Đề thi học sinh giỏi Toán 9 số 15

GV: VÕ MỘNG TRÌNH – TRƯỜNG THCS CÁT MINH – HUYỆN PHÙ CÁT – TỈNH BÌNH ĐỊNH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS
BÌNH ĐỊNH KHÓA NGÀY : 18 – 3 – 2014
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi : TOÁN
Thời gian : 150 phút ( không kể thời gian phát đề )
Ngày thi : 18 /3/2014

Bài 1. ( 6 ,0 điểm)
a. Giải phương trình:
2
6x x− −
+ x
2
– x – 18 = 0
b. Tìm hai số nguyên dương khác nhau x , y thõa mãn :
x
3
+ 7y = y
3
+ 7x
Bài 2. ( 2,0 điểm)
Tính tổng sau :
S =
2 2
1 1
1
1 2
+ +
+
2 2
1 1

1
2 3
+ +
+ … +
2 2
1 1
1
2013 2014
+ +
Bài 3. ( 3,0 điểm)
Giả sử x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình:
2
4
1
x x
x
−
−
= 3x + m , trong đó m là tham số . Tìm m
để biểu thức
1 2
x x−
đạt giá trị nhỏ nhất .
Bài 4. ( 6 ,0 điểm)
1. Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABD vuông cân ở
B, tam giác ACE vuông cân ở C. CD cắt AB tại M; BE cắt AC tại N.

a. Tính DM biết AM = 3 cm, AC = 4 cm.
b. Chứng minh : AM = AN
2. Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O và H là trực tâm của
tam giác ABC. Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC.
a. Xác định vị trí của điểm M sao cho tứ giác BHCM là hình bình hành.
b. Với điểm M lấy bất kỳ thuộc cung nhỏ BC , gọi N, E lần lượt là các điểm đối xứng
của M qua AB và AC . Chứng minh rằng ba điểm N, H, E thẳng hàng.
Bài 5. ( 3, 0 điểm)
Chứng minh rằng :
2 ( ) 3 3
3 ( ) 3 2
a c d d
b d c c
− +
≤ ≤
− +
, với 2
≤
a, b, c, d
≤
3 .

GV: VÕ MỘNG TRÌNH – TRƯỜNG THCS CÁT MINH – HUYỆN PHÙ CÁT – TỈNH BÌNH ĐỊNH
Bài: (TS Lê Hồng Phong TPHCM: 2001 – 2002. HSG Bình Đình: 2013 - 2014)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) và trực tâm là H. Lấy điểm M thuộc cung nhỏ
BC.
a) Xác định vị trí của điểm M sao cho tứ giác BHCM là hình bình hành.
b) Với M lấy bất kì thuộc cung nhỏ BC; gọi N, E lần lượt là các điểm đối xứng của M qua AB và AC.
Chứng minh tứ giác AHBN nội tiếp.
c) Chứng minh ba điểm N, H, E thẳng hàng.

d) Xác định vị trí của điểm M thuộc cung nhỏ BC để cho NE có độ dài lớn nhất.
Giải
a) Xác định vị trí của điểm M sao cho tứ giác BHCM là hình bình hành.
Ta có: BH
⊥
AC; CH
⊥
AB (vì H là trực tâm tam giác ABC)
Tứ giác BHCM là hình bình hành

⇔
BH // MC và CH // MB

⇔
AC
⊥
MC và AB
⊥
MB

⇔
AM là đường kính của (O)

⇔
M là điểm đối xứng của A qua O.
b) Chứng minh tứ giác AHBN nội tiếp.
Ta có:
¶
¶
1 1

M N=
(T/c đối xứng trục)

¶
µ
1 1
M C=
(góc nội tiếp cùng chắn cung AB)

¶
µ
1 1
N C⇒ =
, mà
·
µ
0
1
180AHB C+ =
Do đó:
·
¶
0
1
180AHB N+ = ⇒
Tứ giác NAHB nội tiếp.
c) Chứng minh ba điểm N, H, E thẳng hàng.
Tứ giác NAHB nội tiếp
¶
µ

1 1
H A⇒ =
, mà
µ
¶
1 2
A A=
(T/c đối xứng trục)
¶
¶
1 2
H A⇒ =
.
Chứng minh tương tự, ta cũng có:
¶
µ
2 3
H A=
Ta có:
·
·
0
180BAC BHC+ =
Do đó:
·
¶
¶
·
1 2
NHE H H CHB= + + =

¶
µ
·
2 3
A A CHB+ +
=
·
·
0
180BAC BHC+ = ⇔
N, H, E thẳng hàng.
d) Xác định vị trí của điểm M thuộc cung nhỏ BC để cho NE có độ dài lớn nhất.
Ta có:
·
·
2NAE BAC=
. Kẻ AK
⊥
NE tại K
Ta có: AM = AN; AM = AE (Tính chất đối xứng trục)

⇒
AE = AN
⇒ ∆
ANE cân. Mà: AK là đường cao

⇒
AK là trung tuyến, là phân giác

⇒

·
·
2 ; 2NAE NAK NE NK= =
2
NE
NK⇒ =
Do đó:
·
·
BAC NAK=
Tam giác KAN vuông tại K
⇒
NK = AN.sin
·
NAK
Do đó: NE = 2AN. sin
·
NAK
= 2AM.sin
·
BAC
·
2 .sinR BAC≤
(vì AM
·
2 ; sinR BAC≤
: Không đổi)
Do đó: NE lớn nhất

⇔
AM lớn nhất

⇔
AM là đường kính của đường tròn (O)

⇔
M đối xứng với A qua O
Vậy khi M là điểm đối xứng của A qua O thì NE lớn nhất.
GV: VÕ MỘNG TRÌNH – TRƯỜNG THCS CÁT MINH – HUYỆN PHÙ CÁT – TỈNH BÌNH ĐỊNH
Bài 5. ( 3, 0 điểm)
Chứng minh rằng :
2 ( ) 3 3
3 ( ) 3 2
a c d d
b d c c
− +
≤ ≤
− +
, với 2
≤
a, b, c, d
≤
3 .
Lời giải :
Vì 2
≤
a, b, c, d
≤
3 nên :

( 3 – a)(d – 2)
≥
0
⇔
2a + 3d – ad
≥
6

⇒
tử : a(c – d) + 3d = ac + 3d – ad
≥
2a + 3d – ad
≥
6
Lại có : (b – 3)( c – 3)
≥
0
⇔
3c – bc + 3b
≤
9

⇒
mẫu : b(d – c) + 3c = 3c – bc + bd
≤
3c – bc + 3b
≤
9
Do đó M =
( ) 3

( ) 3
a c d d
b d c c
− +
− +
≥

6 2
9 3
=
Tương tự : (3 – b)(c – 2 )
≥
0
⇔
3c – bc + 2b
≥
6
⇒
mẫu : b(d – c) + 3c = 3c – bc + bd
≥
3c – bc + 2b
≥
6
Và ( a – 3)( d – 3)
≥
0
⇔
3d – ad + 3a
≤
9

⇒
tử : a(c – d) + 3d = ac + 3d – ad
≤
3a + 3d – ad
≤
9
Do đó M =
( ) 3
( ) 3
a c d d
b d c c
− +
− +

≤

9 3
6 2
=