Đề thi học sinh giỏi Toán 9 số 4

UBND THÀNH PHỐ HÒA BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
PHÒNG GD&ĐT TP HÒA BÌNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2013- 2014
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm có 01 trang)
Bài 1: (4,0 điểm)
Cho đa thức: A = n
4
+ 6n
3
+ 11n
2
+ 6n (n
∈
Z)
a/ Phân tích đa thức A thành nhân tử.
b/ Chứng minh rằng: (A + 1) là số chính phương với mọi giá trị của n.
Bài 2: (4,0 điểm)
Giải các phương trình sau:
a/
1 2 3
5
2
x x
x
− − −
=
−
b/ x
4
= 4x + 1

Bài 3: (4,0 điểm)
a/ Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau 6 giờ đầy bể. Nếu chảy một mình cho đầy
bể thì vòi I cần nhiều hơn vòi II là 5 giờ. Hỏi mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu thì đầy
bể.
b/ Tìm m để hai đường thẳng y = mx + 1 (d
1
) và y = 2x + 2 (d
2
) cắt nhau tại một điểm có
tọa độ nguyên.
Bài 4: (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB = a, trung tuyến AE, M là một điểm di động
trên đoạn AE, Gọi N và K lần lượt là hình chiếu của M trên các cạnh AB, AC. Gọi H là
hình chiếu của N trên KE.
a/ Chứng minh 5 điểm A, K, H, M, N cùng thuộc một đường tròn.
b/ Chứng minh 3 điểm B, M, H thẳng hàng.
c/ Xác định vị trí của điểm M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất
đó theo a.
Bài 5: (2.0 điểm)
Cho 4 số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn a
2
+ b
2
= c
2
+ d
2
.
Chứng minh rằng: a + b + c + d là hợp số.
………………………. Hết ……………………

Đề thi chính thức