Đề thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính cầm tay năm học 2010 - 2011 môn Toán khối 11

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO Kỳ thi chọn HSG giải Toán, Lý, Hoá, Sinh trên MTCT
LONG AN Môn Toán Lớp 11 năm học 2010-2011
Ngày thi : 23.01.2011
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian 90 phút ( không kể phát đề ) .
Chú ý:
- Các giá trị đều phải tính ra số thập phân, lấy chính xác 5 chữ số thập phân không làm tròn.
- Thí sinh phải ghi tóm tắt cách giải hay công thức tính (có thể chỉ ghi bước tính cuối ra kết quả)
Bài 1: Cho
12
sin
13
a = −
và
3
2
a
π
π
〈 〈
. Tính gần đúng
tan
4
a
π
 
−
 ÷
 
Bài 2: Các đường trung tuyến của tam giác ABC là AM = 5cm, BE = 4cm, CF = 3cm. Tính gần đúng
tổng các bình phương độ dài ba cạnh tam giác ABC.
Bài 3: Tính gần đúng giá trị lớn nhất của:

2
( ) sin
2
x
f x x= +
trên
,
2 2
π π
 
−
 
 

Bài 4 : Cho khai triển
2
0 1 2
1

3
n
n
n
x a a x a x a x
 
− = + + + +
 ÷
 
, biết
2

a
bằng 5.
Tính giá trị gần đúng hệ số của số hạng đứng giữa của khai triển trên.
Bài 5 : Cho : x
1005
+ y
1005
= 1,1245 và x
2010
+ y
2010
= 2,469.

Hãy tính gần đúng giá trị biểu thức:P = x
3015
+ y
3015
Bài 6 : Trong mặt phẳng Oxy cho M
( )
2, 3
. Gọi
1
M
là ảnh của M qua
( )
0
; 90O
Q
+
,

2
M
là ảnh đối
xứng của
1
M
qua trục Ox. Xác định tọa độ gần đúng của điểm
2
M
Bài 7 : Tính tổng gần đúng của S =
2 2 2
2 3 2011
1 1 1

A A A
+ + +
.
Bài 8 : Một hộp đựng 3 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính gần đúng xác
suất để chọn được hơn một viên bi đỏ.
Bài 9 : Trên các cạnh AB, BC, CA của một tam giác ABC có diện tích
2012
người ta chọn lần lượt
các điểm M, N, P thoả mãn điều kiện:
AM BN CP 1
MB NC PA 5
= = =
.
Tính gần đúng diện tích của tam giác MNP
Bài10 : Tính gần đúng nghiệm dương nhỏ nhất (theo độ , phút, giây) của phương trình:

8 8
17
sin cos
32
x x+ =

…………………………………HẾT…………………………………
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO Kỳ thi chọn HSG giải toán, lý, hoá, sinh trên MTCT
LONG AN Môn Toán Lớp 11 năm học 2010-2011
Ngày thi : 23.01.2011
ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu Tóm tắt cách giải Kết quả Điểm
1
• cosa =
5 12
tan
13 5
a− ⇒ =
•
1 tan
tan
4 1 tan
a
a
a
π
−
 
− =

 ÷
+
 
0,41176≈ −
1
2
2
2 2
2
2 2 2 2 2
2
2 2
1
25
2 2
1
16
2 2
1
9
2 2
a
b c
b
a c a b c
c
a b

 
+ − =


 ÷
 


 

+ − = ⇒ + +

 ÷
 


 

+ − =
 ÷

 

66,66666≈
1
3
,
2
2 2
( ) 1 ( )
2 4
2 2 4
sin 1

x
x f x Max f x
x
π π
π
π π π
 
−
 
 

≤

− ≤ ≤ ⇒ ⇒ ≤ + ⇒


≤

Dấu = xãy ra khi x =
2
π
1,78539≈
1
4
2
2
3
1
5 5 10
3

n
T C n
 
= ⇔ − = ⇔ =
 ÷
 
Hệ số cần tìm
5
5
10
1
3
C
 
−
 ÷
 
1,03703≈ −
1
5 Đặt a = x
1005
; b = y
1005
=> cần tính a
3
+b
3
.
Biến đổi được:
( )

( )
( )
2
3 3 2 2
1
3
2
a b a b a b a b
 
+ = + + − +
 
Từ đó tính được a
3
+b
3
3,63128
1
6
( )
2
3, 2M − −
1,73205
1,41421
x
y
≈ −


≈ −


0,5
0,5
7
S =
1 1 1 1

2! 3! 4! 2011!
0! 1! 2! 2009!
1 1 1 1 1
1
1.2 2.3 3.4 2010.2011 2011
+ + + +
= + + + + = = −
0,99950≈
1
8
Không gian mẫu:
3
7
C
X: số bi đỏ được chọn. X
{ }
0,1,2,3∈
0,37142≈
1
( 1) ( 2) ( 3)P X P X P X〉 = = + =
=
2 1 3
3 4 3
3 3

7 7
. 12 1
35 35
C C C
C C
+ = +
9
Gọi S
1
, S
2
, S
3
lần lượt là diện tích các tam giác BMN,CNP, AMP.
Ta có:
ABN
ABC
S BN
S BC
=
Mà:
BC BN NC 1 k 1
1
BN BN k k
+ +
= = + =
Vậy:
ABN
k
S S

k 1
=
+
 Ta có:
NBM
NBA
S MB
S AB
=

Mà:
AB AM MB
1 k
MB MB
+
= = +
Vậy:
NBM ABN
1
S S
k 1
=
+
 Nên:
NBM
2
k
S S
(k 1)
=

+
hay
1
2
k
S S
(k 1)
=
+
 Vì S
1
, S
2
, S
3
có vai trò như nhau nên:
S
1
= S
2
= S
3
2
k
S
(k 1)
=
+
 Diện tích tam giác MNP bằng:
MNP

S S= −
2
3k
S
(k 1)+
=
2
3k
1 S
(k 1)
 
−
 ÷
+
 
≈
26,16560
1
10 Ta có :

8 8
17
sin cos
32
x x+ =
4 4
4 2
1 cos 2 1 cos 2 17 1 17
(cos 2 6cos 2 1)
2 2 32 8 32

x x
x x
− +
   
⇔ + = ⇔ + + =
 ÷  ÷
   
Đặt cos
2
2x = t, với t∈[0; 1],
Ta có
2 2
1
17 13
2
6 1 6 0
13
4 4
2
t
t t t t
t

=

+ + = ⇔ + − = ⇔


= −



Vì t∈[0;1], nên
2
1 1 cos4 1 1
cos 2
2 2 2 2
x
t x
+
= ⇔ = ⇔ =
⇔cos4x = 0 ⇔
4 ,( )
2 8 4
π π π
x kπ x k k Z= + ⇔ = + ∈
0 0
22 30'00'' 45k+
1
Ghi chú:
- Sai chữ số thập phân cuối cùng trừ 0,2 điểm
- Sai chữ số thập phân thứ tư về trước cho 0,0 điểm kết quả.Chấm hướng giải đúng hoặc
hướng giải tương đương 0,2 điểm
- Không nêu sơ lượt hướng giải hoặc hướng giải sai trừ 0,2 điểm
N
P
M
A
B
C