Đề thi HSG môn Toán lớp 12 Cấp huyện - Đề 15

ĐỀ 15
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN LỚP 12
Thời gian: 180 phút
Bài 1 (2điểm)
Cho họ đường cong
1
:)(
2
−
++
=
x
nmxx
yC
m
với
1
−≠+
nm
Chứng minh rằng: Nếu
∃
a để đường thẳng
∆
: y=a không cắt họ đường cong
)(
m
C
thì họ đường cong có cực đại và cực tiểu.
Bài 2(2điểm)
Chứng minh rằng:

∫
π
0
sin
2
dxe
x
>
2
3
π
Bài 3(2điểm)
Giải phương trình:
6
32
13
352
2
22
=
++
+
+− xx
x
xx
x
Bài 4 (2điểm)
Giải phương trình:
55
2

=++ xx
Bài 5(2điểm)
Giải phương trình:
xxx 7cossin33cos =−
Bài 6(2điểm)
Cho hàm số



+
=
t
t
tf
cos1
sin
)(

Chứng minh rằng:
ABC
∆∀
ta luôn có:
2
33
)()()( ≤++ CfBfAf
.
Bài 7(2điểm)
Cho hàm số
**
: Ν→Νf

thoả mãn 2 điều kiện
i.
2)1( =f
ii.
n
∀
>1 thì
)()( )2()1(
2
nfnnfff =+++
Hãy xác định công thức đơn giản tính
)(nf
?
Bài 8(2điểm)
Giải hệ phương trình
, nếu 0 < t ≤Π/2
, nếu Π/2 < t <Π





=++
=++
=++
2logloglog
2logloglog
2logloglog
16164
993

442
xyz
zxy
zyx
Bài 9(2điểm)
Cho tứ diện ABCD, chứng minh rằng:
22
)()( BCADBDAC +++
>
2
)( CDAB +
Bài 10 (2điểm)
Chứng minh rằng:
)12 (5.3.1
2 6.4.2
12
)1(

53
1
21
+
=
+
−
+++−
n
n
n
CCC

n
n
n
nn
,
Ν∈∀n