Đề thi HSG môn Toán lớp 12 Cấp huyện - Đề 7

ĐỀ 7
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN LỚP 12
Thời gian: 180 phút
Câu1: (6 điểm)
Cho hàm số y= x
3
+ 4x
2
+ 4x +1.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b) Cho M(x
0
;y
0
) trên đồ thị. Một đường thẳng d thay đổi đi qua M cắt đồ thị tại M
1
và M
2
khác M. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn M
1
M
2
.
c) Tìm a sao cho tồn tại 2 tiếp tuyến cùng hệ số góc a của đồ thị hàm số, gọi các
tiếp điểm là M
3
và M
4
. Viết phương trìng đường thẳng chứa M
3

và M
4
.
Câu 2: ( 5 điểm)
Giải các phương trình sau:
a) tgxsin
2
x - 2sin
2
x = 3 (Cos2x + sinxcosx) (1)
b)
2
4
X
= (2x
2
– x +1)2
x
(2)
Câu 3: ( 4 điểm)
Tính tích phân sau:
I =
dx
xx
x
∫
+
2
0
33

cossin
sin
π
Câu 4: ( 5 điểm)
Cho tứ diện ABCD có tâm mặt cầu ngoại tiếp O. Tìm các điểm M trong không gian
sao cho 4 trọng tâm của tứ diện MBCD; MCDA; MDAB; MABC cách đều điểm O.