Đề thi học sinh giỏi Toán 9 số 2

SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC 1999-2000
MÔN TOÁN
( Thời gian làm bài 150 phút)
Bài 1:
Cho phương trình
2
0x x a− − =
( a là tham số)
a, Gọi
1 2
;x x
là các nghiệm thực dương của phương trình. Tìm GTLN
của biểu thức
( ) ( )
1 1
2 2
1 1
1 1 1 1P x x
x x
   
= + + + + +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   

b, Tìm tất cả các giá trị nguyên của a để phương trình có và chỉ có
nghiệm hữu tỉ.
c, Tìm tất cả các giá trị a nguyên để phương trình có hai nghiệm
1 2
;x x

thỏa mãn
( ) ( )
3 2 3 2
1 2 2 1
1 4 1 4 4x x x x+ + + +
chia hết cho 6.
Bài 2:
a, Tìm tất cả các cặp (x;y) thỏa mãn
5 5 3 3
x y x y x y− = − = −

b, Giải phương trình
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 3 27 72x y z xyz+ + + =

Bài 3:
Cho tam giác ABC, các đường tròn (O), (I), (J) đôi một tiếp xúc với
nhau, (O) đi qua B,C; (I) đi qua C,A, (J) đi qua A,B. Biết rằng tam giác có
các đỉnh là ABC đồng dạng với tam giác có các đỉnh là OIJ. Tính số đo các
góc của tam giác ABC.
Bài 4:
Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh AC=b, BC=a không đổi. Trên
cạnh AB về phía ngoài tam giác dựng hình vuông ABDE. Gọi O là tâm hình
vuông; M,N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Tìm GTLN của tổng
OM+ON khi góc ACB thay đổi.
………………………… Hết …………………………
SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2000-2001
MÔN TOÁN
( Thời gian làm bài 150 phút)

Câu 1:
Cho hệ phương trình
2
1ax y z
x ay z a
x y az a

+ + =

+ + =


+ + =


a, Giải hệ phương trình với a=2
b, Tìm các giá trị nguyên của a để hệ phương trình có nghiệm nguyên
c, Tìm số thực
1a ≥
sao cho hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn tổng
A x y z= + +
đạt GTNN.
Câu 2:
Chứng minh rằng nếu phương trình
4 2 2 2
2 0x ax b c− + + =
chỉ có đúng hai
nghiệm phân biệt thì a>0 và
( )
8 8 8

8a c b≤ +

Câu 3: Hai số nguyên dương a,b thỏa mãn điều kiện
1 1a b
b a
+ +
+
là một số
nguyên. Gọi d là UCLN(a,b). Chứng minh rằng
d a b≤ +

Câu 4:
Cho tứ giác ABCD, đường tròn đường kính AB tiếp xúc với đường tròn
đường kính CD tại điểm M khác với giao điểm của hai đường chéo của tứ
giác. Gọi P là trung điểm AB, Q là trung điểm CD. Đường tròn tâm O
1
đi
qua 3 điểm A,M,C cắt PQ tại điểm thứ hai K; đường tròn tâm O
2
đi qua 3
điểm D,M,B cắt PQ tại điểm thứ hai L. CMR
a, Bốn điểm O
1
,P,Q,O
2
thuộc đường tròn.
b,
MK ML AB CD− = −

Câu 5:

Điểm P thay đổi trên các cạnh của tam giác ABC vuông tại A. Tìm vị trí
của P sao cho tổng PA+PB+PC có GTNN.
………………………………. Hết……………………………
SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2001-2002
MÔN TOÁN
( Thời gian làm bài 150 phút)
Câu 1:
a, Giải phương trình
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 4 24x x x x− − − − =

b, Tìm tất cả các số tự nhiên n để
4 3
6 11 6n n n n+ + +

Câu 2:
a, Chứng minh rằng với mọi số thực x ta luôn có
2
2
1 1
3
3 1
x x
x x
+ +
≤ ≤
− +

b, Tìm tất cả các số nguyên x,y để giá trị của phân thức
2

2
1
1
x x
x x
+ +
− +
là một số
nguyên.
Câu 3: Giải hệ phương trình
3
3
3
3 4
2 6 6
3 9 8
x y x
y z y
z x z

+ = +

+ = +


+ = +


Câu 4:

a, Cho tam giác ABC, gọi O là tâm đường tròn bàng tiếp cạnh BC của tam
giác ABC. D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABO. Chứng minh rằng
bốn điểm A,B,C,D cùng nằm trên một đường tròn.

b, Gọi a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông. Tìm GTNN của
biểu thức
( ) ( ) ( )
a b b c c a
P
abc
+ + +
=

…………………… Hết ………………………
SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2002-2003
MÔN TOÁN
( Thời gian làm bài 150 phút)
Câu 1:
a, Giải phương trình
2 2
3 8 5x x x+ + + =

b, Giải hệ phương trình
3 2
2
8 12 9 12 0
3 2 1
x x y y x
y xy


− − − =


− =



Câu 2:
a, Chứng minh đẳng thức
( ) ( )
2 2 2
1 2 1
1 2
6
n n n
n
+ +
+ + + =

b, Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất lớn hơn 1 sao cho
2 2 2
1 2 n
n
+ + +
là
số chính phương.
Câu 3: Cho biểu thức
( )
2
2

1 2 2 1
2 1
4 2 16 2
4 4P x x x x
x x
 
= − + − + −
 ÷
 ÷
 
. Trong đó
1 2
;x x
là hai nghiệm của phương trình
( )
2 2
3 2 4 0x a a x+ + − − =
. Tìm các giá trị
của a khi biểu thức P nhận GTNN.
Câu 4:
Một đường tròn (O) đi qua đỉnh C của tam giác ABC và tiếp xúc với
đường thẳng AB tại B. Đường tròn này cắt AC và trung tuyến CM của tam
giác ABC lần lượt tại D và E. Tiếp tuyến tại C và tiếp tuyến tại E của đường
tròn (O) cắt nhau tại F. Chứng minh rằng nếu B,D,F thẳng hang thì:
a,
.
.
FD CD ED
FB CB EB
=

b,
·
0
90ABC =

……………………… Hết ………………………