Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Chuyên Tin học) năm học 2015-2016 - Sở GD-ĐT Phú Thọ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
NĂM HỌC 2015-2016
Môn: Toán
(Dành cho thí sinh thi vào lớp Chuyên Tin học)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi có 01 trang
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình:
2
3 2 0.− + =x x
b) Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn:
1
3.
5
− − =


− − =


− − =

x y z
y z x
z x y
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Phép toán T được định nghĩa như sau:
1 1

,= −aTb
a b
với a và b là các số thực khác 0
tùy ý. Thí dụ:
1 1 1
2 3
2 3 6
= − =T
. Tính giá trị biểu thức:
( ) ( )
5 6 7 8 .=P T T T
b) Cho a và b là các số thực thỏa mãn các điều kiện:
2
6 20 15 0;+ + =a a
2
15 20 6 0; 1.+ + = ≠b b ab
Chứng minh rằng:
( )
3
3
2
6
.
2015
9 1
=
− +
b
ab ab

Câu 3 (2,0 điểm)
a) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n + 2015 và n + 2199 đều là các số chính
phương.
b) Bạn Nam viết một chương trình để máy tính in ra các số nguyên dương liên tiếp theo
thứ tự tăng dần từ 1 đến 1000 dưới dạng sau:
12345678910111213141516 9989991000.
Trong dãy số trên, tính từ trái qua phải, chữ số thứ 11 là chữ số 0, chữ số thứ 15 là chữ số 2.
Hỏi chữ số thứ 2016 trong dãy số trên là chữ số nào?
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD tâm O, M là điểm di động trên cạnh AB. Trên cạnh AD lấy điểm
E sao cho
,=AM AE
trên cạnh BC lấy điểm F sao cho
.=BM BF

a) Chứng minh rằng đường thẳng OA là phân giác trong của góc
·
,MOE
đường thẳng
OB là phân giác trong của góc
·
.MOF
Từ đó suy ra ba điểm O, E, F thẳng hàng.
b) Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ M tới đường thẳng EF. Chứng minh bốn điểm
A, B, H,O cùng nằm trên một đường tròn.
c) Chứng minh rằng khi điểm M di động trên cạnh AB thì đường thẳng MH luôn đi qua
một điểm cố định.
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho x là một số thực tùy ý. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
( )

1 2 2 3 3 4 4 .= − + − + − + −f x x x x x
Hết
Họ và tên thí sinh: Số báo
danh:
Ghi chú: Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
ĐỀ CHÍNH THỨC
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
NĂM HỌC 2015-2016
(Dành cho thí sinh thi vào lớp Chuyên Tin học)
HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN
(Hướng dẫn chấm thi gồm 05 trang)
I. Một số chú ý khi chấm bài
• Hướng dẫn chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách, khi chấm thi giám
khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến
0,25 điểm.
• Thí sinh làm bài cách khác với Hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho
điểm tương ứng với biểu điểm của Hướng dẫn chấm.
• Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn số.
II. Hướng dẫn chấm và biểu điểm
Câu 1 (2,0 điểm)
c) Giải phương trình:
2
3 2 0.− + =x x
d) Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn:
1
3.
5

− − =


− − =


− − =

x y z
y z x
z x y
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM
a) (1,00 điểm)
Phương trình đã cho tương đương với phương trình
2
3 2 0− + =x x
0,25đ
( ) ( )
1 2 0⇔ − − =x x
0,25đ
1
2
 =
⇔

=


x
x

0,25đ
Phương trình có nghiệm
{ }
2; 1;1;2 .∈ − −x
0,25đ
b) (1,00 điểm)
Cộng vế với vế các phương trình đã cho ta được
9.+ + = −x y z
0,25đ
Phương trình đầu có dạng
( )
2 1 4.− + + = ⇒ = −x x y z x
0,25đ
Phương trình thứ hai có dạng
( )
2 3 3.− + + = ⇒ = −y x y z y
0,25đ
Phương trình thứ ba có dạng
( )
2 5 2.− + + = ⇒ = −z x y z z
Thử lại thỏa mãn. Vậy
4, 3, 2.= − = − = −x y z
0,25đ
Câu 2 (2,0 điểm)
c) Phép toán T được định nghĩa như sau:
1 1
,= −aTb
a b
với a và b là các số thực khác 0
ĐỀ CHÍNH THỨC

tùy ý. Thí dụ:
1 1 1
2 3
2 3 6
= − =T
. Tính giá trị biểu thức:
( ) ( )
5 6 7 8 .=P T T T
d) Cho a và b là các số thực thỏa mãn các điều kiện:
2
6 20 15 0;+ + =a a
2
15 20 6 0; 1.+ + = ≠b b ab
Chứng minh rằng:
( )
3
3
2
6
.
2015
9 1
=
− +
b
ab ab

