Đề thi học sinh giỏi Toán 9 số 10

/storage1/vhost/convert.123doc.vn/data_temp/document/hld1438051718-
1768428-14380517184830/hld1438051718.doc
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ
ĐỀ CHÍNH THỨC
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2013 - 2014
MÔN: TOÁN - THCS
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Câu1( 3,0 điểm)
a) Giải phương trình trên tập nguyên

0128y4x4xy5yx
22
=−−+−+
b)Cho
214x3xxP(x)
23
−+−=
.
Tìm các số tự nhiên x nhỏ hơn 100 mà P(x) chia hết cho 11
Câu 2( 4,0 điểm)
a) Tính gía trị biểu thức
25a4aa
23aa
P
23
3
−+−
+−
=

, biết
33
302455302455a −++=
b) Cho số thực x,y,z đôi 1 khác nhau thỏa mãn
13zz1,3yy1;3xx
333
−=−=−=
Chứng minh rằng
6zyx
222
=++
Câu 3( 4,0 điểm)
a) Giải phương trình
13x
4x
1x
13x
+=
−
+−
b) Giải hệ phương trình:





=−++−
=−++−+
03y2xyx
048yx4xy2y3x

22
22
Câu 4( 7,0 điểm)
Cho đường tròn (O;R) và dây cung BC không đi qua tâm .Gọi A là chính giữa cung
nhỏ BC.Góc nội tiếp EAF quay quanh điểm A và có số đo bằng
α
không đổi sao cho E và F
khác phía với điểm A qua BC ;AE và AF cắt BC lần lượt tại M và N .Lấy điểm D sao cho tứ
giác MNED là hình bình hành .
a)Chứng minh tứ giác MNEF nội tiếp .
b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MDF .Chứng minh rằng khi góc nội tiếp
EAF quay quanh A thì I chuyển động trên đường thẳng cố định.
c) Khi
0
60=
α
và BC=R ,tính theo R độ dài nhỏ nhất của đoạn OI.
Câu 5( 2,0 điểm)
Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=3
Chứng minh rằng
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
4
4 4 4
x y z y x z z y x
xyz
yz xz yx
+ + + + + +
+ + ≥
− − −

Hêt—
Họ và tên thí sinh số báo danh
Thí sinh không sử dụng tài liệu,Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
1
HƯỚNG DẪNCâu1( 3,0 điểm)
a) Giải phương trình trên tập nguyên
HD:
0(*12)8y5y()1(40128y4x4xy5yx
2222
=−−−−−⇔=−−+−+ yxx
)
để PT(*) có nghiệm nguyên x thì
/
∆
chính phương
1616
2/
≤−=∆ y
từ đó tìm được
( ) ( ){ ( ) ( ) ( ) }
;4;6;4;10;0;6;0;2; −−−∈yx
b)Cho
214x3xxP(x)
23
−+−=
.
Tìm các số tự nhiên x nhỏ hơn 100 mà P(x) chia hết cho 11
HD
2212)x-2)(x-(x214x3xxP(x)
223

++=−+−=
để P(x) chia hết 11 thì
1112)x-2)(x-(x
2
+
mà
1111)-x(x12)x-(x
2
++=+
ta có
1)1( +−xx
không chia hết cho 11
suy ra
12)x-(x
2
+
không chia hết cho 11 nên x-2 chia hết co 11 mà x<100 ;
Nx
∈
suy ra
{ }
90;79;68;57;47;35;22;13;2∈x
Câu 2( 4,0 điểm)
a)Tính gía trị biểu thức
25a4aa
23aa
P
23
3
−+−

+−
=
, biết
33
302455302455a −++=
HD tính a=5 thay vào
3
7
=P
b)Cho số thực x,y,z đôi 1 khác nhau thỏa mãn
13zz1,3yy1;3xx
333
−=−=−=
Chứng minh rằng
6zyx
222
=++
HD công cả ba đảng thức ta có hệ





