Đề thi HSG môn Toán lớp 12 Cấp huyện - Đề 11

ĐỀ 11
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN LỚP 12
Thời gian: 180 phút
Câu 1: (6,0 điểm) Cho hàm số y =
mx
mmxmmx
+
+4+)1+(+
322
1. Với m = -1. a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (2,0đ).
b, Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị một điểm sao cho khoảng cách giữa
chúng nhỏ nhất (2đ).
2. Tìm m để đồ thị hàm số có tương ứng một điểm cực trị thuộc góc phần tư (II) và một
điểm cực trị thuộc góc phần tư (IV) của mặt phẳng toạ độ (2,0đ).
Câu 2: (3,0 điểm) 1. Giải phương trình: Sin
3
x + Cos
3
x = 2 - Sin
4
x (1,0đ)
2. Cho k, l, m là độ dài các đường trung tuyến của  ABC, R là bán
kính đường tròn ngoại tiếp  đó:
CMR: k + l + m ≤
2
9R
(2,0đ).
Câu 3: (3,0 điểm): Cho (E):
2
2

a
x
+
2
2
b
y
= 1
Hình chữ nhật Q gọi là hình chữ nhật ngoại tiếp với E nếu mỗi cạnh của Q đều tiếp xúc
với E.
Trong tất cả các hình chữ nhật ngoại tiếp với E. Hãy xác định:
1. Hình chữ nhật có S
min
(1,0đ).
2. Hình chữ nhật có S
max
(1,0đ).
Câu 4: (4,0 điểm) 1. Cho a, b là hai số dương khác nhau. người ta lập 2 dãy số {u
n
}
và {v
n
}, bằng cách đặt:
u
1
= a; v
1
= b ; u
n+1
=

2
+
nn
vu
v
n+1
=
nn
vu .
(n = 1, 2, 3, ) C/m Lim
n

+
∞
U
n
= Lim
n

+
∞
V
n
(2,0đ)
2. Cho m > 0 a, b, c thoả mãn:
2+m
a
+
1+m
b

+
m
c
= 0
CMR phương trình: ax
2
+ bx + c = 0 có ít nhất 1 nghiệm x ∈ (0,1) (2,0đ).
Câu 5: (4,0 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a. M là một điểm di động trong không
gian sao cho M nhìn AB và AD dưới một góc vuông, gọi O là tâm của hình vuông.
1. Chứng minh M luôn luôn di động trên một đường tròn ξ cố định (1,0đ).
2. α là mặt phẳng đi qua AB và vuông góc với mặt phẳng ABCD. Kéo dài DM cắt α tại
N. CM góc ANB vuông (1,0đ).
3. Đặt DM = x. Tính MN theo a và x. Tìm miền biến thiên của x, từ đó suy ra điều kiện
của hằng số k để tồn tại x thoả mãn MN = k (1,0đ).
4. Tìm giá trị lớn nhất của V
ABND
(1,0đ).
-Hết-