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM
a) (1,00 điểm)
Theo định nghĩa phép toán T, ta có:

1 1 1
5 6
5 6 30
= − =T
0,25đ
1 1 1
7 8
7 8 56
= − =T
0,25đ
Suy ra
( ) ( )
1 1
5 6 7 8
30 56
   
= =
 ÷  ÷
   
P T T T T
0,25đ
Vậy
1 1
30 56 26.
30 56
   
= = − = −
 ÷  ÷
   
P T

0,25đ
b) (1,00 điểm)
Ta ký hiệu các điều kiện như sau
2
6 20 15 0 (1);+ + =a a
2
15 20 6 0 (2); 1 (3).+ + = ≠b b ab
Dễ thấy các phương trình (1) và (2) đều có hai nghiệm phân biệt.
Do (3) nên b khác 0. Chia hai vế của (2) cho b
2
ta được
2
1 1
6 20 15 0 (4)
   
+ + =
 ÷  ÷
   
b b
0,25đ
Từ (1), (3) và (4) suy ra
a
và
1
b
là hai nghiệm khác nhau của phương trình
2
6 20 15 0 (5)+ + =x x
Theo định lí Vi-ét:
1 10 5

; .
3 2
+ = − =
a
a
b b
0,25đ
Từ đó
( )
3
3 3
2
3
9 1
1 5 10 2015
9 9
2 3 6
− +
   
= − + = − − =
 ÷  ÷
   
ab ab
a
a
b b b
0,25đ
Suy ra
( )
3

3
2
6
,
2015
9 1
=
− +
b
ab ab
điều phải chứng minh. 0,25đ
Câu 3 (2,0 điểm)
c) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n + 2015 và n + 2199 đều là các số chính
phương.
d) Bạn Nam viết một chương trình để máy tính in ra các số nguyên dương liên tiếp
theo thứ tự tăng dần từ 1 đến 1000 dưới dạng sau:
12345678910111213141516 9989991000.
Trong dãy số trên, tính từ trái qua phải, chữ số thứ 11 là chữ số 0, chữ số thứ 15 là chữ số 2.
Hỏi chữ số thứ 2016 trong dãy số trên là chữ số nào?
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM
a) (1,00 điểm)
Giả sử a và b là các số tự nhiên sao cho
2 2
2015 ; 2199 .+ = + =n a n b
Suy ra
( ) ( )
184.− + =b a b a
0,25đ
Hay
( ) ( )

3
2 .23− + =b a b a
Vì
−b a
và
+b a
là các số có cùng tính chẵn lẻ và
− < +b a b a
nên chỉ xảy ra hai
trường hợp
( ) ( )
2 4
và
92 46
− = − =
 
 
+ = + =
 
b a b a
I II
b a b a
0,25đ
Trường hợp thứ nhất
( )
45
10.
47
=


⇔ ⇒ =

=

a
I n
b
Thỏa mãn.
0,25đ
Trường hợp thứ hai
( )
21
1574 0.
25
=

⇔ ⇒ = − <

=

a
II n
b
Không thỏa mãn.
Vậy
10.=n
0,25đ
b) (1,00 điểm)
Trong dãy số nói trên, 9 số đầu tiên: 1,2,3, ,9 là các số có 01 chữ số.
90 số tiếp theo: 10,11,12, ,99 là các số có 02 chữ số.

