Đề thi HSG môn Toán lớp 12 Cấp huyện - Đề 9

ĐỀ 9
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN LỚP 12
Thời gian: 180 phút
Câu 1: (4 điểm)
Cho hàm số:
13
23
+−= xxy
(C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Biện luận theo k số nghiệm của phương trình:

03
23
=−−−= kkxxxy
(1)
Câu 2: (4 điểm)
a) Chứng minh rằng:
2cos +≥+ xxe
x
với
0
≥∀
x
b) Tìm m để pt sau có nghiệm:

1224
211
22
−+−=−

++−
mxx
xmxx
Câu 3: (5 điểm)
a) Tính:
∫






+
+
+
2
0
sin1
sin1
)cos1(
ln
π
dx
x
x
x
b) Tìm
Zx ∈
thoả mãn
∫

−=
x
xtdt
0
12cossin
c) Cho các số dương a, b, c, d thoả mãn:






+=+
+=+
2005200520052005
2004200420042004
dcba
dcba
Chứng minh rằng:
2006200620062006
dcba +=+
Câu 4: (3,5 điểm)
Cho elíp:
1
2
2
2
2
=+
b

y
a
x
(E) và Hypebol:
1
2
2
2
2
=+
n
y
m
x
(H) (với a, b, m, n > 0) có cùng
chung tiêu điểm F
1
và F
2
: Chứng minh rằng tiếp tuyến của (E) và (H) tại giao điểm của
chúng vuông góc với nhau.
Câu 5: (4,5 điểm)
Cho tứ diện đều ABCD, gọi (C) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Điểm
M ∈ (C), gọi A
1
, B
1
, C
1
, D

1
lần lượt là hình chiếu của M trên các mặt phẳng (BCD);
(ACD); (ABD); (ABC).
a) Tìm vị trí điểm M ∈ (C) sao cho tổng:
S = MA
1
+ MB
1
+ MC
1
+ MD
1
đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
b) Chứng minh rằng tồn tại điểm M ∈ (C) để 4 điểm A
1
, B
1
, C
1
, D
1
không đồng
phẳng: