Đề thi học sinh giỏi Toán 9 - số 9

Đề thi học sinh giỏi lớp 9
môn toán
Đề đề xuất
Thời gian150
Bài 1:(4đ) Cho biểu thức:
a\ Rút gọn biểu thức P
b\ Chứng minh rằng: 0<P<32/9
1x
Bài 2:(4đ) Cho parabol (P):
2
2
1
xy
=
, điểm I(0;2) và điểm M(m;0)
0

m
a\ Vẽ (P)
b\ Gọi d là đờng thẳng đi qua I và m. Chứng minh rằng đờng thẳng d luôn cắt
(P) tại 2 điểm phân biệt A, B
c\ Gọi H, K lần lợt là hình chiếu của A, B lên trục Ox. Chứng minh rằng tam
giác IHK vuông.
d\ Chứng minh rằng độ dài đoạn AB>4
0m
Bài 3:(4đ) Cho phơng trình: (m-1)x
2
-2(m-2)x+m+1=0
a. Giải và biện luận theo thámố m
b. Khi phơng trình có 2 nghiệm x
1

, x
2
. Hãy tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
, x
2
độc lập với tham số m
Bài 4(6đ) Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC, các tiếp điểm
của (O) và các cạnhBC, CA, AB lần lợt là D, E, F. Kẻ BB
1
AO
, AA
1
BO
Chứng minh rằng 4 điểm D, E, A, B thẳng hàng.
Bài 5(2đ) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình
y
2
=-2(x
6
-x
3
y-32)
đáp án Đề thi học sinh giỏi lớp 9
môn toán
Đề đề xuất
Thời gian150
ĐK x
1
0.25

=
)1)(1(
4
)1)(1(
1
)1)(1(
3
242222
++

++

+ xxxxxxxxx
0.5đ
1
4
1
1
1
3
23453434
++

+

+
=
xxxxxxxxxxx
P

1
4
1
1
1
3
23453434
++

+

+
=
xxxxxxxxxxx
P
Khi đó
)1)(1(
4
)1)(1(
1)1(3
4242
22
++

++
+++
=
xxxxxx
xxxx
P

0.5đ
=
)1)(1(
44242
242
2
++
++
xxx
xx
0.5đ
)1(
2
24
++
=
xx
P
0.5đ
b\
Ta có
1
24
++ xx
=(x
2
+1/2)
2
+3/4 >0 0.5đ
)1(

2
24
++
=
xx
P
> 0
1x
0.5đ
Xét






++
++
=
4
3
)
2
1
(9
143232
9
32
22
24

x
xx
p
> 0
1x
0.5đ
)1(
2
24
++
=
xx
P
<32/9
1x
Suy ra: 0 <P <32/9
1x
0.5đ
Bài 2:
a. Vẽ đồ thị (P)
2
2
1
xy
=
Bảng giá trị:
0.5đ
Đồ thị:
y 0.5đ
2

-2 -1 O 1 2 x
c. Phơng trình đờng thẳng d có dạng y=ax + b 0.25đ
do d đi qua 2 điểm M(m;0) và I(0;-2) do đó ta có:
x -2 -1 0 1 2
y 2 1/2 0 1/2 2











=
=

+=
=
m
a
b
bam
b
2
2
0

2
Đờng thẳng d là: y
m
2
=
x + 2 0.25đ
Khi đó hoành độ giao điểm của d và (P) là nghiệm của phơng trình:
2
2
2
1
2
+

= x
m
x
(1) 0.25đ
0044'
044
2
2
>+=
=+
mm
mxmx
Suy ra phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt
Hay d luôn cắt (P) tai j2 điểm phân biệt A, B
0m
0.25đ

d. Gọi H, K lần lợt là hình chiếu của A, B lên truc Ox, ta có:
x
H
=x
A
; x
K
=x
B
0.25đ
( x
H
; x
A
; x
K
; x
B
lần lợt là hoành độ của điểm H, A, K, B)
Do I(0;2) thuộc Oy nên HI
2
= OI
2
+ HO
2
= 4 +x
A
2
0.25đ
KI

2
=KO
2
+OI
2
= x
B
2
+ 4 0.25đ
HI
2
+ KI
2
= 8 +x
A
+ x
B
=(x
A
- x
B
)
2
vì x
A
x
B
= -4
= HK
2

nên tam giác HKI vuông tại I 0.25đ
e. Do x
A
, x
B
là nghiệm của phơng trình
0044
2
=+ mmxmx
Theo viét ta có:






