Đề thi HSG toán 10 năm học 2013-2014 tỉnh Hà Tĩnh

Sở GD và ĐT Hà Tĩnh KỲ THI CHỌN HSG TỈNH CẤP THPT
NĂM HỌC 2013-2014
MÔN: TOÁN 10
Thời gian: 180 phút
_________________


Câu 1: a) Giải phương trình:
2
8 4 3 2 1x x x− − = −
b) Gọi
0
x
là một nghiệm của phương trình
4 2 2
2 2 6 1 0.x x ax a a+ + + + + =
Tìm các giá
trị của tham số a để
0
x
đạt giá trị nhỏ nhất? giá trị lớn nhất?
Câu 2: Giải hệ phương trình:
3
4
2 1 27
( 2) 1
x y x
x y

− − − = −



− + =


Câu 3: Giả sử
2 2
1 1 1 2 2 2
( ) ; ( )f x x a x b f x x a x b= + + = + +
là hai tam thức bâc hai với hệ số
nguyên,có nghiệm chung là a.Chứng minh rằng nếu a không phải là số nguyên thì tam thức bậc
hai sau luôn có nghiệm thực:
2
1 2 1 2
( ) ( ) .f x x a a x b b= + + + +
Câu 4: a) Tam giác ABC có
0
, , , 60 .BC a CA b AB c ACB= = = ∠ =
Các điểm M,N được xác định
bởi :
2 2 4
2 2 4
MA NB MB NC
NB NC MA MB

+ = − −


+ = − −



uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
Tìm hệ thức liên quan giữa a và b để MC và NA vuông góc với nhau.
b) Tam giác ABC có các cạnh a,b,c và bán kính đường tròn ngoại tiếp,nội tiếp lần lượt là
R,r thỏa mãn đẳng thức:
3 3 3
2
4
a b c r
abc R
+ +
+ =
Chứng minh tam giác ABC đều.
Câu 5: Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn
3x y z xyz+ + =
.Chứng minh:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 3
.
2 1 2 1 2 1 4x y z y z x z x y
+ + ≤
+ + + + + +
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính.Giám thị không được giải thích gì thêm.

ĐỀ CHÍNH THỨC