=++
=++
=++
⇔






−=−
−=−
−=−
⇔





−=
−=
−=
)3(3
)2(3
)1(3
)(3
)(3
)(3
13
13
13
22
22
22
33
33
33
3

3
3
zxzx
zzyy
yxyx
xzxz
zyzy
yxyx
zz
yy
xx
trừ (1) cho (2) ta được
00))(( =++⇔=++− zyxzyxzx
cộng (1) ;(2) ;(3) ta có
9)(2
222
=+++++ xzyzxyzyx
(*)
mà tù x+y+z=0 suy ra
2
222
zyx
xzyzxy
++
−=++
thay vaò (*) ta có đpcm
Câu 3( 4,0 điểm)
a) Giải phương trình
13x
4x

1x
13x
+=
−
+−
HD đkxđ
3
1−
≥x
( )




++=−
++=
⇔++=⇔+=
−
+−
1324
1324
1321613x
4x
1x
13x
2
2
xxx
xxx
xxx

giải ra pt có 2 nghiệm x=1;
72
1533 −
=x
b) Giải hệ phương trình:





=−++−
=−++−+
03y2xyx
048yx4xy2y3x
22
22
2
HD





=−++−
=−++−+
⇔






=−++−
=−++−+
0(2)6y24xy22x
0(1)48yx4xy2y3x
03y2xyx
048yx4xy2y3x
22
22
22
22

lấy pt(1) trù pt(2) ta được
( )



+=
+=
⇔
=−−−−⇔=+−−−
22
12
0)22)(12(02)2(32
2
yx
yx
yxyxyxyx
thay vào phương trình
032

22
=−++− yxyx
hệ có 4 nghiệm
( ) ( ) ( )


















−−−−









+−+−
−−∈
6
10913
;
3
1097
;
6
10913
;
3
1097
;35;0;1; yx
Câu 4( 7,0 điểm)
a)
∠
ENB=
∠
EFM suy ra
∠
ENM+
∠
EFM=180
0
b)gọi giao (O) và (I) tiếp tam giác MDF tại P ta có
∠
DPF=
∠

DMF =
∠
EAF=
α
mặt khác
∠
EAF=
∠
EPF nên
∠
EPF=DPF nên E;D;P thẳng hàng suy ra EP//BC mà
EPAOBCAO ⊥⇒⊥
gọi AO cắt EP tại H ;OI cắt PF tại K thì K là trung điểm FP và OI vuông
góc FP nên tứ giác OHKP nội tiếp suy ra
∠
HOI=
∠
HPF=
α
( không đổi)
suy ra I thuộc tia Ox tạo với tia AO một góc bằng
α
c) khi BC=R ;
∠
EAF==60
0
thì tam giác OBC đều suy ra IO đi qua B ta chứng minh được OI
min khi F trùng P khi đó EF//BC tam giác AMN; MDF đều khi đó IM//AO áp dụng Talet tam
giác BIM có AO//IM tính được OI
Hướng dẫn

( )
( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2 2 2
3
2
1 1 1
4 4 4
4 4 4
9
( )
12 ( ) 12 ( )
9
3( )
12 ( ) 12 ( )
12
36
12 ( )
12 3
x y z
P x y z
yz xz yx
yz xz yx
x y z
x y z

P
xy yz xz xy yz xz
xy yz xz
xy yz xz
P
xy yz xz xy yz xz
xy yz xz
x y z
P
xy yz xz
x
 
+ +
 
 ÷
= + + + + +
− − −
 ÷
 ÷
− − −
 
 ÷
 
+ +
+ +
≥ +
− + + − + +
+ +
+ +
≥ +

− + + − + +
+ +
≥ ≥
− + +
−
2 2
3
y z
Đặt
3
1
3
x y z
xyz t
+ +
= ≤ =
Xét hiệu
2
3 2 2
2
36
4 12 ( 1)( 3) 0
12 3
t
t t t t t
t
− ⇔ − + − ≥
−
Bất đẳng thức được chứng minh dấu “=” xảy ra khi x=y=z=1
GVHD Nguyễn Minh Sang THCS Lâm Thao

3
4