=+
4
4
BA
BA
xx
m
xx
Mà A, B thuộc (P)

=
=

2
2
2
1
2
1
xy
xy
B
A
( y
A
, y
B
lần lợt là tung độ của A và B) 0.25đ
22
)()(
BABA
yyxxAB +=
0.25đ
= =
4
4)
8
1)(
1
1(4

22
>
>++
AB
m
mm
0.25đ
0.25đ
Bài 3:
a. Giải và biện luận phơng trình
(m-1)x
2
-2(m-2)x+m+1=0
+ Nếu m-1=0
122)1(1 === xxm
0.5đ
+ NÕu
101 ≠⇔≠− mm
Ta cã:
54
1)2('
22
+−=
+−−=∆
m
mm
NÕu
)1(
4
5

0' ptm ⇒>⇔<∆
v« nghiÖm 0.25®
NÕu
)1(
4
5
0' ptm ⇒=⇔=∆
cã nghiÖm kÐp x
1
=x
2
=-3 0.25®
NÕu
)1(
4
5
0' ptm ⇒<⇔>∆
cã 2 nghiÖm ph©n biÖt
1
542
1
−
+−−−
=
m
mm
x
1
542
2

−
+−+−
=
m
mm
x
0.25®
KÕt luËn: Víi m=1, pt(1) cã ngiÖm duy nhÊt x=-1
Víi m=5/4, pt(1) cã ngiÖm kÐp x=-3
Víi m<5/4 vµ m
1≠
pt(1) cã 2 ngiÖm ph©n biÖt
1
542
1
−
+−−−
=
m
mm
x
1
542
2
−
+−+−
=
m
mm
x

0.5®
Víi m>5/4 th× ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm
b. Víi





≠
≤
1
4
5
m
m

Theo vi Ðt ta cã 1®
322
1
2
1
1
1
1
1
1
1
2
121
1

21
1
21
=++⇒
−
+=
−
−=+
⇔





−
+
=
−
−
=+
xxxx
m
xx
m
xx
m
m
xx
m
m

xx
0.5®
KÕt luËn: HÖ thøc liªn hÖ gi÷a x
1
, x
2
®éc lËp víi tham sè m lµ
322
121
=++ xxxx
0.5®
Bµi 4:
A
F E

O A
1

B B
1
D

C
Theo bài ra ta có:
BBABAA
11


=
=90

0
Suy ra tứ giác AA
1
B
1
B nôi tiép trong một đờng tròn 0.5đ
111

BBABBA

=
cùng chắn cung BB
1
0.5đ
Mặt khác:
==

VOAAOAE 1

11
tứ giác AEA
1
O nội tiếp 0.5đ
11

AOEAEA

=
cùng chắn cung AE ) 0.5đ
mà

11
0
11
,,90


BAEAOEEAO
EABBAB
=+
=

thẳng hàng (*) 1đ
Tơng tự: ta có tứ giác AA
1
B
1
B nội tiếp
Theo bài ra ta có:
BBABAA
11


=
=90
0
Suy ra tứ giác AA
1
B
1
B nôi tiép trong một đờng tròn 0.5đ

ABAABA

111

=
cùng chắn cung AA
1
0.5đ
Ta lại có:
==

VBBOBOD 1

1
tứ giác OB
1
DB nội tiếp 0.5đ
BODBDB

1

=
(cùng chắn cung BD ) 0.5đ
mà
ABOOBD
BODOBD
OBDDOB

90

0
=
=+
=

Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau 0.5đ
Vậy
=++

0
1111
180

ABAABBBDB
3 điểm D, B
1
, A
1
thẳng hàng (**) 0.5đ
Từ (*) , (**) suy ra A
1
, D, B
1
, E thẳng hàng 0.5đ
Bài 5: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình
y
2
=-2(x

6
-x
3
y-32)
0.5đ
0.25đ
0.25đ
64)()(
64)(
6422
332
36
236
=+
=+
=++
yxx
yxx
yyxx

Vì x
NxZ
2
Vậy x chỉ có thể nhận các giá trị
{
0; 1; 2
}
0.5đ
Suy ra cặp nghiệm nghuyên cần tìm là:
(0; 8),(0;-8),(2;8), (-2;-8) 0.5đ