đề toán thi vào lớp 10 môn toán chuyên trường trần hưng đạo bình thuận năm 2015-2016

ĐỀ THI VÀO TRƯỜNG CHUYÊN TRẦN HƯNG ĐẠO BÌNH THUẬN 2015 1
1. ĐỀ THI CHUYÊN TOÁN TRẦN HƯNG ĐẠO
2015
BÀI 1 (2 điểm). Giải phương trình:
x 8 2 x 9 x 20− + − = −
ĐS: x = 25
GIẢI
•
x 8 2 x 9 x 20− + − = −
⇔
x 9 1 x 20− + = −
⇔
x 9 x 21− = −
⇔
( )
2
x 21
x 9 x 21
≥



− = −


⇔
2
x 21
x 43x 450 0
≥



− + =

⇔
x 21
x 25
x 18
≥


=




=


⇔ x = 25
BÀI 2 (2 điểm). Một bác nông dân đem trứng ra chợ bán.
Tổng số trứng bán ra được tính như sau:
- Ngày thứ nhất bán được 8 trứng và 1/8 số trứng còn lại.
- Ngày thứ hai bán được 16 trứng và 1/8 số trứng còn lại.
- Ngày thứ ba bán được 24 trứng và 1/8 số trứng còn lại.
- …
Cứ như vậy cho đến ngày cuối cùng thì bán hết trứng.
Nhưng thật thú vò, số trứng bán được trong mỗi ngày
đều bằng nhau. Hỏi tổng số trứng bán được là bao
nhiêu và bán hết trong mấy ngày? ĐS: 392 trứng, 7
ngày

GIẢI
• Gọi x là tổng số trứng bán được (x ∈ N*) thì :
• Số trứng bán được trong ngày thứ nhất là:
x 8
8
8
−
+
• Số trứng bán được trong ngày thứ hai là:
x 8
x 16 8
8
16
8
−
 
− + +
 ÷
 
+
• Theo đề toán ta có phương trình:
x 8
x 16 8
x 8
8
8 16
8 8
−
 
− + +

 ÷
−
 
+ = +
• Giải phương trình ta được x = 392
• Vậy tổng số trứng bán được là 392 trứng.
• Số trứng bán được trong mỗi ngày là
x 8
8 56
8
−
+ =
• Số ngày là 392 : 56 = 7 (ngày)
BÀI 3 (2đ). Cho các số thực dương x,y,z thỏa
x y z 3 2+ + =
. Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
1 1 1 3
4
x 3y 5z y 3z 5x z 3x 5y
+ + ≥
+ + +
GIẢI
• Dự đoán điểm rơi (điểm xảy ra dấu bằng) là
x y z 2= = =
. Kiểm tra lại ta thấy khi
x y z 2= = =
thì mỗi số hạng của vế trái bằng
( )
2

1 1 1 1
4
2x 2
x 3x 5x
8x
= = =
+
, tổng của ba số
hạng đúng bằng 3/4 .
• Mỗi số hạng của vế trái có dạng
1
ab
nên ta liên tưởng
đến bất đẳng thức
1 2
a b
ab
≥
+
(nghòch đảo của trung
bình nhân ≥ nghòch đảo của trung bình cộng suy ra từ
bất đẳng thức Cô-si:
a b
ab
2
+
≤
). Dấu = xảy ra khi a
= b .
• Trong phân thức thứ nhất của vế trái, khi dấu = xảy ra

thì 3y + 5z = 8x nên ta nhân tử và mẫu với
8 2 2=
để làm xuất hiện 8x trong dấu căn, nghóa là:
( ) ( )
1 2 2 4 2
8x 3y 5z
x 3y 5z 8x 3x 5y
= ≥
+ +
+ +
(1)
• Tương tự ta có:
( )
( )
1 4 2
2
8y 3z 5x
y 3z 5x
≥
+ +
+
( )
( )
1 4 2
3
8z 3z 5y
z 3x 5y
≥
+ +
+

• Cộng từng vế các bất đẳng thức cùng chiều (1), (2), (3)
ta được:
1 1 1
VT 4 2
8x 3y 5z 8y 3z 5x 8z 3x 5y
 
