Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp huyện số 3

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
CAO BẰNG
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2010-2011
Môn: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: ( 3,0 điểm)
Cho hai đường thẳng
1
d
và
2
d
có phương trình:

1
d
: y = x + 2
2
d
: y = ax + b
a. Xác định a, b để đường thẳng
2
d
đi qua hai điểm M( 3;0) và N( 0;12).
Vẽ
1
d
và
2
d

trên cùng một hệ trục toạ độ.
b. Hãy tính diện tích tứ giác giới hạn bởi hai hệ trục toạ độ và đồ thị của hai đường thẳng
đã cho.
Câu 2: ( 4,0 điểm )
1. Chứng minh rằng:
3 3
1 1
2 2
1
3 3
1 1 1 1
2 2
+ −
+ =
+ + − −
2. Cho
4 4
91 16 5x x+ − + =
. Hãy tính
x
.
Câu 3: ( 5,0 điểm)
a. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
1
2 3
A
x
=
− −

b. Tìm các số tự nhiên
m
sao cho:
3
3m +
chia hết cho
3m +
Câu 4: ( 6,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O bán kính R. Từ một điểm
P
ở trong đường tròn kẻ hai dây
&AB CD
vuông góc với nhau. Chứng minh rằng:
a.
2 2
. .PA PB PC PD R PO= = −
b.
2 2 2 2
PA PB PC P D+ + +
không phụ thuộc vào vị trí điểm
P
.
Câu 5: ( 2,0 điểm)
Cho các số thực
,x y
thoả mãn:
2 2
( 1 )( 1 ) 1x x y y+ + + + =
Tính giá trị biểu thức:
2011 2011

2011A x y= + +
_________________________Hết______________________________
Họ và tên thí sinh:…………………………………… Số báo danh:……………
Họ tên, chữ ký của giám thị 1:…………………………………………………
ĐỀ BÀI
(Đề gồm 01 trang)
Đề chính thức
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
CAO BẰNG
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2010-2011
Môn: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: ( 3,5 điểm)
Cho biểu thức:
2 2 2
2
2
( 3) 12
( 2) 8
x x
y x x
x
− +
= + + −
a. Rút gọn biểu thức y.
b. Tìm các giá trị nguyên của
x
để
y

là số nguyên.

Câu 2: (3,5 điểm)
Cho hệ phương trình:
1
x y m
mx y
+ =


+ =

(
m
là tham số )
1. Giải hệ phương trình khi
m
= 2 .
2. Tìm
m
để hai đường thẳng
x y m+ =
và
1mx y+ =
cắt nhau tại duy nhất một điểm
nằm trên Parabol:
2
2y x= −
.
Câu 3: (5,0 điểm)

Cho đường thẳng (d): (m - 2) x + (m – 1) y = 1 ( m là tham số )
a. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định.
b. Khi m
≠
2, m
≠
1 tìm các giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đển đường
thẳng (d) là lớn nhất.
Câu 4: ( 6,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (I) đường kính BH cắt AB
tại D. Vẽ đường tròn (K) đường kính HC cắt AC tại E.
Chứng minh rằng:
1. AB.AD = AE.AC
2. DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K).
3. Diện tích tứ giác DEKI bằng một nửa diện tích tam giác ABC.
Câu 5: ( 2,0 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức sau:

3 6y x x
= − + +
__________________________Hết_______________________________
Họ và tên thí sinh:…………………………………… Số báo danh:……………
Họ tên, chữ ký của giám thị 1:…………………………………………………
ĐỀ BÀI
(Đề gồm 01 trang)
Đề số 02