Đề thi HSG môn Toán lớp 12 Cấp huyện - Đề 16

ĐỀ 16
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN LỚP 12
Thời gian: 180 phút
Bài 1: Cho y = (-m + 1) x
3
+ 3( m + 1) x
2
- 4 mx - m .
a) Tìm các giá trị của m để hàm số luôn đồng biến .
b) Chứng minh với mọi m đồ thị hàm số luôn đi qua 3 điểm cố định thẳng hàng .
Bài 2: Tìm các giá trị của tham số a để bất phương trình :
1
34
1
2
<
−+−
+
axax
x
Được nghiệm đúng với mọi x .
Bài 3: Giải phương trình

2
)1(
22
3
=
+−
+

xx
xx
Bài 4: Tìm cặp số (x; y) thoả mãn
y
6
+ y
3
+ 2 x
2
=
22
yxxy
−
Bài 5: Cho khối tứ diện ABCD ; M là 1 điểm nằm bên trong tứ diện;AM, BM ,
CM, DM. Lần lượt cắt các mặt BCD; ACD; ABD; và ABC tại A
1
, B
1
, C
1
, D
1
.
a) Chứng minh rằng :
1
1
1
1
1
1

1
1
DD
MD
CC
MC
BB
MB
AA
MA
+++
Không đổi .
b) Tìm vị trí của điểm M để biểu thức
1111
MD
DM
MC
CM
MB
BM
MA
AM
P
+++=
Đạt giá trị nhỏ nhất .
Bài 6: Chứng minh với mỗi số nguyên dương n thì phương trình x
2n+ 1
= x + 1 . chỉ
có 1 nghiệm số thực x
n

. Khi đó tìm lim x
n
n
∞→