Đề thi học sinh giỏi Toán 9 cấp huyện

Phòng GD& ĐT Hoà An
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2011-2012
MÔN: Toán 9
(Thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (4đ)
Cho hàm số f(x) =
44
2
+− xx
a) Tính f(-1); f(5)
b) Tìm x để f(x) = 10
c) Rút gọn A =
4
)(
2
−x
xf
khi x ≠
2±
Câu 2: (2đ)
Giải hệ phương trình



+−=+−
−+=−
)3)(72()72)(3(
)4)(2()2(
yxyx
yxyx
Câu 3: ( 4đ)

Cho biểu thức
A =








−
+








−
−
−
−
+
1
:
1
1
1

1
x
x
x
x
x
x
xx
với x > 0 và x ≠ 1
a) Rút gọn A
2) Tìm giá trị của x để A = 3
Câu 4: (4đ)
Một ô tô tải và một xe du lịch khởi hành đồng thời từ thành phố A đến thành
phố B. Xe du lịch có vận tốc lớn hơn vận tốc của xe tải là 20 km/h do đó nó đến B
trước xe tải 50 phút. Tính vận tốc mỗi xe. Biết rằng khoảng cách giữa hai thành
phố A và B là 100 km.
Câu 5: (6đ)
Từ điểm P nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R, kẻ hai tiếp tuyến PA;
PB. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A đến đường kính BC.
a) Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm E của AH
b) Giả sử PO = d. Tính AH theo R và d.
Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm./.
Phòng Giáo dục và Đào tạo Hòa An
ĐÁP ÁN+HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
MÔN TOÁN 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2011-2012
TT Hướng dẫn chấm Số điểm
Câu 1
a) f(x) =
2)2(44
22

−=−=+− xxxx
Suy ra f(-1) = 3; f(5) = 3
b)



−=
=
⇔



−=−
=−
⇔=
8
12
102
102
10)(
x
x
x
x
xf
c)
)2)(2(
2
4
)(

2
+−
−
=
−
=
xx
x
x
xf
A
Với x > 2 suy ra x - 2 > 0 suy ra
2
1
+
=
x
A
Với x < 2 suy ra x - 2 < 0 suy ra
2
1
+
−=
x
A
1đ
1đ
2đ
Câu 2




=
=
⇔



=+
−=−
⇔



−+−=−+−
−−+=−
⇔



+−=+−
−+=−
2y
-2x


0
4
2167221762
8422

)3)(72()72)(3(
)4)(2()2(
yx
yx
xyxyxyxy
xyxyxxy
yxyx
yxyx

2đ
Câu 3
a) Ta có: A =








−
+









−
−
−
−
+
1
:
1
1
1
1
x
x
x
x
x
x
xx
=








−
+
−

−








−
−
−
+−
+−+
11
)1(
:
1
1
)1)(1(
)1)(1(
x
x
x
xx
x
x
xx
xxx

=








−
+−








−
−
−
−
+−
1
:
1
1
1
1

x
xxx
x
x
x
xx
=
1
:
1
11
−−
+−+−
x
x
x
xxx
=
1
:
1
2
−−
+−
x
x
x
x
=
x

x
x
x 1
1
2 −
⋅
−
+−
=
x
x−2
2đ
b) A = 3 =>
x
x2
= 3 => 3x +
x
- 2 = 0 =>
x = 2/3
2
Bi 4 (4
):
Gọi vận tốc xe tải là x (km/h), x > 0.
Vận tốc xe du lịch là: x + 20 (km/h).
Thời gian xe tải đi từ A đến B là: (h)
Thời gian xe du lịch đi từ A đến B là:
100
20x +
(h)
Vì xe du lịch đến B trớc 50 phút = (h) nên ta có ph-

ơng trình:
-
100
20x +
=
Giải phơng trình đợc: x
1
= 40 (thoả mãn)
x
2
= - 60 (loại)
Vậy, vận tốc của xe tải là 40 km/h, của xe du lịch là
60 km/h.
0,5
0,5
0,5
0,5
1
1
Cõu 5:
(6)
a) Do HA // PB (Cựng vuụng gúc vi BC) nờn theo nh lý
Ta let ỏp dng cho tam giỏc CPB ta cú
CB
CH
PB
EH
=
; (1)
Mt khỏc, do PO // AC (cựng vuụng gúc vi AB)

=> POB = ACB (hai gúc ng v)
=> AHC

POB
Do ú:
OB
CH
PB
AH
=
(2)
Do CB = 2OB, kt hp (1) v (2) ta suy ra AH = 2EH hay
E l trung im ca AH.

b) Xột tam giỏc vuụng BAC, ng cao AH ta cú AH
2
=
1
2
O
B
C
H
E
A
P
BH.CH = (2R - CH).CH
Theo (1) và do AH = 2EH ta có
.)2(
2PB

AH.CB
2PB
AH.CB
AH
2
−= R

⇔
AH
2
.4PB
2
= (4R.PB - AH.CB).AH.CB
⇔
4AH.PB
2
= 4R.PB.CB - AH.CB
2
⇔
AH (4PB
2
+CB
2
) = 4R.PB.CB
2
222
222
222
2222
d

Rd.2.R
4R)R4(d
Rd.8R

(2R)4PB
4R.2R.PB
CB4.PB
4R.CB.PB
AH
−
=
+−
−
=
+
=
+
=⇔
3đ