Đề thi học sinh giỏi Toán 9 - số 8

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (88.97 KB, 6 trang )

sở gd & đt thanh hoá Đề thi học sinh giỏi lớp 9
truờng thpt đặng thai mai môn : Toán
thời gian: 150 phút

Câu1:(4đ)
1.Đơn giản các biểu thức sau:
249225 ++=A
1
22
5
56
+
+
=
a
aaa
B
;
1

a
.
2.Tính giá trị biểu thức B ở phần 1, khi
zxyx
a
+
=
+
5
và

( )
( )( )
zyxyz
zx
++
=
+
2
1625
2
Câu2:(4đ)
Giải các phơng trình sau:
1.
29612
22
=+++ xxxx
2.
( )( )
256
27
21
3
= xx
với
21 x
Câu3: (4đ)
Cho họ đờng thẳng (D
m
) có phơng trình :
11

1
2
2
2
++
+
++
+
=
mm
m
x
mm
m
y
1.Tìm điểm cố định của họ đờng thẳng (D
m
).
2.Tìm m để đờng thẳng của họ (D
m
) cắt Parabol (P) : y = x
2
tại hai điểm có hoành
độ dối nhau.Xác định toạ độ các giao điểm ấy.
Câu4: (4đ)
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đờng tròn tâm O . M là một điểm bất kỳ trên đờng tròn
đó . Gọi A
/
,B
/

,C
/
lần lợt là hình chiếu của M trên các đờng thẳng BC , CA , AB .
1.Chứng minh các tứ giác BC
/
A
/
M và CA
/
MB
/
nội tiếp.
2.Chứng minh 3 điểm A
/
, B
/
, C
/

thẳng hàng.
3.Trên đờng tròn tâm O đã cho lấy điểm M
1
M. Gọi A
1
, B
1
, C
1
lần lợt là hình
chiếu của M

1
lên các đờng thẳng BC , CA , AB . Tìm vị trí của điểm M
1
trên đờng
tròn tâm O để đờng thẳng A
1
B
1
C
1
vuông góc với đờng thẳng A
/
B
/
C
/
.
Câu5: (4đ)
Chứng minh rằng:
1.
01
258
++ xxxx
với mọi số thực x.
2.
1
1
1
11
2

>++
+
+
n
nn

với mọi số tự nhiên
1>n
./.
sở gd & đt thanh hoá Đáp án đề thi học sinh giỏi lớp 9
truờng thpt đặng thai mai môn : Toán
thời gian: 150 phút

Câu1 : (4đ)
1.
( )
2
122225 ++=A
0,25đ
22325 +=
0,25đ

( )
1225 +=
0,25đ
223 =

12 =
0,25đ
( ) ( )

1
22
5
5
+
+
=
a
aaa
B
0,25đ
( )
( )
1
21
5
5
+
+
=
a
aa
0,25đ
Do
011
5
+ aa
0,25đ
2= aB
0,25đ

2.Theo giả thiết ta có
yz
a
zxyx
a

=
+
=
+
55
0,25đ

zyx
a
++
+
=
2
5
0,25đ
( )
( )( )
( )( )
zyxyz
aa
zx
++
+

=
+
2
5525
2
0,25đ

( )( )
zyxyz
a
++

=
2
25
2
0,25đ
Mà
( )
( )( )
zyxyz
zx
++
=
+
2
1625
2
nên
( )( ) ( )( )

zyxyzzyxyz
a
++
=
++

2
16
2
25
2
0,25đ
31625
2
== aa
0,25đ

=
5
1
B

khi
khi

3
3

=
=
a
a
0,25đ
Câu2: (4đ)
1.
( ) ( )
23129612
22
22
=+=+++ xxxxxx
0,25đ
231 =+ xx
0,25đ

=+
=+
=++

231
231
231
xx
xx
xx

khi
khi
khi

3
31
1

<
<
x
x
x

0,75đ

=
=
=

3
22
1
x
x

khi
khi
khi

3
31
1

<
<
x
x
x

0.5đ
Vậy nghiệm của phơng trình là tất cả các số thực x sao cho :
31 x
0,25đ
2.Do

