Đề thi học sinh giỏi Toán 9 số 3

UBND HUYỆN
DUYÊN HẢI
PHÒNG GD&ĐT
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2013-2014
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
I/ MA TRẬN ĐỀ
Chủ đề chính Nhận biết Thông hiểu Vận dụng
Thấp Cao
Tổng
Hàm số
y = ax+b
( 0)a ≠
Biết xác
định dạng
của hàm số
Vẽ đúng
Đồ thị
Và tìm
toạ độ
các giao
điểm
Số câu
Số điểm
3
3
3
4
6
7

Hai đường thẳng
song song và hai
đường thẳng cắt
nhau
Biết tìm điều
kiện đê hai
đường thẳng
song song và
hai đường
thẳng cắt nhau
Số câu
Số điểm
2
2
2
2
Hệ số góc của
đường thẳng
Tính được
các góc
tạo bởi
2 đường
thẳng
Số câu
Số điểm
1
1
1
1
Tổng

Số câu
Số điểm
3
3
2
2
4
5
9
10
II/ ĐỀ
Bài 1: (3 điểm)
Thực hiện tính:
24
422
2
2
++−
−+
xx
xx
với
362 +=x
Bài 2: (5 điểm)
Giải các phương trình:
a.
2455
22
−=++−+ xxxx
b.

322323
22
−++−=+++− xxxxxx
Bài 3: (4 điểm)
a. Chứng minh phương trình (n+1)x
2
+ 2x - n(n+2)(n+3) = 0 luôn có
nghiệm hữu tỉ với mọi số n nguyên.
b. Gọi x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình x
2
+ 2009x + 1 = 0
x
3
, x
4
là nghiệm của phương trình x
2
+ 2010x + 1 = 0
Tính giá trị của biểu thức: (x
1
+x
3
)(x
2
+ x
3

)(x
1
-x
4
)(x
2
-x
4
)
Bài 4: ( 6 điểm)
Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp
tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đoạn thẳng AO cắt
đường tròn (O) tại M. Trên cung nhỏ MC của (O) lấy điểm D. AD cắt (O) tại
điểm thứ hai E. I là trung điểm của DE. Đường thẳng qua D vuông góc với
BO cắt BC tại H và cắt BE tại K.
a. Chứng minh bốn điểm B, O, I, C cùng thuộc một đường tròn.
b. Chứng minh ∠ ICB = ∠ IDK
c. Chứng minh H là trung điểm của DK.
Bài 5: ( 2 điểm)
Cho A(n) = n
2
(n
4
- 1). Chứng minh A(n) chia hết cho 60 với mọi số tự
nhiên n.
III/ HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài 1: (3 điểm)
Thực hiện tính:
24
422

2
2
++−
−+
xx
xx
với
362 +=x

2
1
)22(2
)22(
2)2)(2(
)2)(2(222
2
+
=
++−+
−++
=
++−+
−++−++
=
xxxx
xx
xxx
xxxx
1,5
Thay

362 +=x
vào được:
23
23
1
)23(
1
3262
1
2
−=
+
=
+
=
++
1,5
Bài 2: (5 điểm)
Giải các phương trình:
a.
2455
22
−=++−+ xxxx
24545
22
=++−++ xxxx
.
Đặt
45
2

++= xxy
(y ≥ 0) được: y
2
- y - 2 = 0
1
Giải phương trình được: y
1
= -1 (loại); y
2
= 2. 0,5
Với y = 2 giải
245
2
=++ xx
được x
1
= 0; x
2
= -5. 0,5
Thử lại (hoặc đối chiếu với điều kiện) kết luận nghiệm 0,5
Ghi chú: Có thể đặt y = x
2
+ 5x. Lúc này cần đặt điều kiện khi bình phương
hai vế.
b.
322323
22
−++−=+++− xxxxxx
)3)(1(23)2)(1( +−+−=++−− xxxxxx
0,5

032)32(1 =++−−+−−− xxxxx
0)11)(32( =−−+−− xxx
1
032 =+−− xx
vô nghiệm;
011 =−−x
được x = 2. 0,5
Thử lại (hoặc đối chiếu với điều kiện) kết luận nghiệm. 0,5
Bài 3: (4 điểm)
a.Chứng minh Phương trình (n+1)x
2
+ 2x - n(n+2)(n+3) = 0 luôn có nghiệm
hữu tỉ với mọi số n nguyên.
n = -1: Phương trình có nghiệm. Với n ≠ -1 ⇒ n+1≠0.
∆’= 1+ n(n+2)(n+3)(n+1)
= 1+ (n
2
+ 3n)(n
2
+3n+2) = (n
2
+ 3n)
2
+ 2(n
2
+ 3n) + 1 =(n
2
+ 3n + 1)
2
.

