ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 (08-09 THỪA THIÊN HUẾ)

UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Sở Giáo dục và đào tạo lớp 9 thCS - năm học 2007 - 2008
Môn : Toán
Đề chính thức Thời gian làm bài: 150 phút
Đề thi gồm 01 trang
Bài 1: (4,0 điểm)
Cho biểu thức:
4 4
2 14 28 16
x x x x
A
x x x x
+
=
+
1. Tìm
x
để
A
có nghĩa, từ đó rút gọn biểu thức
A
.
2. Tìm các giá trị nguyên của
x
để biểu thức
A
nhận giá trị nguyên.
Bài 2: (4,0 điểm)
Cho phơng trình
2 2
2 6 0x mx m m + =

(
m
là tham số).
1. Với giá trị nào của
m
thì phơng trình đã cho có hai nghiệm
1
x
và
2
x
sao cho
1 2
2 1
18
7
x x
x x
+ =
.
2. Với giá trị nào của
m
thì phơng trình đã cho có hai nghiệm
1
x
và
2
x
sao cho
1 2

8x x+ =
Bài 3: (3,0 điểm)
1. Cho bốn số thực bất kì
, , ,a b c d
. Chứng minh:
( ) ( )
2 2 2 2
ab cd a c b d+ + +
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
2. Với giá trị nào của góc nhọn

thì biểu thức
3sin 3 cosP

= +
có giá trị lớn
nhất ? Cho biết giá trị lớn nhất đó.
Bài 4: (6,0 điểm)
1. Cho đờng tròn (O) và dây BC cố định không qua tâm O, điểm A di chuyển trên
cung lớn BC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC. Gọi M là
trung điểm của CD. Hỏi M di chuyển trên đờng nào ? Nêu cách dựng đờng này và
giới hạn của nó.
2. Trong hình bên, cho biết M là trung điểm của
AC và các đờng thẳng AD, BM và CE đồng qui
tại K. Hai tam giác AKE và BKE có diện tích là
10 và 20. Tính diện tích tam giác ABC.
Bài 5: (3,0 điểm)
1. Tìm số tự nhiên
n
để

18n +
và
41n
là hai số chính phơng.
2. Tớnh s cỏc ụ nh nht phi quột sn trờn mt bng cho bt kỡ vựng
no ú trờn bng ny cng cha ớt nht 4 ụ ó quột sn.
Hết
1
UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Sở Giáo dục và đào tạo lớp 9 thCS năm học 2007 - 2008
Môn : toán
Đáp án và thang điểm:
B i
Cõu
Nội dung Điểm
1
(4 điểm)
1.1
(2 đ)
Để A có nghĩa, trớc hết
0x

. Đặt
( )
0t x x=
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )

2
3 2
3 2
3 2 2
1 4
1 1 4
4 4
2 14 28 16 2 1 2 4
2 2 12 28 16
t t
t t t
t t t
A
t t t t t t
t t t t

+
+
= = =
+
+
Để biểu thức A có nghĩa thì:
0, 1, 2, 4 0, 1, 4, 16t t t t x x x x
(*)
Khi đó, rút gọn ta đợc:
( )
( )
1 1
2 2
2 2

t x
A
t
x
+ +
= =


1,0
0,5
0,5
1.2
(2 đ)
( )
( )
( ) ( )
2 3
1 1 3
2 2 2 2 2 2 2
t
t
A
t t t
+
+
= = = +

Để A là số nguyên thì x nguyên và
2t

phải bằng
1
hoặc
3

.
- Nếu 2 1 1t t = = ( loại vì trái điều kiện (*)).
- Nếu
2 3 1 0t t
= = <
(loại)
- Nếu 2 1 3 9t t x = = = và
2A =
- Nếu
2 3 5 25t t x
= = =
và
1A =
Vậy: Để A nhận các giá trị nguyên thì 9x = và 25x = .
0,5
0,5
0,5
0,5
2
(4 điểm)
2.1
Để phơng trình
2 2
2 6 0x mx m m + =
có hai nghiệm thì:

( )
2 2
' 6 6 0 6m m m m m = = +
(1)
0,5
Với điều kiện (1),
( )
2
2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
2 1 1 2 1 2
2
18 18 18
7 7 7
x x x x
x x x x
x x x x x x
+
+
+ = = =
và
1 2
0x x
( )
( )
2 2
2
2 2
4 2 6

18 6 9
2; 3
6 7 6 7
m m m
m m
m m
m m m m

+ +
= =

2
1 2
8 48 0 4; 12m m m m = = =
(thỏa điều kiện (1) và đều khác -2 và
khác 3)
0,5
0,5
0,5
2.2
Với điều kiện (1),
( )
2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
8 2 64 2 2 64x x x x x x x x x x x x+ = + + = + + = (2)
0,5
+ Nếu
1
x

và
2
x
cùng dấu thì
( ) ( )
1 2
2
6
0
6 2 3 0
m
x x
m m m m




= +

0,5
6 2m hoặc 3m (3)
0,25
2
Khi đó (2)
( )
2
2
1 2
64 4 64 4x x m m + = = = (thỏa điều kiện (3)).
0,25