0
3
2
01
21
x
x
x
0,25đ
Ta thấy
1
3
2
3
2
3
2
1 =

+

+

+
xxx
x
0,25đ
Các số không âm có tổng không đổi thì tích của chúng nếu đạt GTLN khi và chỉ
khi các số đó bằng nhau, tức là khi và chỉ khi
[ ]
2;1
4
5
3
2
1 =

= x
x
x
0,25đ
Khi đó tích của chúng đạt GTLN bằng
( )
256
1
3
4
5
2
3
4

5
2
3
4
5
2
1
4
5
3
2
3
2
3
2
1 =

ì

ì

ì

=

ì

ì

ì
xxx
x
0,25đ
Hay tích (x-1).(2-x)
3
đạt GTLN bằng
( )( )
256
27
21
3
= xx
0,5đ
Theo giả thiết (x-1).(2-x)
3
=
256
27
nên tích
( )
3
2
3
2
3

2
1
xxx
x

ì

ì

ì
đạt GTLN
0,25đ
Vậy
4
5
=x
là nghiệm của phơng trình đã cho. 0,25đ.
Câu3: (4đ)
1.Giả sử M
0
(x
0
;y
0
) là điểm cố định của họ đờng thẳng (D
m
).Khi đó M
0
(D
m

) m
Hay
11
1
2
2
0
2
0
++
+
++
+
=
mm
m
x
mm
m
y
,
m

0,5đ

( ) ( )
01
0000
2
0

=++ xymxymy
,
m

0,5đ

=
=

=
=

1
1
0
01
0
0
00
0
y
x
xy
y

( )
1;1
0
M
0,5đ
Vậy điểm cố định của họ đờng thẳng (D
m
) là M
0
(1 ; 1) 0,5đ
2.Theo trên M
0
(1 ; 1) (D
m
)
Ta lại nhận thấy M
0
(1 ; 1) (P) : y = x
2
M
0
(1 ; 1) là một giao điểm của (D
m
)
và (P). 0.5đ
Để hai giao điểm có hoàng độ đối nhau thì giao điểm thứ hai N
0
phải có hoàng độ
x=-1. Khi đó tung độ của N
0

là y=1 N
0
(-1 ; 1) 0,5đ
Lại do N
0
(D
m
) nên:
( )
1
1
1
1
1
1
2
2
2
=
++
+
++
+
= m
mm
m
mm
m
0,5đ
Vậy với m = -1 thì (D

m
) và (P) cắt nhau tại hai điểm có hoành độ đối nhau và hai
điểm đó có toạ độ là M
0
(1;1) và N
0
(-1;1) 0,5đ
Câu4: (9đ)
Không mất tính tổng quát ta giả sử M thuộc cung BC. Khi đó ta có hình vẽ:

1.Xét BC
/
A
/
M có:

=
=

vMBA
vMBC
1
1
/

/
tứ giác BC
/
A
/
M nội tiếp trong đờng tròn đờng
kính BM 0,75đ
Hoàn toàn tơng tự :MA
/
CB
/
nội tiếp trong đờng tròn đờng kính CM vì có

=
=

vMCB
vMCA
1
1
/
/
0,25đ
2.Tứ giác CA
/

MB
/
nội tiếp nên :

=
///
MCBBMA
(cùng chắn cung MB
/
) 0,25đ

= MCACMA
//
(cùng bù với

ABM
) 0,25đ

180
/////
=+=+

MCAMCBCMABMA
0,25đ
///
,, CBA
thẳng hàng. 0,25đ

3.

= BCAAMCBABA
11
////
11
(1) (góc có cạnh tơng ứng ) 0,25đ
Do BC
/
A
/
M nội tiếp

=
///
AMCMBA
(2) 0,25đ
Do BA
1
C
1
M
1
nội tiếp

= BCAABM
1111
(3) 0,25đ
Từ (1),(2),(3) suy ra

=
11
/
ABMMBA
(4) 0,25đ
Mà

90
1111
=+

BAMABM
(5) 0,25đ
Tõ (4) vµ (5) suy ra:

90
11
/
=+
∧
∧
BAMMBA
0,25®
Tøc

90
1
=

∧
MBM
0,25®
VËy M
1
®èi xøng víi M qua t©m O 0,25®

C©u5: (4®)
1.Chøng minh
01
258
≥+−+− xxxx

Rx
∈∀
Ta cã :
01
258
≥+−+− xxxx
( )
0
2
1
2
2
222
2
2
22
2