Đề thi HSG môn Toán lớp 12 Cấp huyện - Đề 4

ĐỀ 4
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN LỚP 12
Thời gian: 180 phút
Bài1: (4 điểm)
Cho hàm số f(x)=x
3
- 6x
2
+9x-1 (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
2. Từ một điểm bất kỳ trên đường thẳng x=2 ta có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến
đến (C).
(Đại học ngoại thương khối A năm 2000).
Bài2: (4 điểm).
1. Tính I=
∫
+−
3
0
23
xx2x
dx.
2. Cho f(x) = 2x + m + log
2
[mx
2
- 2(m – 2)x+ 2m-1].
Tìm m để f(x) có tập xác định là R.
Bài3: (4 điểm).
Giải phương trình: ln(sinx+1) = e

sinx-1
.
Bài4: (2 điểm).
Giải hệ phương trình:







=−
=−
=−
1xz
1zy
1yx
Bài5: (4 điểm).
Cho hình lập phương ABCD.A
'
B
'
C
'
D
'
cạnh bằng a. Lấy M trong đoạn AD
'
, N trong
đoạn BD với AM=DN=x, (0<x<a

2
).
1. Chứng minh với x=
3
2a
thì MN ngắn nhất.
2. Khi MN ngắn nhất chứng minh: MN là đoạn vuông góc chung của AD
'
và DB.
Bài6: (2 điểm).
Cho x,y,z






ππ
∈
2
;
6
Chứng minh:
2
2
1
1
ysin
xsinzsin
xsin

zsinysin
zsin
ysinxsin






−≤
+
+
+
+
−