Đề và lời giải đề thi tuyển vào lớp 10 chuyên toán THPT chuyên Lê Quý Đôn , tỉnh Bình Định năm học 2004 - 2005

 BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN BĐ 1 Bùi Văn Chi 
SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO THI TUYỂN VÀO LỚP 10 CHUYÊN
BÌNH ĐỊNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN
Năm học 2004 – 2005


ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn thi: TOÁN (Lớp chuyên toán)
Thời gian: 150 phút (không kể phát đề)
Ngày thi: 15 – 07 – 2004


Bài 1 (1,5 điểm)
Giải phương trình:
1 1
4 6 0
x x
x
x
 
+ − + + =
 
 


Bài 2 (2 điểm)
Xác đònh các hệ số a và b để đa thức:
x
4
– 6x

3
+ ax
2
+ bx + 1 là bình phương của một đa thức khác.

Bài 3 (2,5 điểm)
Cho
1 1 1
1
2 3 100
S= + + + +⋯

Chứng minh S không phải là số tự nhiên.

Bài 4 (2,5 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD với O là trung điểm của cạnh AB. M, N theo thứ tự
là các điểm di động trên cạnh AD và BC của hình chữ nhật sao cho OM luôn
vuông góc với ON. Đònh vò trí của M và N để tam giác MON có diện tích nhỏ
nhất.

Bài 5 (1,5 điểm)
Một đoàn học sinh gồm 50 em qua sông cùng một lúc bằng hai loại thuyền:
loại thứ nhất, mỗi chiếc chở được 5 em và loại thứ hai, mỗi chiếc chở được 7
em.
Hỏi mỗi loại thuyền có bao nhiêu chiếc?

Ghi chú: Bài 4 thiếu điều kiện AD
≥
AB/2.


 BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN BĐ 2 Bùi Văn Chi 
GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 - MÔN TOÁN CHUYÊN
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QÚY ĐÔN BÌNH ĐỊNH
Năm học : 2004 – 2005 – Ngày 15 – 07 – 2004
Thời gian làm bài : 150 phút

Bài 1 (1,5 điểm)
Giải phương trình:
1 1
4 6 0
x x
x
x
 
+ − + + =
 
 
(1) (Điều kiện x > 0)
Đặt
1
t x
x
= +
( t ≥ 2) ⇒
2 2

1 1
2 2
t x x t
x x
= + + ⇔ + = −
.
Phương trình (1) viết lại:
(1) ⇔ t
2
– 2 – 4t + 6 = 0 ⇔ (t – 2)
2
= 0 ⇔ t = 2 ⇔
1
2
x
x
+ =
⇔ x = 1
Vậy phương trình (1) có một nghiệm x = 1.

Bài 2 (2 điểm)
Theo điều kiện bài toán, ta có:
x
4
– 6x
3
+ ax
2
+ bx + 1 = (x
2

+ cx + 1)
2

⇔ x
4
– 6x
3
+ ax
2
+ bx + 1 = x
4
+ 2cx
3
+ (2 + c
2
)x
2
+ 2cx + 1
⇔
2
2 6
3
2 11
2 6
c
c
c a a
b c b
= −


= −



+ = ⇔ =
 
 
= = −



Vậy a = 11, b = -6, khi đó x
4
– 6x
3
+ 11x
2
-6x + 1 = (x
2
-3x + 1)
2


Bài 3 (2,5 điểm)
Chứng minh
1 1 1
1
2 3 100
S= + + + +⋯
không là số tự nhiên

Trước hết ta chứng minh k =
1 1
1
n n
+
+
là số vô tỉ, ∀ n ∈
∈∈
∈ N
*

Ta có: n
2
< n(n + 1) < (n + 1)
2
, ∀n ∈
∈∈
∈ N
*

⇒ n(n + 1) không chính phương ⇒
( 1)
n n
+
là số vô tỉ dương.
Ta chứng minh bằng phản chứng:
Giả sử
1 1
1
n n

+
+
= k là số hữu tỉ.
Suy ra
1 ( 1)
n n k n n
+ + = +
⇒ 2n + 1 + 2
( 1)
n n
+
= k
2
n(n + 1) (1) (n ∈
∈∈
∈ N
*
)
Vì 2
( 1)
n n
+
là số vô tỉ ⇒ vế trái (1) là số vô tỉ, còn vế phải(1) là số hữu tỉ: vô lý.
Do đó k =
1 1
1
n n
+
+
là số vô tỉ dương, ∀ n ∈

∈∈
∈ N
*

Suy ra
1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 99 100
S
   
 
= + + + + + +
   
 
 
   
⋯
là số vô tỉ dương.
Vậy S không là số tự nhiên.

 BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN BĐ 3 Bùi Văn Chi 
Bài 4 (2,5 điểm)
Đònh vò trí của M, N để tam giác OMN có điện tích nhỏ nhất
Đặt OA = OB = a, AM = x, BN = y
(a, x, y > 0)
Gọi I là trung điểm của MN.
Ta có: OI = (x + y)/2
(đường trung bình của hình thang ABNM)
Mặt khác ∆ OMN vuông tại O, có OI = MN/2
⇒ MN = x + y (1)
p dụng đònh lý Pythagore trong các tam giác vuông:

OM
2
= OA
2
+ AM
2
= a
2
+ x
2
(2)
ON
2
= OB
2
+ BN
2
= a
2
+ y
2
(3)
MN
2
= OM
2
+ ON
2
(4)
Từ (1), (2), (3), (4)

⇒ (x + y)
2
= 2a
2
+ x
2
+ y
2
⇒ xy = a
2
(1)
Ta có:
S
OMN
= S
ABNM
– (S
AOM
+S
BON
)
=
( )2 ( )
2 2 2 2
x y a ax ay a x y
+ +
 
− + =
 
 

Vì x + y
≥
2
2 2 2
xy a a
= = (x, y > 0)
Nên: S
OMN
≥
2
.2
2
a a
a
=
.
Dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi x = y = a.
Vậy giá trò nhỏ nhất của S
OMN
là a
2
khi AM = BN = a = OA = OB = AB/2.
(Điều kiện để tồn tại giá trò nhỏ nhất của S
OMN
là AD
≥
≥≥
≥
AO

⇒
⇒⇒
⇒
AD
≥
≥≥
≥
AB/2).


Bài 5 (1,5 điểm)
Gọi x là số thuyền chở 5 người, y là số thuyền chở 7 người.
(x, y ∈
∈∈
∈ N, 0 < x ≤ 10, 0 < y ≤ 7)
Ta có phương trình: 5x + 7y = 50 (1)
Từ (1)
⇒ 7y
⋮
5 ⇒ y
⋮
5 , kết hợp với điều kiện của y ⇒ y = 5
Thay y = 5 vào (1)
⇒ x = 3 .
Vậy có 3 thuyền loại chở 5 người, có 5 thuyền loại chở 7 người .



Ghi chú: Có thể chứng minh (1) bằng cách dùng
∆

∆∆
∆
AOM
∆
∆∆
∆
BNO


S
A
O
B
N
I
M
x
y
a
a