0,25đ
900 số tiếp theo: 100,101,102, ,999 là các số có 03 chữ số.
Như vậy, bằng cách viết nói trên ta thu được một số có:
9 2 90 3 900 4 2893+ × + × + =
chữ số.
0,25đ
Vì
9 2 90 2016 2893+ × < <
nên chữ số thứ 2016 của dãy số là một chữ số của số
có 03 chữ số.
0,25đ
Ta có
2016 9 2 90 3 609,= + × + ×
số có 03 chữ số đầu tiên là 100, số có 03 chữ số
thứ 609 là
609 100 1 708+ − =
do đó chữ số thứ 2016 trong dãy đã cho là chữ số 8.
0,25đ
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD tâm O, M là điểm di động trên cạnh AB. Trên cạnh AD lấy điểm
E sao cho
,=AM AE
trên cạnh BC lấy điểm F sao cho
.
=
BM BF

d) Chứng minh rằng đường thẳng OA là phân giác trong của góc
·
,MOE

đường thẳng OB
là phân giác trong của góc
·
.MOF
Từ đó suy ra ba điểm O, E, F thẳng hàng.
e) Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ M tới đường thẳng EF. Chứng minh bốn điểm A,
B, H,O cùng nằm trên một đường tròn.
f) Chứng minh rằng khi điểm M di động trên cạnh AB thì đường thẳng MH luôn đi qua
một điểm cố định.
H
M
F
B
C
A
D
O
E
I
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM
a) (1,00đ)
Do ABCD là hình vuông nên hai đường chéo vuông góc, hai đường chéo tạo với
các cạnh của hình vuông góc 45
o
.
Tam giác AME vuông cân đỉnh A suy ra
·
·
; 45 .= = =
O

AM AE EAO MAO
0,25đ
Suy ra
( )
·
·
. . .∆ = ∆ ⇒ =AMO AEO c g c MOA EOA
Vậy OA là phân giác trong của góc
·
.MOE
0,25đ
Chứng minh tương tự, ta có OB là phân giác trong của góc
·
.MOF
0,25đ
Mặt khác,
·
·
·
·
·
·
90 2 180+ = = ⇒ + = =
o o
MOA MOB AOB MOE MOF AOB
hay E, O,
F thẳng hàng. Điều phải chứng minh.
0,25đ
b) (1,00đ)
Tứ giác AEHM nội tiếp đường tròn đường kính ME nên

·
·
45 .= =
o
MHA MEA
0,25đ
Tứ giác BFHM nội tiếp đường tròn đường kính MF nên
·
·
45 .= =
o
MHB MFB
0,25đ
Suy ra
·
·
·
90 .= + =
o
AHB AHM MHB
0,25đ
Ta thấy O và H cùng nhìn AB dưới một góc vuông nên bốn điểm A, B, H,O cùng
nằm trên đường tròn đường kính AB.
0,25đ
c) (1,00đ)
Đường thẳng MH cắt đường tròn đường kính AB tại điểm thứ hai I (I khác H).
Ta có
·
·
45= =

o
AHI BHI
nên I là điểm chính giữa cung AB (không chứa O) của
đường tròn đường kính AB.
0,50đ
Do A, B, O là các điểm cố định nên I là điểm cố định (I đối xứng với O qua đường
thẳng AB).
Vậy, khi M di động trên cạnh AB, đường thẳng MH luôn đi qua điểm cố định I (I
đối xứng với O qua đường thẳng AB).
0,50đ
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho x là một số thực tùy ý. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
( )
1 2 2 3 3 4 4 .= − + − + − + −f x x x x x
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM
Xét đồ thị của hàm số
( )
.=y f x
Trên mỗi miền
1; 1 2; 2 3; 3 4; 4≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≥x x x x x
(gồm 05 miền),
( )
=y f x
là các hàm số bậc nhất.
0,25đ
Đồ thị hàm số
( )
=y f x
là đường gấp khúc gồm 02 tia và 03 đoạn thẳng liên tiếp
nhau. Mặt khác

( )
0,> ∀ ∈¡f x x
nên tồn tại giá trị nhỏ nhất của
( )
f x
trên
¡
và
giá trị nhỏ nhất này sẽ đạt được tại đầu mút nào đó của các tia hoặc các đoạn thẳng.
0,50đ
Nói cách khác:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
( )
min min 1 , 2 , 3 , 4 3 8.= = =f x f f f f f
Giá trị nhỏ nhất của hàm số
( )
=y f x
bằng 8, đạt được khi
3.=x
0,25đ
Ghi chú: Học sinh có thể sử dụng phương pháp chia khoảng.
HẾT