Đề thi học sinh giỏi Toán 9 số 18

PHÒNG GD - ĐT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
HUYỆN TĨNH GIA NĂM HỌC 2013 – 2014
Môn Toán học lớp 9
Đề chính thức ( Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian phát đề )
Bài 1: (2,0 điểm)
1- Cho a, b, c
≠
0 và a + b + c = 0.
Chứng minh:
cba
cba
111111
222
++=++
.
2- Tính giá trị của biểu thức
M =
22
3
1
2
1
1 ++
+
22
4
1
3
1
1 ++
+ . . . +

22
2012
1
2011
1
1 ++
+
22
2013
1
2012
1
1 ++
Bài 2: (3,0 điểm)
1- Tìm giá trị của k để các đường thẳng (d
1
): y = 2x + 5, (d
2
): y = -2x + 1 và
(d
3
): y = (2k – 1)x + (k + 4) cùng đi qua một điểm.
2- Trên cùng một mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A(5; 2) và B(3; -4)
a) Viết phương trình đường thẳng AB.
b) Xác định điểm M trên trục hoành để tam giác MAB cân tại M.
Bài 3: (2,0 điểm)
1- Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết chu vi tam giác AHB là 30 cm,
chu vi tam giác AHC là 40 cm. Tính chu vi tam giác ABC.
2- Cho N =
2++ aab

a
+
1++ bbc
b
+
22
2
++ cca
c
.
Biết abc = 4, Tính
N
.
Bài 4: (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A, có
0
20
ˆ
=B
. Vẽ phân giác trong BI, vẽ
0
30
ˆ
=HCA

về phía trong tam giác (H
AB∈
). Tính
IHC
ˆ

.
Bài 5: (1,0 điểm)
Cho z
≥
y
≥
x > 0. Chứng minh rằng:
( ) ( )






++≤++








+
zx
zxzx
yyx
y
11111
Chú ý : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

1
L ỜI GIẢI
Bài 1 :
1- Ta có:
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2
1 1 1 2( ) 1 1 1
a b c a b c ab bc ca
c b a
a b c abc a b c
   
+ + = + + + + +
 ÷  ÷
   
+ +
= + + + = + +
Suy ra:
2 2 2
1 1 1 1 1 1
a b c a b c
+ + = + +
2- Xét
, 2k N k∈ ≥
Ta có:

2
2 2

2 2
2
2 2
2 2
1 1 1 1 2 2 2
1 1
1 ( 1) 1 ( 1)
1 1 2 2 2 2
1
( 1) 1 1
1 1 1 1
1 1
( 1) 1
1 1 1 1
1 1
( 1) 1
k k k k k k k k
k k k k k k
k k k k
k k k k
 
+ − = + + + − −
 ÷
− − − −
 
= + + + − + −
− − −
 
⇒ + + = + −
 ÷

− −
 
⇒ + + = + −
− −
Cho k = 3, 4, 5, , 2012, 2013 Ta có:

1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
2 3 3 4 2011 2012 2012 2013
1 1 2011
2011 2011
2 2013 4026
M
       
= + − + + − + + + − + + −
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
= + − = +
Bài 2 :
1- Ta thấy (d
1
) và (d
2
) cắt nhau tại một điểm M trong mặt phẳng tọa độ.Khi đó tọa độ
điểm M phải thỏa mãn đồng thời 2 phương trình:
y = 2x+5 và y = -2x+1
Suy ra: 2x+5 = -2x+1
⇔
x = -1
⇒

y = 3
⇒
M(-1;3)
Để (d
1
), (d
2
) và (d
3
) cùng đi qua một điểm , phải có M
∈
(d
3
) . Do đó:
(2k-1).(-1) + (k+4) = 3
⇒
k = 2
Vậy k = 2
2-
a) Gọi phương trình đường thẳng AB là: (d): y=ax+b
Vì (d) đi qua A(5;2) và B(3;-4) nên:
5 2 3
3 4 13
a b a
a b b
+ = =
 
⇒
 
+ = − = −

 
Vậy phương trình đường thẳng AB là: y = 3x-13
b) Gọi M(x
M
;0) là điểm nằm trên trục hoành sao cho tam giác MAB cân tại M.
Ta có: MA
2
= (x
M
-5)
2
+ (0-2)
2
= x
M
2
-10x
M
+29
2
MB
2
= (x
M
-3)
2
+ (0+4)
2
= x
M

2
-6x
M
+25
Vì MA = MB nên x
M
2
-10x
M
+29 = x
M
2
-6x
M
+25
⇒
x
M
= 1
⇒
M(1;0)
thử lại ta thấy thỏa mãn. Vậy M = (1;0)
Bài 3 :
1- Gọi P
1
, P
2
, P
3
lần lượt là chu vi các tam giác AHB, CHA, CAB

Dễ thấy:
∆
AHB
∆
CHA nên:
1
2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
30 3
40 4 3 4
3 4 3 4 5
: : 3: 4:5
3 4 5
P AB AB AB AC
P CA CA
AB AC AB AC BC
AB AC BC
AB AC BC
= ⇒ = = ⇒ =
+
⇒ = = =
+
⇒ = = ⇒ =
Mà
∆
AHB
∆
CHA
∆

CAB , suy ra:
P
1
: P
2
: P
3
= AB: AC: BC = 3: 4: 5
Mà : P
1
= 30cm; P
2
= 40cm nên P
3
= 50cm
Vậy chu vi tam giác ABC bằng 50cm
2- ĐKXĐ: a, b, c
0
≥
mà abc = 4 nên a, b, c >0 và
2abc =
Ta có:
2
2 1 2 2
2
2 2
2
2 2 ( 2 )
2
2 2 2

2
1 1
2
a b c
N
ab a bc b ca c
a ab c
ab a abc ab a ca c abc
a ab c
ab a ab a c a ab
a ab
ab a ab a a ab
ab a
N
ab a
= + +
+ + + + + +
= + +
+ + + + + +
= + +
+ + + + + +
= + +
+ + + + + +
+ +
= = ⇒ =
+ +
(vì N>0) Vậy
1N =
Bài 4 :
Dễ thấy

·
0
40BCH =
.
Kẻ phân giác CK của
·
·
·
0
20BCH BCK KCH⇒ = =
Tam giác vuông ACH có
·
0
1 1
30 . .
2 2 2
CH AH CH CB
ACH AH
HK HK BK
= ⇒ = ⇒ = =
(tính chất đường phân giác của
·
BCH
) (1)
Kẻ KM
⊥
BC tại M, dễ thấy tam giác BMK và tam giác BAC đồng dạng

( )
( )

1
2
AB BM AB BC AH
do
BC BK BC BK HK
= ⇒ = =
Mặt khác do BI là phân giác của
·
ABC
nên:
( )
3
IA AB
IC BC
=
3
H
C
B
A
S
S
S
_B
_A
_
C
_I
_H
_K

_M
Từ (2) và (3) suy ra:
·
·
0
/ / 20
IA AH
CK IH CHI HCK
IC HK
= ⇒ ⇒ = =
Vậy :
·
0
20CHI =
Bài 5 : Bài này đề sai vì cho z =2, x=y=1 thì VT = 5 > 4,5 = VP

⇒
Đpcm
4