+ Nếu
1
x
và
2
x
trái dấu thì
( ) ( )
2
1 2
0 6 2 3 0 2 3x x m m m m m< = + < < <
(4)
Khi đó (2)
( )
( )
2
2 2
1 2 1 2
4 64 4 4 6 64x x x x m m m + = =
6 16 10m m
+ = =
(không thỏa điều kiện (4).
0,5
+ Vậy, để
1 2
8x x+ =
thì
4m
=
3

(3,0 điểm)
3.1
Ta có:
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2 2 2
0 ab cd a c b d ab cd a c b d + + + + + +
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2a b c d abcd a b a d b c c d + + + + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 0 0ad bc ad bc ad bc +
: đúng với 4 số thực a, b, c,
d bất kì.
Vậy:
( ) ( )
2 2 2 2
0 , , , ,ab cd a c b d a b c d + + + R
Dấu đẳng thức xảy ra khi 0ad bc = hay
( )
0, 0
c d
a b
a b
=
0,5
0,5
0,5

3.2
áp dụng kết quả trên, ta có:
3sin 3 cos 0P

= + >
nên
(
)
( )
2
2 2 2
3sin 3 cos 3 3 sin cos 2 3P

= + + + =
max
2 3P = khi
0
sin 3
3cos 3 sin 0 3 60
cos
3
tg



= = = =
1,0
0,5
4
(6,0 điểm)

4.1
+ Ta có: Tam giác ACD cân tại A (gt)
nên
ã
ã
2BAC ADC=
(Góc BAC là góc ngoài của tam giác ACD)
+ Gọi I là trung điểm của BC, ta có MI //BD (đờng trung bình của tam giác
BCD), nên:
ã
ã
ã
ã
1 1
2 4 4
IMC BDC BAC BOC

= = = =
(
ã
BOC

=
không đổi).
+Do đó: M chạy trên cung tròn nhìn đoạn IC dới góc
4

không đổi.
0,5
0,5

1,0
3
+ Dựng tia OI cắt đờng tròn (O) tại N, ta
có:
ã
ã
ã
ã
1
2
NBC BAC BDC IMC= = =
.
+ Dựng tia
'//In BN
, dựng đờng thẳng qua
I và vuông góc với 'In cắt trung trực đoạn
IC tại O
1
. Đờng tròn tâm O
1
và đi qua C là
đờng cần dựng.
+ Khi A chạy trên cung lớn BC tới
trùng với A thì D trùng với
0
D
trên
tiếp tuyến Bt của (O) và BD
0
= BC ,

khi đó M trùng với M
0
là trung
điểm của CD
0
.
+ Vậy M chỉ di chuyển trên cung
lớn CM
0
của đờng tròn (O
1
).
0,5
0,5
0,5
0,5
4.2
+ Gọi
h
là khoảng cách từ K đến AB, ta có:

/ 2 1
/ 2 2
AKE
BKE
S AE h AE AE
S BE h BE BE


ì

= = =
ì
.
+ Suy ra:
1
2
2
ACE
BCE ACE
BCE
S
S S
S



= =
(1)
+ Tơng tự:
1
AKM
AKM CKM
CKM
S MA
S S
S MB



= = =

Đặt
AKM CKM
x S S

= =
, ta có:

20 10 30
ABM CBM BCK BCK
S S x x S S= + + = + =
(1)
( )
15
20 2 10 2 10 2 25
2
BCK
S x x x + = + + = =
Do đó:
10 20 30 2 75
ABC AKB BCK AKC
S S S S x

= + + = + + + =
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
5

(3,0 điểm)
5.1
Để
18n
+
và
41n

là hai số chính phơng
2
18n p + = và
( )
2
41 ,n q p q = N
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
18 41 59 59p q n n p q p q = + = + =
Nhng 59 là số nguyên tố, nên:
1 30
59 29
p q p
p q q
= =



+ = =

Từ
2 2

18 30 900n p+ = = = suy ra
882n
=
Thay vào
41n

, ta đợc
2 2
882 41 841 29 q = = = .
Vậy với 882n = thì 18n + và 41n là hai số chính phơng
0,5
0,5
0,5
4
5.2
+ Dọc theo chiều ngang sát sát cạnh trên của bảng có 3 vùng ở 3 vị
trí
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3
, ,A B C D A B C D A B C D
. Dịch chuyển xuống theo chiều dọc một ô,
ta có thêm 3 vùng . Dịch chuyển xuống theo chiều dọc một ô nữa, ta có
thêm 3 vùng . Do đó có 9 vùng con của bảng , mỗi vùng con
đều chứa 5 ô vuông con
1 1ì
thuộc hình chữ thập đã tô màu.
0,75
+ Nếu chỉ quét sơn nh hình vẽ bên thì mỗi vùng con
đều chứa 4 hoặc 5 ô
1 1ì
đợc quét sơn.

Vậy: Để mỗi vùng con của bảng chứa ít
nhất 4 ô
1 1ì
đợc quét sơn, thì chỉ cần quét số ô nhỏ
nhất là 7 ô nh hình vẽ bên.
0,75
5