≥ + +
 ÷
+ + + + + +
 
(*)
• Biểu thức trong dấu ngoặc có dạng
1 1 1
a b c
+ +
ta liên
tưởng đến bất đẳng thức
1 1 1 9
a b c a b c
+ + ≥
+ +
chứng
minh như sau:
• Theo bất đẳng thức Cô-si áp dụng cho ba số không âm
ta có:
3
3
a b c 3 abc
1 1 1 1
3

a b c abc

+ + ≥


+ + ≥


⇒
( )
1 1 1
a b c 9
a b c
 
+ + + + ≥
 ÷
 
⇒
1 1 1 9
a b c a b c
+ + ≥
+ +
. Dấu = xảy ra ⇔ a = b = c
• Áp dụng bất đẳng thức
1 1 1 9
a b c a b c
+ + ≥
+ +
vào (*) ta
được

( )
9 9 3
VT 4 2. 4 2.
16 x y z 4
16.3 2
≥ = =
+ +
• Dấu = xảy ra ⇔
8x 3y 5z
8y 3z 5x
8z 3x 5y
8x 3y 5z 8y 3z 5x 8z 3x 5y
= +


= +


= +


+ + = + + = + +

⇔
x y z 3 2
x y z 2
3 3
+ +
= = = = =
ĐỀ THI VÀO TRƯỜNG CHUYÊN TRẦN HƯNG ĐẠO BÌNH THUẬN 2015 2

BÀI 4 (3đ). Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R, điểm
C di động sao cho
·
0
ACB 60=
và các đoạn thẳng AC, BC
lần lượt cắt đường tròn (O) tại hai điểm D, E.
a) Chứng minh rằng khi điểm C di động thì đường thẳng
DE luôn tiếp xúc với một đường tròn cố đònh.
b) Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B
trên đường thẳng DE. Xác đònh vò trí điểm C để tích
AM.BN đạt giá trò lớn nhất.
GIẢI
A
B
C
D
E
O
H
M
N
a)
·
» »
( )
1
ACB AB DE
2
sđ sđ= −

⇒
»
( )
0 0
1
60 180 DE
2
= −
⇒
»
0
DE 60=
⇒
·
0
DOE 60=
mà OD = OE = R ⇒ ∆ ODE
đều cạnh R ⇒ đường cao
R 3
OH
2
=
⇒ DE tiếp xúc
đường tròn
R 3
(O, )
2
cố đònh.
b)
·

0
ACB 60=
⇒ C di động trên hai cung chứa góc 60
0
dựng trên đoạn AB giới hạn sao cho các đoạn thẳng
CA, CB phải cắt đường tròn (O).
• OA = OB, OH//AM//BN (cùng vuông góc với DE) ⇒
OH là đường trung bình của hình thang ABNM ⇒
AM BN 2OH R 3+ = =
không đổi ⇒ tích AM.BN lớn
nhất =
2
AM BN
2
+
 
 ÷
 
=
2
2
R 3 3R
2 4
 
=
 ÷
 ÷
 
⇔ AM = BN
⇔ C là điểm chính giữa của hai cung chứa góc 60

0
dựng trên đoạn AB.
BÀI 5 (2đ). Trên bảng viết các số
1 2 2014 2015
, , , ,
2015 2015 2015 2015
. Mỗi lần biến đổi, xóa đi hai số
a, b bất kỳ và thay bằng số a + b – 5ab. Hỏi sau 2014 lần
thực hiện phép biến đổi trên bảng còn lại số nào? ĐS: 1/5
GIẢI
• Mỗi lần biến đổi ta xóa đi hai số và thêm lại một số
nên tổng kết mỗi lần biến đổi giảm đi một số. Sau
2014 lần biến đổi giảm đi 2014 số và còn lại 01 số.
• Giả sử các số trên bảng đang là a
1
, a
2
, …, a
k
tại một thời
điểm bất kỳ.
• Cho tương ứng bảng số trên với tích
( ) ( ) ( )
1 2 k
5a 1 5a 1 5a 1− − −
.
• Sau mỗi lần biến đổi xóa đi hai số a, b bất kỳ và thay
bằng số a + b - 5ab thì tích trên mất đi hai thừa số
5a 1−
,

5b 1−
nhưng được thêm thừa số
( )
5 a b 5ab 1+ − −
=
5a 5b 25ab 1+ − −
=
( ) ( )
5a 1 5b 1− − −
• Như vậy sau mỗi lần biến đổi tích chỉ đổi dấu.
• Vì tích ban đầu bằng 0 (do bảng ban đầu có thừa số
1 403
5 2015
=
nên thừa số tương ứng bằng
1
5. 1 0
5
− =
) nên
sau 2014 lần thực hiện phép biến đổi trên bảng số và
trên tích tương ứng thì số cuối cùng x cũng phải cho
tích bằng 0 tức là 5x – 1 = 0 ⇔
1
x
5
=