Đề thi HSG môn Toán lớp 12 Cấp huyện - Đề 8

ĐỀ 8
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN LỚP 12
Thời gian: 180 phút
Bài 1:(4 điểm). Cho hàm số:
)(
3
1
22
3
1
23
cmmxmxxy −−−+=
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2. Tìm m
∈
(0;
6
5
) sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (Cm), và các đường thẳng: x=0;
x=2; y=0 có diện tích bằng 4.
Bài 2: (4 điểm).
1. Giải các phương trình: 3
1+tgx
(sin x + 2cos x)=5(sin x +3cos x).
2. giải phương trình: log
2
2
x + x.log
7
(x + 3)= log

2
x [
2
x
+ 2.log
7
(x + 3)]
Bài 3: ( 4 điểm).
1. Tìm a để phương trình sau có nghiệm.

xaa sin++
= sin x
2. Tìm a để phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt.
064
1
).1(4
1
)1(2
1
23
=−+
+
−+
+
−+
+
a
x
x
a

x
x
a
xx
x
Bài 4( 4 điểm).
1. Cho ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R. Gọi R
1
, R
2
, R
3
lần lượt
là các bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác BOC, COA, AOB. Cho biết:
R
1
+R
2
+R
3
= 3R. Tính 3 góc của ABC
2. Cho (E): x
2
+ 4y
2
= 4 . M là điểm thay đổi trên đường thẳng y=2. Từ M kẻ đến (E) hai
tiếp tuyến. Gọi các tiếp điểm là T
1
, T
2

. Tìm vị trí của M để đường tròn tâm M tiếp xúc với
đường thẳng T
1
, T
2
có bán kính nhỏ nhất.
Bài 5:( 4 điểm).
1. Cho hàm số f(x) xác định và dương trên R thỏa mãn:



=
=++
1)0(
0)()().(4)(
2'2'
f
xfxfxfxf
Tìm hàm số f(x).
2. Cho tứ diện ABCD có trọng tâm là G. Các đường thẳng AG, BG, CG, DG kéo dài lần
lượt cắt mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ở A
1
, B
1
, C
1
, D
1
CMR:
GDGCGBGAGDGCGBGA +++≥+++

1111