Đề thi HSG môn Toán lớp 12 Cấp huyện - Đề 2

ĐỀ 2
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP
HUYỆN
MÔN: TOÁN LỚP 12
Thời gian: 180 phút
Bài 1 (5 điểm)
Cho hàm số
3
3 2= − +y x x
có đồ thị (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(2;4).
3. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt
3
3 2
− + =
x x m
.

Bài 2 (3 điểm)
Giải phương trình
2
sin 2 2cos sin cos 1 0
− + + + =
x x x x
Bài 3 ( 2 điểm)
Giải bất phương trình
− − ≥
x x
2
log (8 7.2 5) 0

Bài 4 ( 2 điểm)
Giải hệ phương trình

+ − − =

+ =

3 2
2 2
x x 2y 2x y 0
x y 5
Bài 5 (3 điểm)
Tính tích phân
6
0
1 cos
cos
x
I dx
x
π
+
=
∫
Bài 6 (3 điểm)
Hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Mặt phẳng
(P) qua AB cắt cạnh CC’ tại M và tạo với mặt phẳng (ABC) một góc
α
.
1. Tính theo a và

α
thể tích khối đa diện ABB’A’C’M.
2. Xác định giá trị của góc
α
để thể tích khối đa diện ABB’A’C’M bằng 5 lần thể tích
khối chóp M.ABC.
Bài 7 (2 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho A(-1;2), B(3;4) và đường thẳng
∆ − − =
: x y 1 0
. Tìm điểm C thuộc đường thẳng
∆
sao cho tổng AC + CB nhỏ nhất
1

……………HẾT………….
2