
2
=−++−=+++−=
xx
Bạn đọc tự làm :
a)
( )

∫
−
+
=
3
2
2
1
1
1
dx
xx
x
I
b)
∫
−+
=
5
2
2
2
32xx
dx
I

c)
dx
xx
x

I
∫
−
−
=
2
1
3
3
3
4
1
d)
∫
+−
=
2
3
24
3
23
dx
xx
x
I

HD:
a)
( )
1

1
1
22
−
++=
−
+
x
C
x
B
x
A
xx
x
b)
31
32
1
2
+
+
−
=
−+
x
B
x
A
xx

c)
( )( )








−+
−
+=
−
−
1212
4
1
4
1
4
1
3
3
xxx
x
xx
x
d)
22

11
23
24
−
+
+
+
+
+
−
=
+−
x
D
x
C
x
B
x
A
xx
x
Đẳng thức tích phân :
Muốn chứng minh đẳng thức trong tích phân ta thường dùng cách đổi biến số và nhận xét một số đặc điểm
sau .
* Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận trên + cận dưới, ….
Chúng ta cần phải nhớ những đẳng thức nầy và xem nó như 1 bổ đề áp dụng.
BÀI TẬP
Chứng minh rằng :
( ) ( )

∫ ∫
−=−
1
0
1
0
11 dxxxdxxx
m
n
n
m
Bài làm :
14
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
Xét
( )
∫
−=
1
0
1 dxxxI
n
m
Đặt :
dtdxdxdtxt
−=⇒−=⇒−=
1
Đổi cận :




=→=
=→=
01
10
tx
tx
Vậy :
( ) ( ) ( )
∫ ∫∫
−=−−=−=
0
1
1
0
1
0
111 dtttdtttdxxxI
n
m
n
mn
m
(đpcm)
Chứng minh rằng nếu
)(xf
là hàm lẻ và liên tục trên đoạn
[ ]

aa,
−
thì :

( )
∫
−
==
a
a
dxxfI 0
Bài làm :
( ) ( ) ( )
1)(
0
0
∫ ∫ ∫
− −
+==
a
a a
a
dxxfdxxfdxxfI
Xét
( )
∫
−
0
a
dxxf

. Đặt
dtdxdxdtxt
−=⇒−=⇒−=
Đổi cận :



=→=
=→−=
00 tx
atax
V ậy :
( ) ( ) ( )
∫ ∫∫
−=−=
−
a a
a
dttfdttfdxxf
0 0
0
Thế vào (1) ta được :
0
=
I
(đpcm)
Tương tự bạn đọc có thể chứng minh : Nếu
)(xf
là hàm chẳn và liên tục trên đoạn
[ ]

aa,
−
thì
( ) ( )
∫ ∫
−
==
a
a
a
dxxfdxxfI
0
2
Cho
0
>
a
và
( )
xf
là hàm chẵn , liên tục và xác định trên
R
.
Chứng minh rằng :
( )
( )
∫ ∫
−
=
+

α
α
α
dxxfdx
a
xf
x
0
1
Bài làm :
15
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
( ) ( ) ( )
( )
∫ ∫ ∫
− −
+
+
+
=
+
α
α α
α
0
0
1
111
dx
a

xf
dx
a
xf
dx
a
xf
xxx
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
Xét
( )
dx
a
xf
x
∫
−
+
0
1
α
. Đặt
dtdxdxdtxt
−=⇒−=⇒−=
Đổi cận :



=→=

=→−=
00 tx
tx
αα
Vậy :
( ) ( ) ( )
∫ ∫∫
+
=
+
−
=
+
−
−
α α
α
0 0
0
111
t
t
tx
a
tfa
dt
a
tf
dx
a

xf
Thế vào (1) ta được :
( ) ( ) ( )
( )
∫∫ ∫ ∫
=
+
+
+
=
+
− −
αα
α α
α
0
0
0
111
dxxfdx
a
xf
dx
a
xfa
dx
a
xf
xx
x

x
(đpcm)
Cho hàm số
( )
xf
liên tục trên
[ ]
1,0
. Chứng minh rằng :
( ) ( )
∫ ∫
=
π π
π
0 0
sin
2
sin. dxxfdxxfx
Bài làm :
Xét
( )
∫
π
0
sin. dxxfx
. Đặt
dtdxdxdtxt
−=⇒−=⇒−=
π
Đổi cận :




