Đề thi học sinh giỏi Toán 7 cấp huyện số 1

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Môn: Toán - Lớp 7
NĂM HỌC: 2011 – 2012
Thời gian: 150’ (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (5,0 điểm)
a) Thực hiện phép tính:
( )
( )
12 5 6 2 10 3 5 2
6 3
9 3
2 4 5
2 .3 4 .9 5 .7 25 .49
A
125.7 5 .14
2 .3 8 .3
− −
= −
+
+
b) Chứng minh rằng: Với mọi số nguyên dương n thì :
2 2
3 2 3 2
n n n n+ +
− + −
chia hết cho 10
Bài 2: (2,5 điểm)
a) Cho
a
c
c

b
b
a
==
và a + b + c = 2007. Tính a, b, c.
b) Chứng minh rằng: Từ tỷ lệ thức
1≠
−
+
=
−
+
dc
dc
ba
ba
ta có tỷ lệ thức
d
c
b
a
=
.
Bài 3: (4,0 điểm)
a, Tìm x biết:

11 5 15 11
( ) ( )
13 42 28 13
x− − = −

b, Cho
1
2
x
M
−
=
Tìm
x∈
Z và x < 50 để M có giá trị nguyên
T×m x biÕt : 2.
35
−
x
- 2x = 14

Bài 4: (4,0 điểm): Trong một xưởng cơ khí, người thợ chính tiện xong dụng
cụ hết 5 phút, người thợ phụ hết 9 phút. Nếu trong một thời gian như nhau cả hai
cùng làm việc thì tiện được cả thảy 84 dụng cụ. Tính số dụng cụ mà mỗi người đã
tiện được.
Bài 5: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối
của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng:
a) AC = EB và AC // BE
b) Gọi I là một điểm trên AC; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK .
Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng
c) Từ E kẻ
EH BC
⊥

( )

H BC∈
. Biết
·
HBE
= 50
o
;
·
MEB
=25
o
.
Tính
·
HEM
và
·
BME
Phòng GD- ĐT Huyện Hòa An
ĐÁP ÁN THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Môn : Toán 7
NĂM HỌC: 2011 – 2012
Bài Điểm
Bài 1 (5,0 điểm)
a)
( )
( )
( )
( )
( )

( )
( )
10
12 5 6 2 10 3 5 2 12 5 12 4 10 3 4
6 3
12 6 12 5 9 3 9 3 3
9 3
2 4 5
12 4 10 3
12 5
9 3 3
10 3
12 4
12 5 9 3
2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 2 .3 2 .3 5 .7 5 .7
2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7
125.7 5 .14
2 .3 8 .3
2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 7
2 .3 . 3 1
5 .7 . 1 2
5 .7 . 6
2 .3 .2
2 .3 .4 5 .7 .9
1 10 7
6 3 2
A
− − − −
= − = −
+ +

+
+
− −
= −
+
+
−
= −
−
= − =

b) Với mọi số nguyên dương n ta có:

2 2
3 2 3 2
n n n n+ +
− + −
=
2 2
3 3 2 2
n n n n+ +
+ − −

=
2 2
3 (3 1) 2 (2 1)
n n
+ − +

=

1
3 10 2 5 3 10 2 10
n n n n−
× − × = × − ×
= 10( 3
n
-2
n
)
Vậy
2 2
3 2 3 2
n n n n+ +
− + −
M
10 với mọi n là số nguyên dương.
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,75
1,0
0,5
0,25
B i 2 (3 à điểm)
1
2007
2007
==

++
++
===
cba
cba
a
c
c
b
b
a
.
ba
b
a
=⇒=1
. Tương tự b = c
669
3
2007
====⇒ cba

01 ≠⇒≠
−
+
b
ba
ba
;
01 ≠⇒≠

−
+
d
dc
dc

0,5
0,5
0,25
0,25
0,5
))(())(( dcbadcba
dc
dc
ba
ba
+=+

+
=

+
adbc 22
=
d
c
b
a
=
(Do b, d

0
)
0,5
0,5
Bi 3 (2 im)
2
35

x
- 2x = 14

35 x
= x + 7 (1)
ĐK: x

-7
( )
( )
5 3 7
1
5 3 7
x x
x x
= +



= +

Vậy có hai giá trị x thỏa mãn điều kiện đầu bài. x

1
= 5/2 ; x
2
= - 2/3
0,5
1
0,5.
Bi 4 ( 4 im)
Gi x, y ln lt ca ngi th chớnh, th ph. Ta cú s dng c t l
nghch vi thi gian lm vic nờn
1 1
5 9
x y
=
v x + y = 84
Nờn
84 84.45
270
1 1 1 1 14
14
5 9 5 9 45
x y x y+
= = = = =
+

Vy
1
270 .270 54
1
5

5
x
x= = =


1
270 .270 30
1
9
9
y
y= = =

Vy: Ngi th chớnh lm c 54 dng c
Ngi th ph lm c 30 dng c
1,0
1,5
0,5
0,5
0,5
Bi 5 (6 im)
K
H
E
M
B
A
C
I
a/ Xét

AMC∆
và
EMB∆
có :
AM = EM (gt )
·
AMC
=
·
EMB
(đối đỉnh )
BM = MC (gt )
Nên :
AMC∆
=
EMB∆
(c.g.c )
⇒
AC = EB
Vì
AMC
∆
=
EMB∆

·
MAC⇒
=
·
MEB

(2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường
thẳng AE)
Suy ra AC // BE .
b/
Xét
AMI∆
và
EMK∆
có :
AM = EM (gt )
·
MAI
=
·
MEK
( vì
AMC EMB
∆ = ∆
)
AI = EK (gt )
Nên
AMI EMK∆ = ∆
( c.g.c )
Suy ra
·
AMI
=
·
EMK

Mà
·
AMI
+
·
IME
= 180
o
(tính chất hai góc kề bù )
⇒

·
EMK
+
·
IME
= 180
o

⇒
Ba điểm I;M;K thẳng hàng
c/
Trong tam giác vuông BHE (
µ
H
= 90
o
) có
·
HBE

= 50
o
·
HBE⇒
= 90
o
-
·
HBE
= 90
o
- 50
o
=40
o

·
HEM⇒
=
·
HEB
-
·
MEB
= 40
o
- 25
o
= 15
o

·
BME
là góc ngoài tại đỉnh M của
HEM∆
Nên
·
BME
=
·
HEM
+
·
MHE
= 15
o
+ 90
o
= 105
o
( định lý góc ngoài của tam giác )
0,5
1,0
0,5
1,0
1,0
1.0
1,0