1
∆’≥ 0 nên phương trình luôn có nghiệm.
0,5
∆’ chính phương, các hệ số là số nguyên nên các nghiệm của phương trình là
số hữu tỉ.
0,5
b. Gọi x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình x
2
+ 2009x + 1 = 0
x
3
, x
4
là nghiệm của phương trình x
2
+ 2010x + 1 = 0
Tính giá trị của biểu thức: (x
1
+x
3
)(x
2
+ x
3
)(x
1

-x
4
)(x
2
-x
4
)
Giải:
Chứng tỏ hai phương trình có nghiệm.
Có: x
1
x
2
= 1x
3
x
4
= 1 x
1
+x
2
= -2009 x
3
+ x
4
= -2010
0,5
Biến đổi kết hợp thay: x
1
x

2
= 1; x
3
x
4
= 1
(x
1
+x
3
)(x
2
+ x
3
)(x
1
-x
4
)(x
2
-x
4
) = (x
1
x
2
+ x
2
x
3

- x
1
x
4
-x
3
x
4
)(x
1
x
2
+x
1
x
3
-x
2
x
4
-x
3
x
4
)
= (x
2
x
3
- x

1
x
4
)(x
1
x
3
-x
2
x
4
)
= x
1
x
2
x
3
2
- x
3
x
4
x
2
2
- x
3
x
4

x
1
2
+x
1
x
2
x
4
2
= x
3
2
- x
2
2
- x
1
2
+ x
4
2
= (x
3
+ x
4
)
2
- 2x
3

x
4
-( x
2
+ x
1
)
2
+ 2x
1
x
2

= (x
3
+ x
4
)
2
-( x
2
+ x
1
)
2
1
Thay x
1
+x
2

= -2009; x
3
+ x
4
= -2010 được : 2010
2
- 2009
2
=2010+2009 =4019 0,5
Ghi chú: Có thể nhân theo nhóm [(x
1
+x
3
)(x
2
+ x
3
)].[(x
1
-x
4
)(x
2
-x
4
)]
Bài 4: ( 6 điểm)
OB ⊥ BA; OC ⊥ CA ( AB, AC là các tiếp tuyến)
OI ⊥ IA (I là trung điểm của dây DE) .
⇒ B, O, I, C cùng thuộc đường tròn đường kính AO.

1,5
∠ICB = ∠IAB ( Cùng chắn cung IB đường tròn đường kính AO) (1)
DK // AB (Cùng vuông góc với BO)
⇒ ∠ IDK = ∠IAB (2)
Từ (1) và (2) được: ∠ ICB = ∠ IDK
2
∠ ICB = ∠ IDK hay ∠ ICH = ∠ IDH ⇒ Tứ giác DCIH nội tiếp.
⇒ ∠HID = ∠ HCD
∠ HCD = ∠ BED (Cùng chắn cung DB của (O))
⇒ ∠HID = ∠ BED ⇒ IH // EB
⇒ IH là đường trung bình của DEK ⇒ H là trung điểm của DK
2,5
OA
B
C
I
D
E
K
H
M
Bài 5: ( 2 điểm)
Chứng minh A(n) = n
2
(n
4
- 1). chia hết cho 60 với mọi số tự nhiên n.
- A(n) = n.n(n
2
- 1)( n

2
+ 1) = n.n(n - 1)(n+1)( n
2
+ 1). Do n(n - 1)(n+1)
chia hết cho 3 nên A(n) chia hết cho 3 với mọi n.
0,5
- A(n) = n
2
(n
4
- 1) = n(n
5
- n). Do n
5
- n chia hết cho 5 theo phecma nên
A(n) chia hết cho 5 với mọi n.
0,5
- Nếu n chẵn ⇒ n
2
chia hết cho 4 ⇒ A(n) chia hết cho 4. Nếu n lẻ ⇒
(n-1)(n+1) là tích hai số chẵn nên nó chia hết cho 4. ⇒ A(n) chia hết cho 4
với mọi n.
0,5
- Ba số 3,4,5 đôi một nguyên tố cùng nhau nên A(n) chia hết cho 3.4.5 hay
A(n) chia hết cho 60.
0,5
* Chú ý: học sinh làm cách khác đúng đạt điểm tối đa.