=→=
=→=
0
0
tx
tx
π
π
Vậy :
( ) ( ) ( )
[ ]
( ) ( )
∫ ∫∫
−=−−=
π ππ
πππ
0 00
sin.sin.sin. dttftdttftdxxfx
( ) ( )
∫ ∫
−=
π π
π
0 0
sin.sin dttftdttf
( ) ( )
( ) ( )

dxxfdxxfx
dxxfdxxfx
∫∫
∫∫
=⇒
=⇒
ππ
ππ
π
π
00
00
sin
2
sin.
sinsin.2
Từ bài toán trên , bạn đọc có thể mở rộng bài toán sau .
Nếu hàm số
( )
xf
liên tục trên
[ ]
ba,
và
( ) ( )
xfxbaf
=−+
. Thì ta luôn có :

( ) ( )

∫ ∫
+
=
b
a
dxxf
ba
dxxfx
π
0
2
.
Cho hàm số
( )
xf
liên tục,xác định , tuần hoàn trên
R
và có chu kì
T
.
16
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
Chứng minh rằng :
( ) ( )
∫ ∫
+
=
Ta

a
T
dxxfdxxf
0
Bài làm :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
∫∫∫∫∫ ∫
+++
++=+=
Ta
T
T
a
Ta
T
Ta
a
T
a
dxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxf
0
0
Vậy ta cần chứng minh
( ) ( )
∫ ∫
+
=
a Ta
T
dxxfdxxf

0
Xét
( )
∫
a
dxxf
0
. Đặt
dxdtTxt
=⇒+=
Đổi cận :



+=→=
=→=
Tatax
Ttx 0
Vậy :
( ) ( )
∫ ∫
+ +
=−
Ta
T
Ta
T
dttfdtTtf

Hay :

( ) ( )
∫ ∫
+
=
Ta
a
T
dxxfdxxf
0
(đpcm)
Từ bài toán trên , ta có hệ quả sau :
Nếu hàm số
( )
xf
liên tục,xác định , tuần hoàn trên
R
và có chu kì
T
, thì ta luôn có :
( ) ( )
∫ ∫
−
=
T
T
T
dxxfdxxf
0
2
2

Bạn đọc tự làm :
a)
( )
∫
−=
1
0
6
1
1 dxxxI
b)
(
)
∫
−
++=
1
1
22
2
1lncos.sin dxxxxxI

c)
∫
+
=
π
0
2
3

cos49
sin.
dx
x
xx
I
d)
∫
+
=
π
0
2
4
cos1
sin.
dx
x
xx
I

e)
∫
−
+
=
2
2
2
5

21
sin
π
π
dx
xx
I
x
f)
∫
−
+
+
=
1
1
2
2
6
1
sin
dx
x
xx
I
g)
( )
∫
++=
∗

π
2
0
2
7
sin1sinln dxxxI
h)
dxxI
∫
−=
∗
π
2009
0
8
2cos1
17
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
Tích phân từng phần :
Cho hai hàm số
u
và
v
có đạo hàm liên tục trên đoạn
[ ]
ba,
, thì ta có :
[ ]

∫ ∫
−=
b
a
b
a
b
a
vduuvudv
Trong lúc tính tính tích phân từng phần ta có những ưu tiên sau :
*ưu tiên1: Nếu có hàm ln hay logarit thì phải đặt
xu ln
=
hay
xu
a
log=
.
*ưu tiên 2 : Đặt
??
=
u
mà có thể hạ bậc.
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau :
a)
∫
=
1
0

1
. dxexI
x
b)
∫
=
2
0
2
2
cos.
π
xdxxI
c)
∫
=
e
xdxI
1
3
ln
Bài làm :
a) Đặt :



=⇒=
=⇒=
xx
evdxedv

dxduxu
Vậy :
( )
11
1
0
1
0
1
0
1
0
1
=−−=−=−==
∫∫
eeeedxeexdxexI
xxxx

b) Đặt :



=⇒=
=⇒=
xvxdxdv
xdxduxu
sincos
2
2
Vậy :

( )
1sin.2
4
sin.2cos
2
0
2
0
2
2
0
1
0
1
∫∫∫
−=−−==
ππ
π
π
xdxxxdxxxxdxexI
x
Ta đi tính tích phân
∫
2
0
sin.
π
xdxx
Đặt :




−=⇒=
=⇒=
xvxdxdv
dxduxu
cossin
Vậy :
1sincos.coscos.sin.
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
=+−=+−=
∫∫
ππ
π
π
π
xxxdxxxxdxx
18
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.

