Đề thi học sinh giỏi Toán 9 số 14

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC THI GIỎI LỚP 9
Năm Học 2013-2014
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn Thi: TOÁN - Bảng A
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (4.0 điểm).

a. Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên k sao cho
2013
k
-1 chia hết cho
5
10

b. Tìm mọi số nguyên x sao cho x
2
+28 là số chính phương
Câu 2 (6.0 điểm).

a. Giải phương trình:
2 2
4 5 1 2 1 9 3x x x x x+ + − − + = −

b. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2 3 2
2 2
x y x y
x xy y

+ = − −



− − =



Câu 3 (3.0 điểm). Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn
xy+yz+zx=1
.

Tìm min của P =
2 2 2
x y z
x y y z z x
+ +
+ + +

Câu 4 (5.0 điểm). Cho đường tròn tâm O bán kính R. Từ điểm M là điểm ngoài đường
tròn kẻ hai tia tiếp tuyến MA; MB (A,B là tiếp điểm) và cát tuyến đi qua M cắt đường
tròn tại C, D (C nằm giữa M và D) cung CAD nhỏ hơn cung CBD. Gọi E là giao điểm
của AB với OM.

a. Chứng minh
·
·
DEC 2DBC=

b. Từ O kẻ tia Ot vuông góc với CD cắt tia BA ở K. Chứng minh KC và KD là
tiếp tuyến của đường tròn O

Câu 5 (2.0 điểm). Cho đường gấp khúc khép kín có độ dài bằng 1.Chứng minh rằng
luôn tồn tại một hình tròn có bán kính R=
1
4
chứa toàn bộ đường gấp khúc đó
……Hết…
Họ và tên thí sinh ……………………………………………. Số báo danh ………………