Thế vào (1) ta được :
4
8
.
2
1
0
1
−
==
∫
π
dxexI
x
c) Đặt :





=⇒=
=⇒=
xvdxdv
dx
x
duxu
1
ln
Vậy :
1ln.ln.ln

01
1
1
1
3
=−=−==
∫∫
ee
e
e
e
xxxdxxxxdxI
Tính các tích phân sau :
a)
∫
=
π
0
1
sin. xdxeI
x
b)
∫
=
4
0
2
2
cos
π

dx
x
x
I
c)
( )
∫
=
π
e
dxxI
1
3
lncos
Bài làm :
a) Đặt :



−=⇒=
=⇒=
xvxdxdv
dxedueu
xx
cossin
Vậy :
( )
∫∫
++=+−==
π

π
π
π
0
0
0
1
11cos.cos.sin. JexdxexexdxeI
xxx
Đặt :



=⇒=
=⇒=
xvxdxdv
dxedueu
xx
sincos
Vậy :
IxdxexexdxeJ
xxx
−=−==
∫∫
π
π
π
0
0
0

sin.sin.cos.
Thế vào (1) ta được :
2
1
12
11
+
=⇒+=
π
π
e
IeI
b) Đặt :





=⇒=
=⇒=
xvdx
x
dv
dxduxu
tan
cos
1
2
Vậy :
( )

2
2
ln
4
cosln
4
tantan.
cos
4
0
4
0
4
0
4
0
2
2
+=+=−==
∫∫
ππ
π
π
π
π
xxdxxxdx
x
x
I
c) Đặt :

( ) ( )





=⇒=
−=⇒=
xvdxdv
dxx
x
duxu lnsin
1
lncos
Vậy :
( ) ( ) ( )
( )
JedxxxxdxxI
e
e
e
++−=+==
∫∫
1lnsinlncos.lncos
1
1
1
3
π
π

π
π
19
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
Đặt :
( ) ( )





=⇒=
=⇒=
xvdxdv
dxx
x
duxu lncos
1
lnsin
Vậy :
( ) ( ) ( )
3
1
1
1
3
0lncoslnsin.lnsin IdxxxxdxxI
e

e
e
−=−==
∫∫
π
π
π
Thế vào (1) ta được :
( )
2
1
12
33
+
−=⇒+−=
π
π
e
IeI
Bạn đọc tự làm :
a)
∫
−
=
2ln
0
1
. dxexI
x
b)

( )
∫
−=
e
dxxI
1
2
2
ln1

c)
∫






−=
2
2
3
ln
1
ln
1
e
dx
xx
I

d)
(
)
∫
++=
1
0
2
4
1ln dxxxI

e)
( )
∫
=
3
4
5
tanln.sin
π
π
dxxxI
f)
( )
∫
=
e
dxxI
1
2

6
lncos
g)
∫
=
∗
4
0
2
7
2cos
π
xxI
h)
∫
+
+
=
∗
2
0
7
cos1
sin1
π
dxe
x
x
I
x

Tích phân hàm trị tuyệt đối, min , max :
Muốn tính
( )
∫
=
b
a
dxxfI
ta đi xét dấu
( )
xf
trên đoạn
[ ]
ba,
, khử trị tuyệt đối
Muốn tính
( ) ( )
[ ]
∫
=
b
a
dxxgxfI ,max
ta đi xét dấu
( ) ( )
xgxf
−
trên đoạn
[ ]
ba,

Muốn tính
( ) ( )
[ ]
∫
=
b
a
dxxgxfI ,min
ta đi xét dấu
( ) ( )
xgxf
−
trên đoạn
[ ]
ba,
Tính các tích phân sau :
a)
∫
−=
4
1
1
2 dxxI
b)
∫
−+=
2
0
2
1

32 dxxxI
Bài làm :
20
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
x 1 2 4
a)
x-2 - 0 +
Vậy :
( ) ( )
4
2
2
2
1
2
4
2
2
1
4
1
1
2
22
2222







−+






−=++−=−=
∫∫∫
x
xx
xdxxdxxdxxI
( ) ( ) ( )
[ ]
2
5
4288
2
1
224 =−−−+













−−−=
b) Lập bảng xét dấu
[ ]
2,0,32
2
∈−+ xxx
tương tự ta được
( ) ( )
∫∫∫
−++−+−=−+=
2
1
2
1
0
2
2
0
2
1
323232 dxxxdxxxdxxxI
.
Tính
∫
−=

1
0
dxaxxI
a
với
a
là tham số :
Bài làm :
x
∞−
a
∞+
x-a - 0 +
(Từ bảng xét dấu trên ta có thể đánh giá ).
Nếu
0
≤
a
.
( )
∫∫
−=






−=−=−=
1

0
1
0
23
2
1
0
23
1
23
aaxx
dxaxxdxaxxI
a
Nếu
10
<<
a
.
( ) ( )
∫ ∫∫
−+−−=−=
a
a
a
dxaxxdxaxxdxaxxI
0
1
22
1
0

223
1
3232
32
1
32
0
32
aaxaxxax
a
a
+−=






+−+






−=
Nếu
1≥a
.
( )

∫∫
+−=






−−=−−=−=
1
0
1
0
23
2
1
0
23
1
23
aaxx
dxaxxdxaxxI
a
21
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
4
3
3
3
3

2
1
3
2
1
0
3
2
1
=






++−+






−−=
x
xx
x
xxI
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.

Tính : a)
( )
∫
=
2
0
2
1
,1min dxxI

( )
∫
=
3
0
2
2
,max dxxxI
Bài làm :
a) Xét hiệu số :
( )
[ ]
2,01
2
∈∀− xx
Vậy :
( )
3
4
3

,1min
2
1
2
0
3
2
1
1
0
2
2
0
2
1
=+=+==
∫∫∫
x
x
dxdxxdxxI
b) Xét hiệu số :
( )
[ ]
3,01
∈∀−
xxx
tương tự như trên ta có .
( )
6
55

32
,max
3
1
3
1
0
2
3
1
2
1
0
3
0
2
2
=+=+==
∫∫∫
xx
dxxxdxdxxxI
Bạn đọc tự làm :
a)
( )
∫
−
−=
3
2
2

1
3,min dxxxI
b)
( )
∫
=
2
0
2
cos,sinmax
π
dxxxI
c)
∫
−=
4
3
0
3
cossin
π
dxxxI
d)
( )
∫
−
−=
3
2
2

4
34,max dxxxI
d)
∫






−−+−+=
∗
5
1
4
1212 dxxxxxI

Nguyên hàm , tích phân của hàm số vô tỷ :
Trong phần nầy ta chỉ nghiên cứu những trường hợp đơn giản của tích phân Abel
Dạng 1:
(
)
∫
++ dxcbxaxxR
2
,
ở đây ta đang xét dạng hữu tỷ.















∆−
+
+
∆−
=++→



<∆
>
2
2
2
1
4
0
0
bax
a

cbxax
a
( ) ( )
dtttSdxcbxaxxR
bax
t
∫∫
∆−
+
=
+=++
2
22
1,,
Tới đây , đặt
ut tan
=
.
Dạng 2:















∆−
+
−
∆−
=++→



<∆
<
2
2
2
1
4
0
0
bax
a
cbxax
a
(
)
(
)
dtttSdxcbxaxxR
bax

t
∫∫
∆−
+
=
−=++
2
22
1,,
Tới đây , đặt
ut sin
=
.
Dạng 3:








−






∆−

+∆
=++→



>∆
>
1
2
4
0
0
2
2
bax
a
cbxax
a
22
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
(
)
(
)
dtttSdxcbxaxxR
bax
t
∫∫

∆
+
=
−=++
2
22
1,,
Tới đây, đặt
u
t
sin
1
=
.
Dạng 4 (dạng đặc biệt) :
( )
∫∫
+
=
++
=
+++
βα
ζµαβα
x
t
tt
dt
cbxaxx
dx

1
22

Một số cách đặt thường gặp :
(
)
dxxaxS
∫
−
22
,
đặt
π
≤≤=
ttax 0cos.
(
)
dxxaxS
∫
+
22
,
đặt
22
tan.
ππ
<<−=
ttax
(
)

dxaxxS
∫
−
22
,
đặt
π
π
kt
t
a
x
+≠=
2cos
(
)
dxcbxaxxS
∫
++
2
,
đặt
( )






>±±=++

=++−=++
>±=++
0;.
0;
0;
2
000
2
2
atxacbxax
cbxaxxxtcbxax
ccxtcbxax
∫








+
+
m
dcx
bax
xS ,
đặt
0;
≠−

+
+
=
cbad
dcx
bax
t
m

Tính :
( )
∫
++
=
3
2
74xx
dx
I
Bài làm :
( ) ( )
∫∫
+=
+
=
++
2
3
2
3

2
374
xt
t
dt
xx
dx
Đặt :
( )
duudtut 1tan3tan3
2
+=⇒=
Ta có
( )
( )
∫∫
=
+
+
=
uu
udu
u
duu
I
tan3tan3
3
2
2
cos

3
1
1tan.33
1tan3
C
xx
x
C
t
t
Cu
+
++
+
=+
+
=+=
74
2
3
1
1
3
1
sin
3
1
22
Tính : a)
∫

++
=
1
2
xx
xdx
I
b)
∫
−−
=
12
2
xxx
dx
I
23
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
Bài làm :
a)
∫∫∫
+
=
+
−
=
+







+
=
++
3
12
222
1
13
2
1
4
3
2
1
1
x
t
dt
t
t
x
xdx
xx
xdx
(

)
Cxxxxx
Ctttdt
t
t
I
x
t
+






+++++−++=
+++−+=
+
−
=
∫
+
=
1
2
1
ln
2
1
1

1ln
2
1
1
2
3
1
13
2
1
22
22
3
12
2
b)Đặt :
2
1
t
dt
dx
t
x
−=⇒=
( )
C
t
t
dt
xxx

dx
I
t
x
+
+
−=
+−
−=
−−
=
∫∫
=
2
1
arcsin
12
12
1
22
C
x
C
x
+
+
−=+
+
−=
2

1
arcsin
2
1
1
arcsin
Tìm các nguyên hàm sau
a)
∫
+++
=
3
11 xx
dx
I
b)
∫
+++
=
11 xx
dx
I

Bài làm :
a)Đặt :
dxdttxtxt
=⇒+=⇒+=
56
6
611

Vậy :
∫∫∫
+=+=






+
−+−=
+
=
+++
=
66
1
2
1
23
5
3
1
1
166
11
xtxt
dt
t
tt

tt
dtt
xx
dx
I
Cxxxx
Ctttt
+++−+++−+=
++−+−=
11ln6161312
1ln6632
663
23
b)
∫ ∫∫∫
+
−








+=
+−+
=
+++
=

−
dx
x
x
dxxdx
x
xx
xx
dx
I
1
2
1
1
2
1
2
11
11
2
1
( )
1
1
2
1
2
1
dx
x

x
xx
∫
+
−+=
Xét
dx
x
x
∫
+
1
Đặt :
( )
dt
t
t
dx
t
x
x
x
t
2
2
2
1
2
1
11

−
−=⇒
−
=⇒
+
=
24
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
Vậy :
( )
OK
t
dtt
dx
x
x
x
x
t
=
−
−=
+
∫∫
+
=
1
2

2
1
2
1
Tìm các nguyên hàm sau :
a)
∫
+= dxxxI 9.
22
b)
∫
+= dxxxI 4.16
22

Bài làm :
a)Đặt :
dt
t
t
dx
t
t
xtxx
2
22
2
2
9
2
9

9
+
=⇒
−
=⇒−=+
Vậy :
( ) ( )
( )
(
)
C
xx
xx
xx
C
t
t
t
dt
tt
t
dt
t
t
dt
t
t
t
t
t

t
I
+








+−
−+−−
+−
−=
+








−−−=







+−−=
−
−=
−








−−








+
=
∫
∫∫
4
2
2
4

2
4
4
5
3
5
2
4
2
2
22
2
2
1
94
6561
9ln162
4
9
16
1
4
6561
ln162
416
16561162
16
1
81
16

1
4
9
.
2
9
.
2
9
b)Đặt :
dt
t
t
dx
t
t
xtxx
2
22
2
2
4
2
4
4
+
=⇒
−
=⇒−=+
( ) ( )

(
)
(
)
C
xx
xx
xx
C
t
t
t
dt
t
t
t
dt
t
t
dt
t
t
t
t
t
t
I
+









+−
−+−+
+−
−=
+








−−−=






+−−=
−
−=
−









−−








+
=
∫
∫∫
4
2
2
4
2
4
4
5
3

5
2
4
2
2
22
2
2
4
64
4ln36
4
4
64
ln36
4
25636
16
4
4
.
2
4
.
2
4
16
Tính các tích phân sau :
a)
∫

−=
1
2
1
2
1
dxxxI
b)
∫
−
−
−
=
8
3
2
1
dx
xx
dx
I

Bài làm :
25
Chủ biên: Cao